Unterrichtsstunde Flächeninhalt: Indirekter Vergleich von Flächen bei zusammengesetzten Figuren

1. Bemerkungen zur Lerngruppe und zur Unterrichtssituation

1.1 Eigenarten der Lerngruppe

Die Klasse 4a unterrichte ich seit Januar 2007 eigenverantwortlich im Fach Mathematik. Die Lerngruppe ist phasenweise sehr lebhaft, Gesprächsregeln werden oft nicht eingehalten und müssen weiter geübt werden. Gleichzeitig zeichnet sich die Klasse durch eine hohe Arbeitsmotivation aus; die Bereitschaft zur mündlichen Beteiligung ist bei vielen Schülerinnen und Schülern ausgesprochen hoch. Phasen der Stillarbeit werden in der Regel zum konzentrierten Arbeiten genutzt. Die häufig auftretende Unruhe in der Klasse wird durch zwei Rituale begrenzt: Schülerinnen und Schüler, die gegen Gesprächsregeln verstoßen, werden mit ihrem Namen und einem Blitz als Symbol an die Tafel geschrieben. Bei einer zweiten Störung wird ein zweiter Blitz angemalt und eine Zusatzaufgabe erteilt. Positives Verhalten der Klasse wird durch einen Klebestern belohnt; für eine bestimmte Anzahl Sterne erfolgt durch die Klassenlehrerin eine Belohnung (Spiel, Hausaufgabenerlass, ...).

Das Verhältnis zwischen Lehrer und Klasse ist positiv und zugewandt. Nicht zuletzt durch die Begleitung einer Klassenfahrt im September wurde ein vertrauensvolles Verhältnis aufgebaut.

In der Lerngruppe treten selten soziale Konflikte auf, diese lassen sich in der Regel durch ein kurzes Gespräch schnell lösen. XXXX fällt besonders in Phasen der Gruppen- und Partnerarbeit (vgl. 4) durch eine schnelle Frustration bei sozialen Konflikten auf. Er zeigt dann häufig Wutreaktionen und Rückzugstendenzen. In der Regel kann er nach einigen Minuten der Beruhigung wieder an der Gruppenarbeit teilnehmen, in Extremfällen gestatte ich ihm auch ein Weiterarbeiten in Einzelarbeit.

Bei XXXX wurde eine Medikation wegen Aufmerksamkeitsdefiziten vor ca. drei Wochen eingestellt. Ihm wird für eine Übergangsphase ein höheres Maß an motorischer Unruhe zugebilligt.

Ein Mädchen der Lerngruppe war wegen einer Missbrauchssituation in therapeutischer Behandlung, sie fällt häufig durch starke Aufmerksamkeitsprobleme und gesteigerte motorische Unruhe auf. In der Regel ist sie aber motiviert am Unterrichtsgeschehen beteiligt. Bei ihr werden Sanktionen wegen störenden Verhaltens weniger streng angewandt.

Die Grundeinstellung zum Fach Mathematik ist bei den meisten Schülerinnen und Schülern positiv. Im Laufe des letzten Jahres hat sich zunehmend die Bereitschaft, an problemlösenden Fragestellungen aktiv mitzuwirken, entwickelt.

1.2. Lernverhalten und Leistungsvermögen

Trotz einer allgemein sehr hohen Lernbereitschaft sind die Leistungen im Fach Mathematik in der Lerngruppe sehr heterogen. Einige Schülerinnen und Schüler (XXXX) zeichnen sich durch eine schnelle Auffassungsgabe aus, sie verfügen über eine große fachliche Sicherheit in fast allen Inhaltsbereichen und können Problemstellungen eigenständig und zügig bearbeiten. Unterstützung brauchen sie häufig noch beim Verbalisieren ihrer Ergebnisse.

Bei vielen Schülerinnen und Schülern (z.B. XXXX) ist eine große Bereitschaft und befriedigende bis gute Leistung in der Bearbeitung von schriftlichen Aufgaben vorhanden. XXXX brauchen häufig Hilfe bei der Erfassung von Arbeitsaufträgen und individuelle Unterstützung bei komplexen Anforderungen. Für sie werden häufig differenzierte Übungsangebote bereitgestellt (vgl. 3.5). XXXX ist wegen einer diagnostizierten Rechenschwäche in lerntherapeutischer Behandlung, darüber hinaus ist sie wegen Aufmerksamkeitsdefiziten medikamentiert.

1.3. Fachspezifische Lernausgangslage

Mit den Schülerinnen und Schülern wurde in den vorhergehenden Stunden zunächst ein direkter Flächenvergleich durchgeführt. Eine Zerlegung von Flächen wurde dabei noch nicht vorgenommen.

