Analyse, Bewertung und Interpretation von impliziten Optionen im Kreditgeschäft

Inhaltsverzeichnis

ABBILDUNGS-/ TABELLEN-/ FORMELVERZEICHNIS

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS

1. EINLEITUNG
1.1 PROBLEMSTELLUNG
1.2 VORGEHENSWEISE UND ZIELSETZUNG
1.3 THEMENABGRENZUNG

2. IMPLIZITE OPTIONEN
2.1 DEFINITIONEN
2.2 CHARAKTER VON IMPLIZITEN OPTIONEN
2.2.1 Differenzierung nach der Abhängigkeit von Marktpreisen
2.2.2 Differenzierung nach der Art des Ausübungsverhaltens
2.3 IMPLIZITE OPTIONEN IM KREDITGESCHÄFT
2.3.1 Das Bewertungsmodell
2.3.2 Sondertilgungsrechten bei Festzinsdarlehen
2.3.2.1 Vorbemerkungen und Prämissen
2.3.2.2 Einmalige vollständige Sondertilgungsrechte zu einem fest fixierten Zeitpunkt mittels europäischer Ausübung
2.3.2.3 Einmalige vollständige Sondertilgungsrechte zu einem beliebigen
Zeitpunkt mittels amerikanischer Ausübung
2.3.2.4 Jährliche Sondertilgungsrechte mittels europäischer Ausübung
2.3.2.5 Jährliche Sondertilgungsrechte mittels amerikanischer Ausübung
2.3.2.6 Sondertilgungsrecht – So sieht die Praxis aus
2.3.3 Angebotsoptionen im Darlehensgeschäft
2.3.3.1 Vorbemerkungen
2.3.3.2 Lösungsansatz und Übertragung in die Praxis
2.3.3.3 Kritische Würdigung und Schlussfolgerung
2.3.4 Nichtabnahme bzw. verspätete Abnahme des Darlehens durch den Kunden
2.3.4.1 Nichtabnahmeentschädigung
2.3.4.2 Verlängerung der Bereitstellungszeit
2.3.5 Bewertung von einseitigen Kündigungsklauseln bei Festzinsdarlehen
2.3.5.1 Vorbemerkungen
2.3.5.2 Kündigungsrechte durch den Darlehensnehmer
2.3.6 Tilgungskorridore bei Festzinsdarlehen
2.3.7 Bereitstellung einer Finanzierungsreserve
2.3.8. Berücksichtigung von Veränderungen des Credit Spreads
2.3.9 Verlängerungsoptionen beim Ablauf von Festzinsdarlehen
2.3.10 Implizite Optionen bei variablen Darlehen

3. SCHLUSSFOLGERUNG UND FAZIT

ANLAGEVERZEICHNIS

LITERATURVERZEICHNIS

Abbildungs-/ Tabellen-/ Formelverzeichnis

TABELLE 2.1 RENDITE- UND ZEROSTRUKTUR DER ÖFFENTLICHEN PFANDBRIEFE UND HYPOTHEKENPFANDBRIEFE VOM 15.01.2009

FORMEL 2.1 BEWERTUNG EINER EUROPÄISCHEN RECEIVER- SWAPTION MIT DEM MODELL BLACK-76

TABELLE 2.2 FAIR VALUE DES JÄHRLICHEN SONDERTILGUNGSRECHT IN HÖHE VON 10% DER DARLEHENSSUMME BEI EUROPÄISCHER AUSÜBUNG

TABELLE 2.3 FAIR VALUE DES JÄHRLICHEN SONDERTILGUNGSRECHTS IN HÖHE VON 10% DER DARLEHENSSUMME BEI AMERIKANISCHER AUSÜBUNG

