This textbook (in Russian) is devoted to the methods of signal and image processing based on the solution of partial differential equations and other corresponding methods of Mathematical Physics. Such topics as Edge Detection, Diffusion Smoothing, and Wavelet Transform are considered. All of them are supplied with the examples and exercises for FlexPDE 5. The short introduction into this software is also provided.
Учебное пособие посвящено методам обработки сигналов и изображений, основанным на решении дифференциальных уравнений в частных производных и других сопутствующих методов математической физики. Рассмотрены такие темы как выделение контуров, диффузионное сглаживание и вейвлет-преобразование. Все они сопровождаются примерами и упражнениями в FlexPDE 5. Кроме того, предлагается краткое введение в данное программное обеспечение.
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
I. FLEXPDE: СРЕДА ОПИСАНИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Интерфейс системы
Структура описания задачи
Задание области решения на плоскости
Задание граничных условий
Графический вывод решения
Контроль вида графического вывода
II. ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ И СИГНАЛОВ
1. Изображение как поле яркости
2. Простая диффузия: сглаживание деталей и подавление шума
3. Метод разделения переменных, собственные числа и собственные функции
4. Градиент, поток и плотность потока его источников
5. Выделение контуров и анизотропная диффузия
6. Кратномасштабные методы
7. Глобальный и локальный спектральный анализ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Цели и тематические направления
Основная цель учебного пособия заключается в предоставлении систематизированного обзора методов обработки сигналов и изображений, которые базируются на решении дифференциальных уравнений в частных производных, с использованием специализированной среды численного моделирования FlexPDE.
- Принципы работы в среде моделирования FlexPDE для задач математической физики.
- Методы математической обработки изображений (сглаживание, шумоподавление, выделение контуров).
- Анализ диффузионных процессов как основы для фильтрации данных.
- Применение теории вейвлетов и спектрального анализа для локальной обработки сигналов.
- Практическая реализация численных решений для различных типов граничных задач.
Аuszug aus dem Buch
1. Изображение как поле яркости
Цифровое изображение можно представить как набор точек (пиксе лей), каждая из которых характеризуется определенным набором парамет ров: яркость, цветом. Для простоты изложения, определим яркость как не отрицательную функцию I(i, j) номеров точек (дискретных координат) i и j , которая может принимать неотрицательные значения. Основные мате матические факты, о которых пойдет речь в дальнейшем, вполне могут быть рассмотрены на примере монохромных изображений, поэтому функ ция цвета и способы ее представления рассматриваться не будут.
С точки зрения применения алгоритмов обработки изображений, ос нованных на методах математической физики, дискретные координаты i, j удобно заменить непрерывными декартовыми (x, y), заданными на плоскости. В этом случае яркость I(x, y) становится скалярным полем – функцией, которая каждой точке пространства (в данном случае – плоско сти) сопоставляет одно число (скаляр). При этом яркость данной точки (в дискретном случае – пиксела) не зависит от выбора системы координат, что отличает скалярное поле от векторного поля – функции, которая каж дой точке пространства сопоставляет вектор – упорядоченный набор чи сел, значение которых зависит от выбора системы координат.
Краткое содержание глав
ВВЕДЕНИЕ: Описываются основные задачи обработки изображений и роль дифференциальных уравнений в их решении.
I. FLEXPDE: СРЕДА ОПИСАНИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: Дается инструкция по использованию программного пакета FlexPDE для описания и численного решения физико-математических моделей.
II. ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ И СИГНАЛОВ: Рассматриваются конкретные математические методы (диффузия, вейвлеты, спектральный анализ) для анализа и модификации изображений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ: Содержит краткий обзор литературы и рекомендации по дальнейшему изучению математических методов обработки данных.
ПРИЛОЖЕНИЕ: Представлены фрагменты кода и примеры программных реализаций для системной среды FlexPDE.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ: Систематизированный список ключевых терминов, использованных в учебном пособии.
Ключевые слова
Дифференциальные уравнения, математическая физика, обработка изображений, FlexPDE, яркость, диффузия, сглаживание, подавление шума, градиент, анизотропная диффузия, вейвлет-преобразование, спектральный анализ, собственные функции, краевая задача, контур.
Часто задаваемые вопросы
О чем данное учебное пособие?
Пособие посвящено применению методов математической физики, основанных на решении дифференциальных уравнений, к задачам обработки сигналов и изображений.
Какие центральные темы освещены в работе?
Центральными темами являются численное моделирование в среде FlexPDE, диффузионные процессы, методы выделения контуров и вейвлет-анализ.
Какова основная цель данного текста?
Цель состоит в том, чтобы дать читателю обзор методов, необходимых для правильной математической постановки задач обработки сигналов и их численного решения.
Какие математические инструменты используются для обработки?
Основными инструментами являются дифференциальные уравнения в частных производных, ряды Фурье и вейвлет-преобразования.
Что входит в структуру практической части?
Практическая часть содержит описание среды FlexPDE, примеры кода, упражнения для закрепления материала и контрольные задания для учебных групп.
Каковы основные ключевые характеристики описываемых алгоритмов?
Ключевыми характеристиками являются использование численных методов конечных элементов, работа с яркостными полями и адаптивная фильтрация через анизотропную диффузию.
Почему для решения задач выбрана именно система FlexPDE?
FlexPDE выбрана за декларативный язык описания задач, который близок к естественному математическому языку и позволяет избежать сложного программирования процесса решения.
В чем заключается преимущество анизотропной диффузии?
В отличие от обычной диффузии, она позволяет подавлять шумы, сохраняя при этом важные структурные особенности (контуры и границы) изображения.
- Quote paper
- Dr. Eugene Postnikov (Author), 2009, Metody matematicheskoj fiziki v obrabotke signalov i izobrazhenij, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/125693
