Rationale Bewertung von Wachstumsunternehmen nach Schwartz / Moon (2000) : Eine Erweiterung um Jump-Prozesse

Freie wissenschaftliche Arbeit für die Diplomprüfung für Kaufleute an der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Eberhard-Karls-Universität Tübingen

Rationale Bewertung von Wachstumsunternehmen nach Schwartz / Moon (2000) : Eine Erweiterung um Jump-Prozesse

von Stefan Ruff
2002

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis ... II
Abbildungsverzeichnis ... III
Sourcecodeverzeichnis ... IV
Symbolverzeichnis ... V
Abkürzungsverzeichnis ... VIII

1 Einleitung ... 1

2 Das Modell nach Schwartz / Moon (2000) ... 3
2.1 Beschreibung der Modellgleichungen ... 3

3 Jump Prozesse ... 7
3.1 Die Poissonverteilung ... 7
3.2 Eine Putbewertung mit Jumps ... 11
3.2.1 Geometrische Brownsche Bewegung mit Jumps ... 11
3.2.2 Monte Carlo Simulation und analytische Lösung ... 12
3.2.3 Varianzreduktion der Simulation ... 14
3.3 Der Mean-Reversion Prozess ... 15
3.3.1 Mean-Reversion Prozess ohne Jumps ... 15
3.3.2 Mean-Reversion Prozess mit Jumps ... 16
3.3.3 Varianzreduktion ... 27

4 Zusammenführung: S/M & Jump Prozesse ... 28
4.1 Risikoneutralität und Risikoprämien ... 28
4.2 Parameterschätzungen ... 32
4.2.1 Die Daten aus dem Schwartz / Moon Modell ... 32
4.2.2 Die Daten für Jump Prozesse ... 32
4.3 Modellgleichungen ... 42
4.4 Anhang 1: Herleitung des realen Prozesses aus dem transformierten Wahrscheinlichkeitsmaß ... 44
4.5 Anhang 2: Prozentuale Anpassung der Werte von Bakshi u.a. ... 45

5 Modellsimulation ... 46
5.1 Das Schwartz /MoonModell ohne Jumps ... 46
5.2 Das Schwartz /MoonModellmit Jumps ... 47
5.2.1 Konvergenz des Jumpmodells zum Grundmodell ... 50
5.2.2 Das Jumpmodell bei sinkender Jump-Volatilität ... 51
5.2.3 Das Jumpmodell mittels Euler Simulation ... 52
5.2.4 Programmierung in MATLAB ... 52
5.3 Sensitivitätsanalyse und Auswertung ... 55
5.3.1 Ergebnisse der Sensitivitätsanalyse im Grundmodell ... 55
5.3.2 Analyse des Modells mit Jumps ... 55
5.4 Verteilung des Unternehmenswertes ... 64

6 Diskussion der Ergebnisse ... 66

7 Schlussbemerkung ... 71

A Technischer Anhang ... 72

A.1 Nutzung der technischen Einrichtungen der Universität Tübingen ... 72

A.2 Anwendungen ... 74
A.2.1 Die Linux Emulation mit ”Cygwin“ ... 74
A.2.2 Das FTP-Programm ”WinSCP2“ ... 75
A.2.3 Das Batch-System ”lsf batch“ ... 75
A.2.4 Der Texteditor ”vi“ ... 76

B Sourcecodes ... 77

B.1 Jump Prozesse ... 77
B.1.1 Simulation und geschlossene Bewertungsformel ... 77
B.1.2 Putwerte und Standardfehler ... 79
B.1.3 Mean-Reversion Prozess mit Jumps ... 81

B.2 Unternehmensbewertung ... 84
B.2.1 Das Grundmodell nach Schwartz / Moon ... 84
B.2.2 Das Modell mit Jumps ... 86

B.3 Hilfsfiles ... 90
B.3.1 Poissonverteilte Zufallsvariable ... 90
B.3.2 Poissonverteilter Zufallsvektor ... 90

Literaturverzeichnis ... 92

Tabellenverzeichnis

3.1 Ausgangsdaten ... 12
3.2 Putwerte und Standardfehler ... 15
3.3 Güte der Simulation ... 21
3.4 Abweichungsanalyse für verschiedene Δt ... 22
3.5 Abweichungsanalyse bei hohem λ ... 22

4.1 Daten Amazon.com ... 33
4.2 Auftreten von Jumps ... 35
4.3 Ergänzende Daten ... 42

5.1 Konkurswahrscheinlichkeiten und Unternehmenswert ... 49

6.1 Vergleich zwischen Jumpmodell und Diffusionsmodell ... 68

A.1 Vergleich der Rechenzeit von hpc1 mit einem Personal Computer ... 73

Abbildungsverzeichnis

3.1 Zufällige Aktienkursbewegung in Abhängigkeit von der Zeit t ... 8
3.2 Dichtefunktion für verschiedene Verteilungen ... 9
3.3 Poissonverteilung in Abhängigkeit der Jumphäufigkeit λ ... 9
3.4 Putwert in Abhängigkeit der Jumphäufigkeit λ ... 13
3.5 Mean-Reversion Prozess ... 17
3.6 Vergleich zwischen Euler und Dias Approximation ... 23
3.7 Vergleich zwischen zwei Dias Approximationen ... 25
3.8 Vergleich zwischen zwei Euler Approximationen ... 25
3.9 Differenz zwischen zwei Dias Approximationen ... 26
3.10 Differenz zwischen zwei Euler Approximationen ... 26