TABELLE 2.4 ZUSAMMENFASSUNG DER FAIREN WERTE FÜR SONDERTILGUNGSRECHT IN THEORIE UND DEREN BEHANDLUNG IN DER PRAXIS

FORMEL 2.2 BEWERTUNG EINER EUROPÄISCHEN PAYER- SWAPTION MIT DEM MODELL BLACK-76

ABBILDUNG 2.1 FALLUNTERSUCHUNG BEI DER ANGEBOTSABGABE ZUR BEPREISUNG IMPLIZITER ANGEBOTSOPTIONEN

FORMEL 2.3 BERECHNUNG DES KUNDENZINSSATZES

TABELLE 2.5 BERECHNUNG DER IMPLIZITEN OPTION BEI NICHTABNAHME EINES REFINANZIERTEN DARLEHENS

ABBILDUNG 2.2: EINTEILUNG DER BEWERTUNG VON VERLÄNGERTEN BEREITSTELLUNGSOPTIONEN

ABBILDUNG 2.3 BEWERTUNG VON BONITÄTSVERÄNDERUNGEN MITTELS CREDIT DEFAULT SWAP

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

1.1 Problemstellung

„An irgendeinem Punkt muss man den Sprung ins Ungewisse wagen. Erstens, weil selbst die richtige Entscheidung falsch ist, wenn sie zu spät erfolgt. Zweitens, weil es in den meisten Fällen so etwas wie eine Gewissheit gar nicht gibt.“¹ Nicht erst seit Lee Iacoccas Aussage ist bekannt, dass das Leben voller Entscheidungen ist. Allzu oft wird diese Weisheit auch als letzt mögliche Begründung herangeführt, falls der Entscheider alle Alternativen gleich bewertet, jedoch über den Ausgang seiner Entscheidung – noch – im Nebel stochert.

Im Bankbereich spielt die Finanzierungsentscheidung im Verhältnis von Darlehensnehmer zu Darlehensgeber eine elementare Rolle. Während auf der einen Seite das Kreditinstitut die Refinanzierung, die Einstufung der Kundenbonität und den Gewinnbeitrag festlegt, entscheidet auf der anderen Seite der Darlehensnehmer über die Finanzierungshöhe, die Art und Weise der Rückzahlung sowie die Absicherung seines Zinsänderungsrisikos.² In der Vergangenheit wurde der Kunde bei seiner Entscheidung allzu oft allein gelassen. Doch der intensivere Wettbewerb um bonitätsstarke Kunden mit hohem Potenzial stellt auch das Produktmanagement von Kreditinstituten vor neue Herausforderungen. Die bislang starren Darlehensprodukte bspw. im Bereich der privaten Baufinanzierung und/ oder bei gewerblichen Investitionen werden zunehmend flexibler gestaltet. Eine Vielzahl variabler Parameter wie Sondertilgungsmöglichkeiten, flexible Tilgungskorridore, Verlängerung der Bereitstellungszeit oder Angebotsbindungen stellen nur eine kleine Selektion an möglichen Optionen dar, die den Darlehensnehmer zum flexiblen Aufbau seiner Finanzierung offen stehen. Die Möglichkeit des Kunden, sich im Vorfeld nicht festlegen zu müssen, sondern die Entscheidung an die kommenden Marktgegebenheiten anzupassen, widerlegt die Aussage von Iacocca. Zwar ist durch die Verlagerung der Entscheidung in die Zukunft noch keine Gewissheit erreicht, dennoch bietet die Flexibilität, die mittels Optionen erzielt wird, der Bank einen Wettbewerbsvorsprung in einer hart umkämpften Branche.

Die wissenschaftliche Lehre zeigt jedoch, dass eine höhere Produktflexibilität mit höheren Preisen verbunden ist, da aufgrund der fehlenden Standardisierung höhere Prozess-Transaktions- Überwachungs- und Bearbeitungskosten auftreten. Übertrag auf das Kreditgeschäft stellen alle variablem Parameter innerhalb der vorvertraglichen bzw. vertraglichen Darlehensvereinbarung implizite Optionen dar, die in der Kreditkalkulation berücksichtigt werden müssen.

Ferner offenbart die Praxis, dass Darlehensverträge oft mit Optionen ausgestaltet sind, die weder von Kunden noch von der Bank als solche wahrgenommen werden. Falls sie jedoch erkannt werden, erfolgt aufgrund fehlender bzw. unzureichender Bewertung lediglich eine pauschal Bepreisung. Eine zu geringe Betrachtung von impliziten Optionen führt auf Seiten des Kreditinstituts zu einer falschen bzw. ungenauen Preiskalkulation. Zudem besteht die Gefahr, dass implizite Optionspreise die einzelbezogene Produktkalkulation in erheblichem Umfang beeinflussen. Dieser Einfluss auf den jeweiligen Produktpreis wird im Rahmen dieser Arbeit theoretisch untersucht, den vorherrschenden Lösungen der Praxis gegenübergestellt und ggf. Bewertungs- und Implementierungsmethoden aufgezeigt.

