In dieser Abhandlung wird anhand von einfachen Beispielen die Vorgehensweise bei der periodischen Spline–Interpolation erläutert. Periodisch heißt hier nicht, dass man nur periodische Funktionen oder geschlossene Kurven erzeugen kann, was eine starke Einschränkung bedeuten würde. Mithilfe der periodischen Spline–Interpolation erhält man auch translationsinvariante Funktionen und Kurven. Es müsste eigentlich statt „periodische Spline–Interpolation“ genauer „Interpolation mit periodischen Randbedingungen“ heißen. Zwingend periodisch sind nur die Ableitungen ersten und zweiten Grades, wenn man für die Segmente ganzrationale Funktionen dritten Grades oder sogenannte kubische Bézier–Kurven verwendet. Die Segmente für Spline–Funktionen werden in dieser Abhandlung in der Taylor–Form dargestellt. Die Segmente für Spline–Kurven werden sowohl in der Bernstein–Bézier–Form (Bézier–Spline–Kurven) als auch unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen (B–Spline–Kurven) angegeben. Die Koeffizienten für die Taylor–Form, die Bézier–Punkte für die Bernstein–Bézier–Form und die Kontrollpunkte (de Boor–Punkte) für die Darstellung unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen werden hier nach einer neuartigen iterativen Methode berechnet. Einschränkungen, was die Anzahl der Interpolationspunkte (Datenpunkte) angeht, müssen nicht gemacht werden. Die Rechenzeit für die Koeffizienten (Taylor–Form), Bézier–Punkte oder Kontrollpunkte (de Boor–Punkte) für einen XP–Rechner (AMD Athlon Dual Core Processor 3800+) mit einem als JAVA–Applet geschriebenen Programm liegt für 10000 Interpolationspunkte (Datenpunkte) bei rund 19 s. Als kleine Hilfe für Programmierer werden wesentliche Programmteile in Form eines Struktogramms angegeben.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einleitung
- 2 Allgemeine Betrachtungen
- 3 Periodische Spline–Interpolation in der Taylor–Form
- 3.1 Segmente in der Taylor–Form
- 3.2 Periodische Spline–Interpolation in der Taylor–Form für äquidistante x–Werte
- 3.3 Periodische Spline–Interpolation in der Taylor–Form für äquidistante x–Werte in gekürzter Form
- 3.4 Periodische Spline–Interpolation in der Taylor–Form für nicht äquidistante x–Werte
- 3.5 Periodische Spline–Interpolation in der Taylor–Form für nicht äquidistante x–Werte in gekürzter Form
- 3.6 Schrittweise Berechnung der Koeffizienten in der Taylor–Form bei bekannten Anfangswerten
- 4 Periodische Spline–Interpolation in der Bernstein–Bézier–Form
- 4.1 Segmente in der Bernstein–Bézier–Form
- 4.2 Periodische Spline–Interpolation in der Bernstein–Bézier–Form für äquidistante Parameterwerte
- 4.3 Periodische Spline–Interpolation in der Bernstein–Bézier–Form für äquidistante Parameterwerte in gekürzter Form
- 4.4 Periodische Spline–Interpolation in der Bernstein–Bézier–Form für nicht äquidistante Parameterwerte
- 4.5 Periodische Spline–Interpolation in der Bernstein–Bézier–Form für nicht äquidistante Parameterwerte in gekürzter Form
- 4.6 Parametrisierung
- 4.7 Schrittweise Berechnung der Bézier–Punkte bei bekannten Anfangswerten
- 5 Periodische Spline–Interpolation unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen
- 5.1 B–Spline–Basisfunktionen
- 5.2 Periodische Spline–Interpolation unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen für äquidistante Parameterwerte
- 5.3 Periodische Spline–Interpolation unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen für äquidistante Parameterwerte in gekürzter Form
- 5.4 Periodische Spline–Interpolation unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen für nicht äquidistante Parameterwerte
- 5.5 Periodische Spline–Interpolation unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen für nicht äquidistante Parameterwerte in gekürzter Form
- 5.6 Eigenschaften der B–Spline–Kurven
- 5.7 Schrittweise Berechnung der Kontrollpunkte bei bekannten Anfangswerten
- 6 Referenzen
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit widmet sich der Erläuterung der periodischen Spline-Interpolation anhand einfacher Beispiele, mit dem Ziel, ihre Anwendung zur Erzeugung sowohl periodischer als auch translationsinvarianter Funktionen und Kurven aufzuzeigen. Ein zentrales Anliegen ist die Vorstellung einer neuartigen iterativen Methode zur Berechnung der notwendigen Koeffizienten und Kontrollpunkte.
