Zauberdreiecke mit den Zahlen von 1 bis 10. Schriftlicher Unterrichtsentwurf zum Zweiten Staatsexamen im Fach Mathematik

Lernausgangslage

Die Lerngruppe besteht aus 21 Schuler/innen der Klasse 3c, zusammengesetzt aus 12 Madchen und 9 Jungen im Alter zwischen 8 und 10 Jahren.

Die meisten Schuler der Klasse zeigen ein gropes Interesse an Mathematik, reagieren auf die Impulse sehr motiviert und nehmen die Lernangebote gerne an. Die Leistungsfahigkeit und das Arbeitstempo der Lerngruppe im Fach Mathematik weisen extreme Differenzen auf. Im vergangenen Jahr erforderte die Klassensituation viele Formen naturlicher Differenzierung, bei der die Kinder ihr Bearbeitungsniveau selbst wahlen und dennoch alle gemeinsam an einem Thema arbeiten konnten.

S. wohnt im Erziehungsheim und hat Probleme mit seinen Eltern. Er wiederholte bereits das zweite Schuljahr. In seiner alten Klasse verweigerte er meistens die Mitarbeit im Unterricht. Anfangs wirkte er auch in seiner neuen Klasse sehr verschlossen und gehemmt. Durch wechselnde Sozialformen, offene Arbeitsweisen und Aufforderungen zur Kommunikation von Seiten der Kinder gewann er im Laufe der Zeit zunehmend an Sicherheit und Offenheit und beteiligt sich meist mit qualitativen Beitragen am Unterrichtsgeschehen. Nur noch an manchen Tagen verfallt er in alte, verweigernde Verhaltensmuster und verschlieRt sich gegenuber den Kindern und der Lehrkraft. Dann arbeitet er lieber alleine.

A. und M. sind Schwestern. Aufgrund diverser Beeintrachtigungen und Behinderungen muss im Unterricht langsameres Tempo beider Madchen berucksichtigt werden. A. fallt aufgrund ihrer visuellen Wahrnehmungsproblematik und visuomotorischen Beeintrachtigungen auf. In Mathematik ist sie rechenschwach. Es gelingt ihr aufgrund der Konzentrationsstorungen zuweilen nicht, die Arbeitsanweisungen der Lehrerin aufzunehmen und umzusetzen. M. ist ein sehbehindertes Madchen, das besonderer sehbehindertenspezifischer Forderung bedarf. Bei der Organisation des Arbeitsplatzes verlieren beide Madchen haufiger den Uberblick. Sie brauchen intensive Unterstutzung durch besondere differenzierende MaRnahmen und Integrationshelferin. Im Mathematikunterricht besteht die Aufgabe der Integrationshelferin in der nochmaligen Erklarung der Arbeitsauftrage, Zentrierung der Aufmerksamkeit, Bereitstellung diverser Hilfsmittel, Einweisung und Hilfestellung im Gebrauch von Arbeitsmitteln, Anleitung zum selbstandigen Arbeiten und Ordnungsverhalten sowie Differenzierung bei der Hausaufgabenstellung.

Fachliche Lernvoraussetzungen

Im Mathematikunterricht der letzten zwei Jahre lernte die Lerngruppe bereits Aufgabenformate wie Zahlenmauern, Rechendreiecke und Zauberquadrate kennen. Sechs Kindern der Klasse, die im letzten Schuljahr den Rechenmeisterkurs fur besonders begabte und hoch interessierte Schuler besuchten, sind bereits weitere substantielle Aufgabenstellungen wie Muster und Zahlenfolgen, Streichquadrate, Wurfelturme und komplexere Zauberfiguren aus der Unterhaltungsmathematik bekannt.

Beim GroRteil der Klasse sind die substantiellen Aufgabenformate sehr beliebt. Mit spurbarer Begeisterung gehen die Schuler an die Aufgaben- und Problemstellungen heran. Vielen Kindern gelingt es, nach einiger Zeit des Suchens vorteilhafte Losungsstrategien zu erarbeiten. Nur wenige verharren in der probierenden Strategie und mussen viele Rechenaufgaben bewaltigen, um zu einer angemessenen Losung zu gelangen. Damit auch sie viele Erfolgserlebnisse haben, durfen sie meist auf Tipps der Lehrerin oder der Schuler zuruckgreifen, was ihnen die Bewerkstelligung der Aufgaben erleichtert. Mit viel Stolz berichten die Schuler von gefundenen Tricks und Losungsstrategien der ganzen Klasse.