Über die Parkettierung von Flächen mit Quadraten, Dreiecken und L-förmigen Figuren wurde ein quantitativer Flächenvergleich erarbeitet. Die klasseninterne Maßeinheit 1 Q wurde eingeführt und die Flächeninhaltsbestimmung an Rechtecken und L-förmigen Figuren geübt.

Bruchzahlen sind den Schülerinnen und Schülern aus dem Umgang mit den Größenbereichen Gewicht und Volumen bekannt (11 ¾ kg =…), Rechenoperationen damit wurden jedoch nicht ausgeführt. Aus diesem Grund sollen in der Unterrichtsstunde nur Flächen mit ganzzahlig bestimmbaren Flächeninhalten betrachtet werden.

2. Zur Sachstruktur des Lerngegenstandes

Flächeninhalte von Polygonen werden „als relle Maßfunktion“ (Krauter 2005, S. 103) innerhalb einer Ebene definiert: In der Menge R2 aller Punkte der rellen Ebene wird eine Funktion F definiert, „die jedem Polygon einen reellen Zahlenwert zuweist“ (ebd, S. 103). Dabei müssen folgende Kriterien erfüllt sein:

- Nichtnegativität: Für jedes Polygon A gilt F(A) ≥ 0
- Verträglichkeit mit der Kongruenz: Für alle Polygone A,B gilt: wenn A kongruent zu B ist, dann ist F(A)= F(B)
- Additivität: Für alle Polygone A,B gilt: Wenn A und B keine inneren Punkte gemeinsam haben, dann soll gelten: F(A ∪B) = F(A) + F(B)
- Normierung: Für das Einheitsquadrat E soll gelten. F(E) = 1 (ebd., S. 103)
Zwei Flächen haben dann denselben Flächeninhalt, wenn sie
- deckungsgleich (d.h. sie können so übereinandergelegt werden, dass sie sich gegenseitig genau abdecken),
- zerlegungsgleich (d.h. jede der Flächen kann in die selben Teilfiguren zerlegt oder als Umkehrung dazu aus den selben Teilfiguren zusammengesetzt werden)
- oder auslegungsgleich (d.h. jede der Figuren kann lückenlos und ohne Überlappung mit der gleichen Anzahl von Einheitsflächen ausgelegt werden) sind. (vgl. Franke 2007, S. 268)

Der Flächeninhalt von Rechtecken mit ganzzahligen Seitenlängen lässt sich aus den Prinzipien der Additivität und der Normierung (s.o.) herleiten: „Ist x die Länge des Rechtecks, so passen x Quadrate in eine Reihe und ist y die Breite des Rechtecks, so passen y dieser Reihen auf die Rechtecksfläche. Man erhält daher F(Rechteck)= x  y“ (Krauter 2005, S. 105).

Zur Bestimmung des Flächeninhalts zusammengesetzter Figuren – hier verstanden als Figuren, die in die Teilfiguren Rechteck und Dreieck zerlegbar sind – kann die Strategie des Zerlegens und Ergänzens angewendet werden. Der Flächeninhalt kann nach dem Prinzip der Additivität (s.o) über eine Zerlegung und die Berechnung der Teilflächen geschehen, wenn dafür Formeln zur Verfügung stehen. Die zerlegten Figuren können jedoch auch so wieder zusammengefügt werden, so dass entweder ein direkter Vergleich möglich ist oder ein indirekter Vergleich über eine Einheitsgröße möglich wird (vgl. Radatz et al. 1999, S. 153).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Strategie des Zerlegens und Ergänzens gewinnt ihre besondere Bedeutsamkeit aus Anwendungen bei Beweisverfahren: Die Formel für den Flächeninhalt für ein Parallelogramm beispielsweise wird in der Regel durch die Zerlegung und Ergänzung zu einem flächengleichen Rechteck hergeleitet (Abb. Deissler 2005, S. 8):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks wird oft auf die Ergänzung zu einem Parallelogramm zurückgeführt (vgl. z.B. Krauter 2005, S. 106). Auch für Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras gibt es Zerlegungsbeweise (Abb. Deissler 2005, S. 12):

3. Zu den Ziel- / Inhaltsentscheidungen

3.1 Themenwahl

„Vom Mathematikunterricht der weiterführenden Schulen ist bekannt, dass Kinder Schwierigkeiten mit der Flächenberechnung haben, da das Vorwissen zum Flächeninhalt nicht genug gesichert wurde. In den höheren Klassen werden häufig Flächen komplexerer Figuren behandelt, bei deren Berechnung es notwendig ist, dass diese Flächen in Teilfiguren zerlegt werden bzw. eine Vergleichsgröße gewählt wird, deren Flächeninhalte leicht zu berechnen sind“ (Radatz et al. 1999, S. 152f).

