Wie lösen mathematisch begabte Schülerinnen und Schüler Testaufgaben aus internationalen Vergleichsstudien

Inhalt

Einleitung

Kapitel 1 Erster Test: Modellversuchstest
1.1 Herkunft, Beschreibung und Motive des ersten Tests
1.2 Mathematische Grundbildung und kognitive Anforderungsniveaus im Modellversuchstest
1.3 Beschreibung der Referenzgruppen
1.3.1 Einteilung in drei Gruppen nach Schulstufen
1.3.2 Einteilung in zwei Gruppen: Begabte Spitzengruppe - mittelmäßige Begabtengruppe
1.4 Durchführung und Auswertung des ersten Tests
1.5 Vergleich der durchschnittlichen Lösungsanteile der begabten Schüler nach Schulstufen mit den relativen Lösungshäufigkeiten nordhessischer Gymnasiasten der 8. Klasse
1.5.1 Vergleich der durchschnittlichen Lösungsanteile der begabten Sechsklässler mit den relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten
1.5.2 Vergleich der durchschnittlichen Lösungsanteile der begabten Siebtklässler mit den relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten
1.5.3 Vergleich der durchschnittlichen Lösungsanteile der begabten Achtklässler mit den relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten
1.6 Vergleich der durchschnittlichen Lösungsanteile der begabten Spitzengruppe mit den relativen Lösungshäufigkeiten nordhessischer Gymnasiasten der 8. Klasse
1.7 Vergleich der durchschnittlichen Lösungsanteile der mittelmäßigen Begabtengruppe mit den relativen Lösungshäufigkeiten nordhessischer Gymnasiasten der 8. Klasse

Kapitel 2 Zweiter Test: Kombinierter TIMSS-PISA-Test
2.1 Konzeption des zweiten Tests
2.2 Beschreibung der Referenzgruppe
2.3 Durchführung und Auswertung des zweiten Tests
2.4 Quantitative Auswertung und Auswertung nach Lösungsstrategien von den TIMSS-Aufgaben
2.4.1 Stoffgebiet: Algebra
2.4.2 Stoffgebiet: Darstellung und Analyse von Daten
2.4.3 Stoffgebiet: Zahlen und Zahlenverständnis
2.4.4 Stoffgebiet: Geometrie
2.4.5 Stoffgebiet: Messen und Maßeinheiten
2.4.6 Stoffgebiet: Proportionalität
2.4.7 Mathematische Grundbildung (Population III)
2.5 Vergleich der relativen Lösungshäufigkeiten der Begabtengruppe mit den Lösungswahrscheinlichkeiten der deutschen Siebt- und Achtklässler in den TIMSS-Aufgaben der Population II
2.6 Quantitative Auswertung und Auswertung nach Lösungsstrategien von den PISA-Aufgaben

Kapitel 3 Untersuchung der Korrelation der Ergebnisse zwischen dem

Modellversuchstest und dem kombinierten TIMSS-PISA-Test

Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Anhang

EINLEITUNG

Der Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung, wie mathematisch begabte Schüler/innen Testaufgaben aus internationalen Vergleichsstudien lösen.

Hauptgesichtspunkte dieser Untersuchung sind:

- Quantitative Auswertung: Leistungsvergleich der begabten Schüler/innen mit den Gymnasiasten und dem Durchschnitt der deutschen Siebt- und Achtklässler
- Auswertung nach Lösungsstrategien: Identifizierung und Gegenüberstellung der verwendeten Lösungsstrategien, d.h. Untersuchung, auf welchen Wegen begabte Schüler/innen mathematische Problemstellungen bearbeiten; Klassifikation in erfolgreiche und nicht erfolgreiche Lösungsstrategien

Dazu wurden zwei Tests aus unterschiedlichen Quellen herangezogen.

Der erste von mir verwendete Test wurde für den nordhessischen Modellversuch von W. BLUM und B. WIEGAND konzipiert. Er sollte als eines der Evaluationsinstrumente dienen, damit sich die Entwicklungen der am Modellversuch beteiligten Schulen bzw. Klassen dokumentieren und analysieren lassen. Diesen Test übernahm ich komplett für meine Untersuchung. Die in der Arbeitsgruppe Didaktik der Mathematik an der GhK Kassel vorliegenden Daten über die relativen Lösungshäufigkeiten nordhessischer Gymnasiasten der 8. Klasse verwendete ich zum quantitativen Leistungsvergleich der begabten Schüler/innen mit Gymnasiasten.

Den zweiten Test stellte ich selbst aus ausgewählten, für den deutschen Durchschnitt anspruchsvollen Aufgaben aus TIMSS (TIMSS = Third International Mathematics and Science Study) und aus Beispielaufgaben der noch nicht abgeschlossenen PISA-Studie (PISA = Programme for International Students Assessment) zusammen, indem ich die Aufgaben mit Mehrfachwahlantworten zu offenen Aufgabenstellungen modifizierte, welche die Aufforderung zur Darlegung der einzelnen Arbeitsschritte kennzeichnet. Der kombinierte TIMSS-PISA-Test sollte vor allem zur Identifizierung der Lösungsstrategien der begabten Schüler/innen dienen. Die nach der abgeschlossenen TIMSS-Studie vorliegenden Daten über die Lösungswahrscheinlichkeiten der deutschen Siebt- und Achtklässler von J. BAUMERT et. al. (1998, 34-128) verwendete ich zum quantitativen Leistungsvergleich der begabten Schüler/innen mit dem Durchschnitt deutscher Siebt- und Achtklässler.

Die Leistungsergebnisse der begabten Schüler/innen aus dem ersten und dem zweiten Test stellte ich anschließend einander gegenüber, um festzustellen, ob die erbrachten Leistungen in beiden Tests miteinander korrelieren.

Die Untersuchung führte ich bei der Begabtengruppe des mathematischen Kabinetts „Primatha" (privates Institut fur mathematisch-technisch überdurchschnittlich begabte Kinder) durch. Die testierte Gruppe ist in Bezug auf Alter und Schulstufen inhomogen. Sie besteht aus Sechst-, Siebt und Achtklässlern. Ich entschied mich für die Durchführung beider Tests sowohl bei den begabten Achtklässlern als auch bei den Siebt- und Sechstklässlern, weil einige in den Tests vorkommenden Themengebiete von ihnen in der Schule noch nicht behandelt wurden. Gerade bei diesen begabten Schüler/innen soll untersucht werden, auf welchen Leistungsniveaus im Vergleich zu Gymnasiasten der 8. Klasse bzw. im Vergleich zum deutschen Mittel der Siebt- und Achtklässler bei TIMSS sie die unbekannten Problemstellungen lösen. Beim zweiten Test soll außerdem untersucht werden, ob die Siebt- und Achtklässler nur nach dem gewohnten, in der Schule gelerntem Rechenweg wählen oder andere für die Aufgabe naheliegende Lösungsstrategien erkennen und anwenden. Bei den Sechstklässlern rechne ich mit fantasievollen Lösungsfindungen, da im Test für sie viele neuartige, in der Schule nicht behandelte Denkprobleme vorkommen.

Das Ziel dieser Arbeit ist es, die spezifischen Schwierigkeiten deutscher Schüler/innen beim Lösen von in internationalen Vergleichsstudien enthaltenen Aufgaben den spezifischen Stärken der begabten Schüler/innen gegenüberzustellen. Mein Interesse richtet sich auch darauf, zu erfahren, auf welchem Wege Begabte die für den Großteil deutscher Schüler/innen anspruchsvollen Problemstellungen erfolgreich bewältigen.

Kapitel 1 Erster Test: Modellversuchstest

1.1 HERKUNFT , BESCHREIBUNG UND MOTIVE DES ERSTEN TESTS

Der erste Test, den ich zur quantitativen Auswertung des Wissenszustandes bei mathematisch begabten Schülern verwende, wurde für den hessischen Modellversuch von B. WIEGAND und W. BLUM an der GhK Kassel konzipiert. Für die vorliegende Arbeit wird er komplett übernommen. Die Testaufgaben findet man im Anhang A (S. 1-28) in derselben Reihenfolge wieder, wie sie im Test angeordnet waren. Die dort vorzufindende Aufgabenanalyse hinsichtlich der Niveauklassen sowie die Analyse von der Arbeitsgruppe Didaktik der Mathematik an der GhK Kassel zeigen, dass dieser stark an als „gymnasial" angesehenen Fahigkeiten (z. B. Bewerten, Begriinden, Reflektieren) orientiert ist. Aus diesem Grund erschien es Prof. R. BIEHLER und mir sinnvoll, diesen Test zum Überprüfen der Begabtengruppe heranzuziehen. Außerdem wurde der Test von der Arbeitsgruppe Didaktik der Mathematik für nordhessische Schüler/innen ausgewertet. Es liegen Daten über die relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten vor. Diese Daten ermöglichen einen Vergleich der begabten Schüler/innen mit den nordhessischen Gymnasiasten. Ein Vergleich mit Realschülern oder Hauptschülern wird trotz vorliegender Daten nicht stattfinden, da eine Begabtengruppe getestet werden soll.

