Bei den pythagoreischen Zahlentripeln sind mir zunächst bei bestimmten Tripeln Zusammenhänge aufgefallen. Ich war als Lehrer in der Lage, für jede Zahl größer als 2 ein pythagoreisches Zahlentripel anzugeben. Interessant war auch, wenn die Schüler:innen die Reihe fortsetzen sollten. Eigentlich gab es in der Klasse unter den Schüler:innen meistens eine:n, der für die geraden oder ungeraden Zahlen die Reihe fortsetzen konnte. Dies war auch der Anlass, die pythagoreischen Zahlen weiter zu untersuchen.
Zunächst habe ich herausgefunden, dass c bzw. b abhängig von d mit einer quadratischen Funktion dargestellt werden kann. Bei der Variablen d muss unterschieden werden zwischen einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl, so dass man jeweils 2 unterschiedliche Funktionen erhält. Durch das Finden von b wird dann c = b + d und anschließend a mit Hilfe des Satzes von Pythagoras gefunden. Durch Hinzunahme der Variablen q wurden die fehlenden Lücken bei der Funktion zur Bestimmung von c bzw. b geschlossen. Eine Herausforderung stellte das Finden der primitiven pythagoreischen Tripel dar. Dazu habe ich aus einer sogenannten Ausgangsfunktion Unterfunktionen bilden können, die nur primitive Tripel für c liefert. Dazu war noch eine Laufvariable i bei den Formeln nötig. Bei den Formeln spielte die Teilbarkeit und der ggT eine große Rolle. In Kapitel 7.6 ist der entscheidende Durchbruch für die Formeln gefunden worden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Die Variable d
2.1 Beweis für die ungerade Reihe (d = 1)
2.2 Beweis für die gerade Reihe (d = 2)
2.3 Herleitung der Formel für c mit d = 1 und d = 2
2.3.1 Wie entwickelt sich c bei d = 1
2.3.2 Formel bzw. Funktion für c bei d = 1
2.3.3 Wie entwickelt sich c bei d = 2
2.3.4 Formel bzw. Funktion für c bei d = 2
2.4 Weitere Reihen mit d = 3 bis d = 7
2.4.1 Herleitungen
2.4.2 Dazugehörige Formeln bzw. Funktionen
2.4.3 Abhängigkeit dieser Formeln zu d = 1 und d = 2
2.4.3.1 Variable d ungerade
2.4.3.2 Variable d gerade
3 Überraschung bei d = 8 und d = 9
3.1.1 Herleitung d = 8 mit Funktion
3.1.2 Herleitung d = 9 mit Funktion
3.2 Weitere Sonderfälle
3.2.1 Unterschied d „ungerade“ (d = 2n + 1 mit n ∈ ℕ0)
3.2.2 Unterschied d „gerade“ (d = 2n mit n ∈ ℕ)
3.3 Hinführung zur Formel
4 Formel, Funktion
4.1 Für d ungerade gilt:
4.2 Für d gerade gilt:
4.3 Beweis, dass a = √ (c² – b²) eine natürliche Zahl ist
4.3.1 Für d ungerade
4.3.2 Für d gerade
4.4 Gibt es noch weitere Zahlentripel
4.5 Funktionen zum Erstellen von Zahlentripeln mit Unterstützung von Excel
4.5.1 Für d ungerade
4.5.2 Für d gerade
4.5.3 Tabelle für die Funktionen bis d = 100
5 Weitere Erkenntnisse
5.1 Unterschied mit ungeradem d = c − b
5.2 Unterschied mit geradem d = c − b
5.3 Ablesen der Abhängigkeit an der Funktion
6 Auf der Suche nach den primitiven Zahlentripeln
6.1 ggT und die Zahlentripel (ggT ≙ größter gemeinsamer Teiler)
6.2 Zusammenhang der Formel mit der Erzeugung primitiver Zahlentripel
6.2.1 Tabellen
6.2.2 Fall 2a genauer betrachtet mit q > 1 und q² < d bzw. 2q² < d
6.2.2.1 Fall 2a für d ungerade
6.2.2.2 Fall 2a für d gerade
6.3 Formeln, die keine primitiven Zahlentripel liefern können
6.4 Erzeugung primitiver Tripel durch Funktionen des Typs 2b
6.5 Überblick/Beschreibung Sieb:
6.5.1 Sieben der Ausgangsfunktion mit „ungeradem d“
6.5.2 Sieben der Ausgangsfunktion mit „geradem d“
6.6 Begründung für die Restklassen modulo q bzw. 2q
6.6.1 Abhängigkeit der Ausgangsfunktion mit ungeradem d (d = q²)
6.6.2 Abhängigkeit der Ausgangsfunktion mit geradem d (d = 2q²)
7 Funktionen, die nur primitive Tripel liefern
7.1 Beispiel für das Erstellen der „Unterfunktionen“ aus der Ausgangsfunktion
7.2 Unterfunktionen für ungerades d bis d = 225
7.3 Unterfunktionen für gerades d bis d = 200
7.4 Weitere Zusammenhänge zwischen der Ausgangsfunktion und den „Unterfunktionen“
7.4.1 d ungerade (d = q²)
7.4.2 d gerade
7.5 Veränderte „Unterfunktionen“
7.5.1 Beispiele für d ungerade: d = 121 und d = 169
7.5.2 Beispiele für d gerade: d = 32 und d = 50
7.5.3 Vergleich Variante 1 und Variante 2 bei d = 121 und d = 32
7.6 !!Neu: Start für f und g gefunden!! Jetzt perfekt!!
