Schwingungsmodell einer parallelkinematischen Werkzeugmaschine. Modalanalyse und Identifizierung

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung
1.1. Aufbau einer parallelkinematischen Maschine
1.2. Koordinatensysteme
1.3. JacobiMatrizen
1.4. Maschinensteifigkeit
1.5. Zusammenfassung der Parallelkinematiken
1.6. METROM P

2. Modalanalyse und Identifizierung des Schwingungsmodells
2.1. Modalanalyse
2.2. Durchführung der Messung
2.2.1. Aufbau der Messung
2.2.2. Auswertung der Ergebnisse
2.3. Identifizierung des Schwingungsmodells
2.3.1. FEModell
2.3.2. Updating

3. Schwingungsmodell mittels Jacobimatrizen
3.1. Aufstellung des Schwingungsmodells
3.2. Bewegungsgleichung
3.2.1. Berechnung der Massenmatrix
3.2.2. Berechnung der Steifigkeitsmatrix
3.2.3. Aufstellen und Auflösen der Bewegungsgleichung
3.3. Eigenschwingungsformen

4. Vergleich der Berechnungsmodelle mit Experiment

5. Zusammenfassung und Ausblick

Literaturverzeichnis

Anlagenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einführung

1.1. Aufbau einer parallelkinematischen Maschine

Parallelkinematiken bestehen aus einer oder mehreren geschlossenen kinematischen Ketten, deren Endglied (Endeffektor) eine bewegliche Plattform mit dem Freiheitsgrad F um eine Gestellplattform darstellt. Die Plattformen sind durch unabhängig voneinander zu bewegende Führungsketten gekoppelt. An einer festen Plattform bzw. Gestellplattform sind mit Hilfe von Gelenken die Führungsketten (Streben) befestigt. Das andere Ende der Streben ist wiederum über Gelenke an einer beweglichen Plattform bzw. Endeffektor montiert. Die Gelenke können mehrachsige Rotationen ausführen. Die Streben können längenveränderlich oder längenkonstante sein.

Abbildung 1-1: Aufbau einer Parallelkinematik am Beispiel eines Hexapods[8]

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Damit für eine Kinematik Zwanglauf vorliegt, muss die Anzahl der Antriebe gleich dem Freiheitsgrad F sein, wobei es jedoch auch Ausnahmen gibt. Der Freiheitsgrad F einer Parallelkinematik ist mit Hilfe der Grübler-Formel ermittelbar, wobei n die Anzahl der Getriebeglieder, g die Anzahl der Gelenke, fi der Freiheitsgrad des Gelenkes i, fid die Summe der identischen Freiheitsgrade und s die Summe der passiven Bindungen darstellt:

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(1)

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(2)

Die Verbindung des Gestells mit der Plattform über Getriebeglieder und Gelenke wird als Führungskette bezeichnet. Die mögliche Verteilung der Gelenkfreiheiten für Führungskette, die den gewünschten Freiheitsgraden am Endeffektor entsprechen, sind in Tabelle 1-1 aufgelistet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1-1: Summer der Gelenkfreiheiten räumlicher paralleler Mechanismen und Verteilung dieser auf die einzelnen Führungsketten⁷

Die Arbeitsraumabmessungen sind mit längenveränderlichen Streben erreichbaren größer, ist die Schwankungsbreite der Eigenschaften im Arbeitsraum geringer, der Kalibrierungsaufwand als geringer anzusehen und sind bessere Voraussetzungen für eine überlagerte Kraftregelung gegeben. Die längenveränderlichen Streben können durchaus auch eine geringere Masse und höhere Steifigkeit mit sich bringen, wenn es gelingt die Strukturbauteile der Maschine so anzuordnen, dass sich ausschließlich Zug- / Druck-belastungen für die einzelnen Elemente ergeben.

Dem gegenüber ist bei längenunveränderlichen Streben eine höhere Steifigkeit zu erwarten, da sich die Strebenkräfte auf Antrieb und Gestell aufteilen, bestehen geringere Anforderungen an die Bewegungsfreiheit der Gelenke, sind die Gelenke kompakter ausführbar und ist die nötige Gelenkgenauigkeit einfacher erzielbar. Bei längenunveränderlichen Streben sind relativ einfach Lineardirektantriebe einsetzbar, womit eine sehr hohe Dynamik erreichbar ist⁵.

