Realisierung einer prototypischen Hardwarelösung für ein inverses Pendel

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Motivation
1.2 Analyse der Aufgabenstellung
1.3 Gliederung der Arbeit

2 Grundlagen
2.1 Referenzanwendung Inverses Pendel
2.1.1 Prinzip
2.1.2 Anwendung und Bedeutung
2.2 Aufbau des Regelsystems
2.2.1 Modellierung
2.2.2 Stabilität
2.2.3 Steuerbarkeit
2.2.4 Beobachtbarkeit
2.3 Verfahren zum Reglerentwurf
2.3.1 PI-Mehrgrößenregler
2.3.2 Polvorgabe
2.3.3 LQR-Entwurf
2.4 Verfahren zur Zustandsschätzung
2.4.1 Luenberger-Beobachter
2.4.2 Kalman-Filter
2.5 Sensorik
2.5.1 Winkel
2.5.2 Position
2.6 Antrieb

3 Inverse Pendel im Vergleich
3.1 Bauformen
3.2 Realisierungsbeispiele
3.2.1 Inverses Pendel - Fertigstellung eines Versuchsaufbaues und Pro- grammierung einer Echtzeit-Regelung
3.2.2 Universität Bremen, Schwerpunktlabor Regelungstechnik - Labor- versuch Pendel
3.2.3 Nichtlineare Regelung eines Inversen Pendels mit begrenztem Fahrweg
3.2.4 Sichere manuelle Regelung instabiler Systeme
3.2.5 Stabilisierung eines Inversen Pendels mit einem redundanten Roboter
3.3 Fazit der Recherche

4 Elektromechanischer Aufbau
4.1 Mechanik
4.2 Sensorik
4.3 Antrieb
4.4 FPGA-Board

5 Modellbildung
5.1 Herleitung der Systemgleichungen
5.2 Anpassung an den Schrittmotor
5.3 Linearisiertes Modell im Zustandsraum
5.4 Analyse der Modelleigenschaften
5.4.1 Stabilität des Modells
5.4.2 Steuerbarkeit des Modells
5.4.3 Beobachtbarkeit des Modells

6 Reglerentwurf
6.1 Einstellung des LQ-Reglers
6.2 Einstellung des Kalman-Filters
6.3 Aufschwing- und Fangalgorithmus
6.4 Simulation
6.4.1 Matlab vs. VHDL-AMS
6.4.2 Verhalten des LQ-Reglers
6.4.3 Verhalten der Regelung mit Kalman-Filter
6.4.4 Aufschwingen und Fangen
6.5 Konsequenzen für die Realisierung

7 Implementierung
7.1 Besonderheiten des Hardware-Entwurfs
7.2 Systempartitionierung und Entwurfsstrategie
7.3 Teilkomponenten
7.3.1 Schrittzähler und Ansteuerung
7.3.2 Logik für Steuerflags
7.3.3 Steuerungsautomat
7.3.4 Nutzung des Hardware-Moduls Kalman-Filter
7.4 Modifizierung des Kalman-Filters
7.4.1 Parametrisierung
7.4.2 Schnittstelle
7.4.3 Rechenablauf
7.4.4 Algorithmus des steady-state Kalman-Filters
7.4.5 Speicherbelegung
7.5 Probleme
7.5.1 Aufschwing- und Fangalgorithmus
7.5.2 Feineinstellung des Fangalgorithmus
7.5.3 Drift des Nullwinkels

8 Schluss
8.1 Zusammenfassung
8.2 Ergebnisse
8.3 Ausblick

Literaturverzeichnis

A Details zum Projekt
A.1 Kurzdokumentation
A.2 Datei- und Verzeichnisstruktur
A.3 Simulationsresultate

Kurzreferat

Ziel der Arbeit ist die anschauliche Demonstration der Leistungsfähigkeit von Hardware- Systemen zur Regelung instabiler Systeme am Beispiel des Inversen Pendels. Dabei han- delt es sich um das Balancieren eines Stabes, einem Standard-Problem der Regelungs- technik. Es wird die Konzeption und Implementierung einer Hardware-Regelung in einem FPGA-Prototypenboard zur Realisierung dieser Aufgabe beschrieben. Die Regelung ba- siert mit LQR-Entwurf und Kalman-Filter auf klassischen Methoden der Regelungstech- nik. Zur Demonstration der Regelung wurde ein mechanischer Aufbau vorgenommen, an dem die Funktionsfähigkeit des Inversen Pendels praktisch gezeigt wurde.