Folgende Informationen zum Modellversuch stammen aus dem Internet (http://modellversuch-mathematik.he.schule.de „Das Modellversuchsprogramm"):

Der Ausgangspunkt für diesen Modellversuch war die vergleichende internationale Studie über die mathematischen und naturwissenschaftlichen Kenntnisse, die sog. TIMSS-Studie, von Schülern der 7. und der 8. Klasse aus 42 Ländern. Wegen nur mittelmäßigen Abschneidens deutscher Schüler/innen bei der TIMSS-Studie gab die Bund-Länder-Kommission für Bildungsplanung und Forschungsförderung (BLK) eine Expertise in Auftrag, in der sich Pädagogen und Fachdidaktiker mit dem augenblicklichen Zustand des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts auseinander setzten und reale Vorschläge für eine Verbesserung der gegenwärtigen Situation machten.

Diese Expertise war dann Ausgangspunkt für den Beschluss der BLK, zu Beginn des Schuljahres 1998/99 ein viereinhalbjähriges Modellversuchsprogramm ins Leben zu rufen, an dem sich fast alle Bundesländer, so auch das Land Hessen, beteiligten.

Das zentrale Ziel des Modellversuchs ist eine substantielle und nachhaltige Steigerung der Qualität und Effektivität des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe I. (W. BLUM, 2000, 6)

Der von mir herangezogene Modellversuchstest wurde zur Be- und Auswertung der erbrachten Leistungen der am Modellversuch beteiligten Schulen bzw. Klassen, sowie zur Be- und Auswertung der von der Arbeitsgruppe Didaktik der Mathematik an der GhK Kassel geleisteten Arbeit verwendet. Dieser Test sollte als eines der Evaluationsinstrumenten dienen, damit sich die Entwicklungen der gesamten Stichprobe oder auch einzelner Klassen dokumentieren und analysieren lassen.

Der Test wurde zu Beginn des Schuljahres 1999/2000 in den achten Klassen durchgeführt. Insgesamt nahmen daran 1277 Schüler/innen aus 10 Schulen bzw. aus 53 Klassen teil, wobei etwa die Hälfte der Schüler aus Modellversuchsklassen stammt; die andere Hälfte gehört zu sogenannten „assoziierten" Schulen. Modellversuchsschulen sind diejenigen sechs Schulen, die offiziell am hessischen Modellversuch beteiligt sind. (A. HERZOG / W. BLUM, 2000, 54) Die Stichprobe der Gymnasiasten lag bei 510.

Der Test enthält 21 Aufgaben, welche die wichtigsten Inhalte der Klasse 7 repräsentieren. Die Aufgaben haben unterschiedliche Formate: 8 davon sind Multiple-Choice-Aufgaben, bei denen die Schiller/innen aus mehreren vorgegebenen Lösungen die richtige Antwort auswählen milssen. Zum anderen weist der Test offenere Aufgaben, bei welchen entweder nur die Lösung bzw. die Lösung mit der Begrilndung oder der Angabe des Rechenwegs verlangt werden. Zur Bearbeitung des Tests stehen 45 Minuten Zeit zur Verfilgung. (A. HERZOG / W. BLUM, 2000, 54)

In diesem Test sind Aufgaben aus anderen Studien eingebaut. Genauer sind hier 6 Items aus der Kassel/Exeter-Studie (Kassel/Exeter-Studie = Langzeit-Vergleichsuntersuchung (1993-1996), bei der die mathematischen Leistungen weitgehend repräsentativer Stichproben deutscher und englischer Schiller von Beginn der 8. Klasse bis zum Ende der Sekundarstufe I verfolgt wurden), 8 Items aus TIMSS (Population II) und 7 von WIEGAND und BLUM selbst entwickelte Aufgaben zu finden. (A. HERZOG / W. BLUM, 2000, 54)

1.2 MATHEMATISCHE GRUNDBILDUNG UND KOGNITIVE ANFORDERUNGSNIVEAUS IM MODELLVERSUCHSTEST

„In der mathematischen mathematikdidaktischen Literatur gibt es eine permanente Diskussion über allgemeine Ausrichtungen des Mathematikunterrichts, insbesondere darüber, wo zwischen der Ausbildung spezifischer Fertigkeiten und begrifflicher Vertiefung, zwischen Orientierung am Fach und Anwendungsorientierung die akzeptable Balance zu finden ist. Mathematische Grundbildung ist ein Konzept, das diese Balance genauer beschreibt." (M. NEUBRAND at al., 2001, 2)

Das Begriffsverständnis von mathematischer Grundbildung resultiert also aus den Vorstellungen, die mit einem qualitätsvollen Mathematikunterricht zu verbinden sind. Die mathematische Grundbildung zeichnet sich durch ein Bündel von Qualifikationen aus. Wesentliche Bestandteile einer solchen Grundbildung sind nach A. JORDAN (2000, 4):

- sicheres mathematische Basiswissen (Dazu gehören z. B. Fakten wie Sätze, rein technische Fertigkeiten wie Umwandlungen oder Berechnungen)
- adäquate Grundvorstellungen wesentlicher mathematischen Inhalte (in dieser Arbeit zugrundeliegende Grundvorstellungen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Bruchzahlbegriff, Prozentbegriff, Proportionalitäts-begriff, Funktionsbegriff, Variablenbegriff)
- mathematische Grundfähigkeiten (Modellieren, d.h. Übersetzen zwischen Realität und Mathematik, sowie Begründen, Beweisen)
- mathematische Arbeitstechniken (z. B. Lesen und Erstellen von Diagrammen, sinnvoller Umgang mit Taschenrechner, sicherer Umgang mit Zeichengerät)
- ein angemessenes Mathematikbild (z. B. Mathematik als Instrument zum Beschreiben vom Alltag und Umwelt)

Weiterhin spielen nach A. JORDAN (2000, 5) eine Rolle:

- allgemeine Grundfähigkeit (z. B. rationales und verständliches Argumentieren, sinnerfassendes Lesen, Strukturieren von Texten)
- allgemeine Arbeitstechniken (z. B. Notizen machen, eigene Gedanken schriftlich darlegen)

Zur Klassifizierung der Testaufgaben wurden bei PISA international drei Kompetenzklassen entwickelt (A. JORDAN. 2000, 5):

1. einfache Berechnung und die Wiedergabe von Definitionen (Fakten, Wissen, Standardalgorithmen, Routineverfahren)
2. mathematische Modellierung (einfache Übersetzungen) und Herstellung von Querverbindungen
3. einsichtvolles mathematisches Denken, Verallgemeinern und Verstehen von Zusammenhängen (komplexe Mathematisierung, Bewertungen, Begründungen)

In Anlehnung an das PISA-Framework wurden für den Modellversuch Hessen Klassen entwickelt, die einen steigenden Schwierigkeitsgrad aufweisen und die kognitiven Anforderungsniveaus der einzelnen Aufgaben beschreiben.

Im hessischen Modellversuch wird differenzierter als bei PISA international und ähnlich wie bei PISA national zwischen vier verschiedenen kognitiven Anforderungsniveaus unterschieden (A. H ERZOG / W. B LUM , 2000, 55):

Niveau I:

Das Item erfordert nur einfache rein technische Fertigkeit oder bloßes Faktenwissen.

Niveau II: Das Item erfordert

a) komplexe technische Fertigkeit (evtl. Umkehroperationen) oder
b) einfaches, unter Umständen mehrschrittiges Modellieren, wobei das dazu erforderliche Wissen aus einem einzigen Gebiet stammt (d.h. es ist nur eine einzige Vorstellung nötig)

Niveau III: Das Item erfordert

a) eine einfache Modellierung, die aber mit Umkehroperation verzahnt ist
b) oder eine integrative Modellierung, d.h. es werden Wissenselemente aus verschiedenen Gebieten (verschiedene Vorstellungen) verlangt.

Niveau IV: Das Item erfordert

a) integrative Modellierung verzahnt mit einer Umkehroperation
b) oder es enthält globale Vernetzungs- und/oder Bewertungselemente.

In meiner Arbeit führte ich die Analysen aller im Modellversuchstest enthaltenen Aufgaben durch; diese werden aus Platzgründen sowie wegen besserer Lesbarkeit allerdings nicht im Kapitel 1 dargestellt, sondern können im Anhang A (S. 1-28) nachgelesen werden.

Die Aufgaben wurden im Modellversuch schon nach den Anforderungsniveaus I, II, III, IV klassifiziert. Das Ziel dieser Analysen ist die Untersuchung, warum die einschlägigen Aufgaben den bestimmten Anforderungsniveaus zuzuordnen sind. Aus diesem Grund erschient mir primär wichtig, zu untersuchen, wie schwierig und komplex die jeweiligen Aufgaben sind. Die vorgenommen Analysen sollten bei der anschließenden Interpretation von relativen Stärken und Schwächen sowohl der Gymnasiasten als auch der getesteten Begabtengruppe in 1.5 und 1.6 eine Unterstützung leisten.

