Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Optionsbewertung nach Black und Scholes. Dabei wird eine direkte Herleitung der Black-Scholes-Preisformel zur Bewertung einer Kaufoption europäischen Typs auf eine Aktie vorgestellt.
Zunächst wird die im Modell unterstellte Aktienkursverlaufshypothese näher erläutert (Abschnitt 2.1). Aus der formalen Darstellung der Kursdynamik resultiert eine einfache Verteilungsannahme für den zukünftigen Aktienkurs. In Abschnitt 2.2 werden die Prämissen aufgezeigt, die den Untersuchungen von Black, Scholes und Merton zugrunde liegen. Anschließend folgt die Herleitung der Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung, die den Ausgangspunkt für die Black-Scholes-Preisformel darstellt. Diese bildet seit den siebziger Jahren die Grundlage der Optionstheorie und hat auch die finanztheoretische Forschung grundlegend verändert. Ihre Verdienste und die Bedeutung des Black-Scholes-Modells wurden schließlich mit der Verleihung des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften im Jahr 1997 gewürdigt.
In Abschnitt 5 gehe ich auf die griechischen Buchstaben ein, die auf anschauliche Art und Weise die Abhängigkeit des Optionspreises von verschiedenen Parametern, die der Preisformel zugrunde liegen, verdeutlichen. Abschließen werde ich meine Arbeit mit einem Ausblick auf den Praxisbezug des Modells.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Das Black-Scholes-Merton-Modell
2.1 Modell für das Verhalten von Aktienkursen
2.1.1 Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung
2.1.2 Erweiterung des Wiener-Prozesses
2.1.3 Der Prozess für Aktienkurse
2.2 Prämissen
2.3 'Pricing by duplication' und die Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung
3. Die Black-Scholes-Preisformel
4. Die Volatilität des Aktienkurses
4.1 Schätzung der Volatilität anhand historischer Daten
4.2 Implizite Volatilität
5. Die griechischen Buchstaben
5.1 Delta ∆
5.2 Gamma Γ
5.3 Theta Θ
5.4 Vega
5.5 Rho Ρ
6. Praxisbezug
Zielsetzung und Themen der Arbeit
Die vorliegende Seminararbeit hat zum Ziel, das Black-Scholes-Merton-Modell zur Optionsbewertung theoretisch herzuleiten, die mathematischen Grundlagen zu erläutern und kritisch auf ihren Praxisbezug hin zu untersuchen.
- Direkte Herleitung der Black-Scholes-Preisformel für europäische Kaufoptionen.
- Darstellung der stochastischen Prozesse und Modellprämissen.
- Analyse der Sensitivitätskennzahlen (griechische Buchstaben) für Hedging-Strategien.
- Empirische Einordnung und kritische Diskussion der Modellannahmen in der Praxis.
Auszug aus dem Buch
2.1 Modell für das Verhalten von Aktienkursen
Da Derivative von der Entwicklung des ihnen zugrunde liegenden Vermögensgegenstandes abhängen, ist es zunächst wichtig, den Verlauf dieses Vermögensgegenstandes zu definieren. Bei Aktienoptionen bedeutet dies, dass zunächst der Prozess, dem Aktien folgen, beschrieben werden muss.
Hierbei wird ein stochastischer Prozess mit kontinuierlichem Zeitablauf und kontinuierlichen Variablen zugrunde gelegt. Soll heißen, dass Veränderungen jederzeit stattfinden können, und dass die Variable jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereiches annehmen kann. Der Verlauf, dem die Aktie (Variable) dabei folgt, ist unabhängig von der historischen Entwicklung der Variablen. Die einzige relevante Information ist der momentane Kurs. Diese Tatsache, dass für die Prognose der zukünftigen Kursentwicklung lediglich der gegenwärtige Wert der Variablen von Relevanz ist, nennt man Markov-Eigenschaft. Vorhersagen über die Zukunft sind damit unsicher und müssen mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitsverteilungen umschrieben werden.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Diese Einleitung führt in die Thematik der Optionsbewertung ein und skizziert den Aufbau der Herleitung der Black-Scholes-Preisformel sowie die spätere Analyse der Sensitivitätskennzahlen.
2. Das Black-Scholes-Merton-Modell: Dieses Kapitel definiert die mathematischen Grundlagen des Aktienkursverlaufs, erläutert die zentralen Prämissen des Modells und leitet die fundamentale Differentialgleichung her.
3. Die Black-Scholes-Preisformel: Hier wird basierend auf den Randbedingungen die konkrete Preisformel für eine europäische Kaufoption abgeleitet und deren ökonomische Bedeutung interpretiert.
4. Die Volatilität des Aktienkurses: In diesem Kapitel werden Methoden zur Ermittlung der Volatilität thematisiert, wobei zwischen der historischen Schätzung und der impliziten Volatilität unterschieden wird.
5. Die griechischen Buchstaben: Hier erfolgt eine detaillierte Untersuchung der Sensitivitätskennzahlen Delta, Gamma, Theta, Vega und Rho als wichtige Instrumente für das Hedging.
6. Praxisbezug: Das abschließende Kapitel diskutiert die Anwendbarkeit des Modells unter realen Marktbedingungen und beleuchtet die Diskrepanz zwischen theoretischen Annahmen und praktischen Herausforderungen.
Schlüsselwörter
Optionsbewertung, Black-Scholes-Modell, Finanzderivate, Kaufoption, Wiener-Prozess, Volatilität, Hedging, Delta, Gamma, Theta, Vega, Rho, Arbitrage, Aktienkurs, Risikomanagement.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Herleitung und Anwendung des Black-Scholes-Merton-Modells zur Bewertung von europäischen Kaufoptionen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Schwerpunkte liegen auf der stochastischen Modellierung von Aktienkursen, der Preisformel für Optionen und der Bedeutung von Sensitivitätskennzahlen für Absicherungsstrategien.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, den theoretischen Apparat der Optionspreistheorie darzulegen und kritisch zu prüfen, inwieweit das Modell der komplexen Realität an den Finanzmärkten standhält.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt die formale mathematische Ableitung stochastischer Prozesse und verknüpft diese mit finanztheoretischen Modellen zur Arbitragefreiheit.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden die Herleitung der Differentialgleichung, die explizite Preisformel sowie die "griechischen Buchstaben" als Risikomaße intensiv analysiert.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wesentliche Begriffe sind Optionsbewertung, Volatilität, Black-Scholes, Hedging und stochastische Prozesse.
Warum ist die Unterscheidung zwischen historischer und impliziter Volatilität so wichtig?
Da die Volatilität der einzige nicht direkt beobachtbare Parameter in der Formel ist, entscheidet die Wahl der Ermittlungsmethode maßgeblich über die Präzision des berechneten fairen Optionspreises.
Welche Grenzen des Modells werden im Praxisbezug aufgezeigt?
Die Arbeit kritisiert unter anderem die unrealistische Annahme reibungsloser Märkte, die Konstanz von Zinsen und Volatilität sowie das Ignorieren von Transaktionskosten und irrationalem Anlegerverhalten.
- Quote paper
- Thomas Grohmann (Author), 2002, Optionsbewertung nach Black und Scholes - Modell und Praxisbezug, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/12548
