Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus


Masterarbeit, 2009

75 Seiten, Note: 2,0


Leseprobe

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Kapitel 2

Die ABC-Vermutung

Die ABC-Vermutung wurde - wie bereits in der Einleitung erw¨ ahnt - 1985 von Masser und Oesterl´ e formuliert. Dabei werden Eigenschaften des Zahlentripels (a, b, c) untersucht, die paarweise teilerfremd sind. Von ABC-Treffern spricht man genau dann, wenn rad(a·b·c) c gilt. Wir betrachten dabei o. B. d. A. nat¨ urliche Zahlen. Als das Radikal einer nat¨ urlichen Zahl n bezeichnen wir den quadratfreien Kern dieser Zahl. Zun¨ achst formulieren wir die ABC-Vermutung und gehen dann in diesem Kapitel noch auf einige wichtige Folgerungen ein, die zutreffen, falls die ABC-Vermutung gilt.

2.1 Grundlegende Definitionen

Die ABC-Vermutung ist eine 1985 von J. Oesterl´ e und D. Masser aufgestellte Vermutung. Sie beschreibt eine Zahl c, die sich aus der Summe zweier nat¨ urlichen Zahlen (a + b) zusammensetzt. Sind a, b und c teilerfremd, so heißt das Tripel (a, b, c) ein ABC-Tripel.

Diese Vermutung ist bisher weder bewiesen noch widerlegt. Weiterhin wurde das Verh¨ altnis rad(abc) eingef¨ uhrt. Man spricht dann von ABC-Treffern,

c

falls dieser Quotient kleiner oder gleich 1 ist, d. h. rad(abc) c. Dar¨ uber hinaus gibt es bereits eine Vielzahl zahlentheoretischer Ergebnisse, die die G¨ ultigkeit der ABC-Vermutung voraussetzen. Wir gehen auch teilweise auf diese Ergebnisse ein und setzen stets voraus, dass die ABC-Vermutung gilt.

Wir beginnen zun¨ achst mit einigen Definitionen, die wir f¨ ur die Berechnung von ABC-Tripeln ben¨ otigen:

Definition 2.1 (Radikal einer nat¨ urlichen Zahl)

1 · . . . · p e k Sei n N von der Form n = p e 1 k mit p i Primzahl f¨ ur alle i = 1, . . . , k und e i die zugeh¨ orige Vielfachheit. Dann definieren wir das Radikal von n wie folgt:

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2.2 Das polynomiale Analogon der ABC-Vermutung

Bevor wir uns mit den Ergebnissen und Konsequenzen, die bei G¨ ultigkeit der ABC-Vermutung resultieren, besch¨ aftigen, gehen wir noch kurz auf die Hintergr¨ unde der ABC-Vermutung ein. Masser erhielt die Idee f¨ ur seine Definition durch den Satz von Mason, den wir nun zeigen m¨ ochten. Zun¨ achst ben¨ otigen wir noch die nachfolgende Definition:

Definition 2.7 (Radikal eines Polynoms)

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Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨ orper mit Charateristik 0. Sei p(x) =

mit a k K. Dann ist n 0 (p) die Anzahl der paarweise verschiedenen Nullstellen von p(x), d. h. jede Nullstelle wird nur mit der Vielfachheit 1 gez¨ ahlt, analog zum Radikal einer nat¨ urlichen Zahl.

Nun k¨ onnen wir den Satz von Mason formulieren:

Satz 2.8 (Satz von Mason)

Seien a(x), b(x), c(x) Polynome mit Koeffizienten in K, K ein algebraisch abgeschlossener K¨ orper mit char (K) = 0. Seien a(x), b(x), c(x) teilerfremd und a(x) + b(x) = c(x). Dann gilt:

max deg{a(x), b(x), c(x)} n 0 (a(x) · b(x) · c(x)) 1 (2.5)

Beweis: Nach Voraussetzung gilt a(x) + b(x) = c(x). Wir teilen beide Seiten durch c(x) und erhalten

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Nun setzen wir f (x) := a(x) und g(x) := b(x) , d. h. f (x) + g(x) = 1. Durch Differentia-

c(x) c(x)

tion nach x erhalten wir f (x) + g (x) = 0 (2.7)

Durch Erweitern des Bruches erhalten wir dann f (x) image 0e5c076e5a3091d6f45d7baa17dae4d0

Wegen a(x) = f (x) · c(x) und b(x) = g(x) · c(x) folgt schließlich

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Sei nun h(x) eine rationale Funktion und ρ i die paarweise verschiedenen Wurzeln des Z¨ ahlers und Nenners. Dann ist

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2.3 Spezielle Folgerungen aus der ABC-Vermutung

Unter der Voraussetzung, dass die ABC-Vermutung gilt, k¨ onnen wir eine Reihe zah-lentheoretischer Ergebnisse zeigen. Die ABC-Vermutung impliziert beispielsweise eine schwache Form von Fermats letztem Satz:

Hypothese 2.11 (Das asymptotische Fermat-Problem)

Sei ggT(x, y, z) = 1. Dann existiert ein N N, so dass f¨ ur alle n > N die Gleichung

x n + y n = z n (2.17)

nur die triviale ganzzahlige L¨ osung 1 besitzt.

Wir werden nachfolgend zeigen, dass diese Aussage folgt, falls die ABC-Vermutung gilt. Daf¨ ur ben¨ otigen wir noch die folgenden Notation:

Wir benutzen das Symbol ”” 2 f¨ ur die folgende Ausssage ¨ uber Funktionen f (x) und g(x):

f (x) g(x), falls es ein c R gibt, so dass f (x) c · g(x) f¨ ur alle x R gilt.

Satz 2.12

Gilt die ABC-Vermutung, so impliziert diese das asymptotische Fermat-Problem. Beweis: Sei die ABC-Vermutung g¨ ultig. O. B. d. A. seien x, y, z N. Nach der ABC-Vermutung gilt

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Damit folgt

3 =| x · y · z | 3+ε . | x · y · z | 1+ ε (2.19) 3

Hiermit erhalten wir, dass n N beschr¨ ankt ist, da | x · y · z |> 1. Damit n N nicht beschr¨ ankt ist, muss | x · y · z |≤ 1 gelten. Somit folgt, dass eine der drei Zahlen x, y, z Null sein muss.

Ende der Leseprobe aus 75 Seiten

Details

Titel
Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus
Hochschule
Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover  (Institul für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik)
Note
2,0
Autor
Jahr
2009
Seiten
75
Katalognummer
V155457
ISBN (eBook)
9783640680498
ISBN (Buch)
9783640681853
Dateigröße
818 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
ABC-Tripel, LLL-Algorithmus
Arbeit zitieren
Matthias Mahl (Autor), 2009, Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/155457

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