Forschungswerkstatt - Aufgabenanalyse zum Bildungsgehalt von Mathematik

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Lehreranforderungen an die Aufgabe
Musterlösung

Analyse
Formale Gestaltung
Kognitive Voraussetzung
Inhaltliche Gestaltung
Wort für Wort-Analyse
„gegeben sei“
Quadrat
Seitenlänge
Variable a
Flächeninhalt
„Bestimmen Sie“
Anderes Quadrat
„doppelt so groß“
Bildungsgehalt der Aufgabe

Beispielhafte Lösung der Aufgabe durch einen Schüler

Betrachtung des Lösungsverhalten des Schülers

Literatur

Einleitung

Lehrer stellen Schülern im Unterricht Aufgaben, um ein gewisses Ziel zu erreichen. „Lehrerfragen und -aufgaben sollen Schüler dazu anregen, diejenigen Verhaltensweisen auszuführen und zu üben, die durch das Lernziel angestrebt werden und zwar an denjenigen Themen, Inhalten, Gegenständen, die das Lernziel vorschreibt“¹. Aufgaben sind fester Bestandteil des Schulunterrichts und können als Hinführung zum Thema, zur Wissensvermittlung oder Wissensüberprüfung dienen.

Klafki fordert von Lehrern, die eine Aufgabe im Unterricht stellen, dass sie zur Unterrichtsvorbereitung eine didaktische Analyse dieser Aufgabe vornehmen. Er sollte Vorüberlegungen über den Lerngegenstand, Ziel, Denkvorgänge und konkreten Handlungen der Schüler und Lösung der Aufgabe anstellen. Klafki sieht die didaktische Analyse als den Kern der Unterrichtsvorbereitung: Der Lehrer muss die „bildenden Momente eines Inhalts herausarbeiten“².

Diese Ausarbeitung befasst sich mit der Aufgabenanalyse der folgenden Aufgabe:

Gegeben sei ein Quadrat der Seitenl ä nge a. Bestimmen Sie die Seitenl ä nge desjenigen Quadrats, dessen Fl ä cheninhalt doppelt so gro ß ist wie der Inhalt des gegebenen Quadrats!

Dazu werde ich zunächst die Lehreranforderungen an die Aufgabe und einer Musterlösung darlegen. Anschließend folgt eine Analyse hinsichtlich der formalen Gestaltung, notwendigen Wissensvoraussetzungen und dem Bildungsgehalt der Aufgabe. Anschließend folgt ein Lösungsbeispiel der Aufgabe durch einen Schüler, dessen Lösungsschritte im letzten Teil der Ausarbeitung betrachtet werden.

Lehreranforderungen an die Aufgabe

Lehrern, die diese Aufgabe im Unterricht stellen, wird es vor allem um das mathematische Verständnis und Vorwissen gehen, das die Schüler zur Lösung der Aufgabe benötigen.

Jeder Lehrer hat, wenn er eine Aufgabe im Unterricht stellt, eine bestimmte Antwort vor Augen, die er von den Schülern erwartet. Diese Antwort gilt als richtig. Ob der Lösungsweg dabei ebenfalls bewertet wird, kann von Aufgabe zu Aufgabe variieren.

Bei der zu analysierenden Aufgabe könnte die Musterlösung des Lehrers folgendermaßen aussehen:

Musterlösung

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes A eines Quadrats mit der Seitenlänge a ist: A=a·a=a². Da der Flächeninhalt des zweiten Quadrats doppelt so groß sein soll, muss der Flächeninhalt des ersten Quadrats mit zwei multipliziert werden (2·a²).

Um über den Flächeninhalt die Seitenlänge eines Quadrats zu berechnen, muss die Formel des Flächeninhalts (A=a²) umgeschrieben werden, indem man auf beiden Seiten der Formel die Wurzel zieht (√A=a).

Zieht man nun die Wurzel aus dem Flächeninhalt des zweiten Quadrats (√2·a²) erhält man die zu bestimmende Seitenlänge (a√2). Somit wurde die Seitenlänge bestimmt und die Aufgabe gelöst.

Soll der Schüler die Aufgabe nach diesem Muster lösen, benötigt er bestimmte Wissens- und Lernvoraussetzungen, die sich der Lehrer vor dem Stellen der Aufgabe bewusst machen sollte. Der Lehrer sollte eine didaktische Analyse durchführen, in welcher er die formale Gestaltung, den Bildungsgehalt und die nötigen Wissensvoraussetzungen der Aufgabe untersucht.

Analyse

Formale Gestaltung

Bei der Aufgabe handelt es sich um eine mathematische Textaufgabe, die in deutscher Sprache gestellt ist. Sie setzt sich aus zwei Sätzen zusammen, wobei der erste eine Behauptung ist und der zweite eine Aufforderung. In der Behauptung wird die Voraussetzung der Aufgabe genannt. Die Aufforderung, die durch ein Ausrufezeichen am Ende kenntlich gemacht wird, ist der Arbeitsauftrag an die Schüler.

