Mathematik in der Haupt-Werkstufe einer Schule für Praktisch Bildbare – Versuch der gezielten Entwicklung und Förderung von Zahlbegriff und Mengenauffassung

Inhalt

1. Einleitung
Theoretische Grundlagen

2. Vom pränumerischen Bereich zum Zahlbegriffserwerb
2.1 Das „Haus der Mathematik“
2.2 Sachstruktur des pränumerischen Bereichs und der Aspekte Klassifikation und Seriation
2.3 Aspekte des Zahlbegriffs

3. Motive für die Auswahl des Diagnose- und Förderkonzepts
und Bezug zum Lehrplan
Praxisteil – eine Förderung im elementaren mathematischen Lernen

4. Vorüberlegungen und Rahmenbedingungen
4.1 Institutionelle Rahmenbedingungen und Beschreibung der
Differenzierungsgruppe
4.2 Zur Auswahl der Schülerinnen

5. Diagnostik
5.1 Diagnostisches Verfahren zur Ermittlung der Lernvoraussetzungen der Schülerinnen
5.2 Beschreibung der Lernvoraussetzungen von Laura und Kübra

6. Förderung
6.1 Förderschwerpunkte bei Laura und Kübra
6.2 Ein Einblick in die Förderung – Beschreibung von Förderbeispielen
6.3 Exemplarische Darstellung einer Förderstunde

7. Ergebnisse der Förderung

8. Reflexion und Ausblick
8.1 Zusammenfassende Beurteilung der Förderung – Reflexion
8.2 Konsequenzen für die weitere förderdiagnostische Arbeit – Ausblick

9. Literatur

1. Einleitung

Seit langem hat der Unterricht in den Kulturtechniken Lesen, Schreiben und Rechnen an einer Schule für Praktisch Bildbare seinen festen Stellenwert. Es ist mittlerweile selbstverständlich, dass die Bereiche Schriftspracherwerb und Mathematik zum Unterrichtsangebot gehören.

Wurde vor einigen Jahrzehnten noch über die Sinnhaftigkeit des Unterrichts in den Kulturtechniken an einer Schule für Menschen mit einer geistigen Behinderung diskutiert, so hat sich in den vergangenen Jahren doch die Erkenntnis durchgesetzt, dass mathematische Kompetenzen erarbeitet werden können und damit Voraussetzungen für eine bessere Bewältigung des Alltags geschaffen werden. Dabei muss berücksichtigt werden, dass nicht erst bei der Bewältigung von schwierigen mathematischen Rechenoperationen von mathematischer Kompetenz gesprochen werden darf, sondern die Mathematik nach Piaget bereits im pränumerischen Bereich beginnt. Pränumerische Kenntnisse und Fähigkeiten, wie z.B. das Beherrschen der Stück-für-Stück Zuordnung bei der Verteilung von Bonbons, ermöglichen einem/einer SchülerIn seine/ihre Handlungskompetenzen in eigene Interessen zu integrieren und motiviert weiter zu entwickeln.^[1]

Im Schulalltag kommt dem angewandten Umgang mit Mengen und Zahlen deshalb große Bedeutung zu. Eine unterrichtsimmanente Diagnostik und Förderung findet z.B. beim Tischdecken (jedem Teller eine Tasse zuordnen), Einkaufen (bestimmte Mengen von Artikeln auswählen, Umgang mit Geld) oder beim Kochen (Zutaten abzählen) statt.

Im praktischen Unterrichtsalltag an einer Schule für Praktisch Bildbare wird aber auch immer wieder deutlich, dass viele SchülerInnen zwar sehr weit zählen können, ihnen der Aufbau der Zahlwortreihe und die Beziehung zwischen Zahlen und Mengen aber weitgehend verborgen bleibt. Das Aufsagen der Zahlwortreihe von 1 bis 10 beinhaltet noch kein mathematisches Verständnis für den Zahlbegriff, da ein/e SchülerIn lediglich zehn Wörter aneinander reiht, die in der Regel auswendig gelernt wurden. Sagt man den SchülerInnen z.B., dass sie nicht für acht Personen den Tisch decken müssen, da ein/e SchülerIn nicht da ist, so können sie die Anzahl der benötigten Teller meist nicht spontan ermitteln, da ihr Zugang zur Zahlwortreihe rein rhythmisch-mechanisch ist, ohne dass ein Zahlbegriff^[2] vorhanden ist. Ein weiteres Beispiel für einen rein auswendig gelernten Zugang zur Zahlwortreihe sind Schwierigkeiten, die auftreten, wenn in einer Aufgabe die Zahlwortreihe nicht mit der 1 beginnt.

