Der Pythagoreer Philolaos von Kroton, auf den das Zitat „Alles ist Zahl“ zurückgeführt wird, beschrieb den Stellenwert der Zahlen für die Welt auch so: „Und in der Tat hat ja alles, was man erkennen kann, eine Zahl. Denn ohne sie lässt sich nichts erfassen oder erkennen.“ „Alles hat Zahl“ bedeutete in der Vorstellung der Pythagoreer, dass sich alles aus Verhältnissen von Natürlichen Zahlen darstellen ließe. Von dieser Aussage abgeleitet lässt sich erahnen, welchen Stellenwert der Zahlbegriff bei den Pythagoreern hatte. Er war das Maß aller Dinge und vor allem göttlichen Ursprungs und daher beschäftigte man sich bei den Pythagoreern intensiv mit Zahlen.
In dieser Arbeit soll es darum gehen, zum einen den hohen Stellenwert des Zahlbegriffs bei den Pythagoreern zu betonen und zum anderen innermathematische Errungenschaften dieses Bundes näher zu beleuchten. An dieser Stelle soll erwähnt werden, dass, wenn man von Mathematik bei den Pythagoreern spricht, das sog. Quadrivium gemeint ist, also die Lehre von Geometrie, Astronomie, Harmonie (Musik) und Arithmetik. Die vorliegende Arbeit bezieht sich lediglich auf den arithmetischen Bereich des Quadriviums und möchte daher die arithmetischen Erkenntnisse der Pythagoreer näher in den Blick nehmen. Außerdem soll der zeitliche Rahmen, in dem die Arithmetik der Pythagoreer betrachtet wird, eingeschränkt werden. Daher wird das Hauptaugenmerk dieser Arbeit auf der Arithmetik des 6.- 4. Jh. v. Chr. liegen. Deshalb sollen die Pythagoreer dieser Zeit als die „frühen“ Pythagoreer in Abgrenzung zu den Neu-Pythagoreern der römischen Kaiserzeit bezeichnet werden.
Zunächst wird in einem ersten Abschnitt die Quellenlage bezüglich der Arithmetik der „frühen“ Pythagoreer skizziert, bevor in einem zweiten Teil ein historischer Überblick der sog. „Ionischen“ oder „Archaischen“ Periode griechischer Geschichte gegeben wird. Danach folgt eine Beschreibung des Lebens des Pythagoras und eine kurze Abhandlung über den Bund der „frühen“ Pythagoreer. Anschließend soll im Hauptteil dieser Arbeit Auskunft über die arithmetischen Leistungen der „frühen“ Pythagoreer gegeben werden, ehe in einem vorletzten Teil das Scheitern der Idee von einer Welt, die gänzlich auf den Verhältnissen von Zahlen beruht („arithmetica universalis“), beschrieben wird. Den Abschluss dieser Arbeit bildet ein Fazit.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Quellenlage
3. Historischer Kontext
4. Pythagoras und der Bund der „frühen“ Pythagoreer
5. Die Arithmetik der „frühen“ Pythagoreer
a. Zahlen und Welt
b. Definition der Einheit und von Zahlen
c. Einteilung von Zahlen
i. Gerade und ungerade Zahlen
ii. Primzahlen
iii. „Perfekte“ und „Befreundete“ Zahlen
d. Figurierte Zahlen
i. Dreiecks-Zahlen
ii. Quadrat-Zahlen, der Begriff „gnomon“ und Polygonale-Zahlen
iii. Rechteck-Zahlen
6. Der Zusammenbruch der „arithmetica universalis“
7. Fazit
Zielsetzung und thematische Schwerpunkte
Das Hauptziel dieser Arbeit ist es, den hohen Stellenwert des Zahlbegriffs bei den „frühen“ Pythagoreern im Zeitraum vom 6. bis zum 4. Jahrhundert v. Chr. zu verdeutlichen und deren innermathematische Errungenschaften im Bereich der Arithmetik zu analysieren.
- Historische Einordnung des Bundes der „frühen“ Pythagoreer und des griechischen Umfelds.
- Untersuchung der pythagoreischen Definitionen von Zahlen und der Weltordnung.
- Klassifizierung von Zahlen (gerade, ungerade, perfekt, prim, figuriert).
- Die Entdeckung der Inkommensurabilität und deren Auswirkungen auf das pythagoreische Weltbild.