Die Analyse der Aufgaben erfolgt einerseits in Anlehnung an kognitive Anforderungsniveaus im Modellversuch Mathematik Hessen, andererseits wird das Analysenschema von B. WIEGAND (2000, 47) miteinbezogen, das er für Detailanalysen von TIMSS und Kassel-Exeter-Studie in seiner Dissertation zum Thema „Mathematische Anwendungsfähigkeit" entwickelte. Es besteht aus folgenden Teilen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur besseren Verständlichkeit wird exemplarisch eine Aufgabe aus dem Anhang A wiedergegeben:

Aufgabe 1:

Wieviel sind 25% von 60 kg?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für jede Aufgabe bzw. Teilaufgabe stelle ich zunächst wie B. WIEGAND die naheliegenden Lösungswege vor. „Der Aspekt „naheliegende Lösungswege" ist für die Analysen deswegen wichtig, da man Aufgaben prinzipiell nicht isoliert analysieren kann, sondern Lösungswege einbeziehen muss. Beispielweise können bei einer anderen Lösung andere Grundvorstellungen zugrunde liegen." (B. WIEGAND, 2000, 47) Die Aufgaben, für welche B. WIEGAND in seiner Dissertation die naheliegenden Lösungswege rekonstruierte, übernehme ich in dieser Arbeit komplett mit einem Verweis darauf. Bei den anderen Aufgaben versuchte ich selbst, aufgrund meiner persönlichen Erfahrungen im Unterrichten von Nachhilfeschülern und Begabten einigermaßen naheliegende Lösungswege der Schüler/innen zu rekonstruieren. Es kann und soll hierbei kein Anspruch auf Vollständigkeit aller möglichen Lösungswege erhoben werden.

Wie schon erwähnt wurden die Aufgaben im Modellversuch nach den Anforderungsniveaus I, II, III, IV klassifiziert. Der Fokus meiner Analyse liegt hauptsächlich auf der Untersuchung, warum eine Aufgabe zu einem bestimmten Anforderungsniveau gehört. Hier nenne ich bestimmte Fertigkeiten oder Fähigkeiten, welche für erfolgreiche Bewältigung der Aufgabe erforderlich sind, z. B. rein technische Fertigkeiten, einfache bzw. mehrschrittige Modellierung, globale Vernetzungs- und Bewertungsfähigkeit u.a.. Des Weiteren werden alle realitätsbezogenen Aufgaben dem Analysenschema von B. WIEGAND unterzogen. Dieses Analysenschema entwickelte er für realitätsbezogene Aufgaben. Da die Aufgaben im Modellversuchstest zum größten Teil realitätsbezogen sind, wird nur bei solchen dieses Analysenschema eingesetzt. Aufgabenanalysen, die B. WIEGAND in seiner Dissertation bereits vornahm, übernehme ich in für Arbeit mit einem Verweis darauf. Bei den anderen Aufgaben wurden für die einzelnen Kriterien des Analysenschemas nur Einschätzungen durch mich vorgenommen.

Die Aufgabenanalyse erfolgt in derselben Reihenfolge, wie die Aufgaben im Modellversuchstest angeordnet sind.

Jeder Aufgabenanalyse im Anhang A (S. 1-28) folgt eine Tabelle, die das Profil mit den Lösungshäufigkeiten präsentiert. Das Ziel hierbei ist die kontrastive Wiedegabe der Ergebnisse der getesteten Gruppen. Zur besseren Verständlichkeit wird das Profil für die Aufgabe 1 an dieser Stelle wiedergegeben:

Profil der Aufgabe 1:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der oberen Zeile ist das Anforderungsniveau entsprechend der Klassifikation im Modellversuch notiert. Den drunter liegenden Zeilen sind die Lösungshäufigkeit der Gymnasiasten, sowie durchschnittliche Lösungsanteile der Begabten nach Jahrgangsstufen und nach Klassifikation „mittelmaBige Begabtengruppe" — „begabte Spitzengruppe" zu entnehmen. Nach welchen Kriterien die Klassifikation von mir in Absprache mit Prof. R. BIEHLER durchgeführt wurde, wird unter 1.3 beschrieben.

Die Daten über die relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten für die Aufgaben mit einem zu erreichendem Punkt wurden aus Unterlagen von A. HERZOG herbeigezogen, die am Modellversuch beim Prof. W. BLUM mitarbeitete. (siehe 1.4 und Anhang B (S. 39)). Die Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten mit mehr als einem zu erreichendem Punkt berechnete ich selbst. Die Beschreibung dazu kann man in 1.4 nachlesen. Die durchschnittlichen Lösungsanteile für Begabte wurden ebenfalls vom mir berechnet. Auf welche Art und Weise sie berechnet wurden, wird in 1.4 und im Anhang C (S. 40) beschrieben.

1.3 BESCHREIBUNG DER REFERENZGRUPPEN

Den ersten Test führte ich mit einer Gruppe von 15 begabten Schüler/innen durch. Es handelt sich um eine Begabtengruppe des mathematischen Kabinetts „Primatha", geleitet von R. MATTHES. Bevor die Schüler/innen in die Begabtenkurse aufgenommen wurden, mussten sie durch verschiedene Tests (Begabungstest, IQ-Tests) nachweisen, dass sie schwerpunktmäßig in Mathematik oder umfassend weit überdurchschnittlich begabt sind.

Da die Begabtengruppe inhomogen ist, nehme ich in meiner Arbeit zwei Einteilungen vor: Nach Schulstufen und nach „begabte Spitzengruppe" — „mittelmaBige Begabtengruppe".

1.3.1 Einteilung in drei Gruppen nach Schulstufen

Die Schüler/innen der Begabtenkurse besuchen die 6. bis 8. Klasse. Dem Test unterzogen sich 3 Sechs-, 8 Siebt- und 4 Achtklässler. Aufgrund der Inhomogenität der Gruppe wurde eine Auswertung und Deutung der Ergebnisse zusätzlich erschwert, die wirklichen Ergebnisse könnten sogar verfälscht sein. Deswegen erschien mir zunächst eine Betrachtung nach Schulstufen zweckmäßig zu sein. Demnach teilte ich die gesamte Begabtengruppe in drei ein: Sechs-, Siebt und Achtklässler.

Um den Anforderungen des Datenschutzes zu genügen, wurden verschlüsselte Namen verwendet:

Zur Gruppe der Sechstklässler gehörten: Zapi71, Löwe, Robin Hood

Zur Gruppe der Siebtklässler gehörten: Basic, Marill, Pilzkopf, NF, K, Killer, Kevin, Peter

Zur Gruppe der Achtklässler gehörten: Satan, Enrobso, Anne, Otto Normalverbraucher.

Nachdem ich bei der Auswertung festgestellt hatte, dass ein einziger Schüler (Basic) als Ausreißer deutlich unter dem Niveau der begabten Schüler liegt, habe ich ihn nach Absprache mit Prof. R. BIEHLER aus der Gruppe der begabten Siebtklässler ausgeschlossen. Auch bei der Aufteilung in 1.3.2 wird dieser Schüler nicht mehr berücksichtigt. Da die Stichprobe schon sehr klein ist, würde dieser Schüler die Ergebnisse zu stark verfälschen. Außerdem gilt es bei diesem Schüler noch einmal zu überprüfen, ob er zur Gruppe der Begabten gehört. Aus den Gesprächen mit dem Leiter der Begabtenförderung R. MATTHES stellte sich heraus, dass die Mutter des Schülers im Verein der Begabten stark mitwirkt. Es fiel schon früher auf, dass sich die mathematische Begabung bei diesem Schüler möglicherweise gar nicht nachweisen ließe. Es sollte wiederholt ein Begabungs- und IQ-Test bei ihm durchgeführt werden.

1.3.2 Einteilung in zwei Gruppen: Begabte Spitzengruppe — mittelmäßige Begabtengruppe

Nachdem ich die Auswertung nach Schulstufen durchführte, fiel es Prof. R. BIEHLER und mir auf, dass im Vergleich zu nordhessischen Gymnasiasten in den drei Gruppen Schüler/innen mit Spitzenleistungen und mit mittelmäßigen Leistungen vorzufinden sind, unabhängig von der Klasse, welche sie besuchen. Prof. R. BIEHLER und ich erstellten zunächst folgenden Spiegel der gesamten Ergebnisse:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Daten stammen aus der Tabelle 1: Test 1 im Überblick im Anhang C (S. 41). Die Ziffern links/recht vom vertikalen Strich geben die erste Nachkommastelle/die zweite Nachkommastelle des von einem/r Schüler/in erreichten durchschnittlichen Gesamtlösungsanteils wieder. Dem Spiegel ist zu entnehmen, dass die meisten Schüler/innen im mittelmäßigen Bereich im Vergleich zu Gymnasiasten liegen, deren Mittelwert 0,59 beträgt. Diese begabten Schüler/innen erreichen einen durchschnittlichen Lösungsanteil zwischen 0,47 und 0,62. Die anderen fünf begabten Schüler/innen bringen mit einem deutlichen Abstand bessere Leistungen zustande. Sie liegen mit ihren durchschnittlichen Lösungsanteilen zwischen 0,78 und 0,97 in einem Spitzenbereich. Ein Schüler erreicht einen durchschnittlichen Lösungsanteil von nur 0,28. Er befindet sich mit seiner Leistung weit unter dem mittelmäßigen Bereich und wird als Ausreißer definiert und bei nachfolgenden Vergleichen mit nordhessischen Gymnasiasten nicht berücksichtigt.

Auf diese Weise kristallisierten sich zwei Begabtengruppen heraus: mittelmäßige Begabtengruppe und begabte Spitzengruppe.

Zur mittelmäßigen Begabtengruppe gehörten neun Schüler/innen: Satan (8), Enrobso (8), Marill (7), NF (7), Pilzkopf (7), K (7), Zapi71 (6), Löwe (6), Robin Hood (6).

