Was ist Mathematik? Geht man dieser Frage nach, wird man auf verschiedenste Vorstellungen treffen. Die Grundlagen für diese Vorstellungen werden meist im Mathematikunterricht geschaffen, da man dort den ersten Kontakt mit der Materie erlebt. Wie man diese Materie erlebt, hängt von der Art des Mathematikunterrichts ab. Da die Vorstellungen der Lehrerkräfte den Unterricht in seiner Gestaltung und in ihrem Handeln beeinflussen, bilden sie eine Vorrausetzung für die Art des Unterrichts. Dieser Hintergrund spiegelt das Interesse an der Erforschung über Vorstellungen von Lehrern über das Lehren und Lernen wider. Primarstufenlehrkräfte sind selten als Probanden ausgewählt, bzw. in die Probandengruppe einbezogen worden. Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Vorstellungen über Anforderungen im Mathematikunterricht empirisch zu erheben. Das heißt, welche Übungsmethode, Darstellungsform der Mathematik, etc. empfinden die Mathematiklehrkräfte in der Primarstufe als wichtig. Ausschlaggebend für die Idee zu dieser Arbeit war die Überlegung, ob Unterschiede in der Vorstellung in Bezug zur Mathematik zwischen fachfremd mathematikunterrichtenden Grundschullehrkräften und ihren fachspezifisch ausgebildeten Kollegen bestehen. Es wird versucht herauszufinden, ob Korrelationen zwischen bestimmten Faktoren wie zum Beispiel dem Alter oder der fachspezifischen Ausbildung und den Vorstellungen bestehen und ob bestimmte Vorstellungen von einzelnen Faktoren abhängen. Da es eine Befragung dieser Art, gerichtet an diese Gruppe von Lehrern in Deutschland nach meiner Recherche noch nicht gab, gibt dies der Arbeit einen explorativen Charakter. Die Ergebnisse lassen den Schluss zu, das die Vorstellungen der fachstudierten Lehrkräfte sich von den fachfremden unterscheiden. Deutlich wird dies bei wesentlichen Merkmalen der Mathematik. Auch im Bezug zum Alter stellt sich eine markante Unterschied herraus.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Diskussion zu den Begriffen Vorstellung
2.1.1 Der Begriff Vorstellung
2.1.2 Vorstellungen in der fachdidaktischen Perspektive
2.1.3 Eigenschaften von Vorstellungen (Beliefs)
2.1.3.1 Vorstellungen sind Verbindungen
2.1.3.2 Vorstellungen sind nicht isoliert
2.1.3.3 Vorstellungen sind bestandig
2.1.3.4 Vorstellungen sind unterschiedlich gewichtet
2.1.3.5 Vorstellungen fokussieren
2.1.3.6 Vorstellungen sind gebrauchsabhangig
2.1.4 Auswirkungen von Vorstellungen
2.1.5 Veranderbarkeit von Vorstellungen
2.1.6 Explorative Forschungslage
2.2 Disskusion des Begriffs Anforderung
2.2.1 Vorgaben des Lehrplans
2.2.1.1 Schlusselqualifikationen
2.2.1.2 Thematik des Lernens
2.2.1.3 Fachliche Themengestaltung
2.2.2 Bildungsstandards
2.2.2.1 Allgemeine mathematische Kompetenzen
2.2.2.2 Die kognitiven Anforderungsbereiche
2.3 Fachfremd
3 Empirischer Teil der Arbeit
3.1 Voruberlegung
3.2 Datenerhebungsinstrument
3.3 Hypothesenaufstellung
3.4 Ablauf der Studie
3.5 Merkmale der Studie
4 Ergebnisse
4.1 Ergebnisse der Hypothesen
4.2 Weitere Ergebnisse
4.2.1 Unterrichtserfahrung als Mathematiklehrer
5 Auswertung und Diskussion
5.1 Auswertung und Disskusion der Hypothesen
5.2 Auswertung und Disskusion der weiteren Ergebnisse
6 Fazit
6.1 Forschungsausblick
7 Fragebogen
1 Einleitung
Was ist Mathematik? Geht man dieser Frage nach, wird man auf verschiedenste Vorstel- lungen treffen. Die Grundlagen fur diese Vorstellungen werden meist im Mathematikun- terricht geschaffen, da man dort den ersten Kontakt mit der Materie erlebt. Wie man diese Materie erlebt, hangt von der Art des Mathematikunterrichts ab. Da die Vorstellungen des Lehrers[1] den Unterricht in seiner Gestaltung den Lehrer und in seinem Handeln be- einflussen, bilden sie eine Vorrausetzung fur die Art des Unterrichts[Fis01, Har06]. Dieser Hintergrund spiegelt das Interesse an der Erforschung uber Vorstellungen von Lehrern uber das Lehren und Lernen wider.
