Die mathematische Bestimmung von Funktionen. Wertetabellen und Funktionsgraphen

Inhalt

1 Vorwort und Prämissen

2 Bestimmung der Funktionsart

3 mathematische Bestimmung der Funktion
3.1 reelle Wurzel-, Potenz- und Kehrwertfunktionen (Verfahren I)
3.2 reelle Exponentialfunktionen (Verfahren II)
3.3 reelle Logarithmusfunktionen (Verfahren III)

4 Zusammenfassung der Verfahren

5 Beispiel zur Datenauswertung mithilfe des ersten Verfahren

6 Literaturverzeichnis

1 Vorwort und Prämissen

In den Naturwissenschaften wie z.B. der Physik oder der Chemie ist es oft erforderlich Mess­daten, die man z.B. durch die Auswertung von Experimenten erhält, mathematisch auszuwer­ten, um das Resultat des Experimentes mathematisch beschreiben zu können. Ein wichtiger Schritt dabei ist herauszufinden in welcher Abhängigkeit die einzelnen Parameter, die betrach­tet werden, zueinanderstehen so, ob eine Größe z.B. linear, quadratisch oder exponentiell ist.

Im linken Koordinatensystem sind vier Funktionen abgebildet. Es sind zu sehen eine lineare Funktion (grün), eine Wurzelfunktion (rot), eine kubische Funktion (orange) und eine Exponentialfunktion (violett).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die unterschiedlichen Funktionen sind in dieser Abbildung sehr einfach voneinander zu unter­scheiden. Je nach Qualität der zur Verfügung stehenden Daten kann die Unterscheidung aller­dings durchaus komplizierter sein. So kann es, bei ungenauen Daten, dazu kommen, dass es schwierig wird, verschiedene Funktionsarten voneinander zu unterscheiden z.B. eine Wurzel- von einer linearen Funktion.

Um z.B. experimentell bestimmte Messdaten nun mithilfe einer Funktion beschreiben zu kön­nen lassen sich die hier in diesem Paper beschriebenen Verfahren anwenden. Mithilfe dieser Verfahren lassen sich die Funktionsgleichungen, die aus verschiedenen Datensätzen resultie­ren, auf eine recht einfache Art und Weise bestimmen.

Um die hier beschriebenen Verfahren zur Bestimmung von Funktionsgleichungen anwenden zu können müssen die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein.

1. Die gesuchte Funktion muss zu einem der folgenden Funktionstypen zählen.

a) Potenz- und Wurzelfunktionen mit reellem Exponenten
b) Exponentialfunktionen mit positiver, reeller Basis ungleich Null
c) Logarithmusfunktionen mit positiver, reeller Basis ungleich Null

2. Die gesuchte Funktion darf keine Summe aus zwei oder mehr Funktionen von un­gleichem höchsten Exponenten sein.

2 Bestimmung der Funktionsart

Bevor damit begonnen werden kann eine Funktion mathematisch zu Bestimmen muss zunächst ermittelt werden in welche Kategorie jene Funktion einzuordnen ist, um das korrekte Verfahren zu wählen. Dabei kann man die unten dargestellte Tabelle zu Hilfe nehmen.

Anhand einiger Charakteristika der hier betrachteten Funktionen lässt sich der Typ jener Funk­tion recht einfach bestimmen. Mithilfe dieses Schemas lässt sich, vor allem auf der Grundlage von Graphen, sehr einfach die Funktionsart einer betrachteten Funktion bestimmen.

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Darüber hinaus können die verschiedenen Funktionsarten anhand eines weiteren eindeutigen Kriterium identifiziert werden, welches mit der Verdopplung des x-Wertes zu tun hat.

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- Verdoppelt man den x-Wert einer Potenzfunktion so verändert sich ihr Funkti-onswert stets in einem vom x-Wert unabhängigen, konstanten Faktor.

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— Verdoppelt man den x-Wert einer Exponentialfunktion so verändert sich ihr Funktionswert in einen vom x-Wert abhängigen Faktor.

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— Verdoppelt man den x-Wert bei einer Logarithmusfunktion so verändert sich ihr y-Wert in einem vom x-Wert abhängigen Faktor.

3.1 reelle Wurzel-, Potenz- und Kehrwertfunktionen (Verfahren I)

Diese Funktionsarten sind in sehr weit verbreitet, vor allem in Form von Geraden, Parabeln oder Kehrwertfunktionen, um die Funktionen eindeutig bestimmen zu kommen können die un­ten beschriebenen Gleichungen verwendet werden, um die Funktion auf Grundlage des Gra­phen bzw. der Wertetabelle zu bestimmen.

Zunächst gilt die allgemeine Form einer reellen Potenzfunktion.

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Aus einem Graphen oder einer Wertetabelle lassen sich direkt nur die Werte für x, f(x) und in der Regel c entnehmen somit sind die Werte für k und n unbekannt. Daher lassen sich diese Größen selbst durch Umstellen der Gleichung nicht herausfinden, da es zwar zwei Unbekannte jedoch nur eine Gleichung gibt.

