APT und Mehrfaktorenmodelle zur Bestimmung der Eigenkapitalkosten

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Anlagenverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Problemstellung

2. Faktormodelle

3. Die Arbitrage Pricing Theory
3.1 Modelprämissen
3.2 Herleitung der Bewertungsgleichung
3.3 Vergleich der APT mit dem CAPM

4. Eignung der APT zur Bestimmung der Eigenkapitalkosten
4.1 Anwendungsproblematiken
4.1.1 Der approximative Charakter der Bewertungsgleichung
4.1.2 Die inhaltliche Unbestimmtheit der Bewertungsgleichung
4.2 Lösungsansätze
4.2.1 APT -Varianten
4.2.2 Methoden zur Bestimmung der fehlenden Determinanten
4.3 Empirische Untersuchungen der APT

5. Thesenförmige Zusammenfassung

Anhang

Literaturverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

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Anlagenverzeichnis

Anlage 1:

Veranschaulichung des systematischen und unsystematischen Risikos am Beispiel der Aktie der Daimler AG

Anlage 2:

Veranschaulichung der unerwarteten Veränderung einer ökonomischen Variable am Beispiel der Inflationsrate

Anlage 3:

Veranschaulichung eines Arbitrageportfolios mit 5 Wertpapieren.

Anlage 4:

Mathematische Umformungen bei der Eliminierung des unsystematischen Risikos in der Herleitung der APT-Bewertungsgleichung

Anlage 5:

Mathematische Umformungen von (3.5) bis (3.7) in der Herleitung der APT-Bewertungsgleichung

Anlage 6:

Demonstrationsbeispiel zur APT-Anwendung

Symbolverzeichnis

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1. Problemstellung

Die Bewertung von Unternehmen ist ein wesentlicher Bestandteil der Corporate Finance. Die Durchführung einer Unternehmensbewertung kann zahlreiche Anlässe als Ausgangspunkt haben. So wird sie heute vorwiegend zum Zwecke einer wertorientierten Unternehmensführung im Rahmen des Shareholder-Value-Ansatzes oder im Kontext der nationalen bzw. internationalen Rechnungslegung durchgeführt. Ein weit verbreitetes Verfahren zur Ermittlung des Unternehmenswerts ist die Methode des Discounted Cash Flow, bei dessen Anwendung unter anderem die Kapitalkosten ermittelt werden müssen. Die Kapitalkosten des Fremdkapitals sind vertraglich fixiert und relativ leicht zu bestimmen während der Begriff der Eigenkapitalkosten in vielerlei Hinsicht nicht eindeutig ist^[1]. Eine adäquate Bestimmung ist sowohl für die Unternehmen als auch für die Eigenkapitalgeber von enormer Bedeutung. So ergeben sich daraus wichtige Erkenntnisse für die Unternehmensführung zur Beurteilung von Investitionsprojekten. Außerdem erhalten die Investoren wichtige Anhaltspunkte über die zu erwarteten Renditen. Entscheidend dabei ist Frage, für welchen Sachverhalt die Anleger eine Kompensation bzw. Prämie erwarten können. Zur Klärung dieser Frage sowie zur Bestimmung zukünftiger Wertpapierrendite finden sich in der Kapitalmarkttheorie zahlreiche Modelle. Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Arbitrage Pricing Theory (APT), welche von Stephen A. Ross als alternativer Ansatz zum Capital Asset Pricing Modell (CAPM) entwickelt wurde^[2]. Aus diesem Grund liegt ein Vergleich mit dem CAPM nahe. Die in der „traditionellen“ APT aufgestellten Modellprämissen zur Herleitung der APT-Bewertungsgleichung sind nicht unumstritten und bedürfen einer genaueren Betrachtung. Ausgehend von dieser Kritik finden sich in der Literatur weitere Varianten der APT, die es zu untersuchen gilt. Der zentrale Schwerpunkt aber liegt auf den Problematiken, welche bei der Anwendung der APT zur Bestimmung der Eigenkapitalkosten auftreten. Aufbauend darauf sollen Methoden diskutiert werden, welche den Anwendungsproblematiken entgegenwirken und damit die APT praktikabler machen. Problematiken bei der Verwendung der APT in der Investitionsrechnung ebenso wie die Diskussion über die unrealistische Annahme homogener Erwartungen und die Debatte über den Erklärungsgehalt der APT für das Geschehen auf den Kapitalmärkten werden im Rahmen dieser Arbeit nicht behandelt. Die Problematik der Faktorstabilität im Zeitablauf wird nur am Rande erwähnt.