Die Erforschung der Vorstellungen uber Mathematik sowie des Lehrens und Lernens der Selbigen ist noch ein sehr junges Forschungsfeld. Ab Mitte der 1980er-Jahre richtete sich der Fokus auf dieses Thema und es wurden immer mehr verschiedene Forschungsansatze untersucht [Rol06, GS98, Tie02, Zim02]. Das Thema ist bis heute in der mathematikdi- daktischen Forschung aktuell. Dies zeigen die Arbeiten von Lepmann (2006), Felbrich, Muller & Blomeke (2008), sowie Maass (2009). Die Studien beziehen sich haufig auf Oberstufenlehrer, Studenten und Referendare [Rol06, GS98, Tie02, Zim02]. Primarstu- fenlehrkrafte sind selten als Probanden ausgewahlt, bzw. in die Probandengruppe ein- bezogen worden. So wurden erst wenige Forschungsarbeiten uber Lehrervorstellungen dieser Schulart veroffentlicht. Hewson und Hewson (1987) weisen darauf hin, dass sich die Vorstellungen der Lehrer in Bezug auf Lehren und Lernen unterscheiden. Dabei zeigt sich eine Zweiteilung der Lehrer in eine traditionell und eine konstruktivistisch veranlag- te Gruppe. In diesem Zusammenhang konnten Staub und Stern (2002) eine Korrelation zwischen einer aktiv-konstruktivistischen Vorstellung vom Lehren und Lernen der Mathe- matik und der Gestaltung des Unterrichts, sowie einem daraus resultierenden erhohten Lernzuwachs nachweisen. Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Vorstellungen uber Anforderun- gen im Mathematikunterricht empirisch zu erheben. Das hei£t, welche Ubungsmethode, Darstellungsform der Mathematik, etc. empfinden die Mathematiklehrkrafte in der Pri- marstufe als wichtig. Ausschlaggebend fur die Idee zu dieser Arbeit war die Uberlegung, ob Unterschiede in der Vorstellung in Bezug zur Mathematik zwischen fachfremd ma- thematikunterrichtenden Grundschullehrkraften und ihren fachspezifisch ausgebildeten Kollegen bestehen. Aufgrund der Tatsache, dass der Personalschlussel an Grundschulen sehr klein ist, muss die Schulleitung gehauft Lehrer einsetzten die fachfremd unterrichten [TJ07]. Aus diesem Grund richtet sich mein Fragebogen an mathematikunterrichtende Grundschullehrkrafte. Es wird versucht herauszufinden, ob Korrelationen zwischen be- stimmten Faktoren wie zum Beispiel dem Alter oder der fachspezifischen Ausbildung und den Vorstellungen bestehen und ob bestimmte Vorstellungen von einzelnen Faktoren abhangen. Da es eine Befragung dieser Art, gerichtet an diese Gruppe von Lehrern in Deutschland nach meiner Recherche noch nicht gab, gibt dies der Arbeit einen explo- rativen Charakter.
Die Arbeit ist in drei gro£e Kapitel gegliedert. Im Ersten erlautere ich die wissenschaft- lichen Grundlagen und Definitionen rund um den Begriff Vorstellungen in Bezug auf den Mathematikunterricht. Im zweiten Teil wird die methodische Vorgehensweise darge- stellt. Im letzten Teil werden die gewonnenen Ergebnisse prasentiert und abschlie£end diskutiert.
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Diskussion zu den Begriffen Vorstellung
2.1.1 Der Begriff Vorstellung
In der Philosophie wird zwischen dem Vorstellen als ein kognitiv ablaufender Prozess und dem Inhalt bzw. dem Bestandteil dieser Vorstellung unterschieden [Hug03, Pre99]. In die- ser Arbeit wird auf den Entstehungsprozess der Vorstellungen nicht weiter eingegangen, sondern es werden die Resultate dieses Prozesses betrachtet. Im weitesten Sinne versteht man unter dem Begriff Vorstellung in der Philosophie jegliches "(geistige[s]) Erfassen ei- nes Inhaltes"[Hug03, S.657]; selbst Wahrnehmungen werden dazu gezahlt [Hug03]. Somit zahlen alle Empfindungen, die wir uber unsere Sinne wahrnehmen zu den Vorstellungen. Es wird ersichtlich, dass die Vorstellungen vom Individuum abhangig sind. Dies zeigen auch die Definitionen aus der Psychologie. Dort werden Vorstellungen als "geisti- ge Reprasentation[en]"[Hac09, S.1078] bzw. als „anschauliche seelische Inhalte“ [bro01, S. 672] aufgefasst. In der Umgangssprache wird die Vorstellung meist mit den Worten „sich ein inneres Bild vor Augen zu halten“ erklart. Hier verweist die Wortgruppe „inneres Bild“ darauf, dass Vorstellungen subjektbezogene, geistige Arbeit im Gehirn darstellen [Hug03]. Ubereinstimmung zwischen den oben genannten Definitionen besteht in dem Punkt, dass Vorstellungen durch einen individuellen kognitiven Prozess entstehen. Daraus ergibt sich die Tatsache, dass jeder Mensch seine eigenen individuellen Vorstellungen hat. Metzler (1999) beschreibt dies dahingehend, dass keine zwei Menschen dieselben Vorstellungen besitzen konnen. Das beinhaltet ebenfalls, dass Vorstellungen keinen Wahrheitswert be- sitzen. Denn eine Entscheidung daruber zu treffen ob eine Vorstellung wahr oder falsch ist, ist aufgrund der Individuality der Vorstellung nicht moglich [Pre99]. Die Vorstellun- gen stellen also reine gedankliche Konstrukte dar [bro01]. Dadurch wird die Zugehorigkeit der Fantasie zu den Vorstellungen deutlich. Denn in der Fantasie werden verschiedene vorherrschende Vorstellungen kombiniert. Als Grundlage dafur werden vorhandene „Er- innerungsvorstellungen“, die z.B. auf Erfahrungen beruhen, verwendet [Hac09, bro01]. Durch den inneren und sinnlichen Bezug, der fur Vorstellungen pragend ist, werden die Vorstellungen von dem Begriff „Gedanke“ abgegrenzt. An den hier aufgezeigten Defini- tionen und Beschreibungen von Vorstellungen konnen wir festhalten, dass Vorstellungen als eine Art Bewusstseinsinhalte aufgefasst werden, welche einen beliebigen Bezugspunkt besitzen und durch individuelle Ansichten geformt sind [bro01].