Zur begabten Spitzengruppe gehörten 5 Schüler/innen:

Otto Normalverbraucher (8), Anne (8), Peter (7), Kevin (7) und Killer (7)

1.4 DURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG DES ERSTEN TESTS

Den Test führte ich mit einer Stichprobe von 15 begabten Schüler/innen unter denselben Bedingungen wie bei Gymnasiasten durch: Die Testzeit betrug 45 Minuten. Es waren keine Hilfsmittel zugelassen. Die Bereitschaft der Begabten zur Mitarbeit war überwiegend groß.

Zur Auswertung des Tests zog ich das Lösungsblatt von A. HERZOG heran (Anhang B, S. 37-38). In diesem Lösungsblatt sind alle im Modellversuchtest zugelassenen Aufgabenlösungen sowie Bewertungsschema enthalten. Das Lösungsblatt findet man im Anhang B (S. 37-38) in der Version von A. HERZOG wieder. Nach dem Lösungsblatt werden die meisten Aufgaben mit einem Punkt bewertet. Bei diesen Aufgaben wurden im Modellversuchstest die relativen Lösungshäufigkeiten berechnet. Sieben Aufgaben bzw. Teilaufgaben werden mit mehr als einem Punkt bewertet. Bei diesen Aufgaben wurden die durchschnittlichen Punktzahlen ermittelt, welche von der jeweiligen Stichprobe (Gymnasiasten, Realschüler, Hauptschüler) erreicht worden sind. Die Daten über relative Lösungshäufigkeiten und durchschnittliche Punktzahlen sind im Anhang B (S. 39) zu finden.

Meine Bewertung führte ich bei den allen Aufgaben nach denselben Kriterien durch und vergab auf alle Aufgaben dieselbe Punktzahl wie im Lösungsblatt von A. HERZOG.

Da auf einige Aufgaben mehr als ein Punkt vergeben wird, nenne ich die Ergebnisse der Auswertung bei Begabten „durchschnittliche Losungsanteile". Bei den Gymnasiasten bleibe ich bei den von A. HERZOG verwendetem Begriff „relative Losungshaufigkeiten".

Die Ergebnisse der Auswertung und den Vergleich mit Gymnasiasten stelle ich in dieser Arbeit in Form von Tabellen und Diagrammen vor. Die Tabellen können in Anhang C (S. 40-44), die Diagramme im Anhang D (S. 48-57) nachgesehen werden. Für die Erstellung der Diagramme benötigte ich bei allen Aufgaben die durchschnittlichen Lösungsanteile der begabten Schüler/innen, sowie Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten. Aus diesem Grund war ich dazu gezwungen, auch bei Aufgaben mit mehr als einem zu vergebenden Punkt die durchschnittliche Lösungsanteile der Begabtengruppe und die relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten zu berechnen. Bei Gymnasiasten dividierte ich die durchschnittlich erreichte Punktzahl durch die maximal zu vergebende Punktzahl. Bei Begabten dividierte ich die in einer Aufgabe von allen Schülern der betreffenden Gruppe erreichte Punktzahl durch das Produkt der maximalen zu vergebenden Punktzahl und der Schüleranzahl.

Wie schon in 1.3 beschrieben, erfolgte die Auswertung aufgrund der Inhomogenität der Begabtengruppe zunächst bezogen auf Schulstufen der begabten Schüler/innen, nachfolgend bezogen auf die Einteilung in zwei Gruppen: „Begabte Spitzengruppe" und „mittelmdBige Begabtengruppe". Die Tabellen 2-6 im Anhang C (S. 42-44) sowie die Diagramme 1-10 im Anhang D (S. 47-57) präsentieren die Ergebnisse der Auswertung für alle genannten Referenzgruppen.

Die Tabelle 1 im Anhang C (S. 41) fasst außerdem im Überblick die Ergebnisse der gesamten Begabtengruppe zusammen. Die Berechnung der Daten wird ebenfalls im Anhang C (S. 40) erklärt und sollte hier nicht wiederholt werden.

Die Daten aus dem Anhang C und D ziehe ich im Nachfolgenden zu einem Vergleich der in 1.3 beschriebenen Begabtengruppen mit nordhessischen Gymnasiasten heran.

1.5 VERGLEICH DER DURCHSCHNITTLICHEN LÖSUNGSANTEILE DER BEGABTEN SCHÜLER NACH SCHULSTUFEN MIT DEN RELATIVEN LÖSUNGSHÄUFIGKEITEN NORDHESSISCHER GYMNASIASTEN DER 8. KLASSE

Vorbemerkung

Da die Stichproben der Begabten sehr klein sind, ist kein repräsentativer Vergleich

möglich. Es lassen sich nur Tendenzen feststellen und aufzeigen.

Die Klassifikation der Aufgaben nach den Anforderungsniveaus I-IV lässt sich bei allen nachfolgenden Diagrammen an den Leerstellen der Rubrikenachse (x-Achse) erkennen. Beispielsweise gehören die Aufgaben 1, 2, 5 zum Anforderungsniveau I. Diesen drei Aufgaben auf der Rubrikenachse folgt eine Leerstelle zwischen den Teilstrichen. Rechts von der Leerstelle stehenden Aufgaben 3, 4, 7a, 7b, 8, 9, 10, 11a, 11b, 11c, 18a, 20c, 21a gehören schon dem Anforderungsniveau II, u. s. w. bis zum Anforderungsniveau IV.

Im Anhang A (S. 29-36) können die besonders interessanten Lösungen der begabten Schüler/innen aller Schulstufen zu den Aufgaben 19a, 19b und 21b aus dem Anforderungsniveau IV nachgesehen werden.

1.5.1 Vergleich der durchschnittlichen Lösungsanteile der begabten Sechstklässler mit den relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten

Die nachkommenden Informationen werden der Tabelle 2 im Anhang C (S. 42) sowie den abgebildeten Diagrammen 1 und 2 (vergrößert im Anhang D, S. 49-50) entnommen.

Der Mittelwert der durchschnittlichen Lösungsanteile bei den Sechstklässlern (0,51) liegt 8% unter dem Mittelwert der relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten (0,59) (Tab. 2).

Wenn man sich das Diagramm 1 zum Vergleich zwischen den begabten Sechstklässlern und Gymnasiasten anschaut, hat man ein interessantes Bild vor Augen: Die Sechstklässler erreichen einerseits bei neun Aufgaben einen durchschnittlichen Lösungsanteil von mehr als 0,80, andererseits bei acht Aufgaben einen durchschnittlichen Lösungsanteil von weniger als 0,20.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir schauen uns zunächst diejenigen Aufgaben an, welche die begabten Sechstklässler mit dem durchschnittlichen Lösungsanteil von weniger als 0,20 lösten (Diag. 1). Zu diesen Aufgaben gehören 5, 9, 11a bis 11c, 6, 12, 15. Nach den Diagramm 2 erreichen auch die negativen Abweichungen der Sechstklässler bei den Aufgaben 5, 11a, 11b, 11c, 15 ihre höchsten Werte (Diag. 2). Die Themengebiete, die in diesen Aufgaben vorkommen: Rechnen mit rationalen Zahlen, Winkelberechnungen, Proportionalitäten, Prozentrechnung (genauer: Berechnung des Grundwertes), sowie Kongruenz der Dreiecke, erfordern zunächst einige technische Fertigkeiten auf diesen Gebieten, um zu irgendeiner Art Lösung zu gelangen. Allerdings werden diese Inhalte zum ersten Mal in der Klassenstufe 7 behandelt. Die technischen Fertigkeiten zu Winkelberechnungen, Proportionalitäten und Prozentrechnung sind demnach bei den Sechstklässlern noch nicht vorhanden, die technischen Fertigkeiten zum Rechnen mit rationalen Zahlen sind nur schwach ausgeprägt.

Die Gymnasiasten bearbeiteten dagegen die Aufgaben 5, 9, 11a, 11b, 11c und 15 verhältnismäßig gut, jedenfalls mit einer Lösungshäufigkeit von mehr als 0,50. Bei Aufgabe 6 und 12 schnitten die Gymnasiasten jedoch deutlich schlechter ab. Sie erreichten hier Lösungshäufigkeiten von 0,25 und 0,31 (Diag. 1).

Als Nächstes betrachten wir die Aufgaben, bei welchen der durchschnittliche Lösungsanteil bei begabten Sechstklässlern 0,80 und mehr beträgt: 1, 2, 3, 7a, 8, 18a, 13, 19a, 19b (Diag. 1). Bei den Aufgaben 7a, 13, 19a und 19b erreichen auch die positiven Abweichungen der durchschnittlichen Lösungsanteile der Sechstklässler von den relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten ihre höchsten Werte (Diag. 2). Bei den Aufgaben 8, 18a und 19a müssen Informationen aus der graphischen Darstellung gewonnen werden, bei der Aufgabe 19a geht es außerdem darum, eine Verbindung zwischen den Graphen und den Gefäßen herzustellen. Bei Aufgabe 19b muss zu einem Gefäß ein Graph gezeichnet werden. Offensichtlich bereitet den begabten Sechstklässlern diese Art von Aufgaben weniger Probleme als Gymnasiasten in der 8. Klasse. Es kommt hier nicht auf die erworbenen Fertigkeiten in der Schule an, sondern auf schlüssiges, logisches, mathematisches Denken und Interpretieren, was sich auch an den guten Lösungen der begabten Sechstklässlern zeigt. Die anderen gut gelösten Aufgaben stammen aus dem Bereich der Geometrie, z. B. Aufgabe 3 und 7a, sowie etwas schlechter gelöste Aufgabe 7b erfordern Wissen zum Thema Symmetrie. Die Aufgabe 13 erfordert eine Grundvorstellung vom Umfang und die Verhältnis-Vorstellung von Brüchen. Hier ist es denkbar, dass Symmetrie und Umfang schon vorher entweder in der Grundschulzeit oder in der Klasse 5 zum größten Teil kurz behandelt werden sowie Brüche in der Klasse 6 eingeführt werden und deswegen von den Schülern schon in der 6. Klasse erfolgreich bewältigt werden können. Die Aufgabe 2 erfordert auch kein spezifisches Repertoire an Fertigkeiten wie Rechnen mit negativen Zahlen, und wurde somit bestens von Sechstklässlern bearbeitet.