1.2 Vorgehensweise und Zielsetzung

Im Kapitel 2 wird zunächst der Begriff der impliziten Option definiert und im Anschluss auf das Kreditgeschäft übertragen. Im nächsten Schritt werden die einzelnen im Kreditgeschäft enthaltenen Optionen identifizieren und analysiert. Der zentrale Bestandteil und gleichzeitig die Zielsetzung bilden die Gegenüberstellung der wissenschaftlich theoretischen Bewertung impliziter Optionen und deren bisherige Behandlung in der Praxis. Die Differenzen aus theoretischem und praktischem Ansatz werden kritisch diskutiert und mögliche Lösungswege aufgezeigt. Im Ergebnis soll eine stärkere Sensibilisierung hinsichtlich der Zinskalkulation unter Berücksichtigung von impliziten Optionen erreicht werden.

Die Arbeit richtet sich insbesondere an wissenschaftliche interessierte Leser aus der Bank-und Finanzbranche. Innerhalb des Kreditgewerbes werden speziell die exekutiven Organe der Funktionsbereiche Unternehmenssteuerung, Controlling und Produktmanagement angesprochen.

1.3 Themenabgrenzung

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich ausschließlich mit impliziten Optionen in Darlehensprodukten von Kreditinstituten. Die Bewertung dieser Optionen erfolgt teilweise unter der Beihilfe des Marktinformationssystems Bloomberg, da die Berechnung von einigen komplexen Optionen den Rahmen dieser Studienarbeit sprengt. Hierzu wird auf die geeignete Fachliteratur verwiesen.³ Ferner wird betreffend der impliziten Optionen auf eine Sensitivitätsanalyse verzichtet. Im Mittelpunkt steht vielmehr der Vergleich der Bewertungs-ergebnisse mit der Praxis. Bei der Bewertung von impliziten Optionen in Passivprodukten, insb. Wachstumszertifikate wird auf geeignete Fachliteratur verwiesen.⁴ Die Berechungen erfolgen auf Basis aktueller Marktdaten in dem Programm Microsoft Excel Version 2003. Eine Haftung für Vollständigkeit und Richtigkeit kann nicht übernommen werden.

2. Implizite Optionen

2.1 Definitionen

Implizite Optionen im Kreditgeschäft sind i.d.R. Rechte, die der Darlehensnehmer gegen Zahlung einer Optionsprämie erwirbt und diese Rechte in der Zukunft ausübt, falls seine Erwartung eingetroffen ist. Das Chance- Risiko- Profil ist somit asymmetrisch zugunsten des Kunden verteilt. Die Bank als Darlehensgeber befindet sich damit zumeist in die Position des Stillhalters und trägt damit erhebliches Schadenspotenzial davon, wenn sie nicht rechtzeitig entgegensteuert.⁵

Der Teilbegriff „implizit“ stammt vom lateinischen Wort „implicite“ ab und wird von Wahrig-Burfeind als „ein- bzw. inbegriffen“ oder „etwas einschließen“ übersetzt.⁶ Im finanzwirt-schaftlichen Bereich versteht man unter „implizit“ diejenigen Parameter, die endogen im Gleichgewichtspreis inbegriffen sind und sich unter Kennung aller weiteren Preisfaktoren aus dem Marktpreis ableiten lassen. Beispielsweise lässt sich aus dem Marktpreis einer Call-Option unter Eingabe des Kassakurses, des Ausübungspreises, der Restlaufzeit sowie des risikolosen Zinssatzes, die im Marktpreis enthaltene implizite Volatilität des Basisobjektes berechnen.⁷

Der Begriff Option bezeichnet ein Recht, ein bestimmtes Gut (Basisobjekt) zu einem bestimmten Zeitpunkt (Europäische Option) oder während eines bestimmten Zeitraums (Amerikanische Option) zu einem bei Vertragsabschluss festgelegten Preis (Ausübungspreis) zu kaufen (Call) oder zu verkaufen (Put).⁸

2.2 Charakter von impliziten Optionen

2.2.1 Differenzierung nach der Abhängigkeit von Marktpreisen

Die Differenzierung nach der Abhängigkeit von Marktpreisen ist Grundlage, um diejenigen Optionen zu identifizieren, bei denen das Risikopotenzial aus der Veränderung eines Marktpreises besteht. Bei fristenkongruenter Refinanzierung hängt die Ausübung von impliziten Optionen von der Veränderung der Zinsstrukturkurve ab. Die Ausübung von impliziten Optionen stellen Eingriffe in den bereits refinanzierten Zahlungsstrom dar und können deshalb in Form einer Prämie bereits bei Vertragsabschluss berücksichtigt werden.