Abbildungsverzeichnis

2.1 Skizze eines Inversen Pendels

2.2 Segway HT - eine neue Art der Fortbewegung

2.3 Mehrgr öß enregelung f ü r ein Inverses Pendel

2.4 Signalflussplan der zustandsgeregelten Strecke

2.5 Gebiet f ü r die Vorgabe der Eigenwerte

2.6 Zustandsr ü ckf ü hrung mit Lueneberger-Beobachter

2.7 Gray-codiertes Encodersegment

2.8 Winkelmessung mittels Hall-Sensoren

2.9 Aufbau eines bipolaren Schrittmotors (vereinfacht)

2.10 Funktionsprinzip und Spulenstr ö me im Vollschrittmodus

2.11 Funktionsprinzip und Spulenstr ö me im Halbschrittmodus

2.12 Funktionsprinzip und Spulenstr ö me im Mikroschrittmodus

2.13 Drehmoment-Schrittfrequenz Diagramm

3.1 Labormodell Inverses Pendel der TU Graz

4.1 schematischer Systemaufbau

4.2 Aufbau des Inversen Pendels aus einem Drucker

4.3 Leiterplatte f ü r Potentiometer in der Farbpatrone

4.4 Erste Leiterplatte f ü r den Schrittmotortreiber

4.5 Steuersequenz f ü r Halbschrittmodus

4.6 Abnahme des maximalen Spulenstroms bei hohen Schrittfrequenzen

4.7 konstanter Spulenstrom durch Phasenstromregelung

4.8 Leiterplatte f ü r den Schrittmotortreiber mit Phasenstromregelung

5.1 Modell des Pendels

5.2 Teilsystem Wagen

5.3 Teilsystem Pendel

5.4 Pole des ungeregelten Systems

5.5 Sprungantwort des ungeregelten Systems

6.1 Systemmodell der Regelung

6.2 Sprungantwort des geregelten Systems

6.3 geregeltes Systems mit Kalman-Filter

6.4 vergr öß erte Darstellung der gesch ä tzten Zustandsgr öß en

6.5 Simulation von Aufschwingen und Fangen des Pendels

6.6 Trajektorie des Aufschwingens

6.7 Zeitverlauf der Kalman-Verst ä rkungsmatrix

7.1 Partitionierung des FPGA-Entwurfs

7.2 Ableitung von Steuersignalen aus der Wagenposition

7.3 Ableitung von Steuersignalen aus dem Pendelwinkel

7.4 Automatengraph der zentralen Steuerung

7.5 Aufbau der Kalman-Filter Komponente

7.6 Automatengraph des I/O-Interface zum Kalman-Filter

7.7 Umrechnung der Position in das Festkommaformat

7.8 Umrechnung der Geschwindigkeit in eine Taktanzahl

7.9 Aufteilung des Matrizenspeichers

8.1 Der Demonstrator zur Hardware-Regelung eines Inversen Pendels

A.1 Simulation der Aufschwingregelung in Matlab

A.2 Simulation der Zustandssch ä tzung mit Modelsim

Tabellenverzeichnis

3.1 Übersicht über das IP von Migge

3.2 Übersicht über das IP von Bremen

3.3 Übersicht über das IP von Wei

3.4 Übersicht über das IP vonÅkesson

3.5 Übersicht über das IP von Ott, Schreiber und Hirzinger

4.1 Geschwindigkeitsdaten des Schrittmotors

7.1 Berechnungsablauf des Kalman-Filter Controllers

Abkürzungsverzeichnis

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Kapitel 1 Einleitung

1.1 Motivation

Regelungen findet man heute auf vielen technischen und nichttechnischen Gebieten. Angefangen von Regelungen in Haushaltsgeräten über geregelte Fahrzeugsysteme (z. B. Klimaanlage, Stabilitätskontrolle) bis hin zu Prozessregelungen industrieller Großanlgagen oder Lageregelung von Satelliten besteht ein großer Bedarf an Regelungssystemen. Während einfache Regelungsaufgaben rein mechanisch gelöst werden können, sind für komplexere Aufgaben Mikroprozessoren oder Prozessrechner notwendig.

Ziel dieser Arbeit ist es zu zeigen, inwieweit derartige Regelungen durch dedizierte Hard- ware¹ realisiert werden können. Dazu soll ein Stab unter Nutzung von Hardwarealgorith- men auf einem beweglichen Schlitten zu balanciert und damit die Leistungsfähigkeit digi- taler Hardwaresysteme in Bezug auf zeitkritische Regelungsaufgaben demonstriert werden.

Im Gegensatz zu existierenden Realisierungen des Inversen Pendels soll dabei eine rein in Hardware als Anwendungsspezifischer Schaltkreis (ASIC) vorliegende Lösung entwickelt werden. Demnach soll auf die Nutzung von Software und Mikroprozessoren außer im Entwurfsprozess verzichtet werden. Der eigentliche Regler wird auf einen einzigen rekon- figurierbaren Schaltkreis reduziert und ist damit unabhängig von einem sehr viel größeren Prozessrechner. Dadurch ist eine gewisse Miniaturisierung des gesamten Systems möglich, da eine funktionstüchtige Installation des Inversen Pendels im Schaukasten des Lehrstuhls erfolgen soll.

1.2 Analyse der Aufgabenstellung

Rechercheaufgabe Als Ergebnis der Literaturrecherche soll ein konkreter Vorschlag zur Realisierung einer Regelung des Inversen Pendels stehen. Dieser sollte Aussagen zum Regelalgorithmus, der Sensorik und dem mechanischen Aufbau enthalten. Dazu sind verschiedene Lösungen gegenüberzustellen und zu vergleichen. Deren Relevanz ist anhand der in der Aufgabenstellung genannten Randbedingungen zu prüfen.

Konzeptionsaufgabe Entsprechend der Forderung in der Aufgabenstellung ist der am Lehrstuhl als Komponente vorhandene Kalman-Filter und ein FPGA² -Prototypenboard als Realisierungsplatform in die Konzeption einzubeziehen. Daraus und aus den Rechercheergebnissen soll eine Konzeption für ein konkretes Inverses Pendel mit einer in VHDL beschriebenen Regelung abgeleitet werden.

Realisierungsaufgabe Es ist ein mechanischer Aufbau vorzunehmen, der die Funkti- onstüchtigkeit der Regelung demonstriert. Als Vorgabe steht hier eine Installierbarkeit des Systems im lehrstuhleigenen Schaukasten. Damit sind die Dimensionen des Aufbaus begrenzt, was in die Konzeption einzubeziehen ist. Alle weiteren Entscheidungen des Aufbaus wie Sensoren und Antrieb sind aus den Ergebnissen der Recherche abzuleiten.

1.3 Gliederung der Arbeit

Zum allgemeinen Verständnis der zu implementierenden Regelungsaufgabe wird in Kapi- tel 2 ein Überblick über das Inverse Pendel gegeben und Grundlagen zur regelungstechni- schen Bearbeitung dieses Problems in der Literatur dargestellt. Vor diesem Hintergrund werden in Kapitel 3 einzelne Realisierungen verglichen und daraus Schlussfolgerungen für die konkrete Umsetzung der Hardware-Lösung des Pendels gezogen. Kapitel 4 be- schreibt ausgehend von diesen Ergebnissen den mechanischen und elektrischen Aufbau des Demonstrators. Dieser muss vor dem Reglerentwurf mathematisch modelliert werden (Kapitel 5). Die Parametrisierung von Regler und Zustandsschätzung sowie der Entwurf einer Aufschwingregelung wird neben den Simulationsergebnissen in Kapitel 6 dargestellt. Mit der Implementierung der Regelung in Hardware und dabei aufgetretenen Problemen beschäftigt sich Kapitel 7. Die Arbeit schließt mit einer Zusammenfassung, den Ergeb- nissen und dem Ausblick auf weitere Arbeiten in Kapitel 8.

