Isomorphien zu Teilerverbänden

Inhaltsverzeichnis

1. George Boole

2. Boolesche Algebra

3. Potenzmenge

4. Verband
4.1 Teilerverbände
4.2 Beispiel für einen Teilerverband
4.3 Boolescher Verband
4.4 Beispiel für einen Booleschen Verband

5. Allgemeingültige Gesetze.

6. Weitere Rechenregeln der Booleschen Algebra..

7. Isomorphismus
7.1 Isomorphie in der Algebra
7.2 Isomorphie von endlichen Booleschen Algebren.

8. Übersicht Mengenalgebra, Aussagenlogik, Schaltalgebra und

Teileralgebra

Literaturverzeichnis

Anhang

Boolesche Algebra

Isomorphien zu Teilerverbänden

1. George Boole

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

George Boole ist 1815 in Lincoln (GB) geboren.

Boole beschäftigt sich in der Freizeit mit Mathematik und Physik. Mit 20 Jahren eröffnet Boole seine eigene Schule und erlangt eine Anstellung an einer bekannten Universität.

Im Jahre 1854 entwickelt Boole elektrische Schaltkreise, die nach seinem System (Boolesche Algebra) arbeiten. 1864 stirbt Boole an einer Lungenentzündung. * 1815 † 1864

George Boole regte Untersuchungen zur Analogie von Aussagenlogik, Mengenlehre und algebraischen Operationen an.

2. Boolesche Algebra

Auf der Booleschen Algebra basieren alle Computer und Programmiersprachen.

Ein distributiver komplementärer Verband (V, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, o, e, ') heißt eine Boolesche Algebra. In jeder Booleschen Algebra gelten die

De Morganschen Gesetze (Augustus De Morgan)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zunächst folgt in jedem komplementären Verband aus (x')' = x nämlich, dass (1) und (2) äquivalent sind, denn aus (1) folgt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Umkehrung ergibt sich analog.

Daher genügt es, etwa (1) mit Hilfe der Eindeutigkeit des Komplementes und der Distributivgesetze zu bestätigen, d. h. man zeigt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Betrachtet man eine Menge M zusammen mit einer Menge Ω von

Operationen auf M, d.h. eine Gesamtheit [M, Ω], so spricht man von einer Algebra bzw. algebraischen Struktur.

3. Potenzmenge

Was ist die Potenzmenge P(M) der Menge M?

Die Potenzmenge P(M) der Menge M ist die Menge aller Teilmengen der Menge M, kurz P(M)={T|TAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenM}.

Hat eine endliche Menge n – Elemente, so hat ihre Potenzmenge 2ⁿ Elemente. Es gilt: |P(M)|=2|M|.

Jede Menge (also auch jede unendliche Menge) ist nicht gleichmächtig zu ihrer Potenzmenge. Wird von einer unendlichen Menge die Potenzmenge, dann die Potenzmenge der Potenzmenge, davon wieder die Potenzmenge – usw. – gebildet, so ergibt sich eine Folge von Mengen, die zwar alle unendlich viele Elemente haben, aber dennoch sukzessive „immer größer“ werden.

Achtung: Auch die leere Menge gehört zur Potenzmenge.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Veranschaulichung von endlichen Mengen im Hasse - Diagramm

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4. Verband

Bsp.1: Ein Tripel (M, ●, ○) heißt Verband, wenn (M, ●) und (M, ○) kommutative Halbgruppen sind und das Absorptionsgesetz (Verschmelzungsgesetz) a●(a ○ b) =a bzw. a○(a ● b) = a für alle

a, b e M gilt.

Bsp. 2: Gegeben sei eine partielle Ordnung ≤ auf einer Menge X. Falls für beliebige x und y eine größte untere Schranke x Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten y und eine kleinste obere Schranke x Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten y existiert, dann ist (X, ≤) ein Verband.

Bsp. 3: Eine nichtleere Menge V heißt Verband (V, +, •)

(engl. lattice), wenn auf V zwei Verknüpfungen (statt + und • oft auch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, manchmal auch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten geschrieben) definiert sind, so dass für alle folgende Axiome gelten:

(1) Axiom der Kommutativität

a • b = b • a a + b = b + a

(2) Axiom der Assoziativität

(a • b) • c = a • (b • c) (a + b) + c = a + (b + c)

(3) Axiom der Absorption (Verschmelzung)

a • (a + b) = a a + (a • b) = a

Ein Verband heißt distributiv, wenn für alle a, b, c e V ferner gelten:

[...]