Im Weiteren sind davon Optionen zu unterscheiden, deren optionale Komponente nicht von der Änderung der Zinskurve abhängig ist, sondern durch die Veränderung der Schuldnerbonität beeinflusst wird. So stützt sich der optionale Bestandteil der Vertragsklausel zur Abtretung der Forderung i. R. des Forderungsverkaufs ausschließlich auf die Schuldnerbonität und vergleicht diese mit alternativen Refinanzierungsquellen.

2.2.2 Differenzierung nach der Art des Ausübungsverhaltens

Der Hintergrund für die Optionsausübung durch den Kunden bzw. den von ihm damit beabsichtigten Nutzen und das damit verfolgte Ziel der Ausübungsentscheidung stellt eine wesentliche Eigenschaft von impliziten Optionen im Kreditgeschäft dar. Grundsätzlich ist dabei zwischen rationalem und irrationalem Ausübungsverhalten zu differenzieren.

Eine rationale Ausübung liegt vor, wenn sich der Kunde bei seiner Entscheidung von der aktuellen Zinsstruktur leiten lässt bzw. nach seiner finanziellen Nutzensmaximierung handelt. Bspw. wird der Kunde die Option einer Sondertilgung dann wahrnehmen, wenn er sich aufgrund des gesunkenen Zinsniveaus einen zinsgünstigeren Kredit in Höhe der Sondertilgung beschaffen kann. Bei steigendem Zinsniveau würde der rationale Kunde von einer Sondertilgung des Darlehens absehen und freie Mittel in variabel verzinsliche Produkte (Geldmarkt Floater) anlegen. Die Handlung erfolgt stets rational nach den Gegebenheiten des Geld- und Kapitalmarkts.⁹

Bei irrationaler Ausübung richtet sich der Kunden nicht nach der aktuellen Marktzinsstruktur. Vielmehr entscheidet er aufgrund persönlicher Gründe und Motive über die Ausübung seines Optionsrechts. Im Falle der Sondertilgung ist bspw. die Zielssetzung eines 50- jährigen Kreditnehmers die Entschuldung des Wohnhauses bis zum Rentenalter mittels Sondertilgungen vorzunehmen.¹⁰ Ein Unternehmen könnte motiviert sein, eine zügige Amortisation eines Investitionsprojekts zu erreichen, um künftige Marktchancen frühzeitig zu nutzen. Unabhängig von der alternativen Anlage bei gestiegenem bzw. einer Umschuldung bei gefallenem Zinsniveau, erfolgt die Ausübung des Optionsrechts aus persönlichem Befinden bzw. der Ungewissheit über die künftige persönliche Situation. Häufig ist neben dem Ziel des raschen Schuldenabbaus, die Trägheit des Kunden, dessen Unkenntnis oder schlicht Willkür die Ursache für eine irrationale Optionsausübung. Die Bewertung dieser Rechte kann nur unter Einbezug der Vergangenheit und dessen Exploration auf die Zukunft erfolgen. Daher wird der Begriff irrationale Ausübung auch als statistische Ausübung bezeichnet.¹¹

Im Ergebnis besteht der entscheidende Unterschied zu finanzmarktwirtschaftlichen Optionen darin, dass implizite Optionen ganz oder teilweise nach irrationalem Verhalten ausgeübt werden können. Im Rahmen dieser Arbeit wird allerdings das Idealbild des Homo economicus verfolgt, da nur dann eine Bewertung mittels optionaler Produkt ermöglicht wird. Sofern die Werte von implizierten Optionen – und der damit verbundene Nutzen – den Optionsbeteiligten bekannt sind, wird von den Inhabern eine höhere Sensitivität in Bezug auf das rationelle Ausübungsverhalten angenommen.

2.3 Implizite Optionen im Kreditgeschäft

2.3.1 Das Bewertungsmodell

In der Wissenschaft werden mehrere Zinsstrukturmodelle zur Bewertung von Zinsoptionen diskutiert. Darunter finden die Modelle von Vasicek [1977]¹², Cox, Ingersoll u. Ross [1985]¹³, Hull White [1990]¹⁴ und Heath, Jarrow u. Morton [1990]¹⁵. All diese stetigen Zinsstrukturmodelle haben ihren Ursprung in der Differentialgleichung von Black und Scholes [1973]¹⁶ zur Bewertung von Aktienoptionen. Dabei wird die Swap- Rate als einzige Erklärungsvariable und damit als einziger Risikofaktor definiert. Bill [2006] greift in seinen Überlegungen zur Bewertung von Sondertilgungen auf das No- Arbitragemodell von Hull White zurück.¹⁷ Modellinhärent wird dabei unterstellt, dass die Forward- Rates stets in Richtung des langfristigen Mittelwerts tendiert bzw. zurückkehrt (Mean Reversion). Die genannten Zinsstrukturmodelle versuchen unter Annahme der Mean Reversion die gesamte Zinsstrukturkurve zu modellieren und zu kalibrieren. Dabei entsteht insb. der Nachteil, dass durch die Kalibrierung auf Basis der Zinsstrukturkurve prinzipiell unendlich viele Differentialgleichungen zu lösen sind.¹⁸