7.6.1 Unterfunktionen für bestimmte gerade „d“, genauer d = 2q²
7.6.2 Unterfunktionen für bestimmte ungerade „d“, genauer d = q²
7.7 Weitere Erkenntnisse bei den Unterfunktionen mit nur primitiven Tripeln, Beweise
7.7.1 Fall 1: (d gerade und d = 2q²)
7.7.2 Fall 2: (d ungerade und d = q²)
8 Überblick der Funktionen zur Erzeugung von pythagoräischen Zahlentripeln (c, b, a)
8.1 Für alle Tripel
8.1.1 d ist ungerade:
8.1.2 d ist gerade:
8.2 Ausgangsfunktionen für primitive Zahlentripel
8.2.1 Für bestimmte ungerade „d“, genauer d = q²
8.2.2 Für bestimmte gerade „d“, genauer d = 2q²
8.3 Unterfunktionen hergeleitet aus den Ausgangsfunktionen
8.3.1 Unterfunktionen mit ungeradem q und d = q²
8.3.2 Unterfunktionen mit q Element aus ℕ und d = 2q²
9 Die neuen Funktionen auf einen Blick
9.1 Funktionspaar für alle pythagoräischen Tripel (Vorstufe)
9.1.1 d ungerade
9.1.2 d gerade
9.2 Funktionspaar für alle primitiven pythagoräischen Tripel, die wichtigste Erkenntnis meiner Arbeit
9.2.1 „Unterfunktionen“ mit ungeradem q und d = q² (d ungerade)
9.2.2 „Unterfunktionen“ mit q Element aus ℕ und d = 2q² (d gerade)
10 Kürzere Formeln mit Ausgangsgröße b
10.1 Funktionspaar für alle pythagoräischen Tripel (Vorstufe)
10.1.1 d ungerade
10.1.2 d gerade
10.2 Funktionspaar für alle primitiven pythagoräischen Tripel, die wichtigste Erkenntnis meiner Arbeit
10.2.1 „Unterfunktionen“ mit ungeradem q und d = q² (d ungerade)
10.2.2 „Unterfunktionen“ mit q Element aus ℕ und d = 2q² (d gerade)
11 Primitive Tripel als Funktionen für a (neu), b und c
11.1 „Unterfunktionen“ mit ungeradem q und d = q² (d ungerade)
11.2 „Unterfunktionen“ mit q Element aus ℕ und d = 2q² (d gerade)
11.3 Ausgangsfunktionen für primitive Tripel auch für a
11.3.1 Ausgangsfunktionen mit ungeradem q und d = q² (d ungerade)
11.3.2 Ausgangsfunktionen mit q und d = 2q² (d gerade)
11.4 Wie alles zusammenhängt, ausgehend von a
11.4.1 Zusammenhang der Ausgangsfunktionen für q ungerade (d = q²)
11.4.2 Zusammenhang der Unterfunktionen für q ungerade (d = q²)
11.4.3 Zusammenhang der Ausgangsfunktionen für d gerade, q ∈ ℕ (d = 2q²)
11.4.4 Zusammenhang der Unterfunktionen für d gerade, q ∈ ℕ (d = 2q²)
12 Fazit
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit setzt sich das Ziel, systematische mathematische Zusammenhänge bei der Entstehung und Erzeugung von pythagoräischen Zahlentripeln (a² + b² = c²) zu identifizieren. Durch die Einführung der Variable d (definiert als d = c - b) werden Funktionsvorschriften hergeleitet, die es ermöglichen, alle pythagoräischen Tripel sowie spezifisch primitive Tripel effizient zu bestimmen.
- Herleitung von allgemeinen Funktionspaaren für alle pythagoräischen Tripel unter Berücksichtigung der Parität von d.
- Untersuchung der Abhängigkeiten zwischen Ausgangsfunktionen und „Unterfunktionen“ mittels Restklassenbildung.
- Systematische Erzeugung primitiver Tripel durch Siebverfahren und mathematische Beweisführung.
- Optimierung der Formeln durch die Verwendung von Ausgangsgrößen und Unterstützung durch Excel-Berechnungsmodelle.