2.1.2 Vorstellungen in der fachdidaktischen Perspektive
Der Begriff Vorstellung ist in der fachdidaktischen Literatur nicht allgemeingultig defi- niert [Peh01, Zim91]. Er ist Bestandteil einer Vielzahl von Begriffen, die sich zu dem Begriff Belief[2] zahlen lassen. Diesen kann man metaphorisch betrachtet, als den Ober- bzw. Sammelbegriff einer Begriffswolke ansehen. Um ihn schwirren eine Vielzahl von Begriffen, wie „mathematische Weltanschauungen“(„mathematical world views“), „Belief System“[3], „Einstellungen“(„attitudes“), „Selbstkonzepte“, „subjektives Wissen“, „subjekti- ve Theorien“, „Weltbilder“, „Auffassung“, „Scripts“ etc. Diese entstammen den zahlreichen Untersuchungen zu diesem Thema. Zum Beispiel spricht Guder (2002) von „Subjektiven Theorien“ , worunter „Kognitionen der Welt- und Selbstsicht verstanden werden, die in komplexen, zumindest impliziten Argumentationszusammenhangen stehen und die es dem Menschen ermoglichen, Erscheinungen der Realitat zu erklaren, Prognosen uber zukunfti- ge Ereignisse zu machen und ihm so begrundete Handlungsweisen liefern, um seine Ziele und Absichten zu erreichen.“ [GS98, S. 25]. Im Vergleich zu einer Definition von Bernd Zimmermann (1991), bei der die Vorstellungen als „Wunsche, die auf dem Hintergrund von Erfahrungen entwickelt wurden, sowie Erfahrungen, die (im Lichte mehr oder weni ger bewusster Wunsche) gemacht wurden“ bezeichnet werden. Die Uberschneidung ist ersichtlich. Beide Definitionen sprechen von einer kognitiven Verarbeitung des erlebten bzw. nicht erlebten Weltgeschehens, welches die Grundlage fur die daraus geschlussfol- gerten subjektiven „Bilder“ bildet. Die Definition von den „Subjektiven Theorien“ ist weit reichender, da sie das Handeln begrundet. Wobei die Definition von Vorstellungen nicht ausschliefit, dass Vorstellungen ebenfalls Handeln begrunden, bzw. vorhersehen lassen etc. Diese zwei Definitionen zeigen beispielhaft eine Uberschneidung von den Begriffen, die um die Bezeichnung Belief schwirren. Die durchaus grofie Zahl an Begriffen in die- sem Themenbereich stellt ein eher kleineres Problem in dieser Forschungsrichtung dar. Viel schwerwiegender ist, dass kein Konsens uber einheitliche Definitionen zu den ein- zelnen Bezeichnungen existiert, sondern diese sogar unterschiedlich verwendet werden [Peh01]. Pehkonen und Furinghetti (2001) zeigen dies in einer Sammlung von neun ver- schiedenen Definitionen um den Begriff Belief. Bezuglich der Gemeinsamkeiten kommen sie zu dem Schluss, dass es sowohl objektives als auch subjektives Wissen gibt, wobei die Beliefs eindeutig dem subjektiven Wissen zugeordnet werden. Eine weitere Gemeinsam- keit besteht darin, dass die Beliefs aus affektiven und kognitiven Bestandteilen bestehen [Peh01, GS98]. Grigutsch et al.(1998) unterteilen ihre Betrachtungen von „Einstellun- gen“ ebenfalls in die Bestandteile der Kognition und der Affektion. Erganzend dazu fuhren sie eine Komponente der Konation (Handlungsbereitschaft) auf [GS98, S. 6]. Diese Unterteilung in affektive und kognitive Elemente lasst sich auch in der Definition von Vorstellungen bei Bernd Zimmerman (1991) finden, wobei er die zwei Elemente um einen normativ gepragten Aspekt erweitert.
Als kognitive Komponente werden die subjektiven Informationen angesehen, die ein Individuum uber das betreffende Objekt besitzt. Bedeutend dabei ist, dass es keine Rol- le spielt, ob diese Information rein objektiv oder wissenschaftlich begrundet oder vom Individuum nachgewiesen wurde. Es besteht ein rein subjektiver Bezug, welcher oft als solcher wahrgenommen wird [GS98, vgl. S.6/7]. Die affektive Komponente bezieht sich auf den emotionalen Bezug bzw. die Bindung, die zu dem betreffenden Objekt besteht. Zimmermann begrundet dies damit, dass nicht nur „Privatphilosophien“ sondern auch [...] „wissenschaftliche“ Theorien nie frei von Wertvorstellungen und Normen sein konnen, die wiederum auch affektiv „beladen“ sind [Zim91, S.44]. So besitzt jeder Bezug immer eine emotionale Komponente.