- Darstellung von Spline-Funktionen in der Taylor-Form.
- Darstellung von Spline-Kurven in der Bernstein-Bézier-Form (Bézier-Spline-Kurven).
- Anwendung von B-Spline-Basisfunktionen für Spline-Kurven (B-Spline-Kurven).
- Entwicklung und Anwendung einer neuartigen iterativen Berechnungsmethode für Koeffizienten, Bézier-Punkte und Kontrollpunkte.
- Behandlung von äquidistanten und nicht-äquidistanten Parameterwerten sowie gekürzten Formen für effiziente Berechnungen.
- Bereitstellung von Beispielen und Struktogrammen als Hilfestellung für Programmierer.
Auszug aus dem Buch
Einführung in die Periodische Spline–Interpolation an einfachen Beispielen
In dieser Abhandlung wird anhand von einfachen Beispielen die Vorgehensweise bei der periodischen Spline–Interpolation erläutert. Periodisch heißt hier nicht, dass man nur periodische Funktionen oder geschlossene Kurven erzeugen kann, was eine starke Ein schränkung bedeuten würde. Mithilfe der periodischen Spline–Interpolation erhält man auch translationsinvariante Funktionen und Kurven. In der Abbildung 1 ist eine translations invariante Kurve dargestellt, die man durch Interpolation in den Punkten )6|8( X0 , )0|0( X1 , )2|8( X2 , )6|2( X3 , )4|8( X4 und )12|1( X5 bekommen hat.
Es müsste eigentlich statt „periodische Spline–Interpolation“ genauer „Interpolation mit periodischen Randbedingungen“ heißen. Zwingend periodisch sind nur die Ableitungen ersten und zweiten Grades, wenn man für die Segmente ganzrationale Funktionen dritten Grades oder sogenannte kubische Bézier–Kurven verwendet. In unserer Abbildung stimmen die erste und zweite Ableitung in den Punkten X0 und X5 überein. Die Segmente für Spline– Funktionen werden in dieser Abhandlung in der Taylor–Form dargestellt. Die Segmente für Spline–Kurven werden sowohl in der Bernstein–Bézier–Form (Bézier–Spline–Kurven) als auch unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen (B–Spline–Kurven) angegeben. Die Koeffizienten für die Taylor–Form, die Bézier–Punkte für die Bernstein–Bézier–Form und die Kontrollpunkte (de Boor–Punkte) für die Darstellung unter Verwendung von B–Spline– Basisfunktionen werden hier nach einer neuartigen iterativen Methode berechnet. Ein schränkungen, was die Anzahl der Interpolationspunkte (Datenpunkte) angeht, müssen nicht gemacht werden. Die Rechenzeit für die Koeffizienten (Taylor–Form), Bézier–Punkte oder Kontrollpunkte (de Boor–Punkte) für einen XP–Rechner (AMD Athlon Dual Core Processor 3800+) mit einem als JAVA–Applet geschriebenen Programm liegt für 10000 Interpolations punkte (Datenpunkte) bei rund 19 s. Als kleine Hilfe für Programmierer werden wesentliche Programmteile in Form eines Struktogramms angegeben.
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 1 Einleitung: Erläutert die Vorgehensweise der periodischen Spline-Interpolation, ihre Anwendung für translationsinvariante Funktionen und Kurven und stellt die verschiedenen Darstellungsformen sowie eine neue iterative Berechnungsmethode vor.
Kapitel 2 Allgemeine Betrachtungen: Definiert Spline-Funktionen und Spline-Kurven basierend auf vier Eigenschaften, einschließlich Stetigkeit und periodischer Randbedingungen, und unterscheidet zwischen periodischer und translationsinvarianter Fortsetzung.
Kapitel 3 Periodische Spline–Interpolation in der Taylor–Form: Beschreibt die periodische Spline-Interpolation unter Verwendung der Taylor-Form, sowohl für äquidistante als auch für nicht-äquidistante x-Werte, einschließlich einer gekürzten Form zur Bewältigung großer Datenmengen.
Kapitel 4 Periodische Spline–Interpolation in der Bernstein–Bézier–Form: Erläutert die periodische Spline-Interpolation unter Verwendung der Bernstein-Bézier-Form für äquidistante und nicht-äquidistante Parameterwerte und behandelt spezielle Aspekte wie Parametrisierung und schrittweise Berechnung von Bézier-Punkten.
