Ziel dieser Arbeit ist es Fragen, wie nach der Anzahl der Nullstellen eines Polynoms vom Grad n in einem endlichen Körper oder die der Lösungen einer beliebigen Gleichung (a_1)x+(a_2)x^2+...+(a_n)x^n=b in einem endlichen Körper, zu beantworten.
Als erstes werden endliche Körper betrachtet, ihre Definition, sowie ihre Eigenschaften und Konstruktionen. Des Weiteren werden die sogenannten multiplikativen Charakter, Gauß-Summen und Jacobi-Summen eingeführt. Sie liefern Ergebnisse, die bei der Ermittlung der Anzahl der Lösungen von einem beliebigen Polynom vom Grad n und beliebigen Gleichungen eine zentrale Rolle spielen werden.
Im letzten Kapitel werden Anwendungen dieser Ergebnisse auf zwei spezifische Gleichungen vorgestellt. Auch werden sie für einen alternativen Beweis des Gesetzes der quadratischen Reziprozität genutzt. So wird aufgezeigt, wo Gauß-, sowie Jacobi-Summen darüber hinaus noch Verwendung finden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Endliche Körper
2.1 Einführung der endlichen Körper und ihre Eigenschaften
2.2 Existenz von endlichen Körpern
3 Gauß-Summen und spezielle Jacobi-Summen
3.1 Multiplikative Charakter
3.2 Gauß-Summen
3.3 Spezielle Jacobi-Summen
4 Allgemeine Jacobi-Summen
5 Abschätzung der Anzahl der Lösungen eines Polynoms vom Grad n in Fp
6 Anwendungen
6.1 Die Gleichung xn + yn = 1 in Fp
6.2 Die Gleichung x21 + ... + x2n = 1 in Fp
6.3 Das Gesetz der quadratischen Reziprozität
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit befasst sich mit der Bestimmung der Anzahl von Nullstellen von Polynomen sowie der Lösungen beliebiger Gleichungen in endlichen Körpern unter Verwendung der mathematischen Theorien von Ireland und Rosen aus deren Werk "A Classical Introduction to Modern Number Theory".
- Grundlagen und Konstruktion endlicher Körper
- Einführung von multiplikativen Charakteren, Gauß-Summen und Jacobi-Summen
- Methoden zur Abschätzung der Lösungsanzahl von Polynomgleichungen
- Anwendungen auf spezifische Gleichungstypen und das quadratische Reziprozitätsgesetz
Auszug aus dem Buch
Kapitel 1 Einleitung
Aus der Analysis wissen wir, dass ein Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen in R besitzt. Der Fundamentalsatz der Algebra lehrt uns, dass ein Polynom vom Grad n genau n Nullstellen in C besitzt. Der erste vollständige Beweis dafür wurde im Jahre 1799 von dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauss (*1777 - †1855) geliefert.
Schon viel früher stellte man sich die Frage, ob und wie man die genaue Anzahl der Nullstellen eines Polynoms vom Grad n in beliebigen Körpern berechnen kann. Die ersten Ergebnisse lieferte der französische Mathematiker René Descartes (*1596 - †1650) im 17. Jahrhundert. Die Regel von Descartes sagt aus: „Die Anzahl der positiven Nullstellen eines Polynoms entspricht entweder der Anzahl der Vorzeichenwechsel innerhalb der Koeffizientenfolge oder ist, falls möglich, um zwei kleiner.“
Eine exakte Anzahl der Lösungen für quadratische Polynome kann man mit Hilfe der Diskriminante des Polynoms bestimmen. Ist diese kleiner Null, so existieren keine Nullstellen. Ist die Diskriminante gleich Null, so existiert genau eine Nullstelle. Es gibt zwei Nullstellen, wenn die Diskriminante größer als Null ist.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die historische Entwicklung der Nullstellenbestimmung von Polynomen ein und definiert das Ziel der Arbeit, die Anzahl der Lösungen in endlichen Körpern zu untersuchen.
2 Endliche Körper: Dieses Kapitel behandelt die mathematischen Definitionen, Eigenschaften und Konstruktionen von endlichen Körpern sowie deren Charakteristik.
3 Gauß-Summen und spezielle Jacobi-Summen: Hier werden mittels multiplikativer Charaktere die Grundlagen für Gauß- und Jacobi-Summen geschaffen, die für die Lösungsanzahlbestimmung entscheidend sind.
4 Allgemeine Jacobi-Summen: Dieser Teil erweitert die speziellen Jacobi-Summen auf einen allgemeinen Fall, um mathematische Hilfsmittel zur weiteren Lösungsabschätzung bereitzustellen.
5 Abschätzung der Anzahl der Lösungen eines Polynoms vom Grad n in Fp: Dieses Kapitel fokussiert auf die konkrete Abschätzungsformel der Lösungen für allgemeine Gleichungstypen in endlichen Körpern.
6 Anwendungen: Kapitel 6 nutzt die erarbeiteten Resultate, um explizit die Lösungsanzahlen für bestimmte Gleichungen zu bestimmen und das Gesetz der quadratischen Reziprozität alternativ zu beweisen.
Schlüsselwörter
Endliche Körper, Zahlentheorie, Gauß-Summen, Jacobi-Summen, Polynomgleichungen, Nullstellen, Körpererweiterung, Frobenius-Homomorphismus, Möbius-Funktion, Quadratische Reziprozität, Legendre-Symbol, Charakteristik, Zyklische Gruppen, Algebraische Körpererweiterung, Primkörper.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Herleitung und Bestimmung der Anzahl von Lösungen für Polynomgleichungen innerhalb endlicher Körper.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Themenschwerpunkte liegen auf endlichen Körpern, multiplikativen Charakteren sowie Gauß- und Jacobi-Summen als Werkzeuge der Zahlentheorie.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das primäre Ziel ist es, Methoden bereitzustellen, mit denen die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder die Anzahl der Lösungen einer Gleichung in einem endlichen Körper präzise berechnet oder abgeschätzt werden kann.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird ein abstrakt-algebraischer Ansatz verwendet, der auf den Grundlagen von Ireland und Rosen aufbaut und durch die Konstruktion und Analyse von Körpererweiterungen sowie Summenbildungen (Charakter-Summen) gelöst wird.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Fundierung endlicher Körper, die analytische Einführung der Charaktere und Summen, deren allgemeine Formulierungen und schließlich deren Anwendung auf spezifische Gleichungsprobleme.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind endliche Körper, Gauß-Summen, Jacobi-Summen, die Möbius-Funktion und das quadratische Reziprozitätsgesetz.
Wie werden Jacobi-Summen in dieser Arbeit definiert?
Jacobi-Summen werden durch die Summation über Produkte von Charakteren definiert, die an Werten ausgewertet werden, deren Summe in dem Körper einen festen Wert ergibt.
Was besagt die Möbius-Funktion im Kontext der Körperkonstruktion?
Die Möbius-Funktion wird verwendet, um die Anzahl der irreduziblen Polynome eines bestimmten Grades in dem Polynomring über einem endlichen Körper effizient zu klassifizieren.
- Citation du texte
- Emre Kocak (Auteur), 2019, Abschätzung der Anzahl der Lösungen eines Polynoms vom Grad n in Fp, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1495592
