Das Piotrowskigesetz - Zur Reichweite des Gesetzes und zum mathematischen Verständnis

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Vollständiger Sprachwandel
2.1 Mathematische Betrachtungen
2.2 Beispiele des vollständigen Sprachwandels

3. Unvollständiger Sprachwandel
3.1 Mathematische Betrachtungen
3.2 Beispiele des unvollständigen Sprachwandels

4. Reversibler Sprachwandel
4.1 Mathematische Betrachtungen
4.2 Beispiele des reversiblen Sprachwandels

5. Schlussbetrachtung

Literaturverzeichnis

Anhang

1. Einleitung

Kinder lernen sprechen, die deutsche Sprache nimmt Wörter aus dem Englischen auf und starke Verben verändern sich im Laufe der Jahre zu schwachen Verben. Auf den ersten Blick scheinen hier drei völlig unterschiedliche Prozesse vorzuliegen. Dennoch lässt sich interessanterweise ihr Verlauf mit dem gleichen Gesetz, dem Piotrowskigesetz, beschreiben. Auch wenn dies schon beeindruckend zu sein scheint, so handelt es sich hier tatsächlich nur um drei ausgewählte Beispiele, die eine Vielzahl von Sprachwandelprozessen repräsentieren, welche sich mit dem Piotrowskigesetz beschreiben lassen.

In dieser Arbeit soll es darum gehen einen Überblick über diese Prozesse zu geben und sie zu strukturieren. Hierbei werden sie aufgeteilt in vollständige und unvollständige Sprachwandelprozesse sowie in Prozesse, bei denen zum Beispiel neue sprachliche Entitäten auftreten, sich verbreiten, aber letztlich wieder weitestgehend verschwinden.

Stellt man die einzelnen Prozesse graphisch dar, so erhält man immer so etwas wie einen S-förmigen Kurvenverlauf. Anschaulich lässt sich dies beispielsweise mit einem Vergleich zur Ausbreitung eines Grippevirus erklären. Zunächst steckt eine Person eine andere an. Wenn diese beiden nun jeweils in Kontakt zu einer weiteren Person kommen, sind unter Umständen bereits vier infiziert. Im nächsten Schritt sind es acht, im übernächsten sechzehn und so weiter. Bereits nach zehn Schritten würden bei einem solchen Verlauf 1024 Personen infiziert sein.

Die Erfahrung zeigt, dass letztlich durch andere Faktoren nicht die gesamte Bevölkerung infiziert wird, sondern sich der Virus irgendwann nicht weiter ausbreitet und die Anzahl der bis dahin Infizierten nicht weiter zunimmt. Offensichtlich nimmt die Anzahl der Infizierten zunächst relativ langsam zu, dann immer schneller und strebt schließlich gegen einen Sättigungsgrad. Stellt man sich nun vor, dass statt eines Virus eine sprachliche Veränderung oder eine neue Entität weitergegeben wird, so erhält man im Groben die Beschreibung eines Sprachwandelprozesses mit dem typischen S-förmigen Kurvenverlauf (vgl. Best 2003a, 108). Die Ursachen hierfür waren eine immer schneller werdende Ausbreitung und “andere“, offensichtlich begrenzende, “Faktoren“. Wie sich diese beiden Tendenzen in der Formel des Piotrowskigesetzes wieder finden, soll als weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit mit einfachen mathematischen Überlegungen erklärt werden. Grundlage hierfür sei folgende mathematische Modellierung des Piotrowskigesetzes: Pt = . In der Literatur finden sich zunächst meist einfachere Modellierungen des Gesetzes in seiner allgemeinen Form (vgl. z.B. Best 2003, 10f. / Leopold 1998, 100f.). Diese etwas komplizierter wirkende Darstellung des Gesetzes wird dort in der Regel erst benutzt, um den reversiblen Sprachwandel (vgl. 4) zu beschreiben. Wenngleich diese Vorgehensweise einen einfacheren Zugang zur Thematik ermöglicht, ist man dann gezwungen beim reversiblen Sprachwandel von einer veränderten oder erweiterten Formel zu sprechen. Um dies zu vermeiden, habe ich mich dafür entschieden, die angegebene Modellierung als Grundlage zu nehmen.