Nach der Tab. 2 bearbeiten die Gymnasiasten die Aufgaben 1, 2, 3, 8, 18a aus den Anforderungsniveaus I und II ebenfalls mit einer hohen Lösungshäufigkeit zwischen 0,78 und 0,95. Bei den Aufgaben 13, 19a und 19b aus den Anforderungsniveaus III und IV sind die Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten, die zwischen 0,32 und 0,67 liegen, deutlich schlechter.

Zu Aufgaben, die von den begabten Sechstklässlern nur mittelmäßig, jedoch schlechter als von Gymnasiasten gelöst wurden, gehören: 4, 20c, 14, 17a 17b, 20a (Diag. 1). Dies sind wiederum, mit Ausnahme 20a, Aufgaben aus dem Bereich Prozent- und Zinsrechnung. Diese Inhalte werden zum ersten Mal in der Jahrgangstufe 7 behandelt. Diese technischen Fertigkeiten sind bei den begabten Sechstklässlern also nicht vorhanden.

Die Aufgaben, die von begabten Sechstklässlern nicht so hervorragend, jedoch besser als von Gymnasiasten gelöst wurden, sind: 21a, 16, 18b, 21b (Diag.1). Diese stammen wiederum, mit Ausnahme der Aufgabe 21a, aus den anspruchsvollen Anforderungsniveaus III oder IV und erfordern entweder integrative Modellierung oder globale Vernetzungs-und Bewertungselemente. Bei der Aufgabe 21b zeigen die Sechstklässler einen besonders großen Leistungsvorsprung gegenüber Gymnasiasten. Genauso wie bei den Aufgaben 8, 19a und 19b gilt es für die Sechstklässler hier, für sie zum größten Teil unbekannte Probleme zu bearbeiten. Bei der Bearbeitung völlig unbekannter Probleme ist es nach WEINERT F. E. und WALDMANN M. R. (1986, 112) notwendig, dass „Informationen kombiniert und miteinander verglichen werden. Problemadäquate Einsichten kommen nämlich nur zustande, wenn relevante von irrelevanten Informationen unterschieden und die relevanten zu neuen Einheiten verbunden werden, wobei es darauf ankommt, permanent aktuelle Erfahrungen mit dem individuell gespeichertem Wissen zu vergleichen. Dazu sind Abstraktionsleistungen, das Entdecken und Erfinden von Ordnungen und Originalität bei der Bildung neuer Informationseinheiten erforderlich."

1.5.2 VERGLEICH DER DURCHSCHNITTLICHEN LÖSUNGSANTEILE DER BEGABTEN SIEBTKLÄSSLER MIT DEN RELATIVEN LÖSUNGSHÄUFIGKEITEN DER GYMNASIASTEN

Die nachkommenden Informationen werden der Tabelle 3 im Anhang C (S. 42) sowie den abgebildeten Diagrammen 3 und 4 (vergröl3ert im Anhang D, S. 51-52) entnommen.

Der Mittelwert der durchschnittlichen Lösungsanteile bei den Siebtklässlern (0,73) liegt 14% über dem Mittelwert der relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten (0,59). (Tab. 3) Man muss dabei noch bedenken, dass die Schüler diese Leistungen ein Jahr früher als Gymnasiasten erreichten und aul3erdem einige im Test vorkommende Stoffgebiete nicht behandelt hatten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 3: Vergleich der durchschnittlichen Lösungsanteile der begabten Siebtklässler (ohne Ausreißer) mit den relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten der 8. Klasse

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 4: Abweichung der durchschnittlichen Lösungsanteile der begabten Siebtklässler (ohne Ausreißer) von den relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten

Zunächst schauen wir uns diejenigen Aufgaben an, bei welchen die begabten Siebtklässler schlechter als Gymnasiasten abschnitten.

t - die Aufgaben 5 und 15. Hier führen wir wieder dieselbe Interpretation an: die erforderlichen Fertigkeiten sind in diesem Abschnitt der 7. Klasse nicht vorhanden. Unwesentlich schlechter fallen bei dieser Gruppe die Aufgaben 3, 7a, 7b und 11b aus, so dass man sagen kann, sie sind genauso gut wie von den Gymnasiasten gelöst worden, denn die Unterschiede belaufen sich höchstens auf 9% (Diag. 4).

Zu Aufgaben, bei welchen der durchschnittliche Lösungsanteil der begabten Sechstklässler weniger als 0,40 beträgt, gehören 6, 15 und 21b (Diag. 3). Die Gymnasiasten schneiden nur bei der Aufgabe 15 um einiges besser ab. Bei den Aufgaben 6 und 21b schneiden sie ebenfalls mit einer Lösungshäufigkeit von weniger als 0,40 ab.

Alle anderen Aufgaben bearbeitet die Gruppe der begabten Siebtklässler zwischen 5% und 47% besser als die Gymnasiasten, im Durchschnitt jedoch ungefähr 20% besser.

Diagramm 4 offenbart, dass die begabten Siebtklässler in den Anforderungsniveaus I und II ungefähr die gleichen Leistungen zeigen wie Gymnasiasten. In den Anforderungsniveaus III und IV sind die Leistungen der begabten Siebtklässler eindeutig besser. Auch der Abstand zu den Gymnasiasten ist hier größer.

Genauso wie bei den Sechstklässlern fällt auch hier auf, dass die Aufgaben aus den Anforderungsniveaus III und IV, mit Ausnahme der Aufgabe 15, eindeutig besser von den begabten Siebtklässlern als von Gymnasiasten der 8. Klasse bewältigt werden (Diag. 4). Je anspruchsvoller die Problemstellungen werden, desto schlechter werden sie von Gymnasiasten bearbeitet und desto besser von begabten Siebtklässlern. In diesen Aufgaben beschäftigen sich Begabte mit teilweise unbekannten Problemen, suchen nach Informationen, gewinnen Einsichten und erzielen Leistungen, die den meisten Gleichaltrigen und Älteren verschlossen sind. Die Lösung schwieriger Probleme erfordert nach KLIX (F. E. WEINERT und M. R. WALDMANN, 1986, 111) in der Regel „ein Organisieren verschiedener Teilfunktionen und Teilprozesse der Erkenntnistätigkeit, damit ein festgelegtes oder zu suchendes Ziel mit Hilfe der verfügbaren Ressourcen erreicht werden kann." Das dafür notwendige Planungs- und Steuerungswissen und die erforderlichen Überwachungs- und Steuerungstätigkeiten bezeichnet man nach WEINERT und WALDMANN (1986, 111) als „metakognitive Kompetenzen". Die Ergebnisse dieses Vergleichs deuten darauf hin, dass durchschnittlich begabte Gymnasiasten und begabte Siebtklässler sich in der Verfügbarkeit „metakognitiver Kenntnisse und Fertigkeiten" unterscheiden.

1.5.3 VERGLEICH DER DURCHSCHNITTLICHEN LÖSUNGSANTEILE DER BEGABTEN A CHTKLÄSSLER MIT DEN RELATIVEN LÖSUNGSHÄUFIGKEITEN DER GYMNASIASTEN

Die nachkommenden Informationen werden der Tabelle 4 im Anhang C (S. 43) sowie den abgebildeten Diagrammen 5 und 6 (vergrößert im Anhang D, S. 52-53) entnommen.

Der Mittelwert der durchschnittlichen Lösungsanteile bei dn begabten Achtklässlern (0,77) liegt 18% fiber dem Mittelwert der relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten (0,59). (Tab. 4)

Schlechter als die Gymnasiasten schnitten die begabten Achtklässler bei den Aufgaben 2 und 15 ab (Diag. 5 und 6). Auffallend schlecht fiel die Aufgabe 15 (kongruente Dreiecke) aus. Diese Aufgabe wurde jedoch von allen begabten Schülern schlecht bearbeitet. Nicht abzustreiten ist, es eine in sich anspruchsvolle Aufgabe ist. Die Lösungshäufigkeit der Gymnasiasten liegt bei dieser Aufgabe jedoch bei 0,53. Nach NEUBRAND, NEUBRAND und SIBBERNS (1998 , 23) ist hier eine Vernetzung innerhalb der Mathematik gefordert. Sie interpretieren die schlechten Ergebnisse für die deutschen Schüler bei TIMMS für diese Aufgabe folgendermaBen: „Im deutschen Unterricht kommt der Begriff „kongruent" meist nicht in dieser kombinierten Form vor, sondern man bleibt eher auf ein und derselben Ebene: „Kongruent" kommt im Zusammenhang mit „drei Stiicken" beim Konstruieren, oder als Hilfsmittel beim Beweisen vor, jedenfalls ausdrücklich in begrifflichen Zusammenhängen, und weniger im Zusammenhang mit kongruenten Tätigkeiten wie Drehen und Winkelsumme-Berechnen. Im Unterricht scheint das hier verlangte Hinüberspringen von der Begriffsebene auf die Tätigkeitsebene und zurück nicht hinreichend prasent zu sein."