Das Normative Element schlussfolgert Zimmermann (1991), wie oben genannt, daraus, dass jedem Individuum gewisse Vorstellungen durch die jeweilige Umgebung bzw. Ge- sellschaft vorgegeben sind. Die Konation (Handlungsbereitschaft) geht davon aus, dass durch das Objekt eine gewisse regelmafiige Handlungsbereitschaft hervorgerufen wird. Wobei Grigutsch et al. (1998) klarstellen, dass es eine reine Bereitschaft, ist zu regieren. Umschrieben wird die Bereitschaft als Tendenz zur Handlung bzw. dadurch, dass wahr- scheinlich so gehandelt wird. Ebenfalls zu bedenken ist, dass der gedachten Handlung keine Realisierung folgen muss [GS98, S.7].
Die Normativen Anteile, sowie die Konation gleichen sich dahingehend, dass bestimm- te Objekte ein gewisses Verhalten hervorrufen, wobei Zimmermann(1991) dies auf die Normen der jeweiligen Gesellschaft bezieht und Grigutsch et al.(1998) diese Reaktion ur- sachenfrei lassen, aber hervorheben, dass bestimmte Objekte eine gleiche Vorstellung zum zukfinftigen Verhalten hervorrufen. Vor dem Hintergrund der hier aufgeffihrten termino- logischen Diskussion wird der Begriff Belief und somit der in dieser Arbeit verwendete Begriff Vorstellung mit folgender Bedeutung vorausgesetzt: Vorstellungen sind eine sub- jektive Ansicht, welche aus unterschiedlichen Vorgaben (Wissen, Erfahrungen, Vermu- tungen, Geffihlen, Normen, etc.) geschlussfolgert wurden. Stellen wir nun den Bezug von Vorstellung zum Mathematikunterricht her. Dort liefert Aguirre und Speer (2000. S.328) eine gute Zusammenfassung einer Definition: „Current defintions of beliefs found in the mathematics education literature focus primarily on how teachers think about the nature of mathematics, teaching and learning. In this context, beliefs are defined as conceptions, personal ideologies, world views and values that shape practice an orient knowledge.“ Es wird erneut erkennbar, dass verschiedene Begriffe diesen Umstand des Vorstellens um- schreiben. Im Mittelpunkt dieses Bezuges der Vorstellung fiber Mathematikunterricht stehen die Vorstellungen fiber die Natur der Mathematik, sowie die Vorstellungen fiber das Lehren und Lernen der Mathematik [bro01, Hac09]. Durch den inneren und sinnli chen Bezug der fur Vorstellungen pragend ist, werden die Vorstellungen von dem Begriff „Gedanke“ abgegrenzt.
2.1.3 Eigenschaften von Vorstellungen (Beliefs)
Wie im vorherigen Kapitel beschrieben, zeigt sich eine Definitionsproblematik zu dem Begriff Vorstellung. Um den komplexen Begriff dennoch naher zu beschreiben, folgen nun an Rolka (2006) angelehnt, einige beobachtete Eigenschaften dieses Phanomens, welche eine erweiterte Perspektive auf die Bedeutung dieses Begriffes bieten.
- Vorstellungen sind Verbindungen.
- Vorstellungen sind nicht isoliert zu betrachten.
- Vorstellungen sind bestandig.
- Vorstellungen sind unterschiedlich gewichtet.
- Vorstellungen fokussieren.
- Vorstellungen sind gebrauchsabhangig.
2.1.3.1 Vorstellungen sind Verbindungen.
Rolka (2006) beschreibt, dass man Beliefs metaphorisch als Brucke bezeichnen kann. Aus- gehend vom Individuum wird eine Verbindung zu Dingen, Personen, Situationen bzw. einer Umgebung hergestellt. In der Sprache verweist das Wort „uber“ auf diese Tat- sache, denn man hat Vorstellung uber Etwas. Dieses Etwas beschreibt Torner (2002) als „Belief-Objekt“ . Diese Bezeichnung ist sehr weit gefasst. Sie schlie£t globale The- men wie zum Beispiel Vorstellungen uber den Mathematikunterricht (z.B. Schuler lernen am besten von einem fachspezifisch ausgebildeten Mathematiklehrer) ein. Spezielle The- men, wie zum Beispiel Vorstellungen uber das Ruckwartszahlen (z.B. Schuler, die nicht ruckwarts laufen konnen, konnen auch nicht ruckwarts zahlen), gehoren ebenfalls dazu. Dieser Objektbegriff ist so weit gefasst, dass selbst Vorstellungen uber Personen dazu zahlen, besonders die Vorstellungen uber sich selbst. Dies betrifft Schuler (z.B. Madchen konnen Mathematik sowieso nicht, also ich auch nicht), sowie Lehrer (z.B. Mathema- tik in der Grundschule besteht nur aus den Grundrechenarten). Entscheidend bei dieser Betrachtung ist, dass die Verbindung immer von einem Individuum ausgeht. So kann dieses Individuum als Trager bzw. Tragerin der jeweiligen Vorstellung aufgefasst werden [Rol06].