Das niedersächsische „Kerncurriculum für die Grundschule Mathematik“ formuliert als erwartete Kompetenz am Ende des Schuljahrganges 4 für den inhaltsbezogenen Kompetenzbereich „Raum und Form“ das Ermitteln und Vergleichen von Flächeninhalten durch Zerlegen und durch Auslegen mit Einheitsflächen (vgl. Niedersächsisches Kultusministerium 2006, S. 27). Ein quantitativer Vergleich von Flächen findet demnach nicht auf der Grundlage von Formeln sondern durch das Auslegen mit Flächen einer Einheitsgröße statt (vgl. auch Franke 2007, S. 267). Der schuleigene Arbeitsplan der Grundschule Fleestedt ordnet diese Inhalte dem 4. Schuljahr zu (Grundschule Fleestedt 2007). Aufgaben zu dieser Thematik werden durch das verwendete Schulbuch ´Welt der Zahl´ als Flächeninhaltsbestimmungen von Gartengrundstücken vorgeschlagen (vgl. Rinkens & Höhnisch 1999, S. 62f). Dabei sind die Flächen aus Einheitsquadraten und diagonal halbierten Quadraten zusammengesetzt. Diese Auswahl von Flächen (die letztlich eine rein zählende Vorgehensweise bei der Flächeninhaltsbestimmung ermöglicht) findet sich in vielen Schulbüchern und Aufgabensammlungen (z.B. Kunert 2003) wieder. Darüber hinaus gibt es Aufgabenstellungen, bei denen eine komplexe Zerlegungsstrategie angewendet werden muss (z.B. Keller 2002, Klunter & Raudies 2006, Radatz & Rickmeyer 1991, S. 74).

Die besondere Bedeutsamkeit der Strategie des Zerlegens und Ergänzens wurde in Abschnitt 2 begründet. Im Sinne des Spiralprinzips (vgl. Krauthausen & Scherer, S. 128; Wittmann 1997, S. 84) soll also das Prinzip der Zerlegung und Ergänzung von Flächen exemplarisch entwickelt und für einen quantitativen Flächenvergleich nutzbar gemacht werden.

Auch wenn Grundschüler in der Regel zunächst keine „mathematische Vorstellung vom Flächenbegriff oder dem Terminus ´Flächeninhalt´ haben“ (Radatz et al. 1998, S. 141, vgl. auch Franke 2007, S. 267), so ist doch von spezifischen Vorerfahrungen mit der Größe von Flächen – z.B. bei der Feldgröße beim Fußballspielen oder dem Materialverbrauch beim Basteln - auszugehen. Die Zugänglichkeit der Thematik wird zusätzlich durch die für die Kinder bedeutsame Größe der Fläche von Kinderzimmern hergestellt. Die Operationen des Zerlegens und Zusammensetzens von Figuren sind einigen Kindern unter qualitativem Aspekt beispielsweise aus dem Tangram-Spiel bekannt, unter quantitativem Aspekt eventuell aus der gerechten Zerteilung von Kuchenstücken oder vom Basteln.

Der Zugang zur Zerlegung von Flächen soll dabei für die Schülerinnen und Schüler in einem aktiv-entdeckenden Prozess (vgl. Krauthausen & Scherer 2006, S. 103) in einer ´herausfordernden Situation´ (Franke 2007, S. 20) erarbeitet werden. Damit wird die prozessbezogene Kompetenz des Problemlösens (vgl. Niedersächsisches Kultusministerium 2006, S. 18) gefördert. Um eine Lösung der Aufgaben insbesondere für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler zu ermöglichen, können die Operationen des Zerlegens und Ergänzens zunächst in einem enaktiven Modus (vgl. Krauthasen & Scherer 2006, S. 224) durch die Arbeit mit Papiermodellen und einer Schere durchgeführt werden. Zunehmend können Zeichnungen, Färbungen und Verbalisierungen zu einer Durchführung der Operationen in der Vorstellung führen.

3.2 Themenbezogene Zielsetzung

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen in der Unterrichtsstunde den Flächeninhalt von zusammengesetzten Figuren. Dabei zerlegen sie die gegebenen Figuren handelnd im Modell, zeichnerisch oder in der Vorstellung in geeignete Teilfiguren und setzen diese so zusammen, dass eine Bestimmung der Anzahl von Einheitsquadraten möglich wird.

3.3 Didaktische Reduktion

In der Unterrichtsstunde werden im Sinne einer strukturellen didaktischen Reduktion nur Flächen untersucht, die aus Rechtecken und Dreiecken zusammengesetzt sind und sich durch einfache Zerlegungen in mit der Einheitsgröße 1 Q auslegbare Flächen überführen lassen.

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