Als Arbeitsraum sei in diesem Zusammenhang derjenige Raum verstanden, in dem alle für die Erfüllung der Aufgabe notwendigen Bewegungen durchgeführt werden können. Bei Parallelkinematiken treten Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Bewegungsgrenzen auf. So sind z.B. die Grenzen der translatorischen Bewegungen einer Parallelkinematik abhängig von der Orientierung des Endeffektors. Das bedeutet, dass bestimmte Positionen nur in definierten Orientierungen angefahren werden können. Der Bewegungsraum beschreibt die Gesamtheit aller Positionen und Orientierungen, die der Endeffektor einer Struktur in mindestens einer Orientierung einnehmen kann².

1.2. Koordinatensysteme

In Maschinen mit Bewegungssteuerungen werden in der Regel mindestens zwei verschiedene Koordinatensysteme benutzt. Einerseits wird das Koordinatensystem, in dem der Endeffektor bewegt werden soll, verwendet und als absolutes Koordinatensystem bezeichnet. Anderseits kommt das Koordinatensystem der Antriebe zur Anwendung. Die Transformation die beider Koordinatensysteme wird nach Transformationsrichtung zur Vorwärtstransformation und Rückwärtstransformation eingeteilt.

Abbildung 1-2: Zusammenhang zwischen Antriebskoordinaten und Weltkoordinaten⁴

Führt man nun ein drittes Koordinatensystem ein, das relativ zum Endeffektor definiert wird, dann wird die Lage des Endeffektors durch die Lage dieses Koordinatensystems bestimmt. Die Verbindung zwischen dem relativen Koordinatensystem des Endeffektors und dem absoluten Koordinatensystem wird durch Gleichung (3) definiert:

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(3)

Zur Beschreibung der Orientierung eines Körpers im Raum werden hier Kardan-Winkel und Euler-Winkel verwendet. Die unterscheiden sich lediglich in der Reihenfolge, in der die Drehungen definiert werden. Bei den Kardan-

Winkel ( , , ) wird die Reihenfolge x - y - z benutzt, wenn die Euler-Winkel

( , , ) mit einer Reihenfolge z - x - z’ definiert sind. Die Drehmatrix für die

gesamte Drehung ergibt sich dann zu:

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(4)

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(5)

Abbildung 1-3: Winkelbeschreibungen²

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1.3. Jacobi-Matrizen

Als Jacobi-Matirx wird die Matrix der partiellen Ableitungen eines Ausgangsvektors nach einem Eingangsvektor bezeichnet. Für parallelkinematische Werkzeugmaschine beschreibt sie die Auswirkungen kleinster Lageänderungen des Endeffektors im absoluten Koordinatensystem in Bezug auf die Antriebe an einem bestimmten Arbeitspunkt.

Die kinematische Jacobi-Matrix wird definiert wie folgend

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(6)

Wie ebenfalls im vorigen Abschnitt erläutert, existieren für die Beschreibung der Orientierung eines Körpers im Raum verschiedene Möglichkeiten. Darum gibt es auch Jacobi-Matrix nach Euler-Winkel JE, nach Kardan-Winkel JK und nach relativ Koordinatensystem des Endeffektors JR.

Die Kräfte im Antriebskoordinatensystem und die Kräfte im absoluten Koordinatensystem werden demzufolge mit Gleichung (7) ineinander um- gerechnet.

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(7)

Bei der Auslegung von Getrieben und Manipulatoren ist darauf zu achten, dass der Mechanismus im Arbeitsraum keine Singularitäten aufweist. Singularitäten bzw. singuläre Stellungen eines Mechanismus sind solche, in denen die Beweglichkeit des An- und/oder Abtriebes eingeschränkt wird.¹

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Tabelle 1-2: Singularitäten in Mechanismen

1.4. Maschinensteifigkeit

Die statische Steifigkeit wird als wesentlicher Parameter zur Charakterisierung der Werkzeugmaschineneigenschaften. Aufgrund der geschlossenen kinematischen Ketten besitzt parallelkinmatische Werkzeugmaschinen höhere Steifigkeit als serielle Maschine und dieser Fakt wurde als einer der wesentlichen Vorteile von PKM hervorgehoben.

Zwei Fachwerke mit unterschiedlicher Stellung der Streben zueinander und unterschiedlichen Strebenlängen werden einer identischen Belastung ausgesetzt. Es kommt zu unterschiedlicher Übertragung der Kräfte in die Streben. Das heißt, die Steifigkeit der Struktur gegenüber einer äußeren Belastung ist trotz gleicher Baugruppensteifigkeit unterschiedlich.