Das Modell von Black [1976]¹⁹ hat den Charme, dass aufgrund der Prämisse der logarithmierten Normalverteilung ein direkter Bezug zum Black- Scholes Modell hergestellt werden kann. Im Gleichgewichtsmodell bietet die geschlossene Formel von Black-76 eine einfache Möglichkeit die Bewertung von Zinsoptionen vorzunehmen. Neben der Anpassung der Zinssätze an die tatsächliche Zinsstruktur wird aufgrund der Verteilungsnahme auch die Volatilität der Zinsstruktur berücksichtigt. Als zentraler Nachteil stellt sich das Problem der „explodierenden“ Zinssätze des lognormalverteilten Modells heraus. Ferner können nicht alle Terminzinssätze unter dem gleichen arbitragefreien Wahrscheinlichkeitsmaß modelliert werden.²⁰ In der Praxis stellt sich jedoch heraus, dass das Black- Modell zur Bewertung von Zinsoptionen, seinen es Caps, Floors, Collars oder Swaption, eine hohe Akzeptanz unter den Marktteilnehmers besitzt.²¹ Aufgrund der praktischen Hypothese wird der Fokus im Weiteren auf das Black- Modell zur Bewertung von Zinsoptionen gerichtet. Die Ergebnisse aus dem Normalverteilungsmodell nach Black und dem No- Arbitragemodell nach Hull-White differieren lediglich im Hundertstelbereich. Dabei übersteigt der Wert nach Hull- White den Wert nach Blank bei sinkender Zinsvolatilität. Die Anwendung des Modells Black-76 ist vertretbar, da durch die geschlossene Formel ein ähnlich gutes Ergebnis wie bei der aufwendigen Modellierung der Zinsstrukturkurve erzielt wird.²²

Der geschlossene Ansatz von Black zählt zu den arbitragefreien Gleichgewichtsmodellen. Nach dieser Hypothese besitzen Zahlungsstrukturen mit gleichartigen Zahlungsströmen den gleichen Wert. Die Bewertung jeglicher Art von Zahlungsstruktur kann in die beiden elementaren Zahlungsströme einer Nullkuponanleihe und einer Option zerlegt werden.

Die effektiven Zahlungsströme eines Darlehens und der darin enthaltenen impliziten Optionen lassen sich im Duplikationsportfolio mittels gleichwertiger fiktiver Zahlungsströme nachbilden. In der Praxis werden Payer- und Receiver- Swaps sowie Payer- und Receiver-Swaptions im Wege der Duplizierung der Zahlungsströme des Darlehen und der impliziten Optionen verwendet. Analog Deutsch wird dabei die Normalverteilung der Zinsen angenommen.²³ Dies bedeutet, dass die Verdoppelung eines Zinssatzes die gleiche Wahrscheinlich besitzt wie dessen Halbierung. In der Realität ist dies in zweierlei Hinsicht kritisch zu prüfen. Einerseits müsste modelltheoretisch bei einem Zinsniveau von nahe null mit negativen Zinssätzen operiert werden. Andererseits signalisieren die vom Markt erwartenden Forwardzinssätze bei einer flachen Zinsstruktur einen konstanten Verlauf, der die Normalverteilungsprämisse nur teilweise rechtfertigt. Die modellinhärente Problematik kann durch den Einsatz eines kursbasierten Optionsmodells in den Griff bekommen werden. In der vorliegenden Arbeit wird dennoch das zinsbasierte Modell von Black zur Bewertung von Zinsoptionen verwendet, da deren Einsatz in der Praxis üblich ist.