Die SchülerInnen der Haupt-Werkstufe sind zwischen 15 und 19 Jahre alt. Obwohl sie kontinuierlich seit vielen Jahren in Mathematik unterrichtet werden, ist nur bei wenigen ein gesicherter Zahlbegriff vorhanden. Zur Erleichterung von Alltagshandlungen sind mathematische Kenntnisse und Fähigkeiten – vorrangig ein gesicherter Zahlbegriff – aber unabdingbar, da zahlreiche Alltagshandlungen mathematische Aspekte beinhalten. Eine konkrete Förderung wirkt sich somit positiv auf die Erweiterung und Verbesserung von Alltagskompetenzen aus. In den letzten Wochen und Monaten habe ich deshalb in einer Differenzierungsgruppe eine gezielte Förderung im elementaren mathematischen Lernen mit dem Ziel bzw. der Fragestellung durchgeführt, ob bei SchülerInnen mit einer Beeinträchtigung der geistigen Entwicklung durch eine systematische Förderung nach dem Konzept des struktur- und niveauorientierten Lernens nach Kutzer^[3] der Zahlbegriff inhaltlich vermittelt und gefestigt werden kann. Die Entscheidung für dieses Förderkonzept wird in Kapitel 3 erläutert.

Im ersten Teil der Arbeit, in dem es um die theoretischen Grundlagen geht, soll zunächst der pränumerische Bereich der Mathematik bis hin zum Zahlbegriffserwerb vorgestellt werden. In Kapitel 3 werden, wie bereits erwähnt, Motive für die Auswahl der verwendeten Diagnose- und Fördermaterialien erläutert und die Förderung wird durch einen Bezug zum Lehrplan didaktisch begründet. Im darauf folgenden Praxisteil findet in den Vorüberlegungen (Kapitel 4) eine kurze Beschreibung der Differenzierungsgruppe statt und die institutionellen Rahmenbedingungen werden dargestellt. Im Unterkapitel 4.2 wird erläutert, wie es zur Auswahl der Schülerinnen gekommen ist, die bei der Förderung im Vordergrund stehen. In Kapitel 5 wird zunächst das diagnostische Verfahren zur Ermittlung der Lernvoraussetzungen vorgestellt. Anschließend werden die Lernvoraussetzungen der Schülerinnen zu Beginn der Fördersequenz beschrieben. Kapitel 6 befasst sich mit der Förderung. Förderschwerpunkte der Schülerinnen und Förderbeispiele werden dargestellt und eine Förderstunde wird exemplarisch beschrieben. Daran anschließend werden in Kapitel 7 die Ergebnisse der Förderung aufgezeigt. Eine Reflexion der Fördersequenz mit der Formulierung von Konsequenzen für die weitere Arbeit im Bereich des elementaren mathematischen Lernens schließt meine Ausführungen ab.

Theoretische Grundlagen

2. Vom pränumerischen Bereich zum Zahlbegriffserwerb

In diesem Kapitel soll ein Einblick gegeben werden, wie mathematische Kompetenzen entwickelt werden können. Zunächst folgt im Subkapitel 2.1 ein Überblick in Form einer Hausdarstellung. Unter Punkt 2.2 wird der Bereich Pränumerik inhaltlich näher ausgeführt und unter Punkt 2.3 werden wesentliche Aspekte des Zahlbegriffs erläutert.

2.1 Das „Haus der Mathematik“

Eine einfache Darstellung, das „Haus der Mathematik“^[4], veranschaulicht die notwendige Stufenfolge beim Aufbau mathematischer Fähigkeiten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Darstellung macht deutlich, dass der so genannte pränumerische Bereich für den Aufbau mathematischer Kompetenzen grundlegend ist. Mit dem pränumerischen Bereich ist der vorzahlige Bereich gemeint, bei dem es um die Entwicklung mathematischer Vorläuferkompetenzen geht. Dieser Aspekt befasst sich noch nicht mit Ziffern und Operationszeichen, bildet aber das Fundament für das weitere mathematische Denken.

Darauf folgt die Einsicht in die unterschiedlichen Aspekte des Zahlbegriffs. Besitzt ein Kind diese Einsicht, so kann es Zahlen als Symbole für verschiedenartig zusammengestellte Mengen verwenden. Erst wenn die Einsicht in alle Aspekte des Zahlbegriffs gegeben ist, hat ein Kind die Voraussetzungen für das Erkennen und Gestalten von Rechenoperationen erlangt.

2.2 Sachstruktur des pränumerischen Bereichs und der Aspekte Klassifikation und Seriation

Die Vorstellung des vorzahligen Bereichs und der Zahlbegriffsentwicklung orientiert sich an der „Diagnostik online“ des Amts für Lehrerbildung in Frankfurt^[5], die auf den Erkenntnissen von Kutzer aufbaut. Außerdem werden ergänzend dazu wichtige Hinweise nach de Vries^[6] erläutert.

Die Entwicklung des Zahlbegriffs gründet sich auf verschiedene Erkenntnisse, die nachfolgend näher beschrieben werden:

1. Kenntnis von Eigenschaftskategorien (Formen, Farben, Größen,...)

Die Beurteilung von Mächtigkeiten erfolgt häufig nur nach der Anzahl der vorgegebenen Elemente. Vom Aussehen (Form, Farbe, Größe,...) der Elemente wird abgesehen. Ein Kind kann aber nur dann von etwas absehen, wenn es ein Verständnis dafür hat oder im besten Fall die Dinge sprachlich aktiv benennen kann. Daher wird die Fähigkeit, Mengen nach Eigenschaften von Gegenständen zu unterscheiden als „Basis“ zur Entwicklung des Zahlbegriffs bezeichnet.^[7][8]

2. Erkennen und Verstehen der Paarzuordnung und Umgang mit den Begriffen „mehr“, „weniger“ und gleich viele“ Elemente beim Mächtigkeitsvergleich

Beim Vergleich von zwei Mächtigkeiten ist die paarweise Zuordnung ein geeignetes Mittel um fehlerfrei zum Ergebnis zu kommen. Gleichmächtigkeit ist immer dann vorhanden, wenn jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge zugeordnet werden kann und kein Element übrig bleibt. Durch die paarweise Anordnung können die Mächtigkeiten über einen komplexen Vergleich ermittelt werden und der Vergleich erfolgt nicht durch Abzählen. Auch Ungleichmächtigkeit wird schnell sichtbar, so dass die Begriffe „mehr“ und „weniger“ zum Einsatz kommen. Die paarweise Zuordnung und der aktive Umgang mit den Begriffen „mehr“, „weniger“ und „gleich viele“ Elemente ist die grundlegende Voraussetzung für den Aufbau von anzahlinvariantem Verhalten und somit nach Kutzer auch die Grundlage zur Entwicklung eines sicheren Zahlbegriffs.^[9]

3. Vergleich von Mengen nach deren flächiger Umordnung (Aspekt der Anzahlinvarianz)

„Unter anzahlinvariantem Verhalten versteht man die Fähigkeit des Kindes zu erkennen, dass sich die Mächtigkeit einer Menge durch die Umordnung der Elemente nicht ändert.“^[10] Ein Kind soll bei der Beurteilung von Mengen von deren unterschiedlicher flächiger Anordnung absehen können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hat das Kind bei der Stück-für-Stück Zuordnung erkannt, dass beide Mengen aus gleich vielen Elementen bestehen, so soll diese Erkenntnis nach flächiger Umordnung weiter gesichert sein. Der visuelle Eindruck kann jederzeit konkret handelnd überprüft werden, indem jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge zugeordnet wird.

