Unser Verständnis davon, um was es sich bei mathematischen Gegenständen (wie z.B. Funktionen oder auch Kreisen und Rechtecken) eigentlich handelt, hängt eng mit unserem (Vor-) Verständnis damit zusammen, worin die begründbare Grundlage der mathematischen Gegenstände und Operationen tatsächlich besteht. Nun gab es verschiedene berechtigte Annahmen über die begründbare geistige Grundlage mathematischer Gegenstände. Rudolf Carnap (1891-1970) nennt drei Richtungen, in der das Problem der „logischen und erkenntnistheoretischen Grundlegung der Mathematik“ zu lösen versucht wurde: (1) Logizismus, (2) Intuitionismus und (3) Formalismus. Raum ist nur für eine kurze Diskussion, worin die Stärke des Neologizismus besteht. Seine Bedeutung beruht auf dem Gedanken, dass alle mathematischen Disziplinen (wie auch die natürlichen Sprachen, wie z.B. Deutsch oder Chinesisch) in der logischen Struktur des menschlichen Geistes verankert sind. Alle mathematischen Disziplinen müssten auf Logik (und grundlegende analytische Wahrheiten) rückführbar sein.
Inhaltsverzeichnis
(A) Was ist Logizismus?
(B) Was versteht man unter Neo-Logizismus?
Zielsetzung und Themen der Arbeit
Die vorliegende Forschungsarbeit untersucht die wissenschaftshistorische Entwicklung sowie die philosophische Grundlegung des Logizismus und dessen Weiterentwicklung zum Neo-Logizismus. Das primäre Ziel ist es, die Rückführbarkeit mathematischer Begriffe und Sätze auf rein logische Grundoperationen zu analysieren und zu erörtern, inwieweit die Mathematik als ein Teilgebiet der Logik verstanden werden kann.
- Grundlagentheoretische Einordnung mathematischer Gegenstände
- Die historische Genese des Logizismus nach Gottlob Frege und Bertrand Russell
- Darstellung der drei zentralen Thesen des ursprünglichen Logizismus
- Analyse des Neo-Logizismus als Revival mathematisch-logischer Forschung seit 1980
- Verbindung zwischen mathematischem Verständnis und menschlichen sprachlichen Strukturen
Auszug aus dem Buch
(A) Was ist Logizismus?
Unser Verständnis davon, um was es sich bei mathematischen Gegenständen (wie z.B. Funktionen oder auch Kreisen und Rechtecken) eigentlich handelt, hängt eng mit unserem (Vor-) Verständnis damit zusammen, worin die begründbare Grundlage der mathematischen Gegenstände und Operationen tatsächlich besteht. Nun gab es verschiedene berechtigte Annahmen über die begründbare geistige Grundlage mathematischer Gegenstände. Rudolf Carnap (1891-1970) nennt drei Richtungen, in der das Problem der „logischen und erkenntnistheoretischen Grundlegung der Mathematik“ zu lösen versucht wurde [Diese Einteilung wird auch in neueren Arbeiten zu dem Thema übernommen (Vgl. Strathewerd, Rolf, 2004)]: (1) Logizismus, (2) Intuitionismus und (3) Formalismus (Sh. auch R. Carnap 1931, 91). Während der Intuitionismus (L.E.J. Brouwer) die Wahrheit der Mathematik auf Konstruierbarkeit reduziert, basierend auf einer „intuitiven“ Vorstellung der mathematischen Objekte, sieht der Formalismus (D. Hilbert) die Mathematik wesentlich als ein (mechanisches) Spiel an, das auf einem gewissen (axiomatischen) Regelwerk beruht, mit dem diverse Zeichenketten manipuliert werden.
Der Logizismus, also die Rückführung unseres mathematischen Wissens auf logische Grundoperationen, wurde im 19. und frühen 20. Jahrhundert eingeführt. Der Begriff Logizismus lässt sich, so hört man immer wieder, bis auf Gottlob Frege (1848-1925) zurückverfolgen. Rudolf Carnaps folgender Äußerung zu diesem Thema dürfen wir vertrauen: „Als ‚Logizismus‘ wird die Auffassung bezeichnet, dass die Mathematik auf die Logik zurückführbar, also nichts anderes als ein Teil der Logik sei. Diese Auffassung ist von Frege (1884) zum erstenmal vertreten worden“ (R. Carnap, 1931, 91).
Zusammenfassung der Kapitel
(A) Was ist Logizismus?: Dieses Kapitel erläutert die Grunddefinition des Logizismus als Reduktion der Mathematik auf logische Grundoperationen und stellt diesen den konkurrierenden Strömungen Intuitionismus und Formalismus gegenüber. Dabei werden die zentralen Thesen von Frege und Carnap zur Ableitbarkeit mathematischer Begriffe und Sätze aus logischen Axiomen dargelegt.
(B) Was versteht man unter Neo-Logizismus?: Hier wird die moderne Wiederbelebung des logizistischen Programms seit etwa 1980 analysiert, wobei insbesondere die Rolle von Crispin Wright und Edward Zalta hervorgehoben wird. Es wird aufgezeigt, wie diese Strömung die Idee einer gemeinsamen logischen Quelle für mathematisches und sprachliches Verständnis postuliert.
Schlüsselwörter
Logizismus, Neo-Logizismus, Mathematik, Logik, Arithmetik, Gottlob Frege, Bertrand Russell, Erkenntnistheorie, Logische Deduktion, Gegenstandstheorie, Zalta, Wright, Analytische Wahrheiten, Mathematische Philosophie, Logische Grammatik
Häufig gestellte Fragen
Was ist das grundlegende Thema der Forschungsarbeit?
Die Arbeit untersucht die philosophischen und wissenschaftshistorischen Grundlagen des Logizismus, also die These, dass die Mathematik vollständig auf die Logik reduziert werden kann.
Welche zentralen Themenfelder werden behandelt?
Die Arbeit fokussiert sich auf die Einordnung des Logizismus innerhalb der mathematischen Grundlagenlehre, die historische Entwicklung durch Frege und Russell sowie die moderne Fortführung im Neo-Logizismus.
Was ist die zentrale Forschungsfrage?
Die Untersuchung geht der Frage nach, ob und wie mathematische Begriffe und Gesetze als rein logische Ableitungen oder Konstruktionen verstanden werden können, die in einer gemeinsamen geistigen Struktur gründen.
Welche wissenschaftliche Methode nutzt der Autor?
Es handelt sich um eine wissenschaftshistorische und philosophische Analyse, die mit Literaturstudien namhafter Logiker und Mathematiker arbeitet, um die logizistische Begründungsthese zu explizieren.
Was umfasst der Hauptteil der Arbeit?
Der Hauptteil behandelt die theoretischen Definitionen des Logizismus, die Abgrenzung von Intuitionismus und Formalismus sowie die Analyse von Neo-Logizismus-Ansätzen, insbesondere der Gegenstandstheorie von Zalta und Linsky.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Logische Deduktion, Erkenntnistheorie der Mathematik, Gegenstandstheorie und die Theorie der analytischen Wahrheiten charakterisieren.
Wie unterscheidet sich der Neo-Logizismus vom ursprünglichen Logizismus?
Der Neo-Logizismus setzt das Programm des ursprünglichen Logizismus seit ca. 1980 fort ("Reducing mathematics to logic alone"), wobei ein stärkeres Augenmerk auf abstrakte Gegenstandstheorien und die methodische Durchdringung mathematischer Theorien durch logische Grammatik gelegt wird.
Welches Verhältnis besteht laut Autor zwischen Mathematik und natürlicher Sprache?
Der Autor argumentiert, dass sowohl mathematische als auch natürliche Sprachen auf einer gemeinsamen Quelle, nämlich der logischen Struktur des menschlichen Geistes, beruhen, auch wenn sie im Erscheinungsbild unähnlich wirken.
- Arbeit zitieren
- Aaron Fellbaum (Autor:in), 2023, Was genau ist Neo-Logizismus?, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1381954