2. Faktormodelle

Faktormodelle resultieren aus der empirischen Beobachtung, dass erwartete Renditen von Wertpapieren in der Regel miteinander korrelieren und von verschiedenen Einflüssen aus der Mikro- bzw. Makroumwelt des Unternehmens bestimmt werden. Durch Faktormodelle sollen die Determinanten, die die Rendite eines Wertpapiers bestimmen und die Korrelation zwischen den Wertpapieren beeinflussen, aufgezeigt und beschrieben werden^[3]. Abhängig von der Anzahl der Faktoren wird zwischen Einfaktor- und Multifaktormodellen unterschieden^[4]. Formal wird folgender Zusammenhang unterstellt:

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Die Gleichung setzt sich aus einer erwarteten sowie einer unerwarteten Komponente zusammen. Die Abweichung zwischen realisierter und ex ante erwarteter Rendite ergibt das Gesamtrisiko des Wertpapiers. Dieses wiederum unterteilt sich in die vom CAPM her bekannte Unterscheidung zwischen unsystematischem und systematischem Risiko^[5] (siehe Anlage 1). Letzteres wird auf k globale, gesamtmarkbezogene Faktoren zurückgeführt, während sich unternehmensspezifische Ereignisse im sog. idiosynkratrischen Risiko niederschlagen. Dieses wird durch den Störterm ausgedrückt. Die wertpapierspezifischen Faktorsensitivitäten resultieren aus der Tatsache, dass der Einfluss der einzelnen Faktoren auf die Rendite bei jedem Unternehmen unterschiedlich ist^[6]. Um ein im Sinne der APT „striktes Faktormodell“ zu erhalten, müssen folgende Annahmen getroffen werden.

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Aufgrund der angenommenen Informationseffizienz des Marktes sind alle relevanten Informationen bereits in den Kursen verarbeitet. Lediglich unerwartete Ereignisse haben Einfluss auf die Aktienrenditen (siehe Anlage 2). Daher ist der Erwartungswert der k-Faktoren (2.2) wie auch der des wertpapierspezifischen Störterms (2.1) gleich Null. Zur Differenzierung nach systematischem und unsystematischem Risiko muss (2.3) gelten. Dadurch wird sichergestellt, dass der systematische Teil des Risikos allein über die k-Faktoren und nicht über den Störterm zustande kommt. Um zu gewährleisten, dass die einzelnen Faktoren unabhängig voneinander die Wertpapierrendite beeinflussen dürfen diese Faktoren nicht korreliert sein (2.4). Durch diese Bedingung (2.5) werden die Faktorvarianzen auf Eins normiert. Des Weiteren wird angenommen, dass die Anzahl der Risikofaktoren wesentlich kleiner ist als die der beobachteten Aktien (2.6). Die Eigenschaft unkorrelierter Störterme (2.7) sowie die Begrenzung der Varianz des Störterms nach oben (2.8) sind bei der Herleitung der APT entscheidend für die Beseitigung des unsystematischen Risikos^[7].

3. Die Arbitrage Pricing Theory

3.1 Modelprämissen

Das in Kapitel 2. bestimmte „strikte“ Faktormodell bildet den Kern der APT, da hierbei eine ganz bestimmte Faktorstruktur unterstellt wird^[8]. Diese sog. Faktormodellannahme sowie die Arbitragefreiheitsannahme sind die zwei zentralen Prämissen für die Herleitung der APT-Bewertungsgleichung^[9]. Des Weiteren werden folgende Annahmen unterstellt:

- Es existiert ein vollkommener Kapitalmarkt^[10]
- Leerverkäufe von Wertpapieren sind uneingeschränkt möglich^[11]
- Die Anzahl an Wertpapieren ist sehr groß^[12]
- Es werden bedingte homogene Erwartungen gefordert^[13]
- Die Varianz der Wertpapierrenditen ist beschränkt^[14]

Um die Prämisse der Arbitragefreiheit zu verstehen ist es entscheidend, den Begriff der „Arbitrage“ näher zu erläutern^[15]. Unter Arbitrage versteht man eine Transaktion, bei der durch den gleichzeitigen Kauf und Verkauf homogener Güter Preisunterschiede ausgenutzt werden^[16]. Da die Risikoposition des handelnden Wirtschaftssubjekts während des Arbitrageprozesses unverändert bleibt, sind Arbitragegewinne stets risikolos^[17]. Folglich bedeutet die Annahme der Arbitragefreiheit, dass sich durch Wertpapiertransaktionen, die keinen Kapitaleinsatz erfordern und keinerlei Risiko aufweisen, keine positive Rendite erzielen lässt^[18].

