Ziel dieser Arbeit ist es Fragen, wie nach der Anzahl der Nullstellen eines Polynoms vom Grad n in einem endlichen Körper oder die der Lösungen einer beliebigen Gleichung (a_1)x+(a_2)x^2+...+(a_n)x^n=b in einem endlichen Körper, zu beantworten.
Als erstes werden endliche Körper betrachtet, ihre Definition, sowie ihre Eigenschaften und Konstruktionen. Des Weiteren werden die sogenannten multiplikativen Charakter, Gauß-Summen und Jacobi-Summen eingeführt. Sie liefern Ergebnisse, die bei der Ermittlung der Anzahl der Lösungen von einem beliebigen Polynom vom Grad n und beliebigen Gleichungen eine zentrale Rolle spielen werden.
Im letzten Kapitel werden Anwendungen dieser Ergebnisse auf zwei spezifische Gleichungen vorgestellt. Auch werden sie für einen alternativen Beweis des Gesetzes der quadratischen Reziprozität genutzt. So wird aufgezeigt, wo Gauß-, sowie Jacobi-Summen darüber hinaus noch Verwendung finden.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Endliche Körper
- Einführung der endlichen Körper und ihre Eigenschaften
- Existenz von endlichen Körpern
- Gauß-Summen und spezielle Jacobi-Summen
- Multiplikative Charakter
- Gauß-Summen
- Spezielle Jacobi-Summen
- Allgemeine Jacobi-Summen
- Abschätzung der Anzahl der Lösungen eines Polynoms vom Grad n in Fp
- Anwendungen
- Die Gleichung x + yn = 1 in Fp.
- Die Gleichung x² + + x² = 1 in Fp
- Das Gesetz der quadratischen Reziprozität
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Ziel dieser Arbeit ist es, Fragen nach der Anzahl der Nullstellen eines Polynoms vom Grad n in einem endlichen Körper oder die der Lösungen einer beliebigen Gleichung a₁x + a2x² + + anx” = b in einem endlichen Körper zu beantworten.
- Einführung in die Theorie der endlichen Körper
- Untersuchung von multiplikativen Charakteren, Gauß-Summen und Jacobi-Summen
- Anwendung dieser Konzepte auf die Bestimmung der Anzahl von Lösungen von Polynomen und Gleichungen
- Beweis des Gesetzes der quadratischen Reziprozität
- Analyse der Relevanz von Gauß- und Jacobi-Summen in verschiedenen mathematischen Bereichen
Zusammenfassung der Kapitel
Kapitel 2: Endliche Körper
Dieses Kapitel führt in die Theorie der endlichen Körper ein. Es werden die Definition, Eigenschaften und Konstruktionen von endlichen Körpern behandelt, wobei ein besonderer Schwerpunkt auf den Körper Fp gelegt wird, der in dieser Arbeit eine zentrale Rolle spielt.
Kapitel 3: Gauß-Summen und spezielle Jacobi-Summen
Dieser Abschnitt behandelt multiplikative Charaktere, Gauß-Summen und spezielle Jacobi-Summen. Diese Konzepte sind essenziell für die Ermittlung der Anzahl der Lösungen von Polynomen und Gleichungen in endlichen Körpern.
Kapitel 4: Allgemeine Jacobi-Summen
Dieser Abschnitt behandelt die allgemeine Definition von Jacobi-Summen und ihre Eigenschaften. Diese Summen spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse von Lösungen von Gleichungen in endlichen Körpern.
Kapitel 5: Abschätzung der Anzahl der Lösungen eines Polynoms vom Grad n in Fp
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Abschätzung der Anzahl der Lösungen von Polynomen in endlichen Körpern. Die behandelten Methoden basieren auf den in den vorherigen Kapiteln eingeführten Konzepten.
Kapitel 6: Anwendungen
Dieses Kapitel präsentiert Anwendungen der in den vorherigen Kapiteln entwickelten Methoden. Es werden die Gleichungen x + yn = 1 in Fp und x² + + x² = 1 in Fp untersucht. Außerdem wird das Gesetz der quadratischen Reziprozität mittels Gauß- und Jacobi-Summen bewiesen. Diese Beispiele veranschaulichen die breite Anwendbarkeit dieser Konzepte in verschiedenen Bereichen der Mathematik.
Schlüsselwörter
Endliche Körper, multiplikative Charaktere, Gauß-Summen, Jacobi-Summen, Polynome, Gleichungen, Lösungen, Anzahl der Lösungen, Gesetz der quadratischen Reziprozität.
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- Emre Kocak (Autor), 2019, Abschätzung der Anzahl der Lösungen eines Polynoms vom Grad n in Fp, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1495592
