Das Zinsstrukturmodell von Black-Derman-Toy

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung
1.1 Problemstellung
1.2 Ziele
1.3 Aufbau/Methodik

2 Grundlagen
2.1 Einperiodiges Modell
2.1.1 Allgemeiner Modellaufbau
2.1.2 Arbitragefreie Bewertung
2.1.2.1 Arbitragefreiheit
2.1.2.2 Law Of One Price
2.1.3 Risikoneutrale Bewertung
2.1.4 Terminzinsen
2.1.5 Short Rate
2.2 Bewertung in einem Binomialbaum
2.3 Überblick über Ein-Faktor-Modelle

3 Das Modell von Black-Derman-Toy
3.1 Modellierung des Short Rate Baums
3.2 Kalibrierung des BDT Zinsmodells
3.2.1 Direkte Volatilitäten der Short Rates
3.2.2 Volatilitäten der Kassazinsen in t =
3.3 Beispiel zur Kalibrierung des BDT-Modells
3.4 Berechnung von Short Rates aus einer Zinsstrukturkurve

4 Ausblick auf weitere Modelle
4.1 Heath-Jarrow-Morton-Modell
4.2 Libor-Market-Modell

5 Fazit

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Bewertung im Binomialbaum

Abbildung 2: Baummodell

Abbildung 3: Übersicht Einfaktor-Modelle

Abbildung 4: Basisinformationen

Abbildung 5: Short Rate Baum

Abbildung 6: Baum der Diskontfaktoren

Abbildung 7: Gegebene Zinsstruktur

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einführung

1.1 Problemstellung

Die Zeiten, in denen Anleger ihr Geld ausschließlich in Geldvermögenskonten, festverzinsliche Wertpapiere, Aktienportfolios oder Fonds investierten, sind vorbei. Moderne Finanzinstrumente lassen risikofreudige Anleger an Zinsentwicklungen oder Aktienmarktbewegungen mit Hilfe von Zertifikaten und strukturierten Produkten aller Art teilhaben.

Bei strukturierten Produkten liegt für die Anbieter solcher Anlageklassen das Problem in der Bewertung von Zinsprodukten, welche durch stochastische Prozesse und Modelle ermittelt wird.

1.2 Ziele

Mit dieser Arbeit wird untersucht, wie durch stochastische Modelle Zinsprodukte bepreist werden können.

Dabei beschränkt sich diese Thesis auf die Funktionsweise und die Grenzen des Zinsstrukturmodells von Black-Derman-Toy (BDT), welches 1990 ¹ für Goldman Sachs entwickelt wurde.

1.3 Aufbau/Methodik

Zu Beginn dieser Arbeit werden Grundlagen geschaffen, um die Thematik besser erfassen zu können.

Zunächst werden allgemeine Notationen und Grundvoraussetzungen für einperiodige Modelle und die Zeitkomponenten beschrieben.

Um zum Kernthema, der Bewertung von zinssensitiven Anlageklassen zu kommen, müssen erst Bewertungsgrundlagen wie Arbitragefreiheit und Martingalmaße erklärt werden.

Anschließend erfolgt dann die Hinführung zur wichtigsten Komponente des BlackDerman-Toy Modells: den kurzfristigen Terminzinsen oder auch Short Rates.

Das nächste Kapitel gibt dann den allgemeinen Rahmen eines binomialen Baummodells vor, auf dessen Grundlage dann der Hauptteil dieser Arbeit aufgebaut ist.

Schwerpunkt dieser Thesis ist die Methode, nach dem Fischer Black, Emanuel Derman und William Toy Zinsstrukturkurven abbilden und Derivate mit diesem Modell bewerten.

Der Abschluss der Arbeit ist einem übergreifenden Ausblick auf weitere Zinsstrukturmodelle und die größten Unterschiede zu dem hier Beschriebenen gewidmet.

2 Grundlagen

2.1 Einperiodiges Modell

Die einfachste Art ein Finanzinstrument zu bewerten, geschieht in einem einperiodigen Modell². Man betrachtet hierbei nur zwei Zeitpunkte und die Veränderungen der betrachteten Variablen dazwischen. Das Modell von Black- Derman-Toy ist ein solches Modell. Aus dieser einfachen Umgebung lassen sich dann später mehrperiodige Modelle ableiten und Zeiträume über mehrere Perioden bewerten.

2.1.1 Allgemeiner Modellaufbau

Der erste grundlegende Baustein ist die Bewertung in diskreter Zeit³, d.h. es werden feste Zeitintervalle- und schritte in der Bewertung vorgegeben. Es gibt somit nur zwei Zeitpunkte: t = 0 und t = T (T < f ) in einem einperiodigen Modell.

Aus heutiger Sicht, also t = 0 ist der Umweltzustand in t = T unsicher. Alle möglichen Umweltzustände lassen sich aber in der Menge

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

zusammenfassen. Es muss genau ein

Zustand aus der zuvor beschriebenen Menge in t = T eintreffen.

Es gibt L + 1 Basiswertpapiere (L f) , bei denen die Preise in t = 0 und die

(l)

Zahlungen in t = T gegeben sind. p bezeichnet dabei den Preis in t = 0

des l-ten Basiswertpapiers (l = 0,1,2,…,L). Das Wertpapier mit l = 0 ist risikolos.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ist somit die Zahlung im ZustandZj zur Zeit t = T.