5.1 Konkurswahrscheinlichkeit auf Quartalsbasis ... 47
5.2 Konvergenz zum Grundmodell ... 51
5.3 Sensitivität auf die anfängliche Wachstumsrate ... 57
5.4 Sensitivität auf den anfänglichen Umsatz ... 57
5.5 Sensitivität auf die Diffusions-Volatilität der Wachstumsrate ... 57
5.6 Sensitivität auf die Diffusions-Volatilität des Umsatzes ... 57
5.7 Sensitivität auf die Konvergenzgeschwindigkeit kμ ... 58
5.8 Sensitivität auf die Konvergenzgeschwindigkeit kη ... 58
5.9 Sensitivität auf die Konvergenzgeschwindigkeit kσ ... 58
5.10 Sensitivität auf die Jumphäufigkeit des Umsatzes ... 60
5.11 Sensitivität auf die Jumphäufigkeit derWachstumsrate des Umsatzes ... 60
5.12 Sensitivität auf die Jump-Volatilität des Umsatzes ... 61
5.13 Sensitivität auf die Jump-Volatilität der Wachstumsrate des Umsatzes ... 62
5.14 Sensitivität auf die mittlere Jumphöhe des Umsatzes ... 63
5.15 Sensitivit¨at auf die mittlere Jumphöhe der Wachstumsrate des Umsatzes ... 63
5.16 Verteilung der Unternehmenswerte im Grundmodell ... 64
5.17 Verteilung der Unternehmenswerte im Jumpmodell ... 65

Kapitel 1

Einleitung

Als im März 2000 die europäischen und amerikanischen Börsen ihre Höchstst ände erreichten, warnten Aktienstrategen und Analysten bereits nachhaltig vor übertriebenen Kurserwartungen. Die Börsenkurse einzelner Unternehmen waren in dieser Höhe nicht mehr rational erklärbar. Kein gängiges Bewertungsmodell rechtfertigte die Kurse, zu denen Unternehmensanteile ihre Besitzer wechselten. Insbesondere in den Wachstumssegmenten der Börsen, die durch Technologie-, Telekommunikations- und Internetfirmen dominiert werden, war die Diskrepanz zwischen tatsächlicher Marktkapitalisierung und theoretischen Werten frappierend. Ursache dafür ist, dass klassische Bewertungsmodelle, wie zum Beispiel das Discounted Cash Flow Verfahren, den Eigenheiten vieler Firmen in den Wachstumssegmenten nicht Rechnung tragen. Zu diesen Eigenheiten gehört z.B., dass solche Unternehmen über einen längeren Zeitraum hinweg negative Erträge erzielen können, ohne Bankrott zu gehen und erst nach mehreren Jahren die Gewinnschwelle erreichen. Es ist schwierig, mittels der klassischen Modelle für diese Unternehmen korrekte Unternehmenswerte zu ermitteln.
Vor diesem Hintergrund entwickelten verschiedene Autoren Verfahren, um die Anwendbarkeit der klassischen Modelle auch auf Wachstumsunternehmen zu ermöglichen¹. Einen anderen Weg gingen Eduardo Schwartz und Mark Moon. Sie entwickelten ein neuartiges Modell, das einem Realoptionsansatz für Unternehmen ähnelt. Das Modell ist in der Lage, viele Eigenheiten der New Economy zu berücksichtigen und einen plausiblen Bewertungsansatz zu liefern, der zum Teil die beobachtbaren Firmenwerte erklären kann. Die Bewertung findet mittels Simulation statt. Dabei wird nicht ein deterministischer Verlauf der zukünftigen Unternehmensentwicklung simuliert, sondern es werden auch zufällige Ereignisse berücksichtigt. Allerdings ist die gewählte Form der Modellierung von zufälligen Ereignissen sehr vereinfacht. Das Modell von Schwartz / Moon soll in der vorliegenden Arbeit um Jump Prozesse erweitert werden. Mit Jump Prozessen können seltene Ereignisse mit wertmäßig signifikanten Auswirkungen modelliert werden. Dabei liegt das Hauptaugenmerk dieser Diplomarbeit nicht nur auf den Modellergebnissen eines um Jumps erweiterten Modells, sondern darüber hinaus erfolgt eine fundierte Herleitung von Jump Prozessen.

In Kapitel 2 wird zunächst das Grundmodell nach Schwartz / Moon erklärt. Kapitel 3 bietet eine umfassende Einführung in Jump Prozesse. Kapitel 4 führt die beiden vorangehenden Kapitel zusammen und stellt ein um Jumps erweitertes Modell auf. In Kapitel 5 werden für dieses Modell Berechnungen durchgeführt und ausgewertet. Die Arbeit endet mit einer Diskussion der Ergebnisse in Kapitel 6 und einer Schlussbemerkung in Kapitel 7. Die Berechnungen und Auswertungen des Grundmodells und des um Jumps erweiterten Modells finden am Beispiel des Internet Buchhändlers Amazon.com statt und werden mit dem Programm MATLAB² umgesetzt.

[...]

1 siehe z.B. Damodaran [9] oder Copeland u.a. [6]
2 Student Version, Version 6.0.0.42a, Release 12