4. Vergleich von Mengen mit Elementen unterschiedlicher Größe (Aspekt der Repräsentanz)

Bei der quantitativen Beurteilung von Mengen wird von Kindern verlangt, dass sie vom Aussehen der Elemente absehen. Kinder sollen die Erkenntnis erlangen, dass repräsentative Faktoren wie Größe, Form oder Farbe der Elemente keinen Einfluss auf die Mächtigkeit der zu bestimmenden Menge haben und sie dürfen sich daher bei der Frage nach dem quantitativen Verhältnis von Mächtigkeiten nicht von qualitativen Relationen beeinflussen lassen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5. Seriation von Mengen nach ihrer Mächtigkeit und Klassifikation von Mengen nach vorgegebener Zahleigenschaft

Wichtige Lernziele auf dem Weg zu einem gesicherten Zahlbegriff sind das Ordnen von Mengen nach deren Anzahl (Seriation) und die Zuordnung vorgegebener Mengen (Klassifikation).

Geht es um die Mächtigkeit bzw. um die Anzahl der Elemente einer Menge, so ist der kardinale Aspekt der Zahl angesprochen. Die SchülerInnen sollen „die Erkenntnis entwickeln, dass [...] unendlich viele Mengen mit deutlich voneinander abgrenzbaren Elementen unabhängig von deren Aussehen [...] und deren Anordnung [...] allein unter dem Aspekt der Anzahligkeit [...] zu Klassen zusammen [gefasst werden können].“^[11] In diesem Zusammenhang findet auch der Begriff „Zahleigenschaft“ Anwendung: Mengen von gleicher Mächtigkeit verfügen über die gleiche Zahleigenschaft. Die Zahleigenschaften von Mengen werden durch Ziffern und Zahlwörter symbolisiert. Ziffern und Zahlwörter enthalten jedoch (gegenüber Mengenzeichen) einen Informationsverlust und lassen sich nicht aufeinander aufbauend logisch entwickeln. Ziffernsymbole, Zahlwörter und zählbare Elemente haben keine Ähnlichkeiten miteinander und können nicht voneinander abgeleitet werden. Daher kann das Aufsagen der Zahlwortreihe mit 1 beginnend keine diagnostische Auskunft darüber geben, ob ein/e SchülerIn über einen gesicherten Zahlbegriff verfügt, der über die Mengenebene angelegt ist. Deshalb sollte den SchülerInnen neben der Einsicht in die Klassifikation auch immer die Einsicht in die Seriation bzw. Reihenbildung vermittelt werden. Diese beinhaltet die Erkenntnis, dass Klassen in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet werden können. Die Nachbarklassen haben je ein Element mehr oder weniger.^[12]

Der Aspekt der Seriation gilt als wesentliches Erkenntniselement der Zahlbegriffsentwicklung. Mengen und Zahlen können in eine Reihe gebracht werden und können geordnet werden. Die Entwicklung des Zahlbegriffs erfolgt aber nicht allein durch den Vergleich gleichmächtiger Mengen (Klassifikation), sondern auch durch den Vergleich ungleichmächtiger Mengen und das Wissen über „größer“ und „kleiner“ (1<2, 4>3). Das Erkennen der Zahleigenschaft steht somit im Vordergrund.^[13]

In diesem Unterkapitel wurden einige wesentliche Aspekte des Zahlbegriffs ange-sprochen, die nachfolgend noch weiter ausgeführt werden.

2.3 Aspekte des Zahlbegriffs

Der Versuch eine umfassende Definition der Zahl zu entwickeln, gestaltet sich äußerst schwierig, da der aus der Zahl abgeleitete Zahlbegriff verschiedene Aspekte impliziert. Für den Anfangsunterricht in Mathematik und für erste Konfrontationen mit Zahlen werden die folgenden beiden Aspekte des Zahlbegriffs^[14] als wesentlich angesehen:

1. Der kardinale Aspekt der Zahl
2. Der ordinale Aspekt der Zahl

Der kardinale Aspekt der Zahl ist dann angesprochen, wenn es wie bereits erwähnt um die Mächtigkeit einer Menge geht. Die Kardinalzahl gibt Antwort auf die Frage „wie viele...?“

Der ordinale Aspekt der Zahl macht eine Aussage über die Position innerhalb einer Reihe von Elementen. Die Ordinalzahl gibt Antwort auf die Fragen „wer?, welcher?, der wievielte?, an welcher Stelle?“ Hier geht es um die Bestimmung der Position in einer geordneten Folge von Gegenständen oder Menschen.