Da der Exponent n sowie der Wert k bestimmt werden soll wird folgender Ansatz ge­wählt. Die Gleichung wird nach k umgestellt.

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Auch in dieser Form ist die Gleichung nicht lösbar, denn es muss eine zweite Gleichung erstellt werden. Dies wird folgendermaßen erzielt.

Dadurch, dass zu jedem Wert x, auf Basis der Variablen k und n, ein Funktionswert f(x) zugeordnet wird können mithilfe von verschiedenen Punkten in der Form P(xN|f(xN)) verschiedene Werte für x und f(x) gewählt werden, sofern sie beide aus derselben Funk­tion stammen. In beiden Fällen sind n und k identisch.

So ergeben sich:

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Diese beiden Gleichungen werden nun, wie der Ansatz besagt, jeweils nach dem Para­meter k umgestellt.

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Dadurch, dass die Variablen k und n konstant bleiben, können beide Gleichungen mit­einander gleichgesetzt werden, um die Variable k zu kürzen. Dadurch ergibt sich eine lösbare Gleichung.

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Durch Umstellen der Gleichung ergibt sich folgendes.

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Durch die Anwendung des 4. Potenzgesetzes auf der rechten Seite lässt sich der Aus­druck folgendermaßen schreiben.

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Nun wird auf beiden Seiten der Logarithmus angewendet. Die Basis ist dabei nicht von Relevanz solange beide Logarithmen dieselbe Basis haben. Hier wurde der dekadische Logarithmus (Basis 10) verwendet.

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Das 3. Logarithmusgesetz besagt, dass der Exponent n auf der linken Seite als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden kann. Dadurch wird das der Exponent, nach wel­chem umgestellt wird freigestellt.

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Im Folgenden wird nur noch durch den logarithmierten Quotienten aus x1 und x2 divi­diert, um die Gleichung nach n aufzulösen.

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Mithilfe des 2. Logarithmusgesetz kann die Gleichung wie Folgt geschrieben werden.

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Um zu guter Letzt nun den Parameter k zu berechnen kann die ursprüngliche Gleichung für f(x) nach k umgestellt werden und der durch die oben bestimmte Gleichung berech­nete Wert für n kann eingesetzt werden.

3.2 reelle Exponentialfunktionen (Verfahren II)

Exponentialfunktionen kommen häufig in Wachstums- und Zerfallsprozessen vor. Diese Funk­tionsart kann auf zwei verschiedenen Weisen dargestellt werden.

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Für die Herleitung der Basis z, wird im Folgenden die zweite Form verwendet.

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Es wird erneut damit begonnen die Gleichung nach der Variablen k umzustellen.

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In dieser Form ist die Gleichung aufgrund der zwei Unbekannten nicht lösbar. Daher wird, wie genau wie beim ersten Verfahren, eine zweite Gleichung erstellt. Dadurch, dass zu jedem Wert x, auf Basis der Variablen k und z, ein Funktionswert f(x) zugeord­net wird können verschiedene Werte für x gewählt werden.

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Da die Variablen k und z stets konstant bleiben können beide Gleichungen miteinander gleichgesetzt werden, um die Variable k zu kürzen so ergibt sich eine lösbare Gleichung.

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Die Gleichung wird so umgestellt, sodass z auf der rechten Seite steht.

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Wird die rechte Seite der Gleichung mithilfe des 2. Potenzgesetzes zusammengefasst so wird der Quotient in eine Differenz im Exponenten umgewandelt.

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Der natürliche Logarithmus von z ln(z) wird im Folgenden faktorisiert.

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Um die Zahl z aus dem Exponenten freizustellen, wird auf beiden Seiten der Gleichung der natürliche Logarithmus angewendet.

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Nach dem 3. Logarithmusgesetz kann der Exponent auf der linken Seite als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden kann. Da der natürliche Logarithmus der eulerschen Zahl e eins beträgt ist nur noch der Exponent von Bedeutung.

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Es wird durch die Differenz der beiden x-Werte dividiert und die Gleichung ist nach dem natürlichen Logarithmus von z aufgelöst.

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Nach dem 2. Logarithmusgesetz kann die obige Gleichung auch wie Folgt geschrieben werden.

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Je nach Anwendungsbereich ist ln(z), als Wachstums- bzw. Zerfallskonstante bereits die Lösung. Wenn jedoch die Basis z gesucht ist, werden beide Seiten als Exponent der eulerschen Zahl e verwendet, um sie zu bestimmen.

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3.3 reelle Logarithmusfunktionen (Verfahren III)

Um die Basis einer Logarithmusfunktion zu bestimmen kann eine Abwandlung des zweiten Verfahren, zur Bestimmung der Basis einer Exponentialfunktion, verwendet werden.

Dazu wird zunächst die sogenannte Umkehrfunktion gesucht. Dazu werden die x- und y-Werte einer Wertetabelle vertauscht.