Kapitel 2 Grundlagen

In diesem Kapitel werden verschiedene Aspekte zum allgemeinen Verständnis der Aufgabenstellung dargelegt. Zunächst wird ein Überblick über das regelungstechnische Problem Inverses Pendel und dessen Bedeutung gegeben. Danach werden einige für die weitere Konzeption wichtige Begriffe aus der Regelungstechnik erklärt. Schließlich folgt eine aus der Recherche hervorgegangene Gegenüberstellung möglicher Herangehensweisen für den Entwurf und Aufbau des Regelungssystems.

2.1 Referenzanwendung Inverses Pendel

2.1.1 Prinzip

Wer hat als Kind nicht auch schon versucht, einen Besenstiel auf der Handfläche zu balancieren? Um den Stab aufrecht zu halten, musste dieser ständig beobachtet und die Position der Hand entsprechend korrigiert werden. Was der Mensch schon relativ früh intuitiv beherrscht, ist für Maschinen oder Roboter hingegen eine große Herausforderung.

Schließlich muss dazu den vergleichsweise ”unerfahrenen“Computernbzw.Schaltkreisen erst einmal die Physik eines umgekehrten Pendels und die zur Balance dessen nötigen Bewegungen beigebracht werden.

Diese auch als ”broombalancing“¹ oderInversesPendelbekannteStabilisierungsaufga-

be ist sowohl eines der bedeutendsten als auch anschaulichsten klassischen Probleme der Regelungstechnik. Der mechanische Aufbau besteht dabei aus einem horizontal frei be- weglichen Wagen auf einer Schiene, an dem drehbar ein Stab mit einem Freiheitsgrad angebracht ist (Bild 2.1). Aufgabe der Regelung ist es, das Pendel durch eine geeignete Ansteuerung des Schlittens in der aufrechten Position balanciert zu halten. Außerdem soll die Wagenposition vorgegeben werden können. Da mit diesen Vorgaben ein nichtlineares, instabiles und unteraktuiertes ^[2] System im regelungstechnischen Sinne vorliegt, ist dies eine überaus anspruchsvolle Aufgabe.

Die Realisierung eines geeigneten Reglers kann mittels verschiedener Entwurfsstrategien wie PI-Regler, Regler mit Polvorgabe, LQR-Regler, Fuzzy Systeme oder Neuronale Netze erfolgen. Eine Gegenüberstellung möglicher Regler erfolgt in Kapitel 6. Oft wird auch das Aufschwingen des Pendels aus der Nulllage durch Bewegungen des Wagens realisiert. Dafür sind nichtlineare Herangehensweisen wie Energieansätze erforderlich.

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Bild 2.1: Skizze eines Inversen Pendels [Ami]

2.1.2 Anwendung und Bedeutung

Lehre Das Inverse Pendel ist von seiner theoretischen Modellierung und seinen Anfor- derungen an eine Stabilisierung her gesehen also durchaus komplex, gleichzeitig aber von seinem einfachen Aufbau und seiner Anschaulichkeit her kaum zu übertreffen. Zwar ist es ein nichtlineares System, kann aber ohne größere Abweichungen für einen gewissen Aus- lenkungsbereich als linear behandelt werden. Diese Eigenschaften machen Inverse Pendel weltweit zu beliebten Lehr- und Praktikumsobjekten im Fachbereich der Regelungstech- nik, so z. B. in der Schweiz [SB01], den USA [Lou], Deutschland [Bre99] und Pakistan [Sul03].

Referenzanwendung Außerdem dient es in der Forschung als Benchmark-Anwendung³ zur Demonstration neuer Regelungsalgorithmen (siehe [CH95], [Wen00a] und [LM94]). So wird in [GG01] beispielsweise über einen Versuch berichtet, der im Jahr 1987 zum wissenschaftlichen Durchbruch der Fuzzy Logik in Japan führte:

” A ufderJahreskonferenzderInternationalFuzzySystemAssociationinTokiof ü hrteTa- keshi Yamakawa ein invertiertes Pendel als physikalisches System vor, welches mittels

Fuzzy Control eines linear verfahrbaren Pendelschlittens als Reaktion auf Pendelauslen kungen im Gleichgewicht gehalten wurde. W ä hrend der Vorf ü hrung entfernte er Fuzzy Regeln aus dem verwendeten Steuerungsprogramm, und zur Ü berraschung aller Beobachter konnte der Stab dennoch aufrecht gehalten werden. “

Praktische Anwendungen Das Problem des Inversen Pendels ist allerdings nicht nur von rein akademischem Interesse. Derartige Regelungsaufgaben finden sich durchaus ebenso in der Praxis. Im Folgenden werden einige Anwendungen genannt [HRS01].

- Balancieren einer Rakete bei der Fahrt von der Montagehalle zur Startrampe
- Stabilisierung der vertikalen Position eines Space Shuttles in den ersten Flugab- schnitten
- Halten eines zweibeinigen Roboters in einer aufrechten Position - auch ein stillstehender Mensch kann so als ein inverses Pendel betrachtet werden
- Dynamik eines Roboterarms für den Fall, dass der Kraftangriff unter dem Schwerpunkt des Armes liegt und das System somit instabil ist
- Einachsige, selbststabilisierende Roller, z.B. SegwayTM Human Transporter (siehe Bild 2.2, [Seg])

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Bild 2.2: Segway HT - eine neue Art der Fortbewegung

Eine weitere dem Inversen Pendel ähnliche Stabilisierungsaufgabe findet sich in der so- genannten Lastkranregelung. Dabei soll eine von einem Kran transportierte schwingende Last durch lineare Bewegungen des Kranläufers möglichst schnell zum Stillstand gebracht werden. In gewisser Hinsicht könnte man das Inverse Pendel als eine gestellte“ Lastkranregelung bezeichnen.

2.2 Aufbau des Regelsystems

Regelung Unter der Regelung eines Systems versteht man

”aufdenKopf

einen Vorgang, bei dem eine Größe (Ist- oder Regelgröße) fortlaufend erfasst und mit einer anderen Größe (Soll- oder Führungsgröße) verglichen wird, wobei deren Differenzsignal (Stellgröße) den zu regelnden Prozess im Sinne einer Angleichung an die Führungsgröße beeinflusst ([Gee04, S. 4] nach DIN 19226). Im Gegensatz zur Steuerung (open loop) findet der gesamte Wirkungsablauf in einem geschlossenen Kreis (closed loop) statt; die Ausgangsgrößen wirken also auf die Eingangsgrößen zurück.

Mehrgrößensystem Liegen bei einer Regelung mehrere stark miteinander verkoppelte Regel- und Stellgrößen vor, die nicht mehr getrennt voneinander behandelt werden kön- nen, spricht man von einem Mehrgrößensystem. Ein Beispiel dafür ist das Inverse Pendel, bei dem Wagenposition, Geschwindigkeit, Auslenkung, und Winkelgeschwindigkeit zu- sammenhängen und nicht unabhängig voneinander auf vorgegebene Sollwerte gebracht werden können. Ein solches System mit mehreren Regelgrößen und einer Stellgröße wird in der englischsprachigen Literatur auch als MISO-System (multiple input, single output) bezeichnet.

Um für die Regelstrecke bei Mehrgrößensystem eine möglichst kompakte Beschreibung zu erhalten, werden die meist elektrischen Ein- und Ausgangsgrößen zu den Vektoren u(t) und y(t) zusammengefasst. Zusätzlich werden für die Regelung derartig verkoppelter Systeme oft auch nicht messbare interne Zustandsgrößen benötigt, welche mit dem Vektor x(t) beschrieben werden. Diese müssen aus den gemessenen Größen mittels sogenannter Beobachter oder Zustandsschätzer rekonstruiert werden.

Der prinzipielle Aufbau der Regelung eines dynamischen Mehrgrößensystems ist am Beispiel des eindimensionalen Inversen Pendels in Bild 2.3 dargestellt.

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Bild 2.3: Mehrgr öß enregelung f ü r ein Inverses Pendel

Damit der Prozess geregelt werden kann, muss er mit geeigneten Sensoren und Aktoren (Antrieb) versehen werden. Das so instrumentierte mechanische Teilsystem wird Regel- strecke genannt. Im Fall des Inversen Pendels besteht diese i. Allg. aus dem Pendelwagen mit Linearführung, dem Antrieb, sowie Sensoren für die Messung von Winkel und Positi- on.

Das elektrische Teilsystem beinhaltet Komponenten zur Aufbereitung der Sensordaten und zur Verstärkung des Stellsignals, den Zustandsschätzer und den eigentlichen Regler. Letzterer bewirkt eine Umsetzung des rekonstruierten Systemzustands in eine geeignete Stellgröße. Dies geschieht mittels eines speziellen Rückführungsgesetzes und ist Gegenstand des Reglerentwurfes.

Sowohl der Entwurf des Reglers als auch des Zustandsschätzers basiert auf einer mathe- matischen Beschreibung der Regelstrecke. Dies soll im Folgenden betrachtet werden.

2.2.1 Modellierung

Mehrgrößensysteme lassen sich im Zeitbereich mit Differentialgleichungen, dem Zustands- raummodell oder als Übergangsfunktionsmatrix beschreiben. Ferner ist eine Beschreibung im Frequenzbereich mittels der Übertragungsfunktionsmatrix möglich, soll aber wegen dem erhöhten Rechenaufwand durch die zusätzlich nötige Laplace-Transformation hier nicht betrachtet werden.

Zustandsraum Da für die Analyse und Synthese von Regelsystemen heute fast aus- schließlich digitale Rechenprogramme verwendet werden, hat die Darstellung des Systems durch das Zustandsraummodell mittlerweile die größte Bedeutung gewonnen. Dabei han- delt es sich um in Matrizenschreibweise umgeformte Differentialgleichungen, auf die sich effiziente Algorithmen anwenden lassen [Sch95, S. 290ff]. Auf diesen Zustandsgleichungen basiert auch der zu verwendente Kalman-Filter, was einen weiteren Grund für die Verwendung gerade dieser Modellierung darstellt. Ein System von linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung lässt sich im Zustandsraum kompakt mit folgenden Vektordifferentialgleichungen 1. Ordnung beschreiben:

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(2.1)

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(2.2)

In diesem als Zustandsdarstellung bezeichneten Gleichungssystem sind

- x(t) der interne Zustandsvektor mit der Dimension n,
- u(t) der Eingangsvektor mit der Dimension m,
- y(t) der Ausgangsvektor mit der Dimension p,
- A die Systemmatrix mit der Dimension n × n,
- B die Eingangsmatrix mit der Dimension n × m,
- C die Ausgabematrix mit der Dimension p × n,
- D die Durchgangsmatrix mit der Dimension p × m.

Die Matrix D in (2.2) verbindet den Eingang u direkt und trägheitslos mit dem Ausgang y. Da dies in physikalischen Systemen nicht vorkommt, wird D oft gleich null gesetzt. Anhand dieser mathematischen Modellierung können nun weitere regelungstechnisch bedeutende Eigenschaften des Systems analysiert werden.

2.2.2 Stabilität

Ziel der Regelung vieler Mehrgrößensysteme, wie auch des Inversen Pendels, ist eine Stabi- lisierung des Systemzustandes in einem bestimmten Punkt. Dafür ist zunächst ein näheres Verständnis über den Begriff und die Definition der Stabilität im Sinne der Regelungs- technik notwendig. In Lehrbüchern zur Regelungstechnik (z. B. [Lun97, S. 49f], [Sch95, S. 114]) findet man hierzu:

Definition 2.1 Ein dynamisches System ist stabil, wenn seine transienten Antworten bei beliebigen Anfangsbedingungen f ü r t → ∞ nach Null abklingen. F ü r ein lineares zeitinvariantes System ist das genau dann der Fall, wenn alle Pole des Systems einen negativen Realteil haben.

In der Zustandsdarstellung eines Systems bedeutet dies, dass alle Zustandsgrößen x mit der Zeit zu Null werden. Die Pole des Systems sind dabei identisch mit den Eigenwerten λ der Systemmatrix A. Diese ergeben sich als Lösungen des Eigenwertproblems (siehe [Gee04, S. 310]):det(λ I − A) = 0 (2.3)

Existieren also Eigenwerte mit positiven Realteil, ist das System instabil. Aufgabe einer stabilen Zustandsregelung ist in diesem Fall die Verschiebung der Eigenwerte in die stabile linke Hälfte der komplexen Zahlenebene.

Voraussetzung ist dabei die Steuerbarkeit des Systems, die im Folgenden untersucht wer- den soll.