Die anderen Aufgaben wurden besser von begabten Achtklässlern als von Gymnasiasten bearbeitet, wobei in verschiedenen Aufgaben die Leistungen sehr auseinander driften (Diag. 6).

Besonders gut, d.h. mit einem durchschnittlichen Lösungsanteil von 1,00 wurden folgende Aufgaben bearbeitet: 1, 3, 7a, 7b, 8, 11a, 11c, 17a, 17b (Diag. 5). Solche Stoffgebiete wie Symmetrie, Prozentrechnung, Winkelberechnung scheinen die begabten Achtklässler sehr gut zu beherrschen. Die Gymnasiasten schneiden bei den Aufgaben 1, 3, 8, 17a ebenfalls gut, mit einer Lösungshäufigkeit von mehr als 0,77 ab. In den anderen schwanken die Leistungen der Gymnasiasten zwischen 0,46 und 0,65.

Einen verhältnismäßig deutlichen Abstand zu den Gymnasiasten erreichten die begabten Achtklässler bei den Aufgaben 7a (43 % besser), 7b (36% besser), 11a (54% besser), 11c (37% besser), 6 (50% besser), 16 (30% besser), 18b (40% besser), 17b (35% Besser), 19a (60% besser) und 19b (33% besser) (Diag. 6 und Tab. 4). Der Großteil dieser Aufgaben hat ein hohes Anforderungsniveau.

Mit Ausnahme der Aufgaben 12, 15, 20a und 20b erzielten die begabten Achtklässler in Anforderungsniveaus III und IV sichtbar bessere Leistungen als Gymnasiasten. Anspruchsvollere Vernetzungsaufgaben bereiten den Begabten eindeutig weniger spezifische Schwierigkeiten als Gymnasiasten.

Bei einfacheren Anforderungsniveaus I und II sieht das Bild bei den begabten Achtklässlern auch anders aus als bei begabten Sechst- und Siebtklässlern: Sie erzielen in den meisten Aufgaben mit Ausnahme der Nummern 2 und 10 deutlich bessere Resultate als Gymnasiasten (Diag. 6). Dies ist nicht verwunderlich, denn die Achtklässler behandelten alle Themengebiete, die im Test vorkommen, in der Schule. Auch wenn Aufgaben aus den Anforderungsniveaus I und II nicht so anspruchsvoll sind, erfordern sie nutzbares problemspezifisches Wissen. Die Sechs- und Siebtklässler verfügen über dieses Wissen nur auf bestimmten Gebieten, die Achtklässler auf allen abgefragten Gebieten. Die Testergebnisse der Untersuchung deuten darauf hin, dass „die Bedeutung des Wissens fir die Lösung mathematischer Probleme darf nicht übersehen werden. Es kommt bei erfolgreichen Problemlösungen nicht so sehr auf die Menge des verfügbaren Wissens, sondern vor allem auf dessen Qualität an, d. h. auf seine Differenziertheit, Organisiertheit und flexible Zugänglichkeit." (WEINERT und WALDMANN, 1986, 113) Die Ergebnisse dieses Vergleichs deuten auBerdem darauf hin, dass die begabten Achtklässler auch „im Erwerb und Nutzung eines solchen qualitativ ausgezeichneten Wissens" dem Durchschnitt der Gymnasiasten überlegen sind.

1.6 VERGLEICH DER DURCHSCHNITTLICHEN LÖSUNGSANTEILE DER BEGABTEN SPITZENGRUPPE MIT DEN RELATIVEN LÖSUNGSHÄUFIGKEITEN NORDHESSISCHER GYMNASIASTEN DER 8. KLASSE

Nach welchen Kriterien und wie ich die getesteten Schaler/innen in die „begabte Spitzengruppe" einteilte, beschreibe ich in 1. 3. 2.

Die nachfolgenden Informationen entnehme ich der Tabelle 5 im Anhang C (S. 44) sowie den unten abgebildeten Diagrammen 7 und 8 (vergrößert im Anhang D, S. 54-55). Die Fähigkeiten der begabten Spitzengruppe heben sich in allen kognitiven Anforderungsniveaus deutlich von denen der Gymnasiasten ab. Sieht man sich die Mittelwerte für alle Aufgaben in der Tabelle 5 an, so stellt man fest, dass die begabte Spitzengruppe im Ganzen um 28% besser abschnitt als die Gymnasiasten. Der Mittelwert liegt bei Gymnasiasten bei 59%, bei der begabten Spitzengruppe bei 87%.

Für die begabte Spitzengruppe scheint nur Aufgabe 15 (kongruente Dreiecke) ein spezifisches Problem darzustellen. Bei dieser Aufgabe zeigten sie um 13% schlechtere Leistungen als die Gymnasiasten (Diag. 8).

Bei der Aufgabe 5, wo nur einfache technische Fertigkeiten verlangt werden, schneiden beide Gruppen gleich ab. Dies ist sicherlich darauf zurückzuführen, dass die Siebtklässler das Rechnen mit rationalen Zahlen noch nicht behandelt hatten. Wenn man von diesem Standpunkt ausgeht, fällt das Ergebnis überraschend positiv aus.

Obwohl die begabte Spitzengruppe bei den Aufgaben 4 (7% Jahreszinsen), 6 (x prop. zu y), 9 (offene Rechenaufgabe mit dem Ergebnis —6,7), 12 (20%ge Ermäßigung), 14 (Dose Bohnen — Prozentrechnung), 16 (Anteil der roten Farbe), 18b (Geobrett — Flächenanteilberechnung), 19b (zu einem Gefäß einen passenden Füllgraphen zeichnen) und 21 b (400m-Lauf — Reportage) um mindestens 20% bessere Leistungen als Gymnasiasten erzielt, bereiten die aufgezählten Aufgaben tendenziell beiden Schülergruppen insgesamt gesehen größere Schwierigkeiten (Diag. 7 und 8). Es fällt auf, dass vor allem Aufgaben zur Prozent- und Zinsrechnung und Aufgaben mit globalen Vernetzungs- und/oder Bewertungselementen in diesen Bereich hereinfallen. Dabei muss man anmerken, dass bei den Aufgaben mit höheren Anforderungsniveaus III und IV (6, 12, 16, 18b, 19b, 21b) der Leistungsvorrang der begabten Spitzengruppe einen deutlichen Abstand zu den Gymnasiasten gewinnt.

Die Aufgaben 1 (25 % von 60), 2 (Temperaturunterschied), 3 (Symmetrieachsen eines Echteck), 7b (Buchstaben mit genau zwei Symmetrieachsen), 8 (Bremsweg), 10 (Proportionale Zuordnungen), 11a, 11b, 11c (Winkelberechnung), 18a (Dreiecke am Geobrett), 20c (offene Aufgabe zum Temperaturschreiber), 21a (400-m-Lauf, Ablesen der Zeit), 13 (Seitenlänge: Umfang), 17a und 17b (10% erhöht, 10% gesenkt), 19a (Füllgraphen zuordnen), 20a (Temperaturschreiber) wurden von der begabten Spitzengruppe mit einem durchschnittlichen Lösungsanteil von 1,00, also 100%ig bearbeitet (Diag. 7). Bei Gymnasiasten streut sich die Lösungshäufigkeit bei diesen Aufgaben zwischen 0,32 und 0,95 (Tab. 5)

Bei Gymnasiasten nimmt die durchschnittliche Lösungshäufigkeit mit zunehmendem Anforderungsniveau ab, bei der begabten Spitzengruppe bleibt sie durchgehend konstant zwischen 80% und 100%, mit Ausnahme der Aufgabe 5 und 15 (Diag. 7).

Die Stärke der begabten Spitzengruppe liegt somit nicht nur in der Beherrschung von Routineverfahren und der Fähigkeit des Abrufens von Wissen aus dem Gedächtnis, sondern im mathematischen Denken, im Lösen mathematischer Probleme und in der Anwendung mathematischer Modelle und Verfahren auf quantitative Problemfälle. Die Schüler/innen dieser Gruppe haben ein qualitativ höheres Niveau des mathematischen Verständnisses. Im anspruchsvollen Anforderungsniveaus III und IV liegen die Leistungen der begabten Spitzengruppe für die Gymnasiasten in kaum erreichbarer Höhe. Aber auch im Anforderungsniveau II sind die Leistungen der begabten Spitzengruppe durchgehend und unübertrefflich besser als die Leistungen der Gymnasiasten.

