"Alles ist Zahl"

Von der Arithmetik der "frühen" Pythagoreer


Seminararbeit, 2009

22 Seiten, Note: 1,0


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Quellenlage

3. Historischer Kontext

4. Pythagoras und der Bund der „frühen“ Pythagoreer

5. Die Arithmetik der „frühen“ Pythagoreer
a. Zahlen und Welt
b. Definition der Einheit und von Zahlen
c. Einteilung von Zahlen
i. Gerade und ungerade Zahlen
ii. Primzahlen
iii. „Perfekte“ und „Befreundete“ Zahlen
d. Figurierte Zahlen
i. Dreiecks-Zahlen
ii. Quadrat-Zahlen, der Begriff „gnomon“ und Polygonale-Zahlen
iii. Rechteck-Zahlen

6. Der Zusammenbruch der „arithmetica universalis“

7. Fazit

8. Literatur

9. Erklärung

1. Einleitung

Der Pythagoreer Philolaos von Kroton, auf den das Zitat „Alles ist Zahl“ zurückgeführt wird, beschrieb den Stellenwert der Zahlen für die Welt auch so: „Und in der Tat hat ja alles, was man erkennen kann, eine Zahl. Denn ohne sie lässt sich nichts erfassen oder erkennen.[1] „Alles hat Zahl“ bedeutete in der Vorstellung der Pythagoreer, dass sich alles aus Verhältnissen von Natürlichen[2] Zahlen darstellen ließe. Von dieser Aussage abgeleitet lässt sich erahnen, welchen Stellenwert der Zahlbegriff bei den Pythagoreern hatte. Er war das Maß aller Dinge und vor allem göttlichen Ursprungs und daher beschäftigte man sich bei den Pythagoreern intensiv mit Zahlen.

In dieser Arbeit soll es darum gehen, zum einen den hohen Stellenwert des Zahlbegriffs bei den Pythagoreern zu betonen und zum anderen innermathematische Errungenschaften dieses Bundes näher zu beleuchten. An dieser Stelle soll erwähnt werden, dass, wenn man von Mathematik bei den Pythagoreern spricht, das sog. Quadrivium gemeint ist, also die Lehre von Geometrie, Astronomie, Harmonie (Musik) und Arithmetik. Die vorliegende Arbeit bezieht sich lediglich auf den arithmetischen Bereich des Quadriviums und möchte daher die arithmetischen Erkenntnisse der Pythagoreer näher in den Blick nehmen. Außerdem soll der zeitliche Rahmen, in dem die Arithmetik der Pythagoreer betrachtet wird, eingeschränkt werden. Daher wird das Hauptaugenmerk dieser Arbeit auf der Arithmetik des 6.- 4. Jh. v. Chr. liegen. Deshalb sollen die Pythagoreer dieser Zeit als die „frühen“ Pythagoreer in Abgrenzung zu den Neu-Pythagoreern der römischen Kaiserzeit bezeichnet werden.

Zunächst wird in einem ersten Abschnitt die Quellenlage bezüglich der Arithmetik der „frühen“ Pythagoreer skizziert, bevor in einem zweiten Teil ein historischer Überblick der sog. „Ionischen“ oder „Archaischen“ Periode griechischer Geschichte gegeben wird. Danach folgt eine Beschreibung des Lebens des Pythagoras und eine kurze Abhandlung über den Bund der „frühen“ Pythagoreer. Anschließend soll im Hauptteil dieser Arbeit Auskunft über die arithmetischen Leistungen der „frühen“ Pythagoreer gegeben werden, ehe in einem vorletzten Teil das Scheitern der Idee von einer Welt, die gänzlich auf den Verhältnissen von Zahlen beruht („arithmetica universalis“), beschrieben wird. Den Abschluss dieser Arbeit bildet ein Fazit.

2. Quellenlage

Die Frage nach den Quellen, auf die man sich im Hinblick auf die Lehre Pythagoras´ und dessen Bund stützen möchte, ist so nachvollziehbar wie schwierig. Es soll betont werden, dass sich diese Arbeit mit Pythagoras als Arithmetiker beschäftigt, und daher Quellen benannt werden, die diesem Ansatz dienlich sind. Quellen über philosophische Ansichten wie z.B. der Seelenwanderungslehre des Bundes der Pythagoreer werden kaum Betrachtung finden. Sollten jedoch Quellen, die nicht über Pythagoras oder die Pythagoreer als Mathematiker berichten, von Bedeutung sein, werden sie in den jeweiligen Kapiteln eine separate Erwähnung finden. Außerdem soll lediglich die Arithmetik der „frühen“ Pythagoreer, d.h. des 6. – 4. Jh. v. Chr., betrachtet werden. Dies bedeutet, dass z.B. Schriften „späterer“ Pythagoreer wie Iamblichos von Chalkis (240/245 – 320/325 n. Chr.), Theon von Smyrna (gest. nach 132 n. Chr.) oder Nikomachos von Gerasa (um 150 n. Chr.) lediglich dazu dienen, Ansichten der „frühen“ Pythagoreer zu stützen; diese sollen aber nicht im Hinblick auf ihre eigenen Einsichten im Bezug auf arithmetische Sachverhalte untersucht werden.