2.1.3.2 Vorstellungen sind nicht isoliert.
Vorstellungen sollten nicht nur einzeln betrachtet werden, denn die einzelnen Vorstel- lungen stehen in Beziehung zueinander. Man kann also sagen: „Eine Vorstellung kommt selten allein“ . Stehen Vorstellungen untereinander in Verbindung, entsteht eine Art Netz bzw. System von Vorstellungen. Man bezeichnet dies als „Belief-System“ [Rol06, PE96] oder als Belief - Bundle [AJ00]. Zu bedenken ist aber, dass die einzelnen Vorstellungen, die in ein System eingebundenen sind, aus unterschiedlichen Ursachen geschlussfolgert wurden. So konnen sich einige Vorstellungen auf Fakten bzw. Wissen und andere auf Ver- mutungen, Uberlieferungen etc. beziehen. Zwischen diesen Ursprungen einer Vorstellung wird in der Begrifflichkeit nicht unterschieden.
Dieser Systemcharakter mit der Unterteilung in verschiedene Vorstellungsbundel ermog- licht, dass eine Person widerspruchliche Vorstellungen besitzen kann. Dabei sind die widerspruchlichen Vorstellungen in unterschiedliche Vorstellungsbundel eingebettet und werden nicht als widerspruchlich erkannt, da sie fur einen diagnostischen Vergleich nicht direkt nebeneinander liegen. Ein Beispiel fuhrt Rolka (2006) aus einem Interview von Thompson auf [Rol06, S.16]. Dort hat eine Lehrerin einerseits die Vorstellung, dass Mathematik mysterios ist und auf der anderen Seite hegt sie die Vorstellung, dass Mathematik akkurat, prazise und logisch ist.
2.1.3.3 Vorstellungen sind bestandig.
Um diese Bestandigkeit zu beschreiben, vergleicht Schommer-Aikins (2004) die Vorstellungen mit einem Lieblingskleidungsstuck, welches man lieb gewonnen hat. Dieses Klei- dungsstuck tragen wir immer wieder gerne. Dabei macht es keinen Unterschied, ob das Kleidungsstuck aus der Mode gekommen bzw. zerschlissen ist, man trennt sich von diesem Stuck nicht. Auf die Vorstellungen ubertragen, bedeutet dies, dass Vorstellungen oftmals beibehalten werden obwohl sie auf vage Vermutungen bzw. falschem Wissen basieren. Die Vorstellungen werden sogar dann beibehalten, wenn eine begrundete Erklarung auf andere Vorstellungen schlie£en lassen wurde bzw. eigentlich die Erklarung zu einer Veranderung der Vorstellung fuhren sollte. Es zeigt sich, dass Vorstellung nur schwer veran- derbar sind. Schommer-Aikins (2004, S.22) bezeichnet die Chance auf Veranderung wie folgt: "Change does not come easily. Indeed, a substantial change in a epistelmological belief may bring with it discomfort and confusion."
Die Schlussfolgerung, dass Vorstellungen nicht veranderbar sind, stellt dieser Sachver- halt nicht heraus. Es zeigt eher daraufhin, dass die Vorstellungen dieser Erlauterung nicht angepasst werden, sondern die alten Vorstellung durchaus bestand halten, selbst wenn eine korrekte Erklarung als Grundlage vorliegt [Rol06]. Das Thema Veranderung von Vorstellungen wird in dem Kapitel 2.1.5 erneut angeschnitten.
2.1.3.4 Vorstellungen sind unterschiedlich gewichtet.
Wie oben beschrieben, sind Vorstellungen gebundelt. In so einem Bundel gibt es zentrale und nicht zentrale Vorstellungen. Die nicht zentralen Vorstellungen haben eine geringere Bedeutung als die zentralen Vorstellungen. Diese geringere Bedeutung zeigt sich darin, dass solche Vorstellungen leichter verandert bzw. entfernt werden konnen. Es zeichnet sich folgendes Bild ab: Je zentraler eine Vorstellung zugeordnet wird, desto gro£er ist die Bedeutung dieser Vorstellung fur die Person. Somit stellen die zentralen Vorstellungen eine Basis oder Grundlage fur das gesamte Vorstellungssystem dar. Das hei£t, dass sich andere Vorstellungen um diese zentralen Vorstellungen ansammeln und auf diese auf- bauen. Wenn nun so eine zentrale Vorstellung verandert bzw. entfernt wird, besteht die Gefahr, dass das gesamte Vorstellungssystem zusammenbricht [Rol06].