Auszug aus dem Buch
2.3.1 Wie entwickelt sich c bei d = 1
Dazu betrachten wir eine Excel Zahlenreihe mit der Bedingung.
Pythagoras mit c² − (c − 1)² = a², wobei 2c − 1 (= a²) dann eine Quadratzahl sein muss, damit ein gültiges pythagoräisches Zahlentripel entsteht.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in die Beobachtung von Zusammenhängen bei pythagoräischen Zahlentripeln anhand von ungeraden und geraden Zahlen.
2 Die Variable d: Mathematische Definition der Hilfsvariablen d als Differenz zwischen Hypotenuse und Kathete zur Systematisierung der Tripelreihen.
3 Überraschung bei d = 8 und d = 9: Analyse unerwarteter Ergebnisse bei spezifischen Differenzwerten, die zur Entdeckung weiterführender Gesetzmäßigkeiten führt.
4 Formel, Funktion: Präsentation der allgemeinen Funktionsvorschriften zur Berechnung von c und b in Abhängigkeit von d und weiteren Koeffizienten.
5 Weitere Erkenntnisse: Vertiefende mathematische Einsichten in die Struktur der gefundenen Funktionen und deren Abhängigkeiten.
6 Auf der Suche nach den primitiven Zahlentripeln: Herleitung von Selektionskriterien mittels ggT-Analyse, um ausschließlich primitive Tripel zu isolieren.
7 Funktionen, die nur primitive Tripel liefern: Vorstellung der „Unterfunktionen“, die mittels spezifischer Restklassenmoduln zur exakten Erzeugung primitiver Tripel dienen.
8 Überblick der Funktionen zur Erzeugung von pythagoräischen Zahlentripeln (c, b, a): Zusammenfassende Darstellung der erarbeiteten Erzeugungsfunktionen für verschiedene d-Typen.
9 Die neuen Funktionen auf einen Blick: Komprimierte Übersicht der Funktionspaare für allgemeine und primitive Zahlentripel.
10 Kürzere Formeln mit Ausgangsgröße b: Präsentation optimierter Formelvarianten durch direkte Verwendung der Kathete b.
11 Primitive Tripel als Funktionen für a (neu), b und c: Ergänzung der Berechnungsmodelle um die Kathete a zur vollständigen Repräsentation der Tripelstruktur.
12 Fazit: Rückblick auf den Forschungsprozess und die Bedeutung der entdeckten mathematischen Strukturen.
Schlüsselwörter
Pythagoräische Zahlentripel, Variable d, Ausgangsfunktion, Unterfunktionen, Restklassen, Primzahl, primitives Tripel, ggT, Katheten, Hypotenuse, mathematisches Sieb, Funktionsvorschrift, Zahlentheorie, Excel-Berechnungsmodell, Variable q
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit fundamental?
Die Arbeit untersucht Gesetzmäßigkeiten bei der Bildung pythagoräischer Zahlentripel und entwickelt mathematische Funktionen, um diese systematisch zu generieren.
Welche zentralen Themenbereiche werden bearbeitet?
Im Zentrum stehen die Struktur der Tripel, die Einführung der Hilfsvariablen d sowie die Herleitung von Funktionen, um primitive Tripel von nicht-primitiven zu unterscheiden.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Ziel ist es, allgemeingültige mathematische Vorschriften zu finden, die aus einem gegebenen Parameter d alle zugehörigen pythagoräischen Tripel (a, b, c) ableitbar machen.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Es werden algebraische Herleitungen, Zahlreihenanalysen (Excel-gestützt) und Restklassenbetrachtungen angewandt, um allgemeine Funktionsvorschriften zu verifizieren.
Was deckt der Hauptteil der Arbeit ab?
Der Hauptteil behandelt die Systematisierung durch die Variable d, die Untersuchung von Sonderfällen (d=8, d=9) und die Entwicklung von Unterfunktionen für primitive Tripel.
Durch welche Schlüsselbegriffe ist die Arbeit charakterisiert?
Schlüsselbegriffe sind pythagoräische Zahlentripel, die Differenzgröße d, Unterfunktionen, Restklassenbildung und das "Sieben" primitiver Tripel.
Warum spielt die Variable d eine so bedeutende Rolle?
Die Variable d (definiert als c - b) ermöglicht es, die unendlich vielen Tripel in systematisierte Reihen einzuordnen, was die mathematische Erzeugung erst praktikabel macht.
Wie unterscheidet die Arbeit zwischen primitiven und nicht-primitiven Tripeln?
Dies erfolgt über eine ggT-Analyse und ein Siebverfahren, das x-Werte filtert, deren Restklassen mit den Hilfsvariablen q oder 2q nicht teilerfremd sind.
- Citation du texte
- Wolfgang Mülhaupt (Auteur), 2023, Pythagoreische Zahlentripel und wie Formeln entstehen. Ein neuer Ansatz mit d = c - b, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1365537