Die Schwierigkeiten in der Benennung von aussagekräftigen Quellen liegen darin, dass von Pythagoras (600/570(?) – 510 V. Chr.) selber keine Schriften und von bekannten „frühen“ Pythagoreern wie Hipassos von Metapont (um 500 v. Chr.) oder Philolaos von Kroton (470 – 380 v. Chr.) nur Schriften in Fragmenten im Hinblick auf Mathematik überliefert sind. Die mangelnde Überlieferung etwaiger Texte dieser Autoren begründet T. Heath[3] damit, dass sich der Bund der Pythagoreer traditionell der mündlichen Kommunikation bediente. Außerdem, so sagt B.L. v.d. Waerden[4], seien etwaige Schriften lediglich für Mitglieder des Bundes bestimmt gewesen und deshalb nicht nach außen gedrungen. Das Problem, das sich folglich darstellt, ist zu entscheiden, welche mathematischen Errungenschaften auf die Pythagoreer zurück gehen. Schon Aristoteles (384 – 322 v. Chr.) konnte diese Frage nicht mit Gewissheit beantworten und schrieb in seinen Werken von den „sogenannten Pythagoreern“[5]. Dennoch haben wir gerade Aristoteles Quellen zu verdanken, die als erste von mathematischen Studien der Pythagoreer berichten. Daher werden den Werken „Über die Pythagoreer“ (leider verloren gegangen) und vor allem der „Metaphysik“ einige Informationen zu den arithmetischen Ideen der Pythagoreer zu entnehmen sein. Des Weiteren äußern sich die oben bereits erwähnten Iamblichos[6], Nikomachos[7] und Theon[8] zur Arithmetik der „frühen“ Pythagoreer. Eine Sammlung von Texten griechischer Autoren des 5. Jh. v. Chr. gibt z.B. Johannes Stobaios[9] (frühes 5. Jh. n. Chr.). Bei ihm tauchen u.a. Texte von Philolaos auf, die in die Fragmentensammlung „Fragmente der Vorsokratiker“ von H. Diels[10] eingegangen sind. Weiter vermuten Wissenschaftler[11], dass einige der arithmetischen Lehren der Pythagoreer den Weg in Euklids „Elemente“ gefunden haben.

3. Historischer Kontext

Der allgemeinen Orientierung dienend, soll im Folgenden kurz der historische Rahmen der sog. „Ionischen Periode“ näher beleuchtet werden. Dieser Zeitabschnitt griechischer Geschichte wird zwischen ca. 750 und 450 v. Chr. datiert, obwohl die Einteilung der Geschichte der Mathematik bei den Griechen nicht unumstritten[12] ist. Trotzdem soll diese zeitliche Einordnung für die Arbeit maßgeblich sein. Kennzeichnend für diese Periode war die Entstehung der sog. „poleis“[13], denjenigen griechischen Stadtstaaten, die ab sofort das politische Geschehen Griechenlands maßgeblich prägen sollten. Diese Organisationsform gesellschaftlichen Zusammenlebens war eine völlig neue und unterschied sich grundlegend von den bisher bekannten „Palaststädten“ der mykenischen und minoischen Kultur (bis ca. 1200 v. Chr.) und den Siedlungen der „Dark Ages“ (ca. 1200 – 700 v. Chr.), die von einem kulturellem Niedergang[14] im Vergleich zur mykenischen Kultur geprägt waren. Eine Definition der „polis“ könnte lauten: „Die „polis“ ist eine in sich geschlossene, souveräne und autonome soziopolitische Einheit mit einem Volk oder einer nach außen abgeschlossenen Bürgerschaft, mit eigenen Institutionen und Regierungsorganen, einem Mindestmaß fundamentaler Normen und formaler Regeln ihrer Durchsetzung und einer eigenen politisch-ideologischen und religiösen Identität.[15] Mit dieser Entwicklung hin zur „polis“ war der Nährboden für eine dauerhafte Beschäftigung mit naturwissenschaftlichen Themen um ihrer selbst willen bereitet worden.

Im Rahmen der Entstehung der „polis“ kam es zwischen dem 8. und 6. Jh. v. Chr. zur sog. „Griechischen Kolonisation“, durch die im gesamten Mittelmeerraum und am Schwarzen Meer griechische „Pflanzstädte“ entstanden. Damit war einer Verbreitung griechischen Kulturguts der Weg bereitet worden. Für diese Arbeit wichtige „Pflanzstädte“, auch als „apoikiai“[16] bezeichnet, waren z.B. Samos[17], Kroton oder Metapont , für die sich allesamt ein direkter Bezug zu Pythagoras und den Pythagoreern herstellen lässt.

