Copulas im Risikomanagement von Versicherungsunternehmen


Seminararbeit, 2009

30 Seiten, Note: 1,7


Leseprobe

INHALTSVERZEICHNIS

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

TABELLENVERZEICHNIS

FORMELVERZEICHNIS

1 Einführung

2 Copulas
2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen:
2.2 Das Konzept der Copula:
2.3 Parametrische Copulas
2.3.1 Normal Copula
2.3.2 Student-t-Copula
2.4 Nicht-parametrische Copulas
2.4.1 Frank-Copula
2.4.2 Clayton-Copula
2.4.3 Gumbel-Copula

3 Ermittlung von Copula-parameter und Risikomessung
3.1 Vorgehensweise
3.2 Ermittlung der Parameter für Copulas

4 Anwendung von Copulas im Risikomanagement
4.1 Aggregation von Risikoverteilung zum Gesamtbankprofil
4.2 Anwendung von Copulas auf Solvency II:

5 Bewertung der Modellierung mit Copulas und Ausblick

LITERATURVERZEICHNIS

QUELLENVERZEICHNIS

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abbildung 1: Ein möglicher Fehlschluss

Abbildung 2 : Copula Überblick

Abbildung 3: Zusammenfassung von Sklar´s Theorem

Abbildung 4: Untere (links) und obere (rechts) Fréchet-Hoeffding Schranke

Abbildung 5: Normal Copula

Abbildung 6: Student-t-Copula mit n=2, korrelationskoeffizient ρ = -0,8 und ν=

Abbildung 7: Frank-, Clayton-, und Gumbel-Copula

Abbildung 8: Originäre Datenverteilung

Abbildung 9: Monte Carlo Simulation der Clayton-Copula vs originaler Datenverteilung

Abbildung 10: Monte Carlo Simulation der Frank-Copula vs originaler Datenverteilung

Abbildung 11: Solvency II Säulen

Abbildung 12: Value-at-Risk, Expected Shortfall und SCR

TABELLENVERZEICHNIS

Tabelle 1: Spearman´s Rho und Kendall´s Tau Rangkorrelationskoeffizienten für bivariate Copulas

Tabelle 2: Spearman´s Rho und Kendall´s Tau und Parameterschätzung für bivariate Copulas

FORMELVERZEICHNIS

Formel 1: Korrelationskoeffizient

Formel 2: Sklar´s Theorem

Formel 3: Gauß-copula

Formel 4: Student-t-Copula

Formel 5: Bivariate elliptische Copulas

Formel 6: Archimedische Copulas

Formel 7: Frank-Copula

Formel 8: Clayton-Copula

Formel 9: Gumbel-Copula

Formel 10: Formelsammlung für bivariate Copulas

Formel 11: Log-Likelihood-Funktion

Formel 12: Erster Schritt der IFM-Mothode (Schätzung der Paramter der Randverteilung)

Formel 13: Zweiter Schritt der IFM-Mothode (Schätzung der Paramter der Copula)

Formel 14: Spearman´s Rho Rangkorrelationskoeffizient

Formel 15: Kendall´s Tau Rangkorrelationskoeffizient

Formel 16: Value-at-Risk

Formel 17: Expectes Shortfall

Formel 18: Solvency Capital Requirement

Formel 19: Varianz

Formel 20: Wurzelformel der SCR

1 Einführung

In der letzten Zeit spielt der Begriff „Risikomanagement“ in vielen Unternehmen, besonders in Versicherungsunternehmen immer größere Rolle. Risikomanagement ist der Führungsprozess zur Bewältigung der in einer Unternehmung entstehenden Risiken. Und in diesem Zusammenhang versteht man unter Bewältigung, die Risiken zu erkennen, zu analysieren, auszuwerten und zu kontrollieren[1]. Zum Begriff Risiko findet man verschiedene Definitionen in der Literatur, im Internet oder auch im Leben. Allgemein ist das Risiko die Kombination der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und dessen Konsequenz.[2] Zusammenfassend sind qualitative Risiken und quantitative Risiken zu unterscheiden. Als Beispiele für Risiken sind Bonitätsrisiko, Marktrisiko, Versicherungs-risiko, operationelles Risiko, Liquiditätsrisiko, Asset Liability Management-Risiko…. In den letzten Jahren steigert sich die Wichtigkeit, die richtige Methode der Risikoaggregation zur Unterstützung des Prozesses des Risikomanagements sowie der Risikobemessung zu finden. Im Grunde genommen ist Risikoaggregation die Zusammenfassung von Einzelrisiken zu einem Gesamtrisiko.[3] Das Verstehen und die Bewertung der Abhängigkeit von verschiedenen Einzelrisiken bzw. Zufallsvariablen sind das Grundkonzept für ein erfolgreiches Risikomanagement im Finance- sowie im Versicherungsbereich. Das Ziel dieser Seminararbeit ist es, auf die Thematik von Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen und auf deren Aggregationsmethode einzugehen. Und Copula Funktion ist ein mächtiges Instrument dafür, das durch diese Arbeit vermittelt wird.