Abgesehen von der Rechenmeisterkurs-Gruppe ist das Aufgabenformat dieser Einheit „Zauberdreieck“ der gesamten Lerngruppe neu.

Der Zahlenbereich bis 24 wurde mit der Lerngruppe bereits erarbeitet. Die meisten Kinder der Klasse sind in Umgang mit den Zahlen bis 24 versiert. Die Additions- und Erganzungsaufgaben mit drei Zahlen sind den Kindern bekannt. Drei rechenschwache Madchen der Klasse Anna, Maria und Marie haben die Abstraktion auf die Anzahl in der mathematischen Bedeutung auch in diesem Zahlenraum noch nicht vollstandig erfasst. Sie identifizieren das Rechnen mit den Zahlvorgangen, die sie meist durch Vorwarts- oder Ruckwartszahlen bewaltigen. Sie rechnen durch Abgehen der Zahlwortreihe, ohne sich auf die vorliegenden quantitativen Verhaltnisse bzw. operationale Logik zu beziehen. Beim Kopfrechen ist bei ihnen kein Bezug zur dezimalen Stellenlogik erkennbar.

Methodische Lernvoraussetzungen

Das soziale Lernen fordernde Arbeitsformen wie Partner- und Gruppenarbeit gelten in der Klasse als durchgangige Unterrichtsprinzipien und werden regelmaRig durchgefuhrt. Das handlungsorientierte Arbeiten mit konkretem Material und auch der Einsatz von Lernspielen ist fur die Kinder Alltag. Die Lerngruppe ist an das selbstandige Erarbeiten neuer Lerninhalte gewohnt. Zumeist wurden mit Hilfe ergiebiger, didaktischer Materialien an den Tischgruppen Erfahrungen gesammelt, neue Entdeckungen diskutiert und protokolliert. In anschlieRenden Reflexionsrunden wurden diese der gesamten Klasse vorgestellt, von anderen Gruppen erganzt und reflektiert. Dabei konnten die Kinder immer wieder ihr hohes geistiges Potential zum Einsatz bringen, Entdeckungen formulieren und handelnd darstellen, auf viele Details eingehen, Kritik auRern und auf einem hohen Niveau das Thema selbstandig erarbeiten.

Problemorientierten Aufgabenstellungen begegneten die Schuler hoch motiviert und konnten durch konzentriertes Arbeiten zu angemessenen Losungen gelangen, diese prasentieren, erklaren und teilweise begrunden.

Sachanalyse

Zauberfiguren wie auch Zauberdreiecke sind mit magischen Quadraten (Zauberquadraten) verwandt und stellen Elemente der uralten Unterhaltungsmathematik dar. Als das wichtigste Ziel bei der Bearbeitung aller Zauberfiguren erweist sich das Entdecken und Erproben von Problemlosungsstrategien.^[1]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein kleines Zauberdreieck setzt sich aus sechs Feldern zusammen, die dreieckig angeordnet sind. Zur Verfugung stehen die Zahlen 1 bis 10, die entsprechend den dekadischen Analogien auch vergroRert werden konnen. Die Problemstellung besteht darin, sechs aus zehn Zahlen so in den Feldern anzuordnen, dass alle Seitensummen gleich groR sind.^[2] Dabei steht jede Zahl nur einmal zur Verfugung. Insgesamt gibt es 10x9x8x7x6x5 = 151200 verschiedene Anordnungsmoglichkeiten.

Die Felder des Dreiecks konnen in innere (grune) und auRere (gelbe) unterteilt werden. Entspricht die jeweilige Differenz zwischen den inneren Zahlen der jeweiligen Differenz zwischen den Eckzahlen, so kann daraus ein Zauberdreieck mit gleichen Seitensummen gebildet werden, wenn man beispielsweise im auReren Dreieck die Zahlen in aufsteigender und im inneren in absteigender Reihenfolge platziert. Durch Drehung und Spiegelung entstehen funf weitere Zauberdreiecke mit den gleichen Zahlen. (Beispiel: mittlere Zahlen: 2, 3, 4; Eckzahlen: 8, 9, 10. Die Differenz betragt jeweils 1.)

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Ist die Zahlendifferenz unterschiedlich, entsteht kein Zauberdreieck. (mittlere Zahlen: 1, 3, 5; Eckzahlen: 6, 7, 8. Die Differenzen betragen jeweils 2 und 1.) Auch eine andere Anordnung der Zahlen durch die Drehung oder Spiegelung fuhrt dabei nicht zur Losung des Problems.