3.2 Herleitung der Bewertungsgleichung

Zur Herleitung der APT-Bewertungsgleichung wird ein sogenanntes Arbitrageportfolio generiert^[19]. Unter Beachtung der oben aufgestellten Prämissen der APT wählt man hierzu folgende Vorgehensweise: zuerst wird sichergestellt, dass ein Portfolio mit einem Anfangswert von Null entsteht. Mithin muss gelten:

(3)

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Hierbei, müssen sich die Anteile der gekauften und die der leerverkauften Wertpapiere zu Null saldieren^[20] (siehe Anlage 3) oder ausgehend von einem bereits bestehenden Portfolio der Erwerb zusätzlicher Wertpapiere vollständig durch Verkäufe aus dem Wertpapierbestand finanziert werden^[21]. In einem weiteren Schritt gilt es, das unsystematische sowie das systematische Risiko zu beseitigen. Um Letzteres zu eliminieren, gilt es die Wertpapieranteile so zu wählen, dass die einzelnen Faktorsensitivitäten gewichtet mit den jeweiligen Portfolioanteilen Null ergeben^[22]:

(3.1)

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Das unsystematische Risiko wird durch Diversifikation verringert und in der Grenzbetrachtung sogar vernachlässigbar klein (siehe Anlage 4). Die Vermögensanteile im Arbitrageportfolio müssen daher sehr klein sein:

(3.2) bzw.

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(3.3) und das muss Portfolio sehr breit gestreut sein, d.h. n ist sehr groß^[23]. In der Grenzbetrachtung ergibt sich daraus:

(3.4)

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Die AP-Rendite ergibt sich als gewichtete Summer der einzelnen Aktienrenditen:

(3.5)

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Unter Berücksichtigung der Faktormodellannahme sowie der Voraussetzungen (3) bis (3.3) entspricht die realisierte Rendite des Arbitrageportfolios der Erwarteten:

(3.6)

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Da auf einem vollkommenen Kapitalmarkt ein risikoloses Portfolio ohne Kapitaleinsatz gem. Annahme keine positiven Renditen erzielen kann, muss gelten:

(3.7)

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Zur mathematischen Umformung von (3.5) bis (3.7) (siehe Anlage 5).

Unter Zuhilfenahme eines Satzes der linearen Algebra kann die folgende APT-Bewertungsgleichung abgeleitet werder^[24]:

Der konstante Teil der Gleichung kann aus Arbitrageüberlegungen heraus und bei Existenz einer risikolosen Anlage nur dem risikolosen Zins entsprechen^[25]. Daraus ergibt sich, dass nur der von den Sensitivitäten abhängige Teil bewertet wird. lässt sich als faktorbezogener Risikopreis bzw. als Risikoprämie sog. „Mimicking-Portfolios“ interpretieren^[26]. Auf diese wird in Kap. 4.2.2 noch näher eingegangen. Aus (3.7) und den erläuterten Sachverhalten ergibt sich folgende Gleichung:

(3.9)

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Die erwartete Rendite ergibt sich somit, aus dem risikolosen Zins zuzüglich der Risikoprämie für das eingegangene systematische Risiko. Je nach Faktorsensitivitäten fällt die Risikoprämie mehr oder weniger stark ins Gewicht.