Der zweite Abschnitt stellt einige Fehlschlüsse anhand der Verwendung von linearen Korrelation sowie den Lösungsansatz mit Hilfe von Copulas vor. Danach werden verschiedene Copulas mit der Form deren Verteilungsfunktionen und deren Eigenschaften dargestellt, wobei eine Aufteilung in zwei Klassen hilfreich sein wird. Im dritten Abschnitt

werden die Kopularparameter besierend auf dem Maximum-Likelihood-Methode, IFM (Inference Function for Margins)-Methode sowie Momentenschätzermethode ermittelt. Als Beispiel für die Schätzungsmethode und danach die Simulation der Copulas werden anhand der historischen Daten von DAX und REX einige Berechnungen und Darstellungen der Copula-Graphiken vorgenommen. Gezeigt wird im vierten Abschnitt ein Überblick über einige Anwendungen von Copulas in der Praxis. Der fünfte Abschnitt ergibt eine Bewertung der Verwendung von Copulas und fasst alles zusammen.

2 Copulas

2.1 Problemstellung und theoretische Grundlagen:

Eine zentrale Herausforderung bei verschiedener finanzwirtschaftlicher Fragestellung ist wie Abhängigkeiten zwischen den Risikofaktoren eines Portfolios modelliert werden. In vielen Fällen wird die „Lineare Korrelation“ verwendet um Abhängigkeit zwischen zwei oder mehr Zufallsvariablen abzubilden,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 1: Korrelationskoeffizient[4]

Dabei bezeichnet Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltendie Kovarianz zwischen xi und xj und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist die Varianz von xi. Wenn der Korrelationskoeffizient ρ(xi,xj) = 0 ist, dann sind die Zufallsvariablen unkorreliert, und zwar unabhängig. Aber es gibt auch viele Fälle, in denen eine Verwendung von diesem Abhängigkeitsmaß nicht wirklich passt, um lineare Abhängigkeit und natürlich auch nichtlineare Abhängigkeit darzustellen. Wenn diese Abhängigkeiten nur unter der Verwendung von diesem Abhängigkeitskonzept berechnet werden, lässt sich die Einschätzung der Gesamtverteilung auch als fehlerhaft betrachten. Außerdem führt eine Unkorreliertheit auch nicht immer zu einer Unabhängigkeit. Daneben gibt es noch einen anderen möglichen Fehlschluss: Allein mit Hilfe von den Randverteilungen und der linearen Korrelation wird das Gesamtmodell nicht eindeutig dargestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Ein möglicher Fehlschluss[5]

Wegen diesen möglichen Fehlschlüssen kann es dazu führen, dass der durch die Randverteilungen und die Korrelation berechnete Vaue-at-Risk von einem solchen Portfolio auch nicht mehr exakt. Eine hervorragende Alternative dafür ist die Verwendung von Copula. Der Begriff Copula ist nicht neu, stammt aus Lateinisch und bedeutet „Band, Bindemittel, Verbindung“. Copula Funktion dient dazu, nicht nur lineare Abhängigkeiten, den Korrelationen sondern auch nichtlineare Abhängigkeiten zu verdeutlichen. Genauer über Copulas sowie ihre Eigenschaften und Anwendungen wird in den nächsten Abschnitten gezeigt. Bevor wir fortfahren, ist hier ein Überblick, wie eine Copula aussieht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2 : Copula Überblick[6]

2.2 Das Konzept der Copula:

Allgemein ist eine Copula eine Funktion, die einen funktionalen Zusammenhang zwischen den Randverteilungsfunktionen verschiedener Zufallsvariablen und ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben kann.[7] Die gemeinsame n- dimensionale Verteilungsfunktion F:

[...]


[1] Vgl. Leipert 2008, Kapitel 2.

[2] Vgl. Begriffsdefinition nach der ISO

[3] Vgl. Cech 2008, S.2

[4] Vgl. Albrecht/ Maurer 2008, S.112

[5] Vgl. Neslehova 2006, S.2

[6] Vgl. Neumann 2008, S.11, 19

[7] Vgl. Wikipedia, Copula Definition.

Ende der Leseprobe aus 30 Seiten

Details

Titel
Copulas im Risikomanagement von Versicherungsunternehmen
Hochschule
Universität Mannheim
Note
1,7
Autor
Jahr
2009
Seiten
30
Katalognummer
V154017
ISBN (eBook)
9783640665587
Dateigröße
3097 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Risikomanagement, Versicherung, Copulas, Seminararbeit
Arbeit zitieren
Quang Huy Tran (Autor), 2009, Copulas im Risikomanagement von Versicherungsunternehmen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/154017

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