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Bei den Zahlen 1 bis 10 sind demnach die Differenzen mit dem Wert 1, 2, 3, 4 moglich. Den Grenzfall mit dem Unterschied 4 stellen die Zahlentripel 1, 5, 9 und 2, 6, 10 dar.

60 Anordnungsmoglichkeiten beinhalten die Problemlosung. Durch Spiegelung an der Dreieckshohe entsteht eine neue Losung. Durch Drehung der beiden erzeugt man jeweils zwei weitere Losungen.

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Ingesamt beinhalten 360 Anordnungsmoglichkeiten die Problemlosung, die anderen 150840 sind erfolglos. Ausgewahlte Beispiele:

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Um die kleinste Seitensumme = 9 zu erhalten, nimmt man die kleinsten Zahlen (1, 2, 3, 4, 5, 6). Bei der groRten Seitensumme = 24 nimmt man entsprechend die groRten Zahlen (5, 6, 7, 8, 9, 10). Alle anderen Seitensummen, die zur Problemlosung fuhren, bewegen sich im Intervall [9; 24], deren zahlenmaRige Verteilung in der unten stehenden Tabelle zusammengefasst wird:

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Didaktische Uberlegungen

Die Konzeption des aktiv-entdeckenden und sozialen Lernens gilt als fundamentales Leitprinzip des Mathematikunterrichts und soll die Auswahl der Unterrichtsinhalte bestimmen. Neben den inhaltlichen Lernzielen hat der Mathematikunterricht vor allem auch allgemeine Lernziele wie beispielsweise das selbstandige Suchen von Losungswegen, das flexible Einsetzen der Rechen- und Denkstrategien, das Darstellen, Formulieren und Begrunden der Aussagen, das Ausbilden der Argumentations- und Kritikfahigkeit oder die Forderung der geistichen Beweglichkeit zu verfolgen.^[3] Die aufgezahlten Kompetenzen entwickeln sich nicht von selbst, sondern bedurfen der gezielten Forderung im Unterricht der Grundschule. Dazu sind fur alle Schuler Aufgaben notwendig, „deren Losung mit dem verfugbaren Wissen unmittelbar nicht moglich ist, die Verknupfungen zwischen verschiedenen Wissensbestandteilen, die Konstruktion neuen Wissens, knobelndes Entdecken moglich machen“.⁴ Fur die Verfolgung des Grundprinzips und der allgemeinen wie inhaltlichen Lernziele stellt das substantielle Aufgabenformat „Zauberdreiecke“ das geeignete Mittel dar.

Die Stundenthematik und das Lernziel sind durch den Rahmenplan legitimiert und sind dort insbesondere unter den „Aufgaben und Zielen des Mathematikunterrichts“ sowie „fachdidaktischen Grundsatzen“ angefuhrt.⁵ Laut Rahmenplan soll der Mathematikunterricht Freiraume fur die Entwicklung mathematischen Denkens schaffen. Der Unterricht muss den Kindern Gelegenheit bieten, eigene Losungswege zu beschreiten und diese mit der Klasse zu diskutieren. Das Thema Zauberdreieck ist im Rahmenplan nicht explizit aufgefuhrt, ist jedoch inhaltlich im Bereich „Addieren und Subtrahieren“ anzusiedeln.⁶ Vordergrundig sollen Additions-, Subtraktions- und Erganzungsaufgaben im Zahlenraum bis 24 gerechnet werden.

Auf inhaltlicher Ebene erweist sich das Thema fur die Schuler einer dritten Jahrgangsstufe als eine Wiederholungsubung. Uben ist der umfangreichste Bestandteil des Mathematikunterrichts, jede Einfuhrungsstunde muss bekannte und damit zu ubende Elemente enthalten, damit die Kinder das Neue mit dem Bekannten verknupfen konnen. In besonderem MaRe sind abwechslungsreiche, anwendungs- und strukturorientierte Ubungsformen wichtig. Der Lerninhalt der heutigen Stunde ist so strukturiert, dass er zum neuen Lernen auffordert und gleichzeitig die Anwendung des Gelernten fordert.

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^[1] vgl. Radatz, H., Rickmeyer, K., 1996, S. 16

^[2] vgl. Metzner, W., 1991, S. 5

^[3] vgl. Scherer, P., 1997, S. 34

^[4] Grassmann, M., 2002, S. 4

^[5] Rahmenplan Grundschule, 1995, S. 144-146

^[6] Rahmenplan Grundschule, 1995, S. 152-153