Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus

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Kapitel 2

Die ABC-Vermutung

Die ABC-Vermutung wurde - wie bereits in der Einleitung erw¨ ahnt - 1985 von Masser und Oesterl´ e formuliert. Dabei werden Eigenschaften des Zahlentripels (a, b, c) untersucht, die paarweise teilerfremd sind. Von ABC-Treffern spricht man genau dann, wenn rad(a·b·c) ≤ c gilt. Wir betrachten dabei o. B. d. A. nat¨ urliche Zahlen. Als das Radikal einer nat¨ urlichen Zahl n bezeichnen wir den quadratfreien Kern dieser Zahl. Zun¨ achst formulieren wir die ABC-Vermutung und gehen dann in diesem Kapitel noch auf einige wichtige Folgerungen ein, die zutreffen, falls die ABC-Vermutung gilt.

2.1 Grundlegende Definitionen

Die ABC-Vermutung ist eine 1985 von J. Oesterl´ e und D. Masser aufgestellte Vermutung. Sie beschreibt eine Zahl c, die sich aus der Summe zweier nat¨ urlichen Zahlen (a + b) zusammensetzt. Sind a, b und c teilerfremd, so heißt das Tripel (a, b, c) ein ABC-Tripel.

Diese Vermutung ist bisher weder bewiesen noch widerlegt. Weiterhin wurde das Verh¨ altnis ^rad(abc) eingef¨ uhrt. Man spricht dann von ABC-Treffern,

c

falls dieser Quotient kleiner oder gleich 1 ist, d. h. rad(abc) ≤ c. Dar¨ uber hinaus gibt es bereits eine Vielzahl zahlentheoretischer Ergebnisse, die die G¨ ultigkeit der ABC-Vermutung voraussetzen. Wir gehen auch teilweise auf diese Ergebnisse ein und setzen stets voraus, dass die ABC-Vermutung gilt.

Wir beginnen zun¨ achst mit einigen Definitionen, die wir f¨ ur die Berechnung von ABC-Tripeln ben¨ otigen:

Definition 2.1 (Radikal einer nat¨ urlichen Zahl)

1 · . . . · p ^{e k} Sei n ∈ N von der Form n = p ^{e 1} k mit p i Primzahl f¨ ur alle i = 1, . . . , k und e ⁱ die zugeh¨ orige Vielfachheit. Dann definieren wir das Radikal von n wie folgt:

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2.2 Das polynomiale Analogon der ABC-Vermutung

Bevor wir uns mit den Ergebnissen und Konsequenzen, die bei G¨ ultigkeit der ABC-Vermutung resultieren, besch¨ aftigen, gehen wir noch kurz auf die Hintergr¨ unde der ABC-Vermutung ein. Masser erhielt die Idee f¨ ur seine Definition durch den Satz von Mason, den wir nun zeigen m¨ ochten. Zun¨ achst ben¨ otigen wir noch die nachfolgende Definition:

Definition 2.7 (Radikal eines Polynoms)

Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨ orper mit Charateristik 0. Sei p(x) =

mit a k ∈ K. Dann ist n 0 (p) die Anzahl der paarweise verschiedenen Nullstellen von p(x), d. h. jede Nullstelle wird nur mit der Vielfachheit 1 gez¨ ahlt, analog zum Radikal einer nat¨ urlichen Zahl.

Nun k¨ onnen wir den Satz von Mason formulieren:

Satz 2.8 (Satz von Mason)

Seien a(x), b(x), c(x) Polynome mit Koeffizienten in K, K ein algebraisch abgeschlossener K¨ orper mit char (K) = 0. Seien a(x), b(x), c(x) teilerfremd und a(x) + b(x) = c(x). Dann gilt:

max deg{a(x), b(x), c(x)} ≤ n 0 (a(x) · b(x) · c(x)) − 1 (2.5)

Beweis: Nach Voraussetzung gilt a(x) + b(x) = c(x). Wir teilen beide Seiten durch c(x) und erhalten

Nun setzen wir f (x) := ^a(x) und g(x) := ^b(x) , d. h. f (x) + g(x) = 1. Durch Differentia-

c(x) c(x)

tion nach x erhalten wir f (x) + g (x) = 0 (2.7)

Durch Erweitern des Bruches erhalten wir dann f (x)

Wegen a(x) = f (x) · c(x) und b(x) = g(x) · c(x) folgt schließlich

Sei nun h(x) eine rationale Funktion und ρ i die paarweise verschiedenen Wurzeln des Z¨ ahlers und Nenners. Dann ist

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2.3 Spezielle Folgerungen aus der ABC-Vermutung

Unter der Voraussetzung, dass die ABC-Vermutung gilt, k¨ onnen wir eine Reihe zah-lentheoretischer Ergebnisse zeigen. Die ABC-Vermutung impliziert beispielsweise eine schwache Form von Fermats letztem Satz:

Hypothese 2.11 (Das asymptotische Fermat-Problem)

Sei ggT(x, y, z) = 1. Dann existiert ein N ∈ N, so dass f¨ ur alle n > N die Gleichung

x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ (2.17)

nur die triviale ganzzahlige L¨ osung ¹ besitzt.

Wir werden nachfolgend zeigen, dass diese Aussage folgt, falls die ABC-Vermutung gilt. Daf¨ ur ben¨ otigen wir noch die folgenden Notation:

Wir benutzen das Symbol ”” ² f¨ ur die folgende Ausssage ¨ uber Funktionen f (x) und g(x):

f (x) g(x), falls es ein c ∈ R gibt, so dass f (x) ≤ c · g(x) f¨ ur alle x ∈ R gilt.

Satz 2.12

Gilt die ABC-Vermutung, so impliziert diese das asymptotische Fermat-Problem. Beweis: Sei die ABC-Vermutung g¨ ultig. O. B. d. A. seien x, y, z ∈ N. Nach der ABC-Vermutung gilt

Damit folgt

³ =| x · y · z | ^3+ε . | x · y · z | 1+ ^ε (2.19) 3

Hiermit erhalten wir, dass n ∈ N beschr¨ ankt ist, da | x · y · z |> 1. Damit n ∈ N nicht beschr¨ ankt ist, muss | x · y · z |≤ 1 gelten. Somit folgt, dass eine der drei Zahlen x, y, z Null sein muss.

¹ Der Satz von Fermat (nach Pierre de Fermat, 1608-1665) wurde erst 1993 von Wiles und Taylor bewiesen.

² Wir f¨ uhren sp¨ ater die Definition der Landau-Symbole ein, die die gleiche Bedeutung haben.

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Hypothese 2.23 (Original Szpiro-Vermutung)

Sei E eine Weierstraß-Kurve mit Diskriminante D und c(E) der Konduktor von E. Dann gilt: | D || rad(D) ^6+ε c(E) ^6+ε . (2.25)