Die vorliegende Bachelorarbeit beschäftigt sich mit der Berechnung der Run Wahrscheinlichkeit mittels Markov-Ketten. Zu Beginn der Arbeit erfolgt ein Einblick in die notwendigen Grundlagen der Stochastik, damit sich der Leser oder die Leserin ein Basiswissen für den folgenden Inhalt aneignen kann. Anschließend wird der Run definiert und die Problemstellung erläutert. Des Weiteren werden die Grundlagen an verschiedenen Beispielen für die Berechnung der Run Wahrscheinlichkeit genutzt und erweitert. Hierbei werden verschiedene Lösungsmethoden untersucht und dargestellt. In diesem Zusammenhang wird eine Verallgemeinerung des Problems ermöglicht. Abschließend erfolgt eine inhaltliche Zusammenfassung der Arbeit im Fazit.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlagen
2.1 Ein Stochastisches Modell
2.2 Wahrscheinlichkeitsmaß
2.3 Zufallsvariablen
2.4 Verteilung
2.5 Markov-Ketten
3 Run Wahrscheinlichkeit
3.1 Definition und Problemstellung
3.2 Lösungsvorschlag von Motzer (2010)
3.3 Lösungsmethode durch Visualisierung für k-Runs der Länge 6
3.4 Verteilung von k-Runs der Länge 6
3.5 Verallgemeinerung des Problems
4 Fazit
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit verfolgt das Ziel, die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten sogenannter Runs (unmittelbar aufeinanderfolgende gleiche Ergebnisse bei einem Zufallsexperiment) mittels mathematischer Methoden zu erfassen. Die zentrale Forschungsfrage untersucht, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte Zahlenfolgen bei einem Laplace-Würfel auftreten und wie sich diese Prozesse durch stochastische Modelle beschreiben lassen.
- Grundlagen der Stochastik und Wahrscheinlichkeitstheorie
- Einführung und Analyse von Markov-Ketten
- Berechnung von k-Runs mittels rekursiver Formeln
- Visualisierung der Zustandsübergänge bei Würfelserien
- Verallgemeinerung der Problemstellung für beliebige Wahrscheinlichkeiten p
Auszug aus dem Buch
3.1 Definition und Problemstellung
Bei Betrachtung eines n-fachen Würfelwurfs mit einem 6-seitigen Würfel spricht man von einem Run der Länge k ≤ n, wenn k-mal unmittelbar hintereinander die gleiche Würfelzahl auftritt.
Sei die Ergebnismenge Ω = {1, ..., 6}^k, so gilt
(..., i, ..., i , ...) ∈ Ω = {1, ..., 6}^k für i ∈ {1, ..., 6}.
Für einige Menschen ist es kaum zu glauben, dass es möglich ist, eine Serie von gleichen Würfelzahlen zu würfeln. Doch die vorliegende Arbeit beschäftigt sich genau mit dieser Problemstellung. Im Folgenden wird bewiesen, dass es tatsächlich möglich ist, dass Folgen von gleichen Ereignissen vorkommen. So wird die Wahrscheinlichkeit für k-Runs der Länge λ = 6 beim n-maligen Würfeln mittels Markov-Ketten untersucht.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die historische Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ein und definiert die Problemstellung der Arbeit hinsichtlich der Berechnung von Run-Wahrscheinlichkeiten bei Würfelspielen.
2 Grundlagen: Das Kapitel vermittelt die notwendigen mathematischen Voraussetzungen, einschließlich stochastischer Modelle, Zufallsvariablen, Verteilungsfunktionen und der Theorie der Markov-Ketten.
3 Run Wahrscheinlichkeit: Der Hauptteil definiert das Konzept des Runs, analysiert bestehende Lösungsvorschläge und entwickelt durch Visualisierung und Markov-Ketten ein Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für k-Runs, inklusive einer Verallgemeinerung des Problems.
4 Fazit: Die Arbeit resümiert, dass Markov-Ketten ein effizientes Werkzeug zur Berechnung von Run-Wahrscheinlichkeiten darstellen, und reflektiert die Abhängigkeit dieser Wahrscheinlichkeiten von der Eintrittswahrscheinlichkeit p und der Länge der betrachteten Serie.
Schlüsselwörter
Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Run, Markov-Kette, Würfelspiel, Zufallsvariable, Bernoulli-Experiment, Zustandsübergang, Rekursionsformel, Binomialverteilung, Laplace-Würfel, Ereignisse, Mathematische Modellierung, Erwartungswert, Verteilung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von Runs – also Serien von identischen Ergebnissen wie beispielsweise gleiche Zahlen bei einem Würfelwurf.
Was sind die zentralen Themenfelder der Analyse?
Die Kerngebiete umfassen die Stochastik, die Theorie der Markov-Ketten, die Rekursion bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen sowie die Visualisierung von Zustandsübergängen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das primäre Ziel ist es, durch den Einsatz von Markov-Ketten eine präzise mathematische Methode zu finden, um die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Serien (Runs) bei wiederholten Zufallsexperimenten zu berechnen.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zur Anwendung?
Die Autorin nutzt vorwiegend stochastische Modellierungen. Hierbei werden Zustandsgraphen und Übergangsmatrizen von Markov-Ketten verwendet, um die Wahrscheinlichkeiten über Rekursionsformeln zu bestimmen.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der Definition des Runs, der kritischen Betrachtung früherer Lösungsvorschläge (wie von Motzer 2010), der Entwicklung neuer Berechnungswege durch Visualisierung sowie der anschließenden Verallgemeinerung dieser Prozesse.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die vorliegende Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen zählen Stochastik, Run, Markov-Kette, Wahrscheinlichkeitsverteilung und Bernoulli-Experiment.
Wie unterscheidet sich ein Run von mindestens der Länge 6 von einem mit genau der Länge 6?
Der Unterschied liegt im Modell der Zustandsübergänge: Bei "mindestens 6" wird der Endzustand absorbierend definiert, da ein längerer Run hier keine weitere Unterscheidung mehr erfordert. Bei "genau 6" muss der Prozess hingegen unterscheiden, ob nach den 6 gleichen Zahlen erneut dieselbe Zahl fällt (verlängerter Run) oder eine andere (Abbruch des Runs).
Warum ist das gewählte mathematische Verfahren effizienter als der Ansatz von Motzer?
Die Arbeit zeigt auf, dass der Einsatz von Markov-Ketten und die damit verbundene Matrix-Visualisierung eine systematischere und unkompliziertere Herleitung der Wahrscheinlichkeitsformeln ermöglicht, da alle möglichen Zustandsänderungen formal konsistent abgebildet werden können.
- Quote paper
- Acelya Durak (Author), 2022, Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zum Auftreten von Runs mittels Markov-Ketten, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1306477