2.2.3 Steuerbarkeit

Sowohl die Steuerbarkeit als auch die Beobachtbarkeit sind grundlegende Eigenschaften dynamischer Systeme, welche die Lösbarkeit von Regelungsaufgaben entscheidend beein- flussen. Unter der Steuerbarkeit (englisch controllability) versteht man nach [Lun97, S. 49f] folgendes:

Definition 2.2 Ein System hei ß t vollst ä ndig steuerbar, wenn es in endli- cher Zeit von jedem beliebigen Anfangszustand x 0 durch eine geeignet gew ä hlte Eingangsgr öß e u in einen beliebig vorgegeben Endzustand x ü berf ü hrt werden kann.

Die vollständige Steuerbarkeit des Systems kann nach dem Steuerbarkeitskriterium von Kalman geprüft werden [Lun97, S. 51].

Steuerbarkeitskriterium von Kalman

Das System (A,B) mit n Zuständen ist genau dann vollständig steuerbar, wenn die Steuerbarkeitsmatrix

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(2.4)

den Rang n hat.

Unter dem Rang einer Matrix versteht man dabei die Anzahl von linear unabhängigen Reihen oder Spalten.

2.2.4 Beobachtbarkeit

Die soeben abgeleitete Steuerbarkeit eines Systems impliziert, dass alle Zustandsgrößen bekannt sind und als Eingänge für einen Zustandsregler verwendet werden können. Bei vielen technischen Systemen ist aber die Messung aller Zustandsgrößen konstruktiv nicht möglich oder wirtschaftlich nicht vertretbar.

Nun kann man aber mehr über den Zustand eines Systems erfahren, wenn man die Systembewegungen nicht nur zu einem Zeitpunkt, sondern über ein bestimmtes Zeitintervall beobachtet und aus dem Kurvenverlauf von y(t) mit Hilfe des mathematischen Modells den aktuellen Systemzustand x(t) rekonstruiert. Wird das System durch eine Steuerung u (t) beeinflusst, muss man diese kennen und in die Zustandsrekonstruktion einfließen lassen. Der Begriff der Beobachtbarkeit (englisch observabillity) bezeichnet die Anwendbarkeit dieser Zustandsschätzung ([Lun97, S. 71f]).

Definition 2.3 Ein System heisst vollst ä ndig beobachtbar, wenn der An fangszustand x 0 aus dem ü ber ein endliches Intervall bekannten Verlauf der Eingangsgr öß e u und der Ausgangsgr öß e y bestimmt werden kann.

Analog zur Steuerbarkeit lässt sich die Beobachtbarkeit eines Systems anhand des Beobachtbarkeitskriteriums von Kalman prüfen:

Beobachtbarkeitskriterium von Kalman

Das System (A,C) n -ter Ordnung ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die

Beobachtbarkeitsmatrix ⎛

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2.3 Verfahren zum Reglerentwurf

Zur Stabilisierung des beschriebenen instabilen Systems müssen also ein geeignetes Rückführungsgesetz und ein Verfahren zur Schätzung benötigter, aber nicht messbarer Zustände gefunden werden. In diesem Abschnitt soll jedoch vorerst angenommen werden, dass alle internen Zustände x bekannt sind.

Bei einer Systembeschreibung im Zustandsraum mit den Gleichungen (2.1) und (2.2), kann die Stellgröße [illustration not visible in this excerpt] durch Zustandsrückführung bestimmt werden:

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(2.6)

Der Signalflussplan der so modellierten Regelstrecke ist in Bild 2.4 dargestellt.

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Bild 2.4: Signalflussplan der zustandsgeregelten Strecke

Die Aufgabe des Reglerentwurfs reduziert sich damit auf die Bestimmung eines geeigneten Reglervektors

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(2.7)

Dies kann mittels PI-Regler, Polvorgabe oder dem Optimalreglerentwurf erfolgen.

Nichtlineare Verfahren wie Fuzzy-Regler oder Neuronale Netze sind zwar prinzipiell auch für die Regelung des Inversen Pendels anwendbar, jedoch können diese nicht von dem

Prinzip der Zustandsrückführung in (2.6) abgeleitet werden. Für weitergehende Informationen dazu sei hier auf die Artikel [LM94] und [SKK03] verwiesen.

2.3.1 PI-Mehrgrößenregler

Der Entwurf dieser Regler geschieht weitestgehend empirisch mit Hilfe von Experimenten am Modell. Anhand von Einstellregeln können ohne vorherige Modellbildung Verstärkungen für Proportional- und Integralteil der Übergangsfunktion gefunden werden. Der für Eingrößenregelungen oft notwendige Differentialteil (D-Anteil) ist bei Mehrgrößenregelungen mit Zustandsrückführung schon implizit enthalten. Vorteil dieser Entwurfsstrategie ist die Festlegung der Reglerparameter durch bestimmte Einstellregeln, ohne dass vorher eine aufwendige Modellbildung der Regelstrecke betrieben werden muss. Allerdings ist dieses Verfahren an bestimmte Voraussetzungen gebunden:

- Regelstrecke muss stabil sein
- keine scharfen Forderungen an das dynamische Übergangsverhalten
- Möglichkeit von Experimenten mit der Regelstrecke und dem geregelten System

Mit diesen Forderungen beschränkt sich das Verfahren der PI-Mehrgrößenregler auf vergleichsweise einfache Regelungsaufgaben. Für komplexere Problemstellungen können die beiden nächstgenannten Verfahren verwendet werden.

2.3.2 Polvorgabe

Wie bereits gezeigt wurde, können bei einem vollständig steuerbaren System die Pole durch einen Regler beliebig platziert werden. Ist das Ziel die Stabilisierung des Systems, müssen alle Eigenwerte einen negativen Realteil haben. Das Problem der Polvorgabe besteht nun in der Suche eines Rückführungsvektors kT, so dass im geschlossenen Kreis Eigenwerte erzeugt werden, welche die durch die Menge

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(2.8)

vorgegebenen Werte haben. Als Zielgebiet für die Platzierung wählt man den in Bild 2.5 angegebenen Bereich der linken komplexen Halbebene, der durch den gewünschten Min- deststabilitätsgrad, die Mindestdämpfung und die Unterdrückung des Messrauschens be- stimmt ist.

