Nichtschriftliche Rechenverfahren: Multiplikation

Inhaltsverzeichnis

1. Zur Entwicklung des Verständnisses der Multiplikation

2. Drei Grundmodelle zur Einführung der Multiplikation
2.1 Die Mengenvereinigung
2.2 Das Kartesische Produkt (oder Kreuzprodukt)
2.3 Operatoren
2.4 Fazit

3. Rechengesetze
3.1 Das Kommutativgesetz ( Vertauschungsgesetz)
3.2 Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

4. Zur Erarbeitung des Einmaleins
4.1 Zur Abfolge der Einmaleinsreihen
4.2 Zum Erwerb der 1x1-Kenntnisse
4.3 Zur Erarbeitung des 1x1

5. Zur Multiplikation größerer Zahlen
5.1 Multiplikation von reinen Zehnerzahlen
5.2 Multiplikation von gemischten Zehnerzahlen
5.3 Multiplikation von gemischten Hunderterzahlen

Literatur

Anhang:

1. Zur Entwicklung des Verständnisses der Multiplikation

- Hinweise zur Entwicklung des Verständnisses der Multiplikation bei Kindern zwischen 6-11 Jahren lieferte eine Untersuchung von Anghileri 1989 in England
- Schülern wurden 6 Aufgaben gestellt, umgangssprachlich formuliert, also ohne formale Multiplikationssprechweise
- Aufgaben beinhalteten: verschiedene Aspekte der Multiplikation: Mengenvereinigung, Kartesisches Produkt, Operatoren
- bei Formulierung der Aufgaben: anschauliche und den Schülern vertraute Materialien eingesetzt
- benutzt wurden nur kleine Produkte: größte 5 x 4
- Beispielaufgaben: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Folie

1. Zunächst werden anhand eines Bildes Sprünge der Länge 2 und der Länge 3 an einem anschaulich gestalteten „Zahlenstrahl“ gezeigt.

Aufgabe: Bis wohin kommt man mit 5 Sprüngen der Länge 4?

2. Münzen – angeordnet in einem 6 x 3-Feld und befestigt auf einer Karte – werden gezeigt, und die Struktur des Feldes kurz erläutert. Anschließend wird die Karte umgedreht, so dass man die Münzen nicht mehr sehen kann.

Aufgabe: Wie viel Münzen sind insgesamt auf der Karte? (Falls die richtige Anzahl nicht genannt wird, werden den Schülern zusätzliche Münzen gegeben, mit denen sie das Feld hinlegen können)

3. Shorts (3 verschiedene Farben) und Hemden (4verschiedene Farben), aus Pappkarton ausgeschnitten, werden den Schülern gegeben.

Aufgabe: Wie oft kann man sich hiermit verschieden kleiden? (Hierbei werden die Schüler bewusst ermuntert, die Anzahl verschiedener Kombinationen zu berechnen, bevor Material eingesetzt wird, um die Lösung so zu finden)

Auswertung: Anghileri beobachtete folgende verschiedene Niveaus bei den Lösungsstrategien,

das Zählen wurde am häufigsten verwendet

- Modellieren der Aufgabe mit Material (Bsp. 3)
- vollständiges Auszählen aller Elemente (Bsp. 1)
- rhythmisches Zählen in Gruppen ( Bsp. 1: 1, 2, 3, 4, ..., 20)
- Benutzung von Zahlenfolgen (Bsp. 1: 4, 8, 12, 16, 20)
- Benutzung der entsprechenden 1x1-Sätze (Bsp. 1: 5 x 4 = 20)
- der Übergang vom vollständigen Auszählen zum rhythmischen Zählen bei den Multiplikationsaufgaben vergleicht Angheleri mit dem Übergang vom vollständigen Auszählen zum Weiterzählen vom 1. Summanden aus bei den Additionsaufgaben [ Weiterentwicklung

- meisten Schüler, die alle 6 Aufgaben richtig lösten, benutzten min. 3 versch. Lösungsstrategien
- überdurchschnittlich Schüler setzten 1x1-Sätze ein
- durchschnittlich Schüler.: Zählstrategien oder direktes Modellieren
- unterdurchschnittlich Schüler: direktes Modellieren

2. Drei Grundmodelle zur Einführung der Multiplikation

2.1 Die Mengenvereinigung

= Vereinigung paarweise elementfremder gleichmächtiger endlicher Mengen

= wichtigste Grundmodell zur Einführung der Multiplikation

geschieht nicht in abstrakter Form, sondern konkretisiert den Schülern vertraute alltäglich Situation, also Situationen aus deren Lebensraum

- die Multiplikation wird hier als wiederholte Addition gleicher Summanden verstanden, Bsp. aus Schulbuch aus NRW^[1]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Unterschied zu entsprechenden Einführungswegen in 70ern:
- heute wird keinerlei Mengensymbolik benutzt
- Heranführung der M. mit Hilfe von Umweltsituationen und in umgangssprachlich Formulierung

2.1.1 Teilaspekte der Mengenvereinigung

a) zeitlich-sukzessiv

- Gesamtmenge entsteht erst Schritt für Schritt durch mehrmalige Wiederholung des gleichen Vorgangs
- die Schüler können im Geiste zeitlich-sukzessiv, also nacheinander, die Gegenstände holen
- durch Handlungen bzw. vorgestellten Handlungen wird an die Multiplikation herangeführt
- Bsp. Die Verkäuferin legt 5 Netze mit jeweils 3 Apfelsinen in das Verkaufsregal^[2]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- betont dynamische Komponente der Multiplikation

b) räumlich-simultan

- es werden keine Handlungen mehr durchgeführt
- Vereinigungsmenge liegt von Anfang an vollständig vor
- Bsp. 6 Bündel mit jeweils 5 Bananen hängen im Regal
- betont statische Komponente der Multiplikation

- zwischen beiden Aspekten besteht ein sehr enger Zusammenhang:

jeder zeitlich-sukzessiv durchgeführte Vorgang führt zu einer räumlich-simultanen Situation

[...]

^[1] Padberg, Friedhelm, Didaktik der Arithmetik, Heidelberg, Berlin, Oxford 21996, 112 [Kurztitel: Padberg, Arithmetik].

^[2] Padberg, Arithmetik, 113.