Schwierigkeiten bei der Durchführung der Multiplikation und der Division

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung

2. Die Multiplikation und ihre Schwierigkeiten
2.1. Grundlagen der Multiplikation
2.2 Schwierige Aufgaben und typische Fehler bei der nicht- schriftlichen Multiplikation
2.2.1.Nullfehler
2.2.2. Fehler bei der Anwendung einer Primitivform
2.2.3. Perseverationsfehler
2.2.4. Fehler bei der Anwendung von Rechenstrategien
2.3. Schwierige Aufgaben und typische Fehler bei der schriftlichen Multiplikation
2.3.1. Nullfehler
2.3.1.1. Stellenwertbelegende Rolle der Null im 2. Faktor nicht beachtet
2.3.1.2. Einmaleinsfehler mit der Null im 1. oder 2. Faktor
2.3.2. Stellenwertfehler durch falsche Anordnung der Teilprodukte
2.3.3. Behalteziffern als zusätzliche Stelle im (Teil-) Produkt notiert
2.4. Schlussfolgerungen für die Erarbeitung der Multiplikation

3. Die Division und ihre Schwierigkeiten
3.1. Grundlagen der Division
3.2. Schwierige Aufgaben und typische Fehler bei der nicht- schriftlichen Division
3.2.1.Fehler bei der Division durch Null
3.2.2. Fehler bei der Anwendung einer Primitivform
3.2.3. Perseverationsfehler
3.2.4. Fehler bei der Anwendung von Rechenstrategien
3.2.5. Fehler bei der Division von reinen Zehnerzahlen
3.3 Schwierige Aufgaben und typische Fehler bei der schriftlichen Division
3.3.1. Nullfehler
3.3.1.1. Endnullfehler
3.3.1.2. Zwischennullfehler
3.3.2. Mehrmalige Division in derselben Stellenwertspalte
3.4. Schlussfolgerungen für die Erarbeitung der Division

4. Literaturverzeichnis

1. Einführung

Nimmt man den Sächsischen Lehrplan für das Unterrichtsfach Mathematik zur Hand und studiert die Aufteilung der verschiedenen Bereiche etwas näher, fällt auf, dass der Lernbereich der Arithmetik innerhalb dieses Faches den größten zeitlichen Anteil inne hat. Mit insgesamt 130 Stunden in vier Jahrgängen, kann man die Zahlenlehre durchaus als Mittelpunkt des mathematischen Beitrags zur allgemeinen Bildung bezeichnen. Der Erwerb grundlegenden arithmetischen Wissens soll die Kinder befähigen, „elementare Aufgaben aus ihrer Umwelt zu lösen“^[1].

Um dies zu ermöglichen, müssen die Schüler^[2] verschiedene Strategien, Erkenntnisse und Kontrollmethoden kennen lernen, und somit ein gesichertes Verständnis mathematischer Inhalte und deren Anwendungsmöglichkeiten entwickeln. Neben den bekannten Operationsverfahren der Addition und Subtraktion werden bereits in den Klassen 1 und 2 die ersten Grundlagen für die Durchführung der Multiplikation und Division erarbeitet. Die hierbei erworbene Kenntnis über die mündlichen Verfahren werden folgend in den Klassenstufen 3 und 4 dahingehend erweitert, dass auch die schriftlichen Rechenverfahren erlernt, verstanden und deren Umsetzung gesichert werden.

So spricht die Theorie.

Doch auf Grund verschiedenster Ursachen entstehen bei der Bearbeitung dieser Sachverhalte für viele Lernende Schwierigkeiten. Nur in seltenen Fällen beruhen diese Probleme auf Unachtsamkeit und Unsicherheiten seitens der Schüler oder auf allgemeinen Faktoren, wie Begabung und Motivation. Oftmals sind sie „das Ergebnis individueller, gedanklicher Überlegungen der einzelnen Schüler“^[3]. Für den Lehrer gilt es, diese Logik zu durchschauen und auf die richtigen Bahnen zu lenken.

Auf diesen Themenbereich der möglichen Problemfelder bei der Multiplikation und Division soll im Folgenden näher eingegangen, sowie deren mögliche Ursachen und allgemeine und spezielle Gegenmaßnahmen erörtert werden. Um typische Problembereiche der nicht- schriftlichen und schriftlichen Rechenoperationen möglichst genau herausarbeiten zu können, habe ich mich im Zuge meiner Hausarbeit dazu entschieden, diese weitestgehend getrennt voneinander zu bearbeiten.