2.1.3.5 Vorstellungen fokussieren.
Torner (2005) spricht davon, dass Vorstellungen eine Art Filterfunktion ubernehmen. Das heifit die Vorstellungen beeinflussen den Input des Individuums. Themen bzw. Informa- tionen, die fur das Individuum von Bedeutung sind, werden in dem jeweiligen Filter (der unterschiedlichen Vorstellungen) aufgefangen. Anschliefiend wird dieser neue Input verar- beitet. Weil die Informationen gezielt herausgefiltert wurden, wird dadurch das jeweilige Thema fokussiert. Denn es werden nur Informationen zu diesem Thema herausgefiltert. Die anderen Themen bzw. Informationen, die in keinem Filter aufgefangen werden, wer- den regelrecht ausgeblendet und verlieren in diesem Moment ihre Bedeutung. Dabei ist nicht entscheidend, ob der Vorstellungsfilter bewusster oder eher unbewusster Natur ist. Entscheidend ist die Tatsache, dass durch die Vorstellungen die Wahrnehmung des Indi- viduums beeinflusst wird und damit ebenfalls die Informationsverarbeitung, die auf die Wahrnehmungen aufbaut. (Beispiel siehe Auswirkungen von Vorstellungen Kapitel 2.1.4) Weiterhin verweist Torner (2002) auf den Aspekt, dass diese Filterfunktion zu den Le- bensgrundlagen zahlt, um sich in dieser komplexen Welt zurechtzufinden. Die Filtration schutzt den Menschen vor einer Flut von Informationen, in der er sich sonst nicht zurecht- finden wurde. Dabei steht zur Diskussion, wie feinporig so ein Filter sein darf, damit ein ausreichend „allgemeines Bild“ des Objektes entsteht. Schliefilich besteht die Gefahr, dass durch einen zu feinen Filter, ein zu eng strukturiertes Bild uber ein Objekt konstruiert wird [Rol06].
2.1.3.6 Vorstellungen sind gebrauchsabhangig.
Rolka (2006) fuhrt die Gebrauchsabhangigkeit auf die Zuganglichkeit aus der Psycholo- gie zuruck. Die Zuganglichkeit beschreibt, mit welchem Aufwand auf fruhere kognitive Gegenstande zugegriffen werden kann. Unter der Ausrichtung des Arbeitsthemas wird die Theorie der Zuganglichkeit auf Beliefs ubertragen, welche wie oben beschrieben die Vorstellungen einschliefien. Somit hangt die Leichtigkeit des Zugriffes auf Vorstellungen von zwei Aspekten ab.
1. Je haufiger eine Vorstellung von einer Person benutzt wurde, desto zuganglicher ist sie.
2. Je kurzer der zeitliche Abstand zum letzen Gebrauch der Vorstellung ist, desto zuganglicher ist diese Vorstellung.
Diese beiden Faktoren beeinflussen somit die Prioritaten der Vorstellungen eines Indi- viduums. Deutlich wird dies mit der Metapher eines „Vorstellungs-Ablagestapels“ . Der okonomische Hintergrund ist, je hoher sich eine Vorstellung im Ablagestapel befindet, desto leichter kann auf sie zugegriffen werden. Nach Benutzung einer Vorstellung wird diese immer oben aufgelegt. Dies verdeutlicht, dass eine haufig genutzte Vorstellung im- mer im oberen Teil des Ablagestapels zu finden sein wird. Beim zweiten Aspekt liegt die Zeit der Benutzung der Vorstellung noch nicht lange zuruck. So befindet sich diese Vorstellung im oberen Bereich des Stapels, da noch nicht ausreichend Zeit vergangen ist, andere Vorstellungen daruber zu stapeln [Rol06].
2.1.4 Auswirkungen von Vorstellungen
Die Bedeutung der Vorstellungen ist in der Psychologie sehr gro£. Man schreibt den Vorstellungen ein gro£e mitwirkende Rolle am gesamten psychologischen Geschehen zu [Hac09]. Dass dieser hohe Stellenwert seine Begrundung hat, zeigt dass Phanomen, das die Physiologie des menschlichen Korpers durch reine Vorstellungskraft beeinflusst werden kann.
Der so genannte Charpenter-Effekt bezeichnet ein solches Phanomen. Nach der Vorstellung einer Bewegung (z.B. das Mitlaufen an einem Marathon, oder eine Fluchtbewegung) zeigt sich, dass die zur vorgestellten Bewegung benotigte Muskulatur, eine minimale Be- wegung vollzieht. Dieser Effekt bildet die Grundlage des mentalen Trainings, welches im heutigen Spitzensport sowie in der Rehabilitation von Korperverletzten erfolgreich zur Anwendung kommt [Mor09]. Wenn Vorstellungen den eigenen Korper physiologisch beeinflussen konnen, liegt es nahe zu sagen, dass das eigene Verhalten ebenfalls durch Vorstellungen geleitet wird. Beziehen wir diese Theorie auf die Schule insbesondere den Unterricht, dann rucken, in Anbetracht des gestellten Themas, die Vorstellungen der Lehrkrafte in den Mittelpunkt. Denn wenn die Vorstellungen das Handeln der Lehrer beeinflussen, wird darauf aufbauend der Unterricht beeinflusst [Har06]. Es besteht sogar ein Zusammenhang zwischen den Vorstellungen von der Natur der Mathematik und den Vorstellungen zum Lehren und Lernen der Mathemathik [Fel07].