Die Aufgabe ist frei vom Schüler zu bearbeiten. Der Lösungsweg wird nicht explizit verlangt.

Die Antwort wird in Form einer Zahl erwartet.

Kognitive Voraussetzung

Die Aufgabe wird schriftlich gestellt. Daher sind Lesefähigkeit und Lesefertigkeit des Schülers notwendige Voraussetzung, um die Aufgabe zu lösen. Der Schüler benötigt die sprachliche und grammatikalische Kompetenz, den Text, in dem die Aufgabe formuliert ist, zu verstehen.

Da es sich um eine mathematische Aufgabe handelt, muss der Schüler die natürliche Sprache, in der die Aufgabe gestellt ist, im mathematischen Kontext sehen. Er muss beim Lesen der Aufgabe erkennen, dass diese aus mathematischen Begriffen und Formulierungen zusammengesetzt ist und von ihm eine mathematische Lösung der Aufgabe verlangt wird. Er muss die für die Mathematik charakteristische Spannung zwischen der natürlichen Sprache und den mathematischen Begriffen erkennen.³

Inhaltliche Gestaltung

Inhaltlich enthält die Aufgabe viele verschiedene Begriffe, deren Bedeutungen der Schüler kennen muss.

Im Folgenden werde ich eine Wort für Wort Analyse der Aufgabe durchführen, um die möglichen Mehrdeutigkeiten, Schwierigkeiten und notwendigen Wissensvoraussetzungen des Aufgabentextes zu verdeutlichen.

Wort für Wort-Analyse

„gegeben sei“

Bei der Konjunktivform „gegeben sei“ handelt es sich um einen Konjunktiv I. Der Konjunktiv ist neben dem Imperativ und dem Indikativ ein Modus, den ein Verb annehmen kann. In der mathematischen Fachsprache wird die Form des Konjunktivs dazu verwendet, eine Möglichkeit einer Situation auszudrücken.

In dieser Aufgabe zeigt der Ausdruck „gegeben sei“, dass das Quadrat nicht real gegeben ist, sondern, dass der Schüler sich das Quadrat vorstellen muss. Er muss sich das Quadrat denken. Der Schüler kann also nicht an einem realen Gegenstand arbeiten, sondern nur an seiner Vorstellung dieses Gegenstandes. Diese Vorstellung eines gegebenen Quadrats ist Ausgangspunkt für die weitere Bearbeitung der Aufgabe.

Quadrat

Zudem ist eine nötige Wissensvoraussetzung der Begriff des Quadrats.

Schon im Kindergarten lernen Kinder, was Formen und Figuren, wie Dreiecke, Quadrate und Rechtecke sind. Dabei werden keine festen Definitionen gegeben, sondern Formen gezeigt und mit dem jeweiligen Namen benannt. Die Kinder lernen durch Anschauung die Namen der Figuren und Formen. Auch in der Grundschule wird der Begriff des Quadrats nicht weiter definiert. Die Kinder erkennen ein Quadrat durch sein visuelles Erscheinungsbild.⁴ Intuitiv haben die Kinder eine Vorstellung der geometrischen Form Quadrat. Eine mathematische Definition folgt erst in höheren Klassen, indem „einem geometrischen Gebilde aufgrund einer besonderen Eigenschaft ein eigener Name gegeben“⁵ wird.

Im Lexikon⁶ findet man die beiden folgenden Bedeutungen für den Begriff des Quadrats:

„1) Geometrie: ebenes Viereck mit vier gleichen Seiten (a) und vier rechten Winkeln; Flächeninhalt a·a=a².

2) Arithmetik: die zweite Potenz.“

In der Aufgabe ist die Rede von einem Quadrat und seinem Flächeninhalt. Somit ist der Begriff des Quadrats als geometrische Figur gemeint: Das Quadrat ist ein Viereck, mit vier gleichlangen Seiten, von denen die gegenüberliegenden jeweils parallel sind und die aneinanderstoßenden Seiten senkrecht (rechtwinklig) zueinander stehen. Die Diagonalen des Quadrats sind gleichlang und senkrecht zueinander. Diese halbieren sich gegenseitig.⁷

Um diese Definition zu verstehen, benötigt der Schüler zusätzliche Wissensvoraussetzungen:

den Begriff der Seiten und Geraden, die Vorstellung von Länge und Größe, rechten Winkeln, Parallelität, Diagonalen, Zahlenbegriff und Mengen.