3.3 Vergleich der APT mit dem CAPM

Im Folgenden soll die „traditionelle“ APT mit dem CAPM verglichen werden. Die Modellannahmen der APT werden in der Literatur als weniger restriktiv angesehen als die des CAPM^[27]. So wird die Prämisse der Arbitragefreiheit schwächer als die Gleichgewichtsannahme des CAPM eingestuft. Ein Gleichgewicht schließt immer das Fehlen von Arbitragegelegenheiten ein, jedoch ergibt sich im Umkehrschluss noch lange kein Güter- bzw. Finanzmarktgleichgewicht^[28]. Daher ist die Annahme der Arbitragefreiheit eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung für ein Kapitalmarktgleichgewicht^[29]. Des Weiteren kann bei der Anwendung der APT auf die im CAPM notwendigen Annahmen verzichtet werden, dass Anleger quadratische Risiko-Nutzenfunktionen besitzen oder die Wertpapierrenditen normalverteilt sind. Erste Hinweise auf die Eignung der APT zur Bestimmung der Eigenkapitalkosten liefert der Vergleich mit dem CAPM im Bezug auf die Anzahl der Risikomaße. Während beim CAPM das systematische Risiko eines Wertpapiers nur durch den Betafaktor determiniert wird, erlaubt die APT hier eine differenziertere Betrachtung. Die Tatsache, dass in der APT mehrere systematische Risikoquellen berücksichtigt werden können, wird als entscheidender Vorteil angesehen^[30]. Weitere Anhaltspunkte liefert der Vergleich im Hinblick auf die Testbarkeit der Modelle. Die Bewertungsgleichung der „traditionellen“ APT ist im Vergleich zur CAPM-Wertpapierlinie nur approximativ erfüllt, d.h. (3.7) und (3.8) gelten nur näherungsweise. Ein weiteres Manko bei der Testbarkeit der APT liegt in der Unbestimmtheit relevanten Risikofaktoren. Demgegenüber ist das Marktportfolio des CAPM eindeutig bestimmt. Jedoch ist dieses in der Realität nicht beobachtbar, so dass in der Praxis auf Teilportfolios ausgewichen werden muss. Da sich daraus aber keine Rückschlüsse auf die Gültigkeit des CAPM ziehen lassen, wird die empirische Testbarkeit der APT zumeist positiver beurteilt^[31]. Dennoch mangelt es hierbei nicht an kritischen Einschätzungen^[32]. Aus der Herleitung der Bewertungsgleichung sowie dem Vergleich mit dem CAPM lassen sich zwei zentrale Erkenntnisse gewinnen. Erstens liefert die Theorie keine Anhaltspunkte bzgl. der Art und Anzahl der relevanten Faktoren und zweitens hat die ermittelte Bewertungsgleichung nur einen approximativen Charakter.

[...]

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^[1] Vgl. Hachmeister (1998), S. 155 f.

^[2] Vgl. Ross (1976), S.341; Perridon/Steiner (2007), S. 263

^[3] Vgl. Hachmeister (1998), S. 169

^[4] Vgl. Nowak (1994), S.14-15

^[5] Vgl. Grinblatt/Titman (2002), S.176; Fischer/Lockert/Hahnenstein (1999), S.1490

^[6] Vgl. Perridon/Steiner (2007), S.264

^[7] Vgl. Fischer/Lockert/Hahnenstein (1999), S.1490

^[8] Vgl. Ross (1977), S. 204 f.

^[9] Vgl. Wallmeier (1997), S. 71

^[10] Vgl. Steiner/Bruns (2007), S. 3

^[11] Vgl. Fischer/Lockert/Hahnenstein (1999), S.1489

^[12] Vgl. Grinblatt/Titman (2002), S.199

^[13] Vgl. Jarrow, R. A. (1988), S. 111 f., Annahme 9.2 und 9.3

^[14] Vgl. Jarrow, R. A. (1988), S. 112

^[15] Der Arbitragegedanke nimmt in der Finanzierungstheorie eine zentrale Rolle ein. Stellvertretend seien hier das Modigliani-Miller-Theorem und die Optionspreistheorie von Black & Scholes genannt.

^[16] Vgl. Hachmeister (1998), S.168; Anschauliches Rechenbeispiel Vgl. Kruschwitz (2007), S. 40

^[17] Vgl. Breuer (1997), S. 1149

^[18] Vgl. Perridon/Steiner (2007), S. 264 ; Sauer (1994), S. 20

^[19] Vgl. Ross (1977), S. 194 - 201

^[20] Vgl. Steiner/Bruns (2007), S. 30

^[21] Vgl. Periddon/Steiner (2007), S. 265

^[22] Vgl. Steiner/Bruns (2007), S.31

^[23] Vgl. Steiner/Uhlir (2001), S. 200

^[24] Vgl. Uhlir/Steiner (2001), S. 201 f.

^[25] Vgl. Ross (1977), S. 198

^[26] Vgl. Nowak (1994), S. 68 ff.

^[27] Vgl. Perrdion/Steiner (2007), S.264 ff.; Fischer/Lockert/Hahnenstein (1999) S. 1632; Kruschwitz/Löffler (1997), S. 645; Roll/Ross (1980), S. 1074; Grinblatt Titman (2002), S.177

^[28] Vgl. Kruschwitz/Löffler (1997), S. 645

^[29] Vgl. Breuer (1997), S. 1149; Roll/Ross (1980), S.1074

^[30] Vgl. Roll/Ross (1980), S.1074; Sharpe/Alexander/Bailey (1999), S. 285 ff.

^[31] Vgl. Fischer/Lockert/Hahnenstein (199), S.1632 -1633

^[32] Vgl. Shanken (1982); Kruschwitz/Löffler (1997)