Allgemeine Definition der Steifigkeit lautet:

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(8)

Diese Gleichung gilt gleichermaßen im eindimensionalen Fall wie bei räumlichen Federanordnungen. In Parallelkinematiken ist K eine n x n-Matrix. Unter der Vorraussetzung, dass alle kinematischen Ketten die gleiche Steifigkeit k besitzen, ist

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(9)

Die Steifigkeitsmatrix vereinigt die translatorischen und die rotatorischen Anteile der Steifigkeit.

Dämpfung in PKM lässt sich wie die statische Steifigkeit auch mittels einer Matrix darstellen:

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(10)

1.5. Zusammenfassung der Parallelkinematiken

Parallelkinematiken verfügen über Eigenschaften, die der Produktionstechnik eine Reihe neuer Möglichkeiten eröffnet. Durch die parallele Anordnung der Antriebe und durch die vorzugsweise Belastung der Streben in Zug- und Druckrichtung, ergeben sich völlig neue Möglichkeiten des Leichtbaus und damit im Zusammenhang höhere Geschwindigkeiten und Beschleunigung. Weiterhin verfügen die Kinematiken in der Regel über einen hohen Grad an Wiederholteilen, die eine wirtschaftliche Fertigung ermöglichen⁸.

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Tabelle 1-3: Eigenschaften der Parallelkinematiken

1.6. METROM P800

Als Gegenstand der Untersuchung für diese Arbeit stand eine parallelkinematische 5-Achse-HSC-Fräsmaschine P800 von der Firma METROM GmbH zur Verfügung.

Technische Daten P800¹⁶:

-5 Streben - Kinematik (Pentapod)
-Rundtisch (Ø 800 mm mit Direktantrieb
-5 Seiten Bearbeitung
-Hohe Produktivität durch hohe Dynamik (Beschleunigung 12 m/s² und Geschwindigkeit: 60 m/min)
-Großer Arbeitsraum bei kleinem Bauraum
-Schwenkwinkel >90°
-Wiederholgenauigkeit: 0,003 mm HSK 63, 24.000 1/min, 14 kW

Steuerung:

-andronic 2000 -Hochleistungssteuerung
-zusätzlicher Prozessor für Parallelkinematik
-Blockzykluszeit = 1 ms (opt. 0,5 ms)
-komfortable Look - ahead - Funktion
-Echtzeitüberwachung der Kinematik

Abbildung 1-4: METROM P800

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2. Modalanalyse und Identifizierung des Schwing- ungsmodells

2.1. Modalanalyse

Modalanalyse nennt man den Vorgang zur Ermittlung sämtlicher Modal- parameter, auf deren Grundlage man dann ein mathematisches Modell des dynamischen Verhaltens erstellen kann. Die Modalanalyse kann analytisch oder durch experimentelle Methoden erfolgen. Die Modalparameter sind Modalfrequenz, Modaldämpfung und Modenform. Die Modalparameter sämtlicher Moden, innerhalb des in Betracht kommenden Frequenzbereichs, bilden eine komplette Beschreibung der Strukturdynamik. Die Schwingungs- moden repräsentieren somit die inneren dynamischen Verhältnisse einer freien Struktur.

Die prinzipielle Vorgehensweise bei der Modalanalyse kann man in drei Schritten zusammenfassen. Erster Schritt ist die Approximation der Maschine durch eine Anzahl von Strukturpunkten. Mit der Auswahl der Messpunkte beeinflusst der Benutzer maßgeblich die Identifikation von Schwingungs- formen und auch Schwachstellen der Struktur. Die Messpunkte sollten so gewählt werden, dass die gemessene Schwingungsform ausreichende Informationen über die dynamische Bewegung der Maschine erlaubt. Zur Anregung der Schwingungsformen wurden häufig sinusförmige, impulsartige oder stochastische Signale genutzt. Die Nachgiebigkeiten der Maschine in den drei Maschinenkoordinatenrichtungen werden an allen Strukturpunkten gemessen. Im Anschluss an die Ermittlung der Übertragungsfunktionen für jeden Strukturpunkt in den drei Maschinenkoordinatenrichtungen, erfolgt so genannte „Curve-Fitting“.

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