Bei den Vorstellungen zum Lehren und Lernen zeichnet sich eine grobe Zweiteilung ab. Die eine Gruppe besteht aus Lehrern mit eher „traditionellen“ Vorstellungen vom Lehren und Lernen, die andere Gruppe ist eher gepragt durch konstruktivistische Vorstellungen [Har06, SF02]. Die Untersuchung von Hartinger et al. (2006) betrachtet fachubergreifend, wie sich die Vorstellungen der oben genannten Gruppen auf den Unterricht auswirken. Dabei bezieht sich die konstruktivistische Ausrichtung von Vorstellungen auf die Annah- me, dass die Aneignung von Wissen von dem Lernenden ausgeht. Das hei£t der Lernende muss aktiv sein, um eigene Wissensverknupfungen zu schaffen. Hierbei kann das soziale Umfeld mit seinen vielfaltigen Interaktionen unterstutzend wirken bzw. einen Einfluss nehmen. Vor diesem Hintergrund zeichnet sich eine Vorstellung vonUnterricht ab, „bei dem Inhalte in sinnvolle Kontexte eingebettet sind, die Kinder motiviert und interessiert, ihnen Raum fur eigne Erfahrungen, Deutungen und Entdeckungen sowie fur Mitbestim- mung und Mitgestaltung der Lernumgebung lasst; ein Unterricht, der Diskurse unter Schuler(inne)n und kritisches Nachdenken anregt, individuelle Losungs- und Denkwe- ge zulasst, dabei auf die Vorgabe inhaltlicher Erklarungen moglichst verzichtet und die Ubertragung des Gelernten anregt.“ [Har06, S.111].
Dem gegenuber steht die Vorstellung von einem „traditionellen“ Unterricht. Hierbei wer- den Vorstellungen von eher klassischen, behavioristischen Lerntheorien vorausgesetzt. Der Lernende steht hier eher in einer passiven Wissenserwerbsrolle, da der Lehrer das Wissen prasentiert. Dieser Theorie zufolge nehmen die Schuler das vorgetragene Wissen auf, versuchen es zu verstehen und sollen dies dann abspeichern. Eine eigenstandige Aus- einandersetzung mit diesem Wissen beschrankt sich meist auf das Verstehen der Zusam- menhange des Vorgetragenen [Har06]. Dass sich diese beiden Lehrergruppen auch in der Primarstufe finden lassen, wiesen Hewson & Hewson (1987) nach. Die Untersuchung von Hartinger et al. (2006) bezog sich auf Vorstellungsfragebogen, Unterrichtsbeobachtun gen, sowie Schulerfragebogen. Sie kamen zu dem Schluss, dass sowohl die Vorstellungen, als auch die Unterrichtsgestaltung und verschiedene Meinungen der Schuler im Zusam- menhang stehen. Dabei ist der Unterricht, der von Lehrkraften mit konstruktivistischen Vorstellungen gehalten wird, frei und mit vielen Entscheidungsraumen versehen, ohne dabei unstrukturiert zu sein. Die Schuler empfinden diesen Unterricht als interessanter und selbstbestimmter. Dies zeigt, dass Vorstellungen den Unterricht so weit beeinflussen, dass selbst auf der Schulerebene Veranderungen zu verzeichnen sind. Diese Untersuchung belegt die Bedeutsamkeit von Lehrervorstellungen.
Staub und Stern (2002) betrachten, welche Auswirkungen eine konstruktivistische Vor- stellung vom Lehren und Lernen auf den Umgang mit Sachaufgaben hat. Da ihre Untersuchung auf die Primarstufe ausgerichtet ist, beziehen sich die Sachaufgaben auf die Grundrechenarten. Zum Beispiel: Fritz hat 5 Apfel. Er hat 3 Apfel weniger als Peter. Peter hat 2 Apfel mehr als Steffi. Wie viele Apfel hat Steffi? Ausschlaggebend fur diese Betrachtung ist, dass nur 54% der Schuler, die die 3. Klasse abgeschlossen haben, solche Aufgaben richtig losen konnen. Staub und Stern unterscheiden ebenfalls in die beiden oben aufgezeichneten Lehrergruppen mit ihren spezifischen Vorstellungen. Aufgrund von Unterrichtsbeobachtungen und Fragebogen stellen sie einen direkten Zusammenhang zwi- schen den konstruktivistischen Vorstellungen der Lehrer und einer erhohten Erfolgsquote der Schuler im Losen von Sachaufgaben her.
Lehrervorstellungen konnen den Unterricht auch auf andere Weise beeinflussen. In einer Untersuchung von Kaiser und Maass (2006) wird die Filterfunktion der Vorstellungen deutlich. Hierbei wurden Lehrervorstellungen vor und nach einer 15-monatigen Teilnah- me an einem Fortbildungsprogramm des BLK mit dem Thema „Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts “ (SINUS) untersucht.
In diesem Programm hatten die Realitatsbezuge[4] einen gehobenen Stellenwert. Die Wir- kung der Vorstellungen wurde bei der Interpretation einer Modellierungsaufgabe deutlich. Die Lehrer, die generell eine eher anwendungsspezifische Vorstellung von Mathematik in Bezug auf Schule hatten, empfanden diesen Realitatsbezug nicht als neu, da er zu ihren Vorstellung vom Unterricht passte. Die Lehrer mit einer eher prozessorientierten Vor- stellung von Mathematik, reduzierten den Realitatsbezug darauf, dass diese Aufgaben eine Vielzahl verschiedener Losungswege bereithalten. Demgegenuber stehen Lehrer, die eine schematisch orientierte Vorstellung von Mathematik besitzen. Sie kurzten die rea- litatsbezogenen Aufgaben so, dass sie einer Sachaufgabe ahnelten, welche eine einfache Ubertragung in die Mathematik zulasst und nun mit einer Formel zu losen ist. Fur Lehrer mit einer formalistisch dominierenden Vorstellung von der Mathematik war der Sachkon- text praktisch irrelevant.