2. Die Multiplikation und ihre Schwierigkeiten

2.1. Grundlagen der Multiplikation

Bereits ab der ersten Klasse werden in den Schulen die Grundlagen für das spätere mündliche Multiplizieren gelegt. Die Kinder sollen in die Lage versetzt werden, auf unterschiedliche Art und Weise, Aufgaben mit multiplikativem Charakter zu lösen, indem sie die Verfahren des Verdoppelns und der wiederholten Addition erlernen. Bereits in dieser Phase werden den Schülern die verschiedenen Aspekte der multiplikativen Verfahren anhand lebenspraktischer Beispiele näher gebracht – wenn auch noch nicht in vollendeter mathematisch- begrifflicher Form. Die erste Erarbeitung erfolgt im Rahmen eines ganzheitlichen– entdeckenden Lernens, auf welchem eine Systematisierung der einzelnen Malreihen aufbaut. So fordert der Lehrplan für die Klassenstufen 1 und 2 bereits das „Kennen der Multiplikation und Division“, was neben der Veranschaulichung der Rechenoperationen auch die Lösung bestimmter Aufgabentypen durch die Anwendung geeigneter Rechenstrategien impliziert. Die Grundaufgaben des Kleinen Einmaleins, das Zurückführen auf bekannte Aufgaben und Rechenoperationen, sowie das Beherrschen der Malfolgen der „2“, „5“ und „10“ sind nur einige Unterpunkte, die in diesem Zusammenhang genannt werden. Bereits in der 3. Klasse soll laut Lehrplanvorgaben das Wissen über die Multiplikation auf das Rechnen mit Sachverhalten im Zahlenraum bis 1000 übertragen werden. Neben den , in den vorangegangenen Klassenstufen erworbenen Fähigkeiten, sollen hierbei auch die Multiplikation mit Vielfachen von 10, sowie das Zerlegen des Faktors angewandt werden können. Alle Malfolgen des Kleinen Einmaleins sollen sicher beherrscht werden, sowie das schriftliche Verfahren der Multiplikation eingeführt werden. Innerhalb des 4. Schuljahres wird das Verfahren der schriftlichen Multiplikation vertieft und auf den erweiterten Zahlenraum angewandt.

Um diese umfangreichen Rechenoperationen verstehen und durchführen zu können, bedarf es bestimmter Vorkenntnisse seitens der Schüler. Sie müssen bereits für das Erlernen des Kleinen Einmaleins den Zahlenraum bis 100 sicher beherrschen, sowie den kardinalen und ordinalen Zahlenaspekt verinnerlicht haben. Für die Durchführung vereinfachender Rechenstrategien muss die fehlerfreie Anwendung des Distributiv-, des Kommutativ- und des Assoziativgesetzes, sowie der Addition und Subtraktion gefestigt sein. Auf diesem grundlegenden Verständnis und Können baut die Erarbeitung tieferer arithmetischer Kenntnisse auf. So stellen speziell das Kleine Einmaleins und die Kenntnis bezügliche des dezimalen Stellenwertsystems Voraussetzungen für multiplikative Aufgaben mit beliebig großen Zahlen dar und sind unerlässlich für die Durchführung der schriftlichen Multiplikation. Des Weiteren sollten die Schüler für das schriftliche Rechenverfahren bereits über eine sichere Kenntnis bezüglich der Multiplikation mit vollen Zehnern und Hunderten besitzen, sowie – zur Reduzierung möglicher Stellenwertfehler – das Überschlagsrechnen zur Ergebnissicherung beherrschen. Sind diese genannten Voraussetzungen nicht erfüllt, können sich bei der Rechnung Fehler einschleichen, welche es gilt rechtzeitig zu (er-) kennen und zu reduzieren.

2.2 Schwierige Aufgaben und typische Fehler bei der nicht- schriftlichen Multiplikation

Neben den, im folgenden Text näher ausgeführten Problemfeldern der nicht- schriftlichen Multiplikation, entstehen für die Schüler gehäuft Probleme bei speziellen Aufgaben des Kleinen Einmaleins, welche ich hier nur kurz benennen möchte.

So treten Multiplikationsaufgaben des Kleinen Einmaleins mit hohen Kombinationen zwischen 6 ∙ 6 und 9 ∙ 9 laut einer breit angelegten Untersuchung von Lörcher^[4] sehr häufig auf. Dies ist unter anderem auf die Zunahme von Zehnerüberschreitungen in diesen Bereichen zurückzuführen, welche weitaus fehleranfälliger sind, als die Rechnungen innerhalb eines Zehners.