Zu ergänzen ist der „Beziehungsaspekt der Zahl“^[15], der laut Piaget für den Umgang mit Zahlen im Anfangsunterricht entscheidend ist. Piaget bezeichnet den „Zahlbegriff [als] eine ‚operatorische Synthese logischer Operationen’, nämlich Operationen der Klassifizierung und der [...] Seriation“.^[16]

Klassifikation impliziert neben dem Zusammenfassen von Mengen gleicher Mächtigkeit zu Klassen auch die Möglichkeit, kleine Mengen in größeren aufzunehmen. Dieser Vorgang wird als Klasseninklusion bezeichnet. Das Wissen darüber, dass in einer vorhandenen Menge alle kleineren Mengen enthalten bzw. inkludiert sind, ist ein weiterer wichtiger Aspekt in der Zahlbegriffsentwicklung. Dieses Wissen ist entscheidend für die gedankliche Zerlegung einer Gesamtmenge in ihre Teilmengen (Mengen- und Zahlanalyse) und eine wesentliche Erkenntnis beim Erwerb eines sicheren Zahlbegriffs.

Im Hinblick auf die Seriation ist die Erkenntnis wichtig, dass zu jeder vorhandnen Menge durch Hinzulegen oder Wegnehmen eines Elements neue Mengen gebildet werden können, die um ein Element kleiner oder größer sind (Prinzip der Seriation).

Nach Kutzer ist der Beziehungsaspekt der Zahl am besten dafür geeignet zu beschreiben, was die Struktur des Zahlbegriffs (bezogen auf die Menge der natürlichen Zahlen) ausmacht.

3. Motive für die Auswahl des Diagnose- und Förderkonzepts und Bezug zum Lehrplan

In meiner Arbeit erfolgte die Ermittlung der Lernvoraussetzungen und die Förderung nach dem struktur- und niveauorientierten Konzept von Kutzer.^[17] Die Verwendung der Materialien nach Kutzer sowohl in der Diagnostik als auch in der Förderung ist für die Arbeit an einer Schule für Praktisch Bildbare besonders geeignet, da durch die Strukturierung und kleinschrittige Vorgehensweise in dieser Konzeption die Förderung sehr genau auf die kognitiven Voraussetzungen der SchülerInnen abgestimmt werden kann. Kutzer betont die Notwendigkeit der Ermittlung des aktuellen Lernstands, um didaktischen Fehlentscheidungen bezüglich nachfolgender Lernschritte vorzubeugen. Um eine systematische Förderung durchzuführen, muss die „Zone der nächsten Entwicklung“^[18] klar erkannt sein.^[19]

Viele Unterrichtswerke der Regelschule für den Anfangsunterricht in Mathematik (z.B. Welt der Zahl 1, Das Mathebuch 1) konzentrieren sich zu wenig auf die Lernvoraussetzungen, die die SchülerInnen mitbringen. Der Bereich Pränumerik wird meist sehr schnell in den ersten Unterrichtsstunden abgehandelt und der Gebrauch der Ziffer als Symbol für eine Menge setzt häufig ein, ohne dass der Zahlbegriffserwerb abgeschlossen ist.^[20] Daher bieten diese Unterrichtswerke nur wenige Fördermaterialien, die für SchülerInnen mit einer Beeinträchtigung der geistigen Entwicklung geeignet sind.