Die Ergebnisse dieser Untersuchung bestätigen die Charakterisierung des Denkens Hochbegabter nach WEINERT und WALDMANN (1986, 111-114):

Die Lösung schwieriger Probleme erfordert „metakognitive Kompetenzen" wie das Verknüpfen verschiedener Teilfunktionen und Teilprozesse der Erkenntnisfähigkeit. STERNBERG (1981, bei WEINERT und WALDMANN (1986, 111-112)) schreibt ihnen in seinem Komponentenmodell der Hochbegabung folgende Funktionen zu:

- zu entscheiden, worin eigentlich ein Problem besteht,
- das Planen zweckmäßiger Lösungsschritte,
- die Auswahl geeigneter Handlungsstrategien,
- die problemangemessene mentale Repräsentation von Informationen, z. B. in Form sprachlicher Umschreibungen, bildhafter Vorstellungen oder symbolischer Verschlüsselungen
- die zweckmäßige Verteilung der Aufmerksamkeit
- die Kontrolle der gesamten Problemlöseaktivitäten

Die Testergebnisse dieses Vergleichs deuten darauf hin, dass zwischen der begabten

Spitzengruppe und den durchschnittlichen Gymnasiasten offensichtlich große Unterschiede in der Verfügbarkeit dieser sogenannten „metakognitiven Kompetenzen" bestehen.

Weiterhin erfordert die Lösung schwieriger Probleme nach WEINERT und WALDMANN

(1986, 111-112) „die Gewinnung substantieller Einsichten, reichhaltiges nutzbares Wissen, effiziente Formen der Informationsverarbeitung, die Abstraktionsleistungen und die zeitweilige Toleranz gegenüber unfertigen Problemlösungen".

1.7 V ERGLEICH DER DURCHSCHNITTLICHEN LÖSUNGSANTEILE DER MITTELMÄßIGEN BEGABTENGRUPPE MIT DEN RELATIVEN LÖSUNGSHÄUFIGKEITEN NORDHESSISCHER GYMNASIASTEN DER 8. K LASSE

Nach welchen Gesichtspunkten und wie ich die getesteten Schüler/innen der „mittelmaBigen Begabtengruppe" zuwies, beschreibe ich in 1.3.2.

Die in diesem Abschnitt verwendeten Informationen entnehme ich der Tabelle 6 (S. 44) im Anhang C sowie den unten abgebildeten Diagrammen 9 und 10 (vergrößert im Anhang D, S. 56-57).

Der Mittelwert der durchschnittlichen Lösungsanteile der mittelmäßigen Begabtengruppe (0,58) und der Mittelwert der relativen Lösungshäufigkeiten der Gymnasiasten (0,59) liegen so nah beieinander, dass man sagen kann, die Leistungen beider Gruppen sind einander äquivalent (Tab. 6).

Einen durchschnittlichen Lösungsanteil von weniger als 0,40 erreichte die mittelmäßige Begabtengruppe bei den Aufgaben 9, 11b, 6, 12, 15 und 21b (Diag. 9). Die Leistungen der Gymnasiasten weisen bei den Aufgaben 9, 6, 12 und 21b dieselbe Tendenz auf. Bei den Aufgaben 11b und 15 zeigten Gymnasiasten deutlich bessere Leistungen. Die relative Lösungshäufigkeit beträgt hier 0,74 und 0,53 (Tab. 6).

Einen durchschnittlichen Lösungsanteil von mehr als 0,80 erreichte die mittelmäßige Begabtengruppe bei den Aufgaben 1, 2, 8, 18a (Diag. 9). Die Gymnasiasten zeigten hier auch dieselbe Tendenz, ihre relativen Lösungshäufigkeiten liegen gleichfalls bei mehr als 0,80.

Deutlich schlechtere Ergebnisse als die Gymnasiasten erzielte die mittelmäßige Begabtengruppe bei den Aufgaben 5, 9, 11b, 6, 15 und 20a (Diag. 10). Die erste Voraussetzung für die erfolgreiche Bewältigung dieser Aufgaben (außer 20a) ist das Verfügen über rein algorithmische Fertigkeiten. Das Rechnen mit rationalen Zahlen, Winkelberechnungen, Proportionalität und Kongruenz sind Themengebiete, welche nicht alle Schüler der mittelmäßigen Begabtengruppe in der Schule behandelt hatten. Bei der Aufgabe 15 ist eine zusätzliche Vernetzung innerhalb der Mathematik erforderlich. Die Aufgabe 15 wurde allerdings auch von der begabten Spitzengruppe schlechter als von Gymnasiasten bearbeitet. Bei Aufgabe 20a handelt es sich um Gewinnung der Informationen aus der graphischen Darstellung. Bei typähnlicher Aufgabe 20b erreichte die mittelmäßige Begabtengruppe und Gymnasiasten fast identische Leistungen.

Erkennbar bessere Leistungen erzielt die mittelmäßige Begabtengruppe bei den Aufgaben 14, 16, 18b, 19a und 19b (Diag. 10). Proportionalitätsbegriff, Bruchzahlbegriff, Funktionsbegriff samt Fähigkeit zur Gewinnung von Informationen aus graphischen Darstellungen sind Schlüssel zur erfolgreichen Bearbeitung dieser Aufgaben. Es sind Aufgaben aus dem Anforderungsniveau III und IV.

Bei den übriggebliebenen Aufgaben schneiden beide Gruppen verhältnismäßig gleich ab (Diag. 10).

Um die Leistungsunterschiede zwischen den beiden Referenzgruppen zu illustrieren, lässt sich folgende Überlegung anstellen. Die mittlere Testleistung der Gymnasiasten der 8. Klasse entspricht im Wesentlichen dem Leistungsdurchschnitt der mittelmäßigen Begabtengruppe. Sie erreichen dieses Leistungsniveau allerdings in einem höheren Lebensalter als die vergleichbar leistungsstarke mittelmäßige Begabtengruppe. Im Vergleich zu den Gymnasiasten sind die begabten Schüler/innen im Durchschnitt etwas jünger. Im Vergleich zu den Gymnasiasten erreichen sie bereits 1,5 bis 2 Jahre früher, d.h. mit 12 Jahren und 4 Monaten Leistungen, die der 8. Klasse im Gymnasium äquivalent sind. Auf diesem Hintergrund zeigt sich auch die mittelmäßige Begabtengruppe tendenziell leistungsfähiger als nordhessische Gymnasiasten.

KAPITEL 2 ZWEITER TEST : KOMBINIERTER TIMSS-PISA-TEST

2.1 KONZEPTION DES ZWEITEN TESTS

Den Test stellte ich aus ausgewählten Aufgaben der Dritten Internationalen Mathematik- und Naturwissenschaftsstudie (TIMSS) der Population II (J. BAUMERT & al., 1998, 34-128) und III

(Internetquelle: http://www.mpib-berlin.mpg.de/TIMSS III/POP-3.pdf.), sowie aus Beispielsaufgaben aus dem Internet von OECD PISA (OECD PISA = ORGANISATION FOR CO-OPERATION AND DEVELOPMENT Progamme for International Students Assessment), der noch nicht abgeschlossenen PISA-Studie, zusammen, d.h. nicht aus solchen, die in PISA verwendet werden. (Internetquelle: http://www.mpib-berlin.mpg.de/pisa/).

Diesen Tests konzipierte ich zwecks einer Auswertung nach Lösungsstrategien, d.h. der Test musste es ermöglichen, zu ermitteln, mit welchen Strategien, auf welchem Wege die begabten Schüler/innen Aufgaben aus internationalen Vergleichsstudien lösen.

„Bei der TIMSS-Studie weisen die Aufgaben zwei unterschiedliche Formate auf: Aufgaben mit Mehrfachwahlantworten (multiple-choice-items) und sog. offene Items. Offene Items kommen in Form von Fragen mit „short answer" oder „extended response" vor. Bei Aufgaben des Typs „short answer" werden im Gegensatz zu „multiple-choice"-Aufgaben keine Losungsvorschlage gemacht. Die Aufgaben des Typs „extended response" macht die Aufforderung zur Darlegung der einzelnen Arbeitsschritte aus." (M. NEUBRAND / J. NEUBRAND / H. SIBBERNS, 1998, 18) Der TIMSS-Test bezog seine Aussagekraft aus der Bearbeitung vieler Items, somit konnten dort aus Zeitgründen nicht allzu viele offene Aufgaben vorkommen. Um ein aussagekräftiges Bild sowohl über die verwendeten Lösungsstrategien als auch über das Leistungsniveau von begabten Schüler/innen zu erhalten, änderte ich die TIMSS-Aufgaben fur Begabte. Die „multiple-choice"-Aufgaben wandelte ich in „extended response"-Aufgaben um. Auf diese Weise wurden die Begabten aufgefordert, ihre Lösungswege aufzuzeichnen.

Beispielsweise lautet die Aufgabe L11 bei TIMSS so:

Wenn ein Gummiball zu Boden fällt, springt er die Hälfte der Strecke wieder hoch. Der Ball wird von einem 18 m hohen Dach fallen gelassen. Welche gesamte Entfernung hat der Ball zurückgelegt, wenn er das dritte Mal den Boden berührt?

31,5 m

40,5 m

45 m 63 m

Im Test für Begabte laufen sie folgendermaßen:

Wenn ein Gummiball zu Boden fällt, springt er die Hälfte der Strecke wieder hoch. Der Ball wird von einem 18 m hohen Dach fallen gelassen. Welche gesamte Entfernung hat der Ball zurückgelegt, wenn er das dritte Mal den Boden berührt?