2.2.1.Nullfehler

Nach der bereits erwähnten Untersuchung, welche Lörcher 1985 durchführte, stellen sich bei den Schülern in diesem Bereich zu einem großen Teil Fehler bei dem Operieren mit der Null ein^[5] - unabhängig davon, welche Stelle diese in der Aufgabe einnimmt. Oftmals werden folgende falsche Berechnungen durchgeführt:

n ∙ 0 = n

0 ∙ n = n

Hierbei stellt eine von der Addition und Subtraktion übernommene Übergeneralisierung der Funktion der Null einen Hauptgrund für diese Fehlerform dar. Diese Fehleinschätzung zieht den Schluss nach sich, dass die Null bei den Rechenoperationen eine neutrale Stellung einnimmt und die Ausgangszahl somit nicht verändert. Um diesen Fehlertyp zu vermeiden, sollte man „die Addition und Multiplikation mit Null bewußt zueinander in Kontrast setzen und im Rahmen der behandelten Grundmodelle den Fall der Multiplikation mit Null ausdrücklich ansprechen.“^[6] Zur Verdeutlichung der Rolle der Null im Bereich der Multiplikation, bietet sich als Lösungsstrategie ein wiederholtes Addieren gleicher Summanden an. Dies soll hier am Beispiel „3 ∙ 0 = 0“ demonstriert werden:

0 + 0 + 0 = 0

Auch über die Integration der Null in systematische Aufgabenketten, kann den SchülerInnen die Funktion der Null veranschaulicht werden:

6 ∙ 4 = 24

6 ∙ 3 = 18

6 ∙ 2 = 12

6 ∙ 1 = 6

6 ∙ 0 = 0

Laut Lörcher^[7] sind die Nullfehler die einzigen Fehlertypen, welche durch gezieltes Üben im Laufe der weiteren Schulzeit abnehmen.

2.2.2. Fehler bei der Anwendung einer Primitivform

Als Primitivform werden hierbei das Aufsagen der betreffenden Einmaleinsreihe, das rhythmische Zählen oder das wiederholte Addieren bezeichnet^[8]. Diese Lösungsstrategien sind für ein Verzählen sehr anfällig und können darauf folgend zu einem falschen Ergebnis führen.

Als Beispiel sei hier die Aufgabe 4 ∙ 4 = 12 genannt.

In diesem Fall wurde der Betrag einmal zu wenig addiert und somit ein fehlerhafter Produktwert erhalten. Die Ursachen für diesen Fehler können zum Beispiel darin liegen, dass die Lernenden den ordinalen Zahlaspekt nicht ausreichend verinnerlicht, bzw. Probleme beim ordinalen Zählen haben, oder das Aufsagen von Einmaleinsreihen zu stark betont wurde, „so daß sich die Schüler beim Abrufen des zu einem gegebenen Multiplikators gehörigen Produktes aus der auswendig gelernten Einmaleinsreihe leicht um ein Element vertun“^[9].

2.2.3. Perseverationsfehler

In diesem Fall wirkt eine vorher benutzte Zahl dominant nach und setzt sich in der Lösung durch:

2 ∙ 8 = 8

3 ∙ 8 = 18

Leider konnte ich in der verwendeten Literatur wenig über diese Fehlerart, deren Ursachen und mögliche Gegenmaßnahmen finden. Allerdings ist es wohl erdenklich, dass Perseveration vor allem dann auftritt, wenn die Schüler bei einer Berechnung die Aufgabe laut mitsprechen, oder über die Anwendung der wiederholten Addition zu dem Ergebnis kommen, da durch diese Strategien ein Faktor verstärkt wahrgenommen wird.

[...]

^[1] Lehrplan Grundschule Mathematik ; Seite 2

^[2] Im Zuge dieser Hausarbeit werde ich nur die männliche Form verwenden- dies impliziert jedoch auch die Schülerinnen

^[3] Zitat: Radatz/Schipper; Seite 7

^[4] Vgl. Friedhelm Padberg, Seite 129

^[5] knapp die Hälfte aller Fehler innerhalb dieser Untersuchung fiel auf diese Fehlerform; vgl. Friedhelm Padberg Seite 129

^[6] Zitat: Friedhelm Padberg; Seite 131

^[7] Vgl. Friedhelm Padberg; Seite 129 f

^[8] auch als „Einmaleinsfehler der Nähe“ bezeichnet

^[9] Zitat: Friedhelm Padberg; Seite 221