Die Koeffizienten des den gewählten Eigenwerten entsprechenden charakteristischen Polynoms ai können aus der Gleichung

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(2.9)

i =1

durch Koeffizientenvergleich abgelesen werden. Die Berechnung von kT erfolgt durch die Ackermann-Formel⁴ Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 2.5: Gebiet f ü r die Vorgabe der Eigenwerte

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(2.10)

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(2.11)

die letzte Zeile der inversen Steuerbarkeitsmatrix SS ist.

Mit dem Verfahren der Polvorgabe sind viele verschiedene Regler möglich, die zwar das Kriterium der Stabilität aufweisen, aber für das spezifische Regelungsproblem hinsicht- lich Einschwingzeit und Wertebereich der Stellgröße nicht unbedingt die optimale Lösung darstellen.

2.3.3 LQR-Entwurf

Das Ziel des Stabilisierungsproblems besteht grundsätzlich darin, den Zustandsvektor x(t) möglichst nahe am Gleichgewichtszustand x = 0 zu halten, ohne dafür unnötig große Ein- gangssignale u(t) verwenden zu müssen [Gee04, S. 123]. Werden nun diese Anforderungen an den Regelkreis durch ein Gütefunktional ausgedrückt, das den Verlauf der Stell- und Zustandsgrößen bewertet, kann die Reglermatrix als Lösung eines Optimierungsproblems gefunden werden [Lun97, S. 235]. Da dieses Funktional quadratisch und die Regelstrecke linear ist, spricht man von linear-quadratischer Regelung (LQR). Aufgrund des zugrun- deliegenden Optimierungsproblems wird ein so entworfener Regler auch als Optimalregler bezeichnet.

Dabei wird das Gütefunktional

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(2.12)

mit den symmetrischen und positiv definiten⁵ Wichtungsmatrizen Qw und Rw angesetzt. Die beiden Summanden bestimmen den Abstand der Zustandsgrößen und der Stellgröße von null (entspricht Stabilität), wobei durch die quadratischen Terme große Abweichungen stärker bewertet werden als kleine. Die Wichtungsmatrizen Qw und Rw werden dabei nach Maßgabe des gewünschten Übergangsverhaltens und der relativen Bedeutung der Zustands- und Stellsignale gewählt.

Ziel des Entwurfes ist es, eine Funktion [illustration not visible in this excerpt] zu finden, für die das Gütefunktional J minimal wird. Soll sich diese Problemstellung als Zustandsrückführung nach (2.6) mittels eines Reglervektors kT realisieren lassen, ist die Lösung des Optimierungsproblems mit

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(2.13)

gegeben, wobei P die symmetrische, positiv definite Lösung der algebraischen MatrixRiccati-Gleichung⁶

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(2.14)

ist, für den Fall, dass die Regelstrecke asymptotisch stabil, vollständig steuerbar oder stabilisierbar ist (vgl. Abschnitt 5.4).

Mit (2.6) und (2.1) ist der mit dem Optimalregler geschlossene Regelkreis durch

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(2.15)

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(2.16)

gegeben. Ob ein so entworfener Optimalregler tatsächlich die optimale Lösung für das Problem liefert, ist von der Wahl der Wichtungsmatrizen abhängig. Entspricht das Verhalten des optimal geregelten Systems in der Simulation nicht den gegebenen Güteanforderungen, wird der Entwurf mit veränderten Wichtungen wiederholt.

2.4 Verfahren zur Zustandsschätzung

Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, dass bei vollständiger Steuerbarkeit des Systems [illustration not visible in this excerpt]die Pole des geregelten Systems durch Rückführung des Zustandsvektors[illustration not visible in this excerpt] mit einem geeigneten Reglervektor k an beliebiger Stelle platziert werden können. Voraus- setzung dafür ist die Verfügbarkeit des gesamten Zustandsvektors, der aber nur teilwei- se als Messergebnis [illustration not visible in this excerpt] vorliegt. Bei vollständiger Beobachtbarkeit des Systems (siehe Abschnitt 2.2.4) kann jedoch ein Schätzwert x für den Zustandsvektor x aus den vorlie- genden Informationen [illustration not visible in this excerpt] rekonstruiert werden. Dafür eignen sich sowohl der Luenberger-Beobachter als auch der Kalman-Filter, welche in diesem Abschnitt kurz vorgestellt werden.

2.4.1 Luenberger-Beobachter

Der von Luenberger 1964 vorgeschlagene Beobachter beruht auf einer Parallelschal- tung der Regelstrecke zu ihrem Modell. Bei gleichen Eingängen und Anfangszuständen ergeben sich ähnliche Ausgangsgrößen, welche freilich aufgrund von Störungen der Re- gelstrecke, Messfehlern und Vereinfachungen des Modells zum Teil erheblich voneinander abweichen können. Aus diesem Grund wird die Anordnung, wie in Bild 2.6 gezeigt, um eine Rückführung der Differenz [illustration not visible in this excerpt] erweitert.

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Bild 2.6: Zustandsr ü ckf ü hrung mit Lueneberger-Beobachter

Ähnlich,wie bei einem Regelkreis die Abweichung der Regelgröße vom Sollwert dazu ver- wendet wird, eine Stellgröße zu errechnen, wird hier die Abweichung des Modellausgangs ŷ(t) vom gemessenen Streckenausgang [illustration not visible in this excerpt] genutzt, um den Zustand des Modells an den der Regelstrecke anzugleichen. Da der Entwurf dieser Rückführung auf den eines Reg- lers zurückgeführt werden kann, können die bereits behandelten Entwurfsverfahren für Zustandsrückführungen auch beim Beobachterentwurf zum Einsatz kommen. [Lun97, S. 284]

Dafür wird die nicht sprungfähige Regelstrecke aus Gleichung 2.1 um eine zusätzliche Eingangsgröße u B erweitert

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(2.17)

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(2.18)

welche aus der rückgeführten Differenz

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(2.19)

zwischen dem Ausgangsvektor der Regelstrecke und des Modells besteht. Mit den Gleichungen (2.17) bis (2.19) erhält man die Systemgleichung des Beobachters

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(2.20)

in der die Wirkung der Rückführung ersichtlich wird. Nur wenn x = x gilt, also auch die Ausgangsgrößen voneinander abweichen, wird das Verhalten des Modells durch die

Rückführung beeinflusst. Dabei muss die Matrix L so gewählt werden, dass dadurch der Beobachtungsfehler x − x minimiert wird.

Es kann gezeigt werden [Lun97, S. 286], dass dies genau dann der Fall ist, wenn alle Eigenwerte der Matrix [illustration not visible in this excerpt] LC) einen negativen Realteil haben. Damit der Beobachtungsfehler schneller abklingt als das Übergangsverhalten des zu betrachtenden Systems, müssen diese Pole weiter links platziert werden, als die der dominierenden Matrix A. Soll mit dem Beobachter eine Zustandsrückführung kT nach Bild 2.6 realisiert werden, wählt man die Beobachtereigenwerte links der Pole von [illustration not visible in this excerpt]. Dabei kann gemäß dem Separationstheorem [Kra97, S. 52] derselbe Reglervektor kT verwendet werden wie bei der Zustandsrückführung ohne Beobachter.

Bisher wurden Störungen wie Messrauschen und systematische Fehler vernachlässigt, was möglich ist, solange der Signal-Rausch Abstand groß genug ist. Bei größeren Störungen werden jedoch die Aussagen des Beobachters unbrauchbar. In diesem Fall muss über ei- ne geeignete Modellierung der Störungen nachgedacht werden. Es existieren verschiedene Varianten von Beobachtern, die unter anderem auch bekannte deterministische Störgrößen berücksichtigen können, soweit sich diese durch Anfangszustände des zu beobachtenden Systems darstellen lassen. Allerdings versagen auch diese Art von Beobachtern bei signi- fikanter Beeinflussung des Prozesses durch kontinuierliches stochastiches Rauschen.

2.4.2 Kalman-Filter

Wird die zu beobachtende Regelstrecke durch stochastische Störgrößen beeinflusst, die nicht mehr vernachlässigt werden können, ist der Kalman-Filter das geeignete Werkzeug zur Zustandsprädiktion.

Dieser produziert einen Schätzwert [illustration not visible in this excerpt] dessen Mittel mit dem Systemzustand x(t) über- einstimmt. Wie der Name schon vermuten lässt, handelt es sich bei dem Kalman-Filter nicht in erster Linie um einen Beobachter, sondern vielmehr um ein mathematisches Mo- dell, mit dem stochastische Störungen aus Prozessen”herausgefiltert“werdenkönnen.

Aufgrund des stochastischen Störansatzes liegt dem Kalman-Filter ein anderes mathe- matisches Problem als bei den für deterministische Störungen ausgelegten Beobachtern zugrunde. Trotzdem ist die Grundidee für beide Verfahren dieselbe, so dass ein Kalman- Filter sehr gut zur Zustandsschätzung bei stochastisch gestörten Systemen eingesetzt werden kann. Im Folgenden wird auf einige für die Anwendung wichtigen Eigenschaf- ten des Kalman-Filters eingegangen. Weitergehende Informationen können bei [Lun97] und [Gee04] nachgelesen werden. Für anschauliche Einführungen zum Kalman-Filter sei auf [Wen00b] und [Sim01] verwiesen.

Auch beim Kalman-Filter wird ein lineares dynamisches System betrachtet, diesmal aber mit den vektoriellen Störungen[illustration not visible in this excerpt] und [illustration not visible in this excerpt]:

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(2.21)

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(2.22)

Dabei bezeichnet [illustration not visible in this excerpt]das Prozessrauschen, welches die internen Zustände beeinflusst und [illustration not visible in this excerpt] das Messrauschen. Beide werden als weiße, gaußsche Rauschprozesse angenommen,d. h. ihr Mittelwert soll gleich null und ihre Varianzen bekannt sein. Kalman-Filter werden hauptsächlich für zeitdiskrete Systeme angewandt, die durch einen Zeittakt [illustration not visible in this excerpt] bestimmt werden. Im Folgenden wird der Term x[illustration not visible in this excerpt] durch die einfachere Schreibweise [illustration not visible in this excerpt] mit dem Laufindex[illustration not visible in this excerpt] abgekürzt. Die hier verwendeten Matrizen Ad und Bd bezeichnen die entsprechenden für den Zeittakt [illustration not visible in this excerpt] diskretisierten Systemmatrizen.

Die Besonderheit des Kalman-Filters ist es, die fehlerbehaftete Messung mit den wahren internen Zuständen in Einklang zu bringen. Dies geschieht iterativ in zwei Phasen:

1. Prädiktion: der neue Zustand wird aus dem vorhergehenden vorausgesagt und eine

Zwischengröße für die Fehlerkovarianzmatrix der Schätzung wird aus der vorangegangenen abgeleitet:

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(2.23)

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(2.24)

2. Korrektur: der vorausgesagte Zustand [illustration not visible in this excerpt] wird anhand der Messdaten korri- giert, wobei die Verlässlichkeit der Messung mit der Kalman-Verstärkungsmatrix K bewertet wird. Dieser Abgleich mit der Messung in (2.26)wird auch als Innovations- prozess bezeichnet. Die oft auch Kalman-Faktor genannte Matrix K wird aus den Kovarianzmatrizen von Systemrauschen und Messrauschen ständig neu berechnet:

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(2.25)

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(2.26)

Mit einer letzten Gleichung wird die Kovarianzmatrix des Schätzfehlers aktualisiert. Da die Zielsetzung des Kalman-Filters eine Minimierung dieses Schätzfehlers ist, erfolgt die Berechnung von [illustration not visible in this excerpt] als Lösung eines Optimierungsproblems. Dies geschieht im Sinne einer optimalen Schätzung ähnlich dem LQR-Entwurf (2.14) durch die Lösung einer Matrix-Riccati-Gleichung:

(2.27)

In Gleichung (2.26) ist erkennbar, dass der Messung umso mehr Glauben geschenkt wird, je größer der Kalman-Faktor[illustration not visible in this excerpt] ist. So wie beim Beobachter die Matrix L den Beobach- tungsfehler minimiert, sorgt hier [illustration not visible in this excerpt]für eine Minimierung des Schätzfehlers. Allerdings wird die Kalman-Verstärkungsmatrix nicht durch Polvorgabe, sondern mit dem Optimal- reglerverfahren bestimmt. Anstelle der Wichtungsmatrizen aus dem Gütefunktional des Optimalreglers stehen jetzt die Matrizen Qc und Rc, welche die Streuung der Störung w und v beschreiben.