Ein interessanter Ansatz ist das Projekt „Mathe 2000“ nach Wittmann und Müller – „ein alternativer Ansatz zur Förderung „rechenschwacher“ Kinder“.^[21] Bei dieser Herangehensweise kommt der Fehleranalyse eine große Bedeutung zu. Eine weitere Vertreterin dieser Richtung ist Scherer, die ein entdeckendes Lernen an Schulen für Lernbehinderte erprobt hat. Sie betont unter anderem, wie auch bei Kutzer aufgezeigt, die Notwendigkeit der Erhebung der Vorkenntnisse der SchülerInnen.^[22] In diesem Zusammenhang führt sie an, dass „[g]enerell [...] bei einem Personenkreis mit Lernbeeinträchtigung die stärkere Berücksichtigung der Lernausgangslage für wesentlich erachtet [wird], [...] [u]m sowohl Über- als auch Unterforderung zu vermeiden [...].^[23] Obwohl Scherer, Wittmann und Müller in ihrer Sichtweise Kutzer ähnlich sind, findet der Bereich der Pränumerik in ihrer Arbeit keine ausreichende Berücksichtigung. Bereits „das kleine Zahlenbuch“ für 4 bis 7jährige Kinder nach Wittmann und Müller geht nicht so kleinschrittig vor, wie es für SchülerInnen mit einer geistigen Behinderung notwendig wäre, sondern befasst sich vorwiegend mit der Zahlebene. Auch das „Zahlenbuch 1“ legt nicht die Notwendigkeit auf die Sicherung der Zahlenfolge bis 10, sondern geht zügig in den Zahlenbereich bis 20 über. Gerade aus dem pränumerischen Bereich können aber wichtige Bezüge zum Alltagshandeln gewonnen werden. Deshalb habe ich mich in der Auswahl der Fördermaterialien vorwiegend auf Kutzer beschränkt.

[...]

^[1] Vgl. Vries, C. de (2006): Mathematik an der Schule für Geistigbehinderte. S. 9 f.

^[2] Wesentliche Einsichten, die laut Kutzer für einen sicheren Zahlbegriff vorhanden sein müssen werden unter Punkt 2.2 und Punkt 2.3 beschrieben.

^[3] Vgl. Kutzer (1998) : Mathematik entdecken und verstehen. Kommentarband 1.

^[4] Vries, C. de(2006): Mathematik an der Schule für Geistigbehinderte. S. 12.

^[5] Vgl. Zwack-Stier (2007): Diagnostik online. Einführung. Begriffsklärung in begründender Form.

^[6] Vgl. Vries, C. de(2006): Mathematik an der Schule für Geistigbehinderte. S. 11 ff.

^[7] Vgl. Zwack-Stier (2007): Diagnostik online. Einführung. Begriffsklärung in begründender Form.

^[8] Zwack-Stier (2007): Diagnostik online. Eigenschaften.

^[9] Vgl. Kutzer (1998): Kommentarband 1. S. 23.

^[10] Vgl. ebd. S. 25.

^[11] Zwack-Stier (2007): Diagnostik online. Einführung. Begriffsklärung in begründender Form.

^[12] Vgl. ebd.

^[13] Vgl. Kutzer (1998): Kommentarband 1. S. 33 f.

^[14] Vgl. ebd. S. 11 ff.

^[15] Vgl. ebd. S. 13.

^[16] Ebd.

^[17] Vgl. Kutzer (1998) : Kommentarband 1. Sowie Zwack-Stier (2007): Diagnostik online.

^[18] Der Ausdruck „Zone der nächsten Entwicklung geht zurück auf L.S. Wygotskis Theorien zur Entwicklung der Sprache und des Denkens (vgl. Wygotski (1964): Denken und Sprechen. S. 212 ff.). „Zone der nächsten Entwicklung“ bezeichnet den Bereich, in dem Problemlösung nicht mehr selbstständig, ohne Hilfe von außen möglich ist, sondern mögliche Entwicklungsstufen in gemeinsamer Arbeit unter Anleitung durch Außenstehende erreicht werden können. In diesem Entwicklungsbereich muss die Förderung ansetzen.

^[19] Vgl. Kutzer (1998): Kommentarband 1. S. 4 f.

^[20] Diese Erfahrung konnte ich selbst im Rahmen meiner Examensarbeit zur Ersten Staatsprüfung machen, in der ich unter anderem Unterrichtswerke für Erstklässler im Hinblick auf deren Beitrag zur Vermittlung des Zahlbegriffs untersucht haben.

^[21] vgl. Wittmann (online): Ein alternativer Ansatz zur Förderung „rechenschwacher“ Kinder.

^[22] Vgl. Scherer (1995): Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht der Schule für Lernbehinderte. S. 133 ff.

^[23] Vgl. ebd. S. 39.