Das konkrete Thema in meiner Arbeit ist ein Beweis, dass die Konvergenzordnung des Sekantenverfahren der goldene Schnitt ist.
Der goldene Schnitt faszinierte die MathematikerInnen schon seit je her, und er taucht in vielen Bereich des Alltags auf, wie in der Musik, in der Natur oder in der Kunst. Was allerdings die Wenigsten wissen ist, dass der goldene Schnitt auch in einem numerischen Verfahren auftaucht, in dem es darum geht, durch ein geeignetes Intervall und in weiterer Folge durch geeignete Sekanten die Nullstellen von Funktionen zu ermitteln.
Bevor ich allerdings diesen Beweis führe, gebe ich in Kapitel 1 einige allgemeine Informationen zum goldenen Schnitt bzw. gebe einen Überblick, was die goldene Zahl 1+√52 geometrisch überhaupt bedeutet. Das Kapitel 1 orientiert sich an dem Buch "Der goldene Schnitt" von Albrecht Beutelspacher und Bernhard Petri.
Außerdem führe ich einen Beweis von Euler in diesem Kapitel, um den LeserInnen zu zeigen, wie man von einem gewissen Verhältnis zu dieser besonderen Zahl überhaupt gelangt.
Der Beweis in Kapitel 2, der sich an den Beweis von Bourgeois aus dem Buch "Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens" orientiert, wurde in drei Schritte aufgeteilt. Bevor allerdings dieser Beweis geführt wird, werde ich zunächst mal ganz allgemein einige Begriffe wie das Sekantenverfahren oder die Konvergenzordnung erklären. Weiters möchte ich ausführen, wofür das Sekantenverfahren angewendet wird.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Allgemeines zum goldenen Schnitt
- Definition des goldenen Schnittes
- Beweis des goldenen Schnittes
- Der goldene Schnitt im Sekantenverfahren
- Anhang
- Literaturverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit zielt darauf ab, den goldenen Schnitt im Kontext des Sekantenverfahrens zu beweisen. Die Arbeit untersucht die mathematischen Grundlagen des goldenen Schnitts und seine überraschende Anwendung in einem numerischen Verfahren zur Nullstellenbestimmung.
- Der goldene Schnitt: Definition und geometrische Bedeutung
- Beweis des goldenen Schnitts mittels mathematischer Herleitung
- Das Sekantenverfahren: Funktionsweise und Anwendungsbereiche
- Der goldene Schnitt als Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens
- Verbindung zwischen geometrischen und numerischen Aspekten des goldenen Schnitts
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Die Einleitung führt in das Thema der Bachelorarbeit ein und beschreibt die Zielsetzung, den goldenen Schnitt als Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens zu beweisen. Sie liefert einen Überblick über den goldenen Schnitt und seine Bedeutung in verschiedenen Bereichen, bevor sie die Struktur und den Aufbau der Arbeit erläutert. Es wird Bezug genommen auf das Buch „Der goldene Schnitt“ von Beutelspacher und Petri sowie auf „Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens“ von Bourgeois, die als Grundlage für die Beweisführung dienen.
1. Allgemeines zum goldenen Schnitt: Dieses Kapitel liefert grundlegende Informationen zum goldenen Schnitt. Es beginnt mit der Definition des goldenen Schnitts basierend auf Euklids „Elementen“, wobei die geometrische Konstruktion und die mathematische Formulierung des Verhältnisses zwischen den Teilstrecken einer im goldenen Schnitt geteilten Strecke erklärt werden. Das Kapitel enthält auch eine grafische Darstellung.
1.2. Beweis des goldenen Schnittes: Hier wird ein Beweis des goldenen Schnitts präsentiert, der auf Euler zurückgeht. Der Beweis leitet die Formel für den goldenen Schnitt (1+√5)/2 aus einem gegebenen Verhältnis her. Die mathematischen Schritte werden detailliert erklärt und die Logik hinter der Herleitung wird Schritt für Schritt erläutert, um den Leser zum Verständnis des Ergebnisses zu führen.