Diese Forschungsgrundlage zeigt, welche Wirkungen Vorstellungen besitzen. Vor allem schaffen sie ein Bild davon, dass der Wirkungsgrad von Fortbildungen gering ist, wenn die behandelten Themen nicht mit den Vorstellungen der Teilnehmer vereinbar sind.
Es wird auch deutlich, dass die Vorstellungen der Lehrkrafte das Aufgabenspektrum der im Unterricht zu behandelnden Aufgaben wesentlich beeinflussen. Da die Vorstellungen von den aufgenommenen Information gepragt werden, beeinflussen sie nicht nur den Unterricht ma£geblich, sondern auch die Vorstellungen der Schuler [Kai06].
2.1.5 Veranderbarkeit von Vorstellungen
Wie in den vorherig beschriebenen Eigenschaften von Vorstellungen sind Vorstellungen eher bestandig. Es bestehen zu dieser Eigenschaft bis heute nur wenige Forschungsarbei- ten. Kaiser und Maass (2006) stellen zwei Untersuchungen vor, die Vorstellungen von Leh- rern und Schulern (7. und 8. Klasse) untersuchten, welche am BLK-Modellversuchsprogramm SINUS teilgenommen haben. In diesem Modellversuchsprogramm wurden Schwerpunk- te auf Realitatsbezuge und Modellierungsaufgaben gesetzt. Entsprechend wurden diese Schwerpunkte auch in den Untersuchungen betrachtet. Der Untersuchungszeitraum war aus organisatorischen Grunden auf 15 Monate begrenzt. Die Lehrer wurden am Anfang sowie am Ende der 15 Monate zu ihren Vorstellungen uber Mathematik befragt. An- schlie£end fanden einige Interviews statt. Bei der Untersuchung der Schuler wurden zur Datenerhebung Fragebogen, Lerntagebucher, Interviews und Klassenarbeiten verwendet. Hier wurde spezifisch darauf geachtet, wie sich die Vorstellungen verandern, wenn ge zielt Modellierungsaufgaben in den Mathematikunterricht integriert wurden. Die Lehrer nahmen in der Untersuchungszeit an Fortbildungen des Programms teil und bekamen Ar- beitsmaterial, welches auf eine grundlegende Umgestaltung des Mathematikunterrichts, der Arbeitsweisen und der mathematisch gestellten Aufgaben ausgelegt war. Die Unter- suchungen belegen, dass Vorstellungen durch veranderten Unterricht bzw. durch Fortbildungen nicht schnell und einfach beeinflusst werden konnen.
Die Schuler wurden nach ihren Vorstellungen in zwei Gruppen klassifiziert. In der einen Gruppe entsprachen die Modellierungsaufgaben ihren Vorstellungen von Mathematik. Daraufhin wurden die Vorstellungen verstarkt. Die andere Schulergruppe kam mit die- sem Aufgabentypus nicht zurecht. Dies beruht vermutlich auf der Gegensatzlichkeit ihrer Vorstellung von Mathematik und dem Aufgabentypus. Obwohl der Unterricht uber 15 Monate von grundlegend neuen Einflussen gepragt war, wurden in beiden Schulergruppen nur geringfugige Veranderungen der Vorstellungen festgestellt. Ein ahnliches Ergebnis zeichnete sich bei den Lehren ab. Die Lehrer, bei denen die realitatsbezogenen Aufgaben mit ihren Vorstellungen vereinbar waren, nutzen diese Aufgaben in ihrem Unterricht. Die andere Gruppe lie£ die Realitatsbezuge eher au£er Acht. Trotzdem zeigte sich in der Abschlusserhebung, dass den Aufgaben mit Realitatsbezugen eine hohere Bedeutung in der Schulmathematik zugesprochen wird. Diese Untersuchung zeigt also deutlich, dass zentrale bzw. grundlegende Vorstellungen von der Mathematik sowie Vorstellungen des Lehrens und Lernens dieser nicht durch Fortbildungen bzw. veranderten Unterricht zu verandern sind. Allerdings lassen sich auf diese Art und Weise dezentrale Vorstellungen verandern. Dies hat zur Folge, dass der Unterricht die Schulervorstellung auf lange Sicht in kleinen Schritten verandern kann. Die Studien bestatigen die eher bestandige Eigenschaft der Vorstellungen, besonders die der Zentralen [Kai06].
2.1.6 Explorative Forschungslage
Es gibt zahlreiche Studien mit unterschiedlichen Forschungsansatzen, welche sich mit dem Begriff „Vorstellung “ beschaftigen. Es gibt nur eine geringe Anzahl von Studien an bzw. mit Primarstufenlehrern [SF02, Hew87, vgl.]. Eine Studie von Zimmermann (2002)
[...]
[1] Mit dem Terminus „Lehrer“ werden immer Lehrerinnen und Lehrer angesprochen; Gleiches gilt fur Schuler
[2] wird im Deutschen wie im Englischen verwendet
[3] z.B. Fermis-Aufgaben
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