Der Vorteil hierbei besteht darin, dass sich die einfacheren Modellierungen für den vollständigen und den unvollständigen Sprachwandel aus der dargestellten Formel ableiten lassen, indem die Parameter c=0 und k=1 gewählt werden.

2. Vollständiger Sprachwandel

Beim vollständigen Sprachwandel werden alte Formen vollständig durch neue ersetzt.

Es gilt hierfür die Formel: Pt = . Im Folgenden sollen zunächst grundlegende mathematische Betrachtungen zu diesem Sprachwandel angestellt werden. Diese sollen ein Verständnis der Formel und einer zugehörigen graphischen Darstellung erleichtern.

Auf dieser Basis sollen anschließend Beispiele für diesen Sprachwandel aufgeführt werden. Hierbei sollen lediglich Prozesse, die einen vollständigen Sprachwandel darstellen, beschrieben und erläutert werden. Auf eine ausführliche Darstellung von Daten und Zahlen der Untersuchungen wird verzichtet, Materialien hierzu finden sich im Anhang (ebenso bei 3. und 4.).

2.1 Mathematische Betrachtungen

Die Formel Pt = für den vollständigen Sprachwandel ergibt sich aus der in der Einleitung formulierten Formel Pt = , indem die Parameter k=1 und c=0 gewählt werden.

In der Einleitung wird eine immer schneller werdende Ausbreitung bei Sprachwandelprozessen beschrieben. Diese Form der Ausbreitung oder des Wachstums findet in der Modellierung des Piotrowskigesetzes Ausdruck durch die Exponentialfunktion (wird entweder mit exp(x) oder mit ex bezeichnet). Da diese grundlegend für die weiteren Betrachtungen ist, soll sie an dieser Stelle kurz vorgestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 10.4 zeigt, dass man für große positive x-Werte sehr

große Funktionswerte erhält. Wie schnell die Funktionswerte der Exponentialfunktion ansteigen, sei durch drei Beispiele verdeutlicht: e2 ≈ 7,38, e6 ≈ 403,42, e10 ≈ 22026,46. Für x = 2 ergibt sich also etwa 7 und für x = 10 bereits über 22026. Für betragsmäßig große negative x-Werte erhält man hingegen sehr kleine positive Funktionswerte, die sich sehr schnell der 0 annähren.

Wie schnell sich die Funktionswerte der 0 annähren, soll ebenfalls durch drei Beispiele verdeutlicht werden: e-2 ≈ 0,1353, e-6 ≈ 0,00247, e-10 ≈ 0,000045. Offensichtlich strebt die Exponentialfunktion für sehr große x gegen unendlich und für sehr kleine x gegen 0.

In der Einleitung wurde bereits angedeutet, dass sich bei der graphischen Darstellung eines vollständigen oder unvollständigen Sprachwandels ein S-förmiger Kurvenverlauf ergibt. Der erste Teil dieser S-Kurve (sozusagen der untere Bogen) lässt sich nun sehr gut mit Hilfe der Exponentialfunktion erklären.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tuldava hat herausgestellt, dass die graphische Darstellung der Funktion (I): Lt = (er spricht hier vom logistischen Wachstum) zu Beginn mit der Darstellung der Funktion (II): Lt = L0ekt zusammenfällt (vgl. Abb. 1) (vgl. Tuldava 1998, 136ff.). Wählt man L = 1 entspricht (I) der Formel für den vollständigen Sprachwandel. Bei geeigneter Wahl des Parameters a (in I) entspricht der Verlauf des vollständigen Sprachwandels also dem Verlauf einer Exponentialfunktion mit geeignetem Anfangswert L0 (II).

Abb. 1 (Quelle: Tuldava 1998, 139) Charakteristisch für die Exponentialfunktion war ein

zunächst langsames und dann immer schneller werdendes

Wachstum. Berücksichtigt man dies in Zusammenhang mit Abbildung 1, wird deutlich, dass die erste Krümmung der S-Kurve mit dem Verlauf der Exponentialfunktion erklärbar ist.

Nun stellt sich noch die Frage, wie es zu der zweiten Krümmung (und damit zum ganzen “S“) kommt. Dies lässt sich sehr leicht erklären, wenn man einige Zahlenwerte des Beispiels aus Abbildung 2 ausrechnet.

Zu beachten ist, dass in der Formel für Pt im Zähler und im Nenner immer jeweils eine 1 steht und im Nenner noch etwas (Variables) hinzukommt.

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