Bei Swaps oder innerhalb Swapverträge werden Zinszahlungen (z. B. Festzins gegen variablen Zins) bezogen auf ein Nominalvolumen, zu vorher vereinbarten Zeitpunkten (Roll-Over- Terminen), über eine bestimmte Swaplaufzeit getauscht. Swaptions sind Swap-Optionen, die dem Erwerber gegen Zahlung einer Prämie das Recht einräumen, zu einem bestimmten Zeitpunkt (europäisch) oder innerhalb eines bestimmten Zeitraums (amerikanisch) in einen Swap einzusteigen. Swaps und Swaptions können wiederum in zinstragende und/ oder optionale Zahlungsströme zerlegt werden. Der Zahlungsstrom einer Payer- Swap/ Receiver- Swap kann durch eine Short- Position/ Long- Position einer festverzinslichen Anlage, aus der der feste Zins bezahlt/ empfangen wird, und eine Long-Position/ Short- Position einer Geldmarktanlage, aus der der variabel Zins empfangen/ bezahlt wird, nachgebildet werden. Der Swap besitzt eine feste Laufzeit, in der die Swap-Rate gegen den variablen Referenzzinssatz getauscht wird. Entspricht die bei Vertragabschluss festgelegt Swap- Rate dem aktuellen Marktzins, so ist der innere Wert des Swaps Null. Dies ist üblicherweise bei am Geld stehenden Plain Vanilla Payer- (Receiver-) Swaps der Fall, da sich hier die Summe der barwertig bezahlten (erhaltenen) Zahlungsströme und die Summe der barwertig erhaltenen (bezahlten) Zahlungsströme gegenseitig aufheben.²⁴

Sofern die Swaption am Fälligkeitstag einen inneren Wert aufweist, bestimmt der Erwerber, ob er in dem Swap physisch eintritt (physical settlement) oder ob im Rahmen des cash settlements eine Ausgleichszahlung in Höhe des Barwerts der Differenz von Marktwert des Swaps zur vereinbarten Swap Rate erfolgt.²⁵ Im Falle der Konstruktion über das Duplikationsportfolio kommt stets die Alternative des physical settlements in Betracht, da dem Zahlungsstrom aus dem Kundengeschäft der Zahlungsstrom aus dem Swap entgegensteht. Um zusätzliche Erträge aus der Zinsstrukturkurve zu schreiben, wird das Kreditinstitut i.d.R. langfristige Zahlungsverpflichtungen kurzfristige d.h. variabel refinanzieren. Der Strukturbeitrag trägt neben dem Konditionsbeitrag zum Zinsergebnis bei.

[...]

¹ Iacocca, I. (1985)

² keine Wahlmöglichkeit besteht bei Sanierungskrediten

³ Vgl. Warawko, C. (2006) bzw. Reitz, St., Schwarz, W. u. Martin, M. R .W. (2004)

⁴ Vgl. Bill, St. (2006) S. 61- 67

⁵ Vgl. Benz, M. (1997) S. 34- 37

⁶ Vgl. Wahring- Burfeind, R. (2004) S. 402

⁷ Vgl. Steinbrenner, H. P. (2001) S. 286- 287

⁸ Vgl. Steiner M. u. Bruns. Ch. (2002) S. 317ff.

⁹ Vgl. Goebel, R., Sievi, Ch. u. Schumacher, M. (1999) S. 88- 90

¹⁰ Vgl. Bill, St. u. Sievi, Ch. (2001) S. 408- 416

¹¹ Vgl. Paeßens, H., Schmitt, B., Beck, A., Sievi, Ch. (2006) S. 17- 26

¹² Vgl. Vasicek, O. (1977) S. 177- 188

¹³ Vgl. Cox, J. C., Ingersoll Jr., J. E. u. Ross, S. A. (1985) S. 385- 407

¹⁴ Vgl. Hull, J. und White, A. (1990) S. 573- 592

¹⁵ Vgl. Heath, D., Jarrow, R. u. Morton, A. (1990) S. 419- 440

¹⁶ Vgl. Deutsch, H. P. (2008) S. 85- 106

¹⁷ Vgl. Bill, St. (2006) S. 58- 60

¹⁸ Vgl. Rudolf, M. (2000): S. 188- 203

¹⁹ Vgl. Steinbrenner, H. P. (2000) S. 39- 43

²⁰ Vgl. Rudolf, M. (2000) S. 40- 67

²¹ Vgl. Rudolf, M. (2000) S. 195

²² Vgl. Bill, St. (2006) S. 58- 60

²³ Vgl. Deutsch, H.- P. (2008) S. 327- 331

²⁴ Vgl. Diwald, H. (1999) S. 316- 321

²⁵ Vgl. Dieckmann, S. (1998) S. 25- 31