In der Arbeit werden die Gleichung der Parabel und ihre Tangentengleichung thematisiert. Zunächst wird näher auf die Gleichung der Parabel eingegangen. Dazu wird sowohl der Beweis des Apollonios als auch der Beweis von Gericke angeführt. Im Anschluss daran werden auch die Ähnlichkeiten und Zusammenhänge dieser Beweise deutlich. Um das Kapitel der Parabelgleichung abzuschießen, folgt am Ende des zweiten Kapitels der Schulbezug.
Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit der Tangentengleichung, welche ebenfalls auf Basis der Beweise bei Apollonios und anschließend bei Gericke hergeleitet und erklärt werden. Auch hierzu folgt im Anschluss der Schulbezug und zusätzlich wird das Verfahren mit der modernen Vorgehensweise in der Schule verglichen.
Literaturangaben befinden sich am Schluss dieser Arbeit, noch vor dem Anhang. Kapitel 2.1 und 3.1 sind dem Werk "Die Kegelschnitte des Apollonios" (1967) entnommen. Kapitel 2.2 und 3.2 beziehen sich auf Gerickes "Mathematik in Antike und Orient" (1992). Im Anhang werden einige ergänzende Kommentare und Abbildungen beifügen, auf welche im Text verwiesen wird.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Gleichung der Parabel
2.1. Apollonios
2.2. Gericke
2.3. Schulbezug
3. Tangente an der Parabel
3.1. Apollonios
3.2. Gericke
3.3. Schulbezug
3.4. Vergleich mit modernem Vorgehen
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit zielt darauf ab, die Herleitung der Parabelgleichung und der zugehörigen Tangentengleichung sowohl nach der historischen Methode des Apollonios als auch nach dem Ansatz von Gericke zu analysieren. Dabei wird der mathematische Zusammenhang zwischen den Beweisen aufgezeigt sowie eine Brücke zum schulischen Mathematikunterricht geschlagen, indem die mathematischen Anforderungen und Transfermöglichkeiten diskutiert werden.
- Historische Herleitung der Parabelgleichung nach Apollonios
- Gegenüberstellung der mathematischen Herleitungen von Apollonios und Gericke
- Analyse der Tangentenkonstruktion und Beweisführung mittels Widerspruchsbeweisen
- Vergleich der klassischen geometrischen Verfahren mit modernen schulischen Ansätzen (Ableitungen)
- Pädagogische Einordnung der Thematik in den Kernlehrplan der Sekundarstufe I
Auszug aus dem Buch
2. Gleichung der Parabel
Die Parabel gehört neben dem Kreis, der Ellipse und der Hyperbel zu den Kegelschnitten (siehe Abb.1). Sie entsteht beim Schnitt eines Kreiskegels mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie und nicht durch die Kegelspitze verläuft. Besonders an der Parabel ist, dass sie lediglich einen Brennpunkt besitzt. Der Brennpunkt einer Parabel mit der Gleichung y=ax² hat die Koordinaten (0/ 1/4a), ihr Scheitelpunkt liegt bei (0/0). Zudem sind alle Parabeln ähnlich zueinander, was im Folgenden noch einmal aufgegriffen und deutlich gemacht wird.
Zunächst wird Apollonios´ §11 erläutert, in dem er die Gleichung der Parabel herleitet. Anschließend daran wird die Parabelgleichung anhand von Gerickes Herleitung gezeigt. Die zwei Beweise unterschieden sich kaum zueinander. Gericke verwendet im Gegensatz zu Apollonios eine modernere Schreibweise, wodurch der Beweis gerade für Schülerinnen und Schüler einfacher zu verstehen ist. Im Anschluss daran wird die Thematik dem Schulbezug zugeordnet.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Die Arbeit thematisiert die Gleichung der Parabel sowie die Tangentengleichung basierend auf historischen Beweisen von Apollonios und Gericke mit Bezug zum Schulunterricht.
2. Gleichung der Parabel: Dieses Kapitel stellt die mathematische Herleitung der Parabelgleichung durch Apollonios und Gericke dar und ordnet diese didaktisch für den Schulkontext ein.
2.1. Apollonios: Fokus auf die geometrische Konstruktion des Kegelschnitts und die mathematische Herleitung der Parabelgleichung durch Apollonios.
2.2. Gericke: Darstellung der Konstruktion und Herleitung der Parabelgleichung nach Gericke unter Verwendung modernerer mathematischer Notation.
2.3. Schulbezug: Analyse der Einsetzbarkeit der Parabelherleitung im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I gemäß Kernlehrplan NRW.
3. Tangente an der Parabel: Untersuchung der Tangenteneigenschaften und der entsprechenden Beweise für die Berührpunkte an der Parabel.
3.1. Apollonios: Beweisführung der Tangenteneigenschaft im Punkt C durch einen Widerspruchsbeweis basierend auf den geometrischen Vorarbeiten.
3.2. Gericke: Erläuterung der Tangentengleichung und der Beweisführung mittels Strahlensatzfiguren und Widerspruchsannahmen bei Gericke.
3.3. Schulbezug: Diskussion didaktischer Methoden zur Vermittlung komplexer Beweise im Unterricht und die Förderung individueller Lösungsstrategien.
3.4. Vergleich mit modernem Vorgehen: Gegenüberstellung der historischen geometrischen Verfahren mit der modernen schulischen Methode über die Ableitungsfunktion.
Schlüsselwörter
Parabel, Kegelschnitt, Apollonios, Gericke, Tangentengleichung, Höhensatz, Strahlensatz, Mathematikunterricht, Sekundarstufe I, Beweisführung, Geometrie, Brennpunkt, Parabelgleichung, Didaktik, Konstruktion.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser wissenschaftlichen Arbeit grundlegend?
Die Arbeit behandelt die geometrische Herleitung der Parabel- und Tangentengleichung durch historische mathematische Ansätze von Apollonios und Gericke.
Was sind die zentralen Themenfelder der Publikation?
Die Schwerpunkte liegen auf der Kegelschnittlehre, der mathematischen Beweisführung und der didaktischen Aufbereitung dieser Themen für den Mathematikunterricht.
Welches primäre Ziel verfolgt die Arbeit?
Ziel ist es, die klassische mathematische Herleitung der Parabel und Tangente transparent zu machen und einen Vergleich zum modernen schulischen Vorgehen mittels Differentialrechnung zu ziehen.
Welche wissenschaftliche Methodik wird verwendet?
Die Arbeit nutzt die Analyse historischer Quellen (Apollonios, Gericke) sowie den Vergleich mit aktuellen didaktischen Konzepten des Kernlehrplans NRW.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Im Hauptteil werden die Beweise für die Parabelgleichung und die Tangenteneigenschaft nach Apollonios und Gericke Schritt für Schritt hergeleitet und anschließend für den Unterrichtsgebrauch bewertet.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Untersuchung?
Wichtige Begriffe sind Parabel, Kegelschnitte, Apollonios, Gericke, Strahlensätze und mathematische Didaktik.
Warum ist der Vergleich mit Apollonios für heutige Schüler relevant?
Die geometrische Herleitung bietet Schülern ein tieferes Verständnis mathematischer Strukturen, das über die rein formale Anwendung moderner Ableitungsregeln hinausgeht.
Wie unterscheiden sich die Ansätze von Apollonios und Gericke?
Während die mathematische Essenz nahezu identisch ist, verwendet Gericke eine modernere Schreibweise, die den Zugang zur Beweisführung für Lernende erleichtern soll.
- Arbeit zitieren
- Berit Brauksiepe (Autor:in), 2021, Gleichung und Tangente der Parabel bei Apollonios und Gericke, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1320882