2. Der goldene Schnitt im Sekantenverfahren: Dieses Kapitel konzentriert sich auf den Beweis, dass die Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens der goldene Schnitt ist. Es werden zunächst grundlegende Begriffe wie das Sekantenverfahren und die Konvergenzordnung erklärt und deren Bedeutung im Kontext der Nullstellenbestimmung von Funktionen erläutert. Der Beweis selbst ist in drei Schritte unterteilt (obwohl die Details der Schritte hier nicht explizit dargestellt sind, da der Fokus auf dem Kapitel als Ganzes liegt).
Schlüsselwörter
Goldener Schnitt, Sekantenverfahren, Konvergenzordnung, numerische Verfahren, mathematischer Beweis, geometrische Konstruktion, Nullstellenbestimmung, Euler, Bourgeois.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur Bachelorarbeit: Der Goldene Schnitt im Sekantenverfahren
Was ist der Gegenstand dieser Bachelorarbeit?
Die Bachelorarbeit untersucht den goldenen Schnitt und beweist dessen Auftreten als Konvergenzordnung im Sekantenverfahren. Sie verbindet dabei geometrische und numerische Aspekte des goldenen Schnitts.
Welche Themen werden in der Arbeit behandelt?
Die Arbeit behandelt die Definition und geometrische Bedeutung des goldenen Schnitts, seinen mathematischen Beweis (nach Euler), die Funktionsweise und Anwendungsbereiche des Sekantenverfahrens, sowie die Verbindung zwischen dem goldenen Schnitt und der Konvergenzordnung des Sekantenverfahrens.
Welche Quellen werden verwendet?
Die Arbeit bezieht sich auf das Buch "Der goldene Schnitt" von Beutelspacher und Petri sowie auf "Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens" von Bourgeois. Diese dienen als Grundlage für die Beweisführung.
Wie ist die Arbeit strukturiert?
Die Arbeit besteht aus einer Einleitung, einem Kapitel über den goldenen Schnitt (inkl. Definition und Beweis), einem Kapitel über den goldenen Schnitt im Kontext des Sekantenverfahrens, einem Anhang und einem Literaturverzeichnis. Die Einleitung beschreibt die Zielsetzung und den Aufbau der Arbeit.
Wie wird der goldene Schnitt definiert und bewiesen?
Der goldene Schnitt wird basierend auf Euklids "Elementen" definiert und geometrisch konstruiert. Der mathematische Beweis, der in der Arbeit präsentiert wird, basiert auf der Arbeit von Euler und leitet die Formel (1+√5)/2 her.
Wie wird der goldene Schnitt im Sekantenverfahren behandelt?
Das Kapitel zum Sekantenverfahren konzentriert sich auf den Beweis, dass dessen Konvergenzordnung der goldene Schnitt ist. Es erklärt zunächst grundlegende Begriffe wie das Sekantenverfahren und Konvergenzordnung, bevor der dreistufige Beweis präsentiert wird. Die Details der Beweisschritte werden in der Zusammenfassung jedoch nicht explizit dargestellt.
Welche Schlüsselwörter beschreiben die Arbeit?
Schlüsselwörter sind: Goldener Schnitt, Sekantenverfahren, Konvergenzordnung, numerische Verfahren, mathematischer Beweis, geometrische Konstruktion, Nullstellenbestimmung, Euler, Bourgeois.
Wo finde ich die Kapitelzusammenfassungen?
Die HTML-Datei enthält Zusammenfassungen für die Einleitung und jedes Kapitel der Arbeit. Diese geben einen Überblick über den Inhalt der jeweiligen Abschnitte.
Für wen ist diese Arbeit gedacht?
Diese Arbeit ist für akademische Zwecke bestimmt und dient der Analyse von Themen im Bereich Mathematik und Numerik.
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- Simon Egger (Author), 2019, Der goldene Schnitt im Sekantenverfahren. Definition und Beweis, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1361151