Auszug aus dem Buch
d. Figurierte Zahlen
Die Idee, Zahlen als Ansammlung von Punkten zu verstehen, geht wohl auf Pythagoras selbst zurück. Dabei stellten die Anzahl der Punkte bestimmte geometrische Gebilde dar; ein Punkt repräsentierte die Einheit, zwei Punkte standen für die 2 und die Strecke, die sie bildeten, drei Punkte für die 3 und die erste Figur in der Ebene (das Dreieck) oder vier Punkte für die 4, die die erste dreidimensionale Figur (die Pyramide) symbolisierte. Die „figurierten“ Zahlen, mit denen sich die „frühen“ Pythagoreer beschäftigten, hatten vielerlei Erscheinungsformen. Man unterschied geradlinige, vieleckige, ebene und räumliche Zahlen. Im Folgenden soll der Schwerpunkt auf den vieleckigen Zahlen in der Ebene liegen, d.h. vor allem auf den Dreicks-, Quadrat- und Rechteckszahlen.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Einführung in die Philosophie des „Alles ist Zahl“ und Abgrenzung des zeitlichen Rahmens sowie des arithmetischen Fokus.
2. Quellenlage: Diskussion der Schwierigkeiten bei der Rekonstruktion der pythagoreischen Lehre aufgrund mangelnder zeitgenössischer schriftlicher Überlieferungen.
3. Historischer Kontext: Darstellung des Aufkommens der griechischen Stadtstaaten und des Wandels im Naturverständnis während der „Ionischen Periode“.
4. Pythagoras und der Bund der „frühen“ Pythagoreer: Biografischer Überblick über Pythagoras und die Struktur sowie Lebensweise des religiösen Bundes.
5. Die Arithmetik der „frühen“ Pythagoreer: Detaillierte Analyse der Zahlensysteme, Einteilungen und geometrischen Interpretationen von Zahlen.
6. Der Zusammenbruch der „arithmetica universalis“: Untersuchung der Entdeckung der Inkommensurabilität und deren Konsequenzen für das System der Pythagoreer.
7. Fazit: Reflexion über den Einfluss der frühen Pythagoreer auf die moderne Mathematik und die bleibende Relevanz ihrer Entdeckungen.
Schlüsselwörter
Pythagoreer, Alles ist Zahl, Arithmetik, Quadrivium, Tetraktys, Gnomon, Figurierte Zahlen, Primzahlen, Inkommensurabilität, Hipassos von Metapont, Philolaos, Griechische Mathematik, Antike, Zahlentheorie, Weltharmonie.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die arithmetischen Errungenschaften der „frühen“ Pythagoreer zwischen dem 6. und 4. Jahrhundert v. Chr. und ihre philosophische Überzeugung, dass Zahlen die Grundlage allen Seins bilden.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Zentrale Themen sind die historische Einordnung des Bundes, die Definition der Einheit und von Zahlen sowie die systematische Klassifizierung in figurierte und spezielle Zahlentypen.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Ziel ist es, den Stellenwert des Zahlbegriffs für die Pythagoreer aufzuzeigen und die mathematischen Grundlagen zu beleuchten, die sie in ihrem Bestreben entwickelten, die Welt rein numerisch zu erklären.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit basiert auf einer Analyse historischer Quellen, Fragmente und der mathematischen Interpretation antiker Überlieferungen, um die Entwicklung der pythagoreischen Arithmetik nachzuvollziehen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil widmet sich der Definition der Einheit, der Einteilung von Zahlen (gerade, ungerade, prim, perfekt, befreundet) und der geometrischen Veranschaulichung durch figurierte Zahlen.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Neben dem zentralen Begriff „Alles ist Zahl“ sind Begriffe wie Gnomon, Tetraktys, Inkommensurabilität und figurierte Zahlen maßgeblich für das Verständnis der pythagoreischen Mathematik.
Warum spielt die Zahl 10 für die Pythagoreer eine so große Rolle?
Die 10, auch Tetraktys genannt, galt als perfekte Zahl, da sie die Summe von 1, 2, 3 und 4 darstellt und die grundlegenden musikalischen Harmonien sowie geometrische Dimensionen symbolisiert.
Was besagt die „arithmetica universalis“?
Sie beschreibt die Annahme der Pythagoreer, dass die gesamte Welt und alle Naturphänomene durch ganzzahlige Verhältnisse exakt abgebildet werden können.
Warum bedeutete die Entdeckung der Inkommensurabilität das Scheitern dieser Ideologie?
Durch den Nachweis, dass es Streckenverhältnisse gibt, die nicht als Verhältnis ganzer Zahlen ausdrückbar sind (wie bei der Diagonale eines Quadrats), wurde das Dogma der reinen Arithmetik mathematisch widerlegt.
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- Mario Kulbach (Author), 2009, "Alles ist Zahl", Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/153629