Eine weitere Annahme ist das risikolose Wertpapier mit Index l = 0, wobei gelten soll: ; mit r als risikolosem Zins

Alle Investoren ziehen in dieser Modellökonomie risikolose Gewinnmaximierung vor und würden somit alle Möglichkeiten ausnutzen, bei denen sie ohne Risiko und Kapitaleinsatz den höchstmöglichen Gewinn erzielen können.

Der Markt würde damit aus dem Gleichgewicht kommen und aus diesem Grund geht man von einer statischen Arbitragefreiheit des Marktes in diesem Modell aus.

2.1.2 Arbitragefreie Bewertung

2.1.2.1 Arbitragefreiheit

Eines der wichtigsten Gesetze der Physik ist das Gesetz von Newton über Bewegungen in der Mechanik. Dasselbe lässt sich auch auf die Welt der Finanzen übertragen, in der fast alle Modelle auf einer arbitragefreien Basis⁴ aufbauen.

Deswegen ist eine arbitragefreie Umgebung eine sehr wichtige Vorraussetzung für das Bewerten von Zinsprodukten. Man bezeichnet einen Markt als arbitragefrei, wenn es nicht möglich ist, einen Handelsgewinn ohne Einsatz von Kapital und Risiko zu erzielen.

Man spricht auch von einem arbitragefreien System, wenn ein risikoneutrales Martingalmaß existiert.

Wenn man einen Kapitalmarkt betrachtet, an dem schon eine gewisse Anzahl von Wertpapieren gehandelt wird, versucht man, ein neu eingeführtes Derivat durch Zusammenstellen eines Portfolios mit schon bestehenden Wertpapieren zu duplizieren. In einem arbitragefreien Markt muss der Wert dieses Portfolios genau den gleichen Marktwert aufweisen wie das neu eingeführte Derivat (Law of One Price⁵). Würde dies nicht der Fall sein, könnte ein Investor das Teurere verkaufen und die billigere Version kaufen und somit den Markt aus dem Gleichgewicht bringen.

2.1.2.2 Law Of One Price

In diesem Fall gehen wir von zwei Produkten aus: A und B. Beide Produkt (Assets) haben zum Zeitpunkt t = 0 die Preise

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine weitere wichtige Annahme ist die Existenz eines gleichen Preises für beide Assets zu einem Zeitpunkt t = T.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jetzt muss gezeigt werden, dass ansonsten Arbitrage existiert. Ohne

Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass P ( A) ! P0 0 (B) . Jetzt wird ein Portfolio konstruiert, welches zum Zeitpunkt t = 0 kein Kapital besitzt.

1. Wir leihen uns A und verkaufen es sofort wieder Æ P0 ( A)

Asset B wird nur gekauft Æ P0 (B)

Durch unsere Annahme haben wir jetzt ein positives Portfolio mit 2. Als nächsten Schritt wird das Portfolio wieder aufgelöst

Kauf und Rückgabe von Asset A Æ PT (A)

Verkauf von B Æ P (B)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da die Preise t = T gleich sind, löst sich das Portfolio wieder zu 0 auf.

Doch aus dem ersten Schritt existiert noch ein positives Nominal mit P ( A) P0 0 (B).

Da aber als Grundvoraussetzung die Arbitragefreiheit⁶ gilt, wird diese Möglichkeit, ohne Kapitaleinsatz einen Gewinn zu erzielen, einfach ausgelöscht.

2.1.3 Risikoneutrale Bewertung

Zunächst wird das Risikoneutrale Martingalmaß

(RNM) definiert; ein

Wahrscheinlichkeitsmaß Q R wird dann zum RNM eines Preissystems (p, X),

wenn Q allen Möglichkeiten aus : positive Wahrscheinlichkeiten zuweist und gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

r bezeichnet hierbei den kurzfristigen (diskreten) risikolosen Zins und Ê den Erwartungswert unter dem Maß Q.

Besonders herauszustellen ist auch der Begriff eines Martingals: der bedingte Erwartungswert eines zukünftigen stochastischen Prozessstandes Y muss gleich dem heutigen Stand sein Ê[Y1] Y 0 Bei Gleichsetzung von Y mit dem in t = 0 diskontierten Wertpapiers erhält man somit unter dem RNM ein Martingal:

2.1.4 Terminzinsen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein sehr wichtiger Bestandteil der Bewertung von Zinsprodukten sind die Terminzinsen oder Forward Rates⁷. Die Forward Rate bezeichnet den Zinssatz, der zum Zeitpunkt t für eine Anlage von W bis s (mit t d W d s ) gezahlt wird. Diese Terminzinsen werden mit f (W,s) abgekürzt.

Durch die Festlegung der Arbitragefreiheit erhält man die Formel (stetige Zeit):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

¹ Vgl. Branger, Schlag: Zinsderivate S.57-85

² vgl. Dr. Ingo Schneider: Zinsmodelle und ihre Anwendung

³ vgl. Branger, Schlag: Zinsderivate S. 57-85

⁴ vgl. Dr. Engelbert Dockner: Implementation of the Black, Derman and Toy Model

⁵ vgl. Kapitel 2.1.2.2

⁶ vgl. Van der Hoek, Elliot: Binomial Models in Finance

⁷ vgl. Capinski, Zastawniak: Mathematics for Finance