Schreibe deine Lösungsschritte auf.

Die Lösungsvorschläge liquidierte ich bei fast allen TIMSS-Aufgaben im Test für Begabte, die Aufforderungen zur Darlegung einzelner Arbeitsschritte fügte ich stattdessen hinzu.

Eine Ausnahme bildet die Aufgabe I8:

Bei der TIMSS-Studie hat die Aufgabe folgendes Format:

Eine Gerade geht durch die Punkte (3;2) und (4;4). Welcher der folgenden Punkte liegt

ebenfalls auf der Geraden?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Aufgabe lieB sich nicht zu einer „extended response"-Aufgabe umändern, weil sich dadurch der Sinn der Aufgabe ändern würde. Allerdings fügte ich die Aufforderung zu einer Begründung an, welche bei der wirklichen TIMSS-Aufgabe nicht erforderlich war.

Eine Gerade geht durch die Punkte (3;2) und (4;4)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

b) Begründe jeweils, warum Punkte auf der Geraden oder nicht auf der Geraden liegen.

Auch bei einigen anderen Aufgaben im zweiten Test fügte ich eine solche Aufforderung zur Begründung hinzu.

Zwei Aufgaben wählte ich aus Beispielsaufgaben von OECD PISA aus. Beispielsaufgabe deswegen, weil die wirkliche PISA-Aufgaben noch nicht freigegeben sind, da die PISA-Studie noch nicht abgeschlossen ist.

Da die PISA-Beispielsaufgaben schon offen konziepiert sind, veränderte ich sie in ihrer Struktur nicht. Ich fügte jedoch eine PISA-ähnliche Teilaufgabe bei der Aufgabe „Pizza" hinzu.

Die wirklich „Pizza"-Aufgabe lautet folglich:

Eine Pizzeria bietet zwei runde Pizzas mit derselben Dicke in verschiedenen Größen an.

Die kleine hat einen Durchmesser von 30 cm und kostet 30 zeds. Die größere hat einen

Durchmesser von 40 cm und kostet 40 zeds.

Bei welcher Pizza bekommt man mehr für sein Geld? Gib die Begründung an.

Die modifizierte hinzugefügte „Pizza"-Aufgabe ist:

Eine Pizzeria bietet zwei quadratische Pizzas mit derselben Dicke in verschiedenen Größen an. Die kleine hat eine Seitenlänge von 30 cm und kostet 30 zeds. Die größere hat eine Seitenlänge von 40 cm und kostet 40 zeds.

Bei welcher Pizza bekommt man mehr für sein Geld? Gib die Begründung an.

Diese Aufgabe sollte auch den jüngeren begabte Schüler/innen eine Möglichkeit geben, ihre Lösungsstrategien darzubieten, da sie die technische Fertigkeit wie Kreisflächenberechnung noch nicht besitzen, um die wirkliche PISA-Aufgabe zu lösen.

In 2.4 bzw. 2.6 stelle ich vor jeder Auswertung sowohl die geänderten, als auch die tatsächlichen TIMSS- bzw. PISA-Aufgaben-Formulierungen vor.

Der TIMSS-PISA-Test enthält insgesamt 16 Aufgaben, manche Aufgaben sind noch in mehrere Teilaufgaben (a, b, c) gegliedert. 13 Aufgaben entnahm ich der Population II der TIMSS-Studie. (J. BAUMERT & al., 1998, 34-128) Die Aufgaben wurden zur Untersuchung der Schüler/innen der 7. und 8. Jahrgangsstufe eingesetzt. Dabei griff ich nur diejenigen Aufgaben heraus, bei welchen die deutsche Lösungswahrscheinlichkeit sowohl bei den Siebt- als auch bei den Achtklässlern unter 40% lag, d.h. Aufgaben, bei denen die deutsche Lernenden eher schlechte Leistungen erzielten und ihre Defizite zeigten. Eine Ausnahme bildet die Teilaufgabe S2a, die Lösungswahrscheinlichkeit beträgt hier 0,49 bzw. 0,55. Eine Aufgabe entnahm ich der Population III (Internetquelle: http://www.mpib-berlin.mpg.de/TIMSS III/POP-3.pdf.), die zur Testierung der gymnasialen Oberstufe und der beruflichen Bildungsgänge verwendet wurde. Zwei Aufgaben wählte ich aus Beispielsaufgaben von OECD PISA (Internetquelle: http://www.mpib-berlin.mpg.de/pisa/).

TIMSS unterscheidet bei der Population II folgende Stoffgebiete, die ich direkt übernahm: - Algebra

- Darstellung und Analyse von Daten
- Zahlen und Zahlenverständnis - Geometrie
- Messen und Maßeinheiten - Proportionalität

Bei TIMSS der Population III und PISA übernahm ich nur Aufgaben zur mathematischen Grundbildung. Sie werden im Test so bezeichnet:

- Mathematische Grundbildung (Pop III)
- Mathematische Grundbildung (PISA)

2.2 BESCHREIBUNG DER REFERENZGRUPPE

Den Test filhrte ich mit einer Gruppe von 15 begabten Schiller/innen des mathematischen Kabinetts „Primatha" durch. Es handelt sich um dieselbe Begabtengruppe, die fir den ersten Test herangezogen wurde. Allerdings konnten vier Schiller, die sich dem ersten Test unterzogen, am zweiten Test wegen Krankheit nicht teilnehmen. Am zweiten Test beteiligten sich vier neue Schiller.

Die Begabtengruppe ist inhomogen. Sie besteht aus 4 Sechstklässlern, 7 Siebtklässlern und 4 Achtklässlern. Bei der Auswertung nach Lösungshäufigkeiten und deren Vergleich mit den Lösungswahrscheinlichkeiten des deutschen Durchschnitts bei TIMSS betrachte ich die gesamte Gruppe als eine Einheit, d.h. ich nehme keine Einteilungen bezilglich der Schulstufen vor. Lediglich filr die Untersuchung der Korrelation der Ergebnisse zwischen dem ersten und dem zweiten Test teile ich die Schiller der Begabtengruppe in „begabte Spitzengruppe" und „mittelmdBige Begabtengruppe" ein. Dies ist der Gegenstand des Kapitels 3 und kann dort nachgesehen werden.

2.3 DURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG DES ZWEITEN TESTS

Den Test führte ich mit einer Stichprobe von 15 begabten Schüler/innen unter folgenden Bedingungen durch: Die Zeit zur Bearbeitung der Aufgaben war von Anfang an nicht festgelegt. Die Schüler/innen verwendeten jedoch faktisch nicht länger als 90 Minuten. Es waren als Hilfsmittel Taschenrechner und Geodreieck zugelassen.

Die Auswertung erfolgte nach folgenden Kriterien:

- Zum einen wertete ich nach Lösungsstrategien aus, d.h. ich klassifizierte die von den begabten Schüler/innen dargelegten Lösungswege nach Strategien. Die Lösungsstrategien benannte ich nach meinem Ermessen.
- Zum zweiten wertete quantitativ aus, d.h. ich verglich bei den TIMSS-Aufgaben der Population II die relativen Lösungshäufigkeiten der Begabten mit den von BAUMERT et al. (1998, 34-128) ermittelten Lösungswahrscheinlichkeiten der deutschen Siebt- und Achtklässler. Bei einer TIMSS-Aufgabe der Population III verglich ich die relative Lösungshäufigkeit der Begabten mit der Lösungswahrscheinlichkeit der deutschen gymnasialen Oberstufe und der beruflichen Bildungsgänge. Bei PISA-Aufgaben handelt es sich um Beispielsaufgaben, bei welchen keine Vergleichsdaten vorliegen. Ein Vergleich erfolgt hier also nicht. Bei diesen Aufgaben berechnete ich nur die relativen Lösungshäufigkeiten der Begabten.

Die Auswertungen sind in derselben Reihenfolge angeordnet, wie man die Aufgaben im Test vorfindet.

Zunächst stelle ich meine Version der betreffenden Aufgabe vor. Bei den veränderten Aufgaben gebe ich ihre ursprüngliche Formulierung bei TIMSS bzw. bei PISA an. Im nächsten Schritt fasse ich alle von der Begabtengruppe verwendeten Lösungsstrategien in einer Tabelle zusammen. Hier gebe ich die Bezeichnungen aller vorkommenden Lösungsstrategien, welche in erfolgreiche und nicht erfolgreiche gegliedert sind. Diese Tabelle soll im Überblick darstellen, wie viele Schüler/innen eine bestimmte erfolgreiche bzw. nicht erfolgreiche Losungsstrategie verwenden und wie viele davon „richtige" bzw. „falsche" Endergebnisse liefern. Es gibt zweierlei )llle, wo bei einer erfolgreichen Lösungsstrategie durch einen Rechenfehler „falsche" Endergebnisse oder bei einer nicht erfolgreichen Losungsstrategie unter Umstanden „richtige" Endergebnisse zustande kommen. Zur besseren Verständlichkeit gebe ich exemplarisch ein Beispiel wieder, das sich auf die Teilaufgabe S2b) bezieht:

Aufgabe S2:

Die Figur besteht aus 5 kongruenten Quadraten. Die Fläche der Figur beträgt 405 cm².

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

b) Gib die Länge der Seite eines Quadrates an.

Antwort: Zentimeter Begründe dein Ergebnis.

[...]