Die Anwendung des Kalman-Filters geschieht durch fortlaufende Iteration der Gleichun- gen (2.23) bis (2.27). Die in diesen Gleichungen enthalten Matrixoperationen sind mit den heutigen Rechensystemen relativ leicht zu implementieren, so dass Kalman-Filter sehr gut für Echtzeitanwendungen geeignet sind. Allerdings steigt der Rechenaufwand proportio- nal zur dritten Potenz der Zustandsanzahl, so dass bei Regelungen mit vielen Zuständen oft mit der statischen Variante des Kalman-Filters (steady-state Kalman-Filter) gearbei- tet wird. Dies ist möglich, da [illustration not visible in this excerpt] einem minimalen Wert zustrebt und sich gemäß Glei- chung (2.25) auch der Kalman-Faktor stabilisiert. Diese Werte können dann im Vorhinein berechnet und als Konstanten implementiert werden. Dadurch reduziert sich der Rechen- aufwand auf einfache Matrix-Multiplikationen und -Additionen, während der Filter noch immer gute Schätzungen liefert.

2.5 Sensorik

Zu einer Stabilisierung des Pendels mittels einer geeigneten Regelung und Zustands- schätzung sind Informationen über den Pendelwinkel und die Position des Wagens er- forderlich. Im Folgenden werden einige Methoden zur Messung dieser Größen vorgestellt, die bei Inversen Pendeln in der Praxis Anwendung finden. In einigen Fällen werden zu- sätzlich noch Geschwindigkeiten gemessen, was aber nicht Gegenstand dieser Betrachtung sein soll.

2.5.1 Winkel

Potentiometer

In den häufigsten Fällen wird der Pendelwinkel mit einem Potentiometer und anschlie- ßender A/D-Wandlung gemessen. Dabei wird der Winkel mit einem als Spannungsteiler geschalteten veränderlichen Widerstand in eine winkelproportionale Spannung umgesetzt, die anschließend verstärkt und gegebenenfalls in eine digitale Größe gewandelt wird. Vor- teil sind hier die hohe Auflösung und die geringen Kosten, nachteilig ist dagegen die Notwendigkeit eines zusätzlichen A/D-Wandlers und einer Referenzspannungsquelle.

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Bild 2.7: Gray-codiertes Encodersegment

Optischer Encoder

Eine weitere Möglichkeit bietet der Einsatz eines rotatorischen optischen Encoders. Dabei wird eine aus hellen und dunklen Segmenten codierte Scheibe optoelektronisch abgelesen. Je nach Winkellage ergibt sich ein anderes Bitmuster an den Ausgängen des Encoders. Um Ablesefehler im Übergangsbereich zwischen zwei Werten zu vermeiden, wird die Scheibe in der Regel gray-codiert⁷ (siehe Bild 2.7). Nachteile optischer Encoder sind der hohe Preis und die im Vergleich zum Potentiometer geringe Auflösung.

Optischer Inkrementalgeber

Inkrementalgeber werden hauptsächlich zur Drehzahlerfassung eingesetzt, können aber auch für Winkelmessungen verwendet werden. Die Funktionsweise ist ähnlich eines optischen Encoders, nur wird hier eine fein geschlitzte Scheibe eingesetzt, die keinen absoluten Winkel codiert, sondern nur Inkremente. Zur Messung eines Winkels muss daher erst ein Referenzpunkt gefunden werden, von dem alle anderen Winkel durch Zählung der Inkremente abgeleitet werden können. Da hierbei nur eine Fotodiode nötig ist, können höhere Auflösungen bis zu 4096 Inkrementen pro Umdrehung erreicht werden.

Hall Sensor

Als einzige aller geprüften Realisierungen des Inversen Pendels erfolgt in [SKM97] die Winkelmessung mit Hall-Sensoren, was aber sehr aufwendig und dazu relativ ungenau ist. Dabei generiert ein Permanentmagnet im Fußpunkt des Pendels ein statisches Magnet- feld. Diejenigen Feldlinien, welche die Sensoren schneiden, produzieren ein elektrisches Signal, indem sie bewegte Ladungsträger aufgrund der Lorentzkraft ablenken. Dieses Phänomen wird auch Hall-Effekt genannt. Durch eine differentielle Betrachtung von zwei Hall-Sensoren kann ein winkelproportionales Signal konstruiert werden. Vorteil ist hier eine kontaktlose und unsichtbare Winkelmessung, die eine Balance freistehender Pendel erlaubt (Bild 2.8). Ein solcher Aufbau spiegelt deutlich die ursprüngliche Idee des Balan- cierens eines Stabes auf der Handfläche wieder. Allerdings kann das Pendel bei größeren Beschleunigungen leicht aus der Nut fallen.

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Bild 2.8: Winkelmessung mittels Hall-Sensoren

Kamera

Nutzt man eine Kamera und Bilderkennungsalgorithmen, kann ähnlich dem menschlichen Auge der Pendelwinkel wie auch die Wagenposition optisch aufgenommen werden. Dabei werden an Wagen und Pendel farbige Markierungen angebracht, deren Position mittels bestimmter Tracking-Verfahren aus den Einzelbildern extrahiert werden kann. Diese Möglichkeit soll als Erweiterung zur vorliegenden Arbeit geprüft werden.

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¹ für einen spezifischen, sehr eng gefassten Zweck konstruierte Hardware

² Field Programmable Gate Array - vom Anwender konfigurierbarer Logikbaustein ( ”programmierbar“)

¹ Balancieren eines Besenstiels

² d. h. es liegen weniger Stelleingriffe als zu regelnde Größen vor

³ Etwas, dass als ein Standard genutzt wird, an dem andere Dinge gemessen oder beurteilt werden können.

⁴ eine Herleitung der Ackermann-Formel aus der Reglernormalform findet sich in [Lun97, S. 198]

⁵ d. h. sämtliche Eigenwerte der Matrix sind positiv [Lun97, S. 525]

⁶ ein Spezialfall der Riccati-Differentialgleichung, die in der Optimierungstheorie eine besondere Rolle spielt

⁷ Im Gegensatz zur binären Codierung ändert sich beim Gray-Code von einem Wert zum nächsten immer nur ein Bit.