Einsatz von Ähnlichkeitsmaßen zum Vergleich von Bauteileigenschaften

Inhaltsverzeichnis

Abstract

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Formelverzeichnis

Abkurzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Aufgabenstellung
1.2 Gliederung der Arbeit

2 AhnlichkeitsmaBe
2.1 Einfuhrung
2.2 Der Begriff der Ahnlichkeit sowie grundsatzliche Annahmen
2.3 Verschiedene Ansatze zur Berechnung von Ahnlichkeiten
2.4 Aufbereitung der Eingangsdaten zur Ahnlichkeitsermittlung
2.5 Ausgewahlte AhnlichkeitsmaBe
2.5.1 Simple Matching Coefficient
2.5.2 Feature-Kontrast-Modell
2.5.3 Jaccard's Coefficient
2.5.4 Overlap
2.5.5 Precision und Recall
2.5.6 Dice's Coefficient
2.5.7 Kosinus-MaB
2.5.8 Euklidischer Abstand
2.5.9 Edit-Distanz
2.5.10 Tree Edit Distance
2.5.11 Nachste-Nachbar-Suche
2.5.12 Inkrementelles Ranking

3 AhnlichkeitsmaBe zum Vergleich von Bauteileigenschaften
3.1 Bauteileigenschaften
3.2 Auswahl anwendbarer AhnlichkeitsmaBe
3.2.1 Betrachtung der vorliegenden Daten
3.2.2 Gewichtung der Bauteile und Bauteiltypen
3.2.3 Gewichtung der Baumaterialien
3.2.4 Gewichtung der Geometrie
3.2.5 Ubersicht uber anwendbare AhnlichkeitsmaRe

4 Prufung der Plausibilitat anhand eines ausgewahlten Beispiels
4.1 Beispiel: Gebaudeausschnitte
4.2 Aufbereitung der Eingangsdaten
4.2.1 Eingangsdaten zum Vergleich der Objekte A und B
4.2.2 Eingangsdaten zum Vergleich der Objekte A und C
4.2.3 Eingangsdaten zum Vergleich der Objekte B und C
4.3 Anwendung ausgewahlter AhnlichkeitsmaRe
4.3.1 Anwendung mengenbasierter AhnlichkeitsmaRe
4.3.2 Anwendung der Edit-Distanz
4.3.3 Anwendung der Tree Edit Distance
4.3.4 Anwendung der Nachste-Nachbar-Suche
4.3.5 Anwendung des Inkrementellen Rankings
4.4 Ergebnisse der Ahnlichkeitsermittlung
4.4.1 Auswertung der Nachste-Nachbar-Suche
4.4.2 Auswertung der Ahnlichkeits-/DistanzmaRe

5 Bewertung der Anwendbarkeit
5.1 Ausgewahlte Bauteileigenschaften
5.2 Bauteileigenschaften - Gemeinsamkeiten vs. fehlende Merkmale
5.3 Ahnlichkeitsermittlung bei komplexen Objekten

6 Fazit
6.1 Ergebnisse der Arbeit
6.2 Ausblick

Quellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Ahnlichkeit von Objekten

Abb. 2: Vereinfachter IR-Prozess

Abb. 3: CBR-Prinzip

Abb. 4: Darstellung der Beziehungen zwischen 2 Mengen

Abb. 5: Darstellung der Unabhangigkeit

Abb. 6: Symmetrieproblem

Abb. 7: Probleme mit der Dreiecksungleichung

Abb. 8: Bewertungsvariablen fur Precision und Recall

Abb. 9: Editierungsoperationen der Edit-Distanz

Abb. 10: Editierungsoperationen der Tree Edit Distance

Abb. 11: Nachste-Nachbarn-Anfragen

Abb. 12: k-nachste-Nachbarn-Anfragen

Abb. 13: Bauteilspezifizierung

Abb. 14: Ubersicht uber Bauteil - Bauteiltyp

Abb. 15: Ubersicht uber Material und Geometrie

Abb. 16: Binares Attribut und Intervallattribut

Abb. 17: Gewichtung Bauteile und Bauteiltypen nach Prozenten

Abb. 18: Gewichtung des Materials nach Prozenten

Abb. 19: Grundidee der merkmalbasierten Ahnlichkeitssuche

Abb. 20: Grundriss, Ansicht und Perspektive der Objekte A, B und C

Abb. 21: Baumdiagramme der Objekte A, C

Abb. 22: Baumdiagramm des Objektes B

Tabellenverzeichnis

Tab. 1: Kombinationsmoglichkeiten binarer Variablen

Tab. 2: Vergleich von Merkmalen der Objekte A, B

Tab. 3: Binare Variablen fur Beispiel

Tab. 4: Gewichtung der Geometrie

Tab. 5: Ubersicht uber anwendbare AhnlichkeitsmaRe

Tab. 6: Ubersicht uber Merkmale der Objekte A, B und C

Tab. 7: Vorlage fur Darstellung der Binaren Eigenschaften des Vergleichs 2er Objekte

Tab. 8: Ubersicht uber Ausgangsdaten der Objekte A, B, C