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Wenn die Funktion in Form eines Graphen gegeben ist, kann die Umkehrfunktion (vio­lett) bestimmt werden, indem der Graph (grün) an der sogenannten Winkelhalbieren­den (orange) gespiegelt wird.

Dazu misst man die Entfernung der Punkte, die sich auf der ursprünglichen Funktion be­finden, welche auf einer orthogonalen Ge­rade auf der Winkelhalbierenden stehen und überträgt diese Entfernung auf die andere Seite der Winkelhalbierenden.

Dadurch wird die Logarithmusfunktion in eine Exponentialfunktion umgewandelt, was die Be­rechnung der Basis mit dem in Kapitel 3.2 beschriebenen Verfahren ermöglicht.

Allgemein gilt nun analog zu Verfahren II für die Basis z.

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Wie bei den anderen Verfahren kann der Faktor k ebenso hier bestimmt werden.

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4 Zusammenfassung der Verfahren

Alle oben im Detail hergeleiteten Verfahren werden nun kurz zusammengefasst.

1. reelle Wurzel-, Potenz- und Kehrwertfunktionen

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2. reelle Exponentialfunktionen

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3. reelle Logarithmusfunktionen

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5 Beispiel zur Datenauswertung mithilfe des ersten Verfahren

Um die Vorgehensweise anschaulich darzustellen, wird hier mithilfe des ersten Verfahren exemplarisch gezeigt, wie verschiedene Datensätze ausgewertet werden können.

Am Anfang stehen hierbei simulierte Messdaten, welche hier in Form einer Tabelle und in Form eines Graphen vorliegen.

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Diese Daten wurden mithilfe von MS Excel erstellt. Dazu wurden Zufallszah­len auf die Funktionswerte einer Funktion addiert, um Messungenauigkeiten, wie sie in der Realität auftreten adäquat zu simulieren.

Dabei treten wie eben in der Realität sowohl Abweichungen nach oben als auch nach unten auf, welche sich einem Bereich von ±0,25 befinden. Einzig beim Wert x=0 wurde dieser Fehler nicht simuliert, da es sehr häufig vor­kommt, dass Funktionen, die bei der Auswertung von Messdaten vorkommen, unbestreitbar im Ursprung starten.

Schritt 1: Bestimmung der Funktionsart

Graphisch kann man bereits aus einigen Charakteristika der Funktion schlussfolgern, dass es sich um eine Potenz- oder eine Wurzelfunktion handelt. Dazu zählt, dass die Funktion sowohl die x- als auch die y- Achse schneidet und sie einen endlichen Wert (Null) bei x=0 aufweist. Darüber hinaus lässt sich bereits anhand des Graphenverlauf erkennen, dass es sich um eine Wurzelfunktion handeln muss.

Daraus lässt sich Schlussfolgern, dass das erste Verfahren, für Wurzel-, Potenz- und Kehrwertfunktionen hier zielbringend ist.

Schritt 2: Erstellung einer Tabelle und Interpretation der Ergebnisse

Vor allem bei gegebenen Wertetabellen ist es sinnvoll den berechneten Exponenten in einer Tabelle aufzutragen, um die Ergebnisse übersichtlicher darzustellen.

In dieser Tabelle ist gut zu erkennen, dass der Expo­nent, welcher in der Spalte n(x) dargestellt wird, nicht wie es bei einer idealen Funktion konstant ist. Diese „Sprünge“ werden durch die Messfehler her­vorgerufen.

Der Mittelwert aller Messergebnisse ist aufgrund der Abweichungen sowohl nach oben als auch nach un­ten eine zuverlässige Größe für Aussage über den Wert des Exponenten.

Der Wert von 0,54 für den Exponenten lässt sich, wenn er auf 0,5 abgerundet wird als Wurzelfunktion interpretieren.

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Je nach Qualität der Messwerte kann es sinnvoll sein mehr oder weniger stark zu runden, um die Messfeh­ler zu kompensieren. In diesem Beispiel wird ein Fehler F von 8% akzeptiert.

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Aufgrund dessen, dass die Messwerte Abweichun­gen in einem Bereich von 0% - 10,7% zu einer tat­sächlichen Quadratwurzelfunktion beinhalteten sind diese 8% Abweichung akzeptabel.

Bei der Funktion handelt es sich um eine Quadratwurzelfunktion

6 Literaturverzeichnis

In diesem Paper wurden einzig und allein die hier dargelegten Quellen verwendet.

Ernst Klett Verlag; Hans-Jerg Dorn, Dr. Tilo Fischer, Hans Fredigmann, et al.; Tafelwerk, Stuttgart 2009

DUDEN PAETTEC Schulbuchverlag; Dr. Hubert Bossek, Dr. Lutz Engelsmann, Dr. habil. Günter Fanghänel, et al.; Tafelwerk; Berlin • Mannheim 2003

Klemens Fersch; Formelsammlung Mathematik; 01.07.2020 https://www.fersch.de/pdfdoc/Mathematik.pdf

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