Kapitel 5 Periodische Spline–Interpolation unter Verwendung von B–Spline–Basisfunktionen: Stellt die periodische Spline-Interpolation mit B-Spline-Basisfunktionen vor, sowohl für äquidistante als auch für nicht-äquidistante Parameterwerte, und diskutiert wichtige Eigenschaften von B-Spline-Kurven.
Schlüsselwörter
Spline-Interpolation, Periodische Splines, Translationsinvariante Kurven, Taylor-Form, Bernstein-Bézier-Form, B-Spline-Basisfunktionen, Iterative Methode, Äquidistante Parameterwerte, Nicht-äquidistante Parameterwerte, Koeffizientenberechnung, Bézier-Punkte, Kontrollpunkte, Parametrisierung, Computer-Algebra-Systeme
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Erläuterung der periodischen Spline-Interpolation, ihrer Anwendung zur Erzeugung periodischer und translationsinvarianter Funktionen und Kurven und stellt eine neuartige iterative Berechnungsmethode vor.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themenfelder sind die Spline-Interpolation in der Taylor-Form, der Bernstein-Bézier-Form und unter Verwendung von B-Spline-Basisfunktionen, jeweils für äquidistante und nicht-äquidistante Parameterwerte.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das primäre Ziel ist es, die Vorgehensweise bei der periodischen Spline-Interpolation anhand einfacher Beispiele zu erläutern und eine neuartige iterative Methode zur Berechnung der erforderlichen Koeffizienten und Kontrollpunkte vorzustellen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit verwendet mathematische Definitionen und Algorithmen zur periodischen Spline-Interpolation, dargestellt durch verschiedene Formen (Taylor, Bernstein-Bézier, B-Spline) und ergänzt durch eine neuartige iterative Berechnungsmethode.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil behandelt detailliert die periodische Spline-Interpolation in der Taylor-Form, der Bernstein-Bézier-Form und unter Verwendung von B-Spline-Basisfunktionen, jeweils für unterschiedliche Parameterwerte und mit Fokus auf die schrittweise Berechnung der jeweiligen Koeffizienten oder Kontrollpunkte.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird charakterisiert durch Schlüsselwörter wie Spline-Interpolation, Periodische Splines, Taylor-Form, Bernstein-Bézier-Form, B-Spline-Basisfunktionen, iterative Methode und Parametrisierung.
Warum wird in der Einleitung die Unterscheidung zwischen "periodischer Spline-Interpolation" und "Interpolation mit periodischen Randbedingungen" gemacht?
Die Arbeit stellt klar, dass der Begriff "periodische Spline-Interpolation" oft zu stark einschränkend interpretiert wird, da er nicht nur periodische Funktionen oder geschlossene Kurven erzeugt, sondern auch translationsinvariante Funktionen und Kurven. Daher wird "Interpolation mit periodischen Randbedingungen" als die präzisere Bezeichnung vorgeschlagen.
Welche Vorteile bietet die neuartige iterative Methode zur Berechnung der Koeffizienten im Vergleich zu herkömmlichen Ansätzen?
Die neuartige iterative Methode ermöglicht die Berechnung der Koeffizienten, Bézier-Punkte oder Kontrollpunkte ohne Einschränkungen hinsichtlich der Anzahl der Interpolationspunkte und bietet eine effiziente Rechenzeit, selbst für eine große Anzahl von Datenpunkten, wie die angegebenen 19 Sekunden für 10.000 Punkte zeigen.
Welche Rolle spielen Struktogramme in dieser Abhandlung, und für wen sind sie gedacht?
Struktogramme dienen als praktische Hilfe für Programmierer, indem sie wesentliche Programmteile der iterativen Berechnungsmethoden visualisieren. Sie sollen interessierten Lesern das Nachrechnen und Implementieren der Beispiele erleichtern.
Inwiefern unterscheidet sich die "gekürzte Form" der Spline-Interpolation von der "ungekürzten Form" in Bezug auf die Anzahl der Interpolationspunkte?
Die "gekürzte Form" wird verwendet, um Probleme zu vermeiden, die bei einer großen Anzahl von Interpolationspunkten (ab etwa 400) mit der "ungekürzten Form" auftreten können. Sie bietet den Vorteil, dass Berechnungen auch mit "großen" Werten für die Anzahl der Interpolationspunkte korrekt durchgeführt werden können.
- Arbeit zitieren
- Dr. rer. nat. Friedrich Krinzeßa (Autor:in), 2009, Einführung in die Periodische Spline–Interpolation an einfachen Beispielen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/135270