Mentalitätsgeschichtlich lässt sich in der „Ionischen Periode“ eine grundlegende Veränderungen in den Vorstellungen der Menschen ausmachen, wenn es um die Frage nach dem „Warum“ im Bezug auf Vorgänge in der Natur geht. So war zu Beginn dieser Periode die Idee von göttlichen Eingriffen in das Leben der Menschen allgegenwärtig. Phänomene der Natur wurden mit Hilfe der Götter erklärt und beschrieben. Ein Beispiel für diese Deutung von Natur gibt Hesiod in seiner „Theogonie“, also in einer Abhandlung, die die Verwandtschaftsverhältnisse der Götter systematisiert und versucht jedem Naturphänomen das Handeln eines bestimmten Gottes, eines bestimmten Fabelwesens oder eines Heroen zuzuordnen. Die Frage nach dem „Warum“ wird hier also mit göttlichem Zutun begründet. W. Capelle[18] beschreibt die Denkweisen dieser Zeit sehr treffend:

„Inhalt und Form des Denkens dieser Vorboten der griechischen Philosophie läßt sich etwa folgendermaßen charakterisieren. Die Natur und ihre Erscheinungen, wie Tag und Nacht, der Sternenhimmel, die Erde, das Meer, die Berge, Flüsse und Winde werden durchgehend noch als persönliche, göttliche Wesen teils männlichen, teils weiblichen Geschlechtes gedacht, die durch Zeugung von anderen göttlichen Personen und durch diese schließlich von allen gemeinsamen Ureltern abstammen. Manche der im Bereich der griechischen Welt wirksame Naturkräfte, wie der gewaltige Ätna mit seinen vulkanischen Erscheinungen, werden auf fabelhafte Ungetüme, wie den Riesen Typhoeus, oder auf Giganten und hundertarmige Unholde zurückgeführt, da man sich auch die gewaltigsten Naturvorgänge, wie Gewitter und Erdbeben, nur von persönlichen, übermächtigen Wesen, d. h. von Göttern, verursacht zu denken vermag. So überwiegt in diesen naiven Vorstellungen […] das ‚Dämonische’ in phantastischer, ja oft geradezu grotesker Gestalt […]“

[...]


[1] Philolaos in: Diels, Die Fragmente der Vorsokratiker. Berlin 1906.

[2] Natürliche Zahlen im modernen Sinn (N)

[3] vgl. Heath, Greek Mathematics, S. 66.

[4] vgl. Waerden, Die Pythagoreer.

[5] Arist., Metaph., A.5, 985 b 23.

[6] Iamblichos: de vita Pythagoras. und Iamblichos: Iamblichi in Nicomachi arithmeticam introductionem liber.

[7] Nikomachos : Introductio aritmetica.

[8] Theon: Theonis Smyrnaei philosophi Platonici exposito rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium.

[9] Stobaeus: Ioannis Stobaei anthologii libri duo priores, qui inscribi solent eclogae physicae et ethicae.

[10] vgl. Diels, Die Fragmente der Vorsokratiker. Berlin 1906.

[11] vgl. Heath, Greek Mathematics, S. 69.

[12] vgl. Wußing, 6000 Jahre Mathematik, S. 149.

[13] Singular = „polis (πόλις)“, Plural = „poleis“

[14] z.B. ging in den „Dark Ages“ die Schrift verloren. Erst mit den Werken Homers und Hesiods wurde sie für die abendländische Kultur „wiederentdeckt“.

[15] vgl. Gehrke/Schneider: Geschichte der Antike, S. 50.

[16] Singular = „apoikia (ἀποικία)“, Plural = „apoikiai“

[17] Auf der heute gleichnamigen Insel vor der kleinasiatischen Küste gelegen.

[18] Capelle W.: Die Vorsokratiker. Fragmente und Quellenberichte übersetzt und eingeleitet von W. Capelle. Stuttgart 1940.

Ende der Leseprobe aus 22 Seiten

Details

Titel
"Alles ist Zahl"
Untertitel
Von der Arithmetik der "frühen" Pythagoreer
Hochschule
Universität Siegen  (Fachbereich 6 - Mathematik)
Veranstaltung
Philosophie und Geschichte der Mathematik II
Note
1,0
Autor
Jahr
2009
Seiten
22
Katalognummer
V153629
ISBN (eBook)
9783640659807
ISBN (Buch)
9783640659890
Dateigröße
601 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Alles, Zahl, Arithmetik, Pythagoreer
Arbeit zitieren
Mario Kulbach (Autor), 2009, "Alles ist Zahl", München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/153629

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