Eine Gerade wird als gerade Linie ohne Anfangs- und Endpunkt definiert. Eine Strecke ist eine Gerade die durch zwei Punkte begrenzt wird. Bei geometrischen Figuren spricht man statt von Strecken von Seiten. Hier muss dem Schüler die mathematische Bedeutung des Begriffs Seite, die sich vom alltäglichen Gebrauch unterscheidet, klar sein. Eine Seite eines Quadrats ist demnach eine Strecke, die von einem Eckpunkt zum nebenliegenden Eckpunkt führt. Ein Eckpunkt wird definiert als zwei aufeinander treffenden Geraden.

Eine Diagonale ist die Strecke, welche zwei sich gegenüberliegende Eckpunkte verbindet.

Die Vorstellung von Länge und Größe schließt die Operationen von Vergleichen und Messen ein. Messen ist eine Operation, in der die Länge einer Strecke mit einer festgelegten Maßeinheit verglichen wird.⁸ Eine Strecke wird beim Messen in Abschnitte eingeteilt, die einer zuvor definierten Länge entsprechen. Um die gesamte Länge der Strecke zu erfassen, wird die Anzahl der Abschnitte gezählt. Durch Messen erhält man eine Zahl von Abschnitten, die dann als „Länge der Strecke“ bezeichnet wird.

Parallel sind Geraden, die immer den gleichen Abstand voneinander haben.⁹

Ein Winkel wird von zwei Halbgeraden gebildet, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Er wird in einem Winkelmaß gemessen. Beträgt der Winkel 90 Grad spricht man von einem rechten Winkel oder von senkrecht aufeinander stehenden Geraden.

Um die Länge und den Winkel messen und die Seiten des Quadrats zählen zu können, braucht der Schüler die Voraussetzung des Zahlenverständnisses und von Maßeinheiten.

Seitenlänge

Ein Quadrat besteht nach der obigen Definition aus vier gleichlangen Seiten. Voraussetzungen um zu verstehen, was eine Seitenlänge ist, sind das begriffliche Wortverständnis von Seite als begrenzte Gerade mit einer bestimmten Länge, die Vorstellung von „Länge“ als eine Zahl allgemein und damit verbunden das Messen von Strecken (siehe oben). Beim Quadrat handelt es sich um gleichlange Seiten, d.h. allen vier Seiten wird die gleiche Maßzahl zugeordnet.

Variable a

Der Schüler muss wissen, dass eine Variable a eine bestimmte Größe hat, auch wenn diese nicht explizit genannt ist. Für a können verschiedene Zahlen eingesetzt werden. Voraussetzung ist also das Zahlenverständnis und die Vorstellung, dass Zahlen eine bestimmte Größe haben und die Möglichkeit, die Größe variabel zu denken, d.h. zu verstehen, dass a für verschiedene Zahlen steht. Eine Variable kann also als eine Größe definiert werden, die verschiedene Werte annehmen kann.

Flächeninhalt

Beim Begriff des Flächeninhalts sind zwei Lesarten möglich. Der intuitive Begriff vom Flächeninhalt als von Strecken eingegrenzte Fläche. Beim Quadrat wäre der Flächeninhalt demnach die zweidimensionale, ebene Fläche, die von den vier Seiten des Quadrats eingeschlossen wird.

Die mathematische Definition des Flächeninhalts unterscheidet sich von dieser intuitiven Lesart, da sie den Flächeninhalt nicht als eingegrenzte Fläche sondern als eine Maßzahl definiert, welche die Größe der eingeschlossenen Fläche anzeigt. Wichtig dabei ist die gewählte Maßeinheit, die in Längeneinheiten angegeben wird.¹⁰ Der Schüler muss hier zwischen dem Begriff der Realität und dem Begriff der Mathematik übersetzen.¹¹

Bei rechtwinkligen Figuren kann man den Flächeninhalt bestimmen, indem man die Gesamtfläche in gleich große Flächen, meist Einheitsquadrate¹², einteilt. Die Anzahl der Einheitsquadrate, die die gesamte Fläche ausfüllt, ist der Flächeninhalt. Der Flächeninhalt, der als Zahl angegeben wird, kann je nach Figur größer und kleiner sein. Daher kann man beim Flächeninhalt von einer Größe sprechen.

[...]

¹ Grell/Grell (2007), S.233.

² Klafki, W. (1958), S.8.

³ Vgl. Neubrand, M. (2004), S.18.

⁴ Vgl. Leppig, M. (2000), S. 74 und Lergenmüller, A./ Schmidt, G. (2005), S. 135.

⁵ Müller, A. (1996), S. 7.

⁶ Rencontre Lexikon.

⁷ Vgl. Lergenmüller, A./ Schmidt, G. (2005), S. 135.

⁸ Vgl. Lergenmüller, A./ Schmidt, G. (2005), S. 84.

⁹ Vgl. Ebd., S. 68.

¹⁰ Vgl. Maroska, R./ Olpp, A./ Walgenbach, J./ Wellstein, H. (2004), S.168.

¹¹ Vgl. Neubrand, M. (2004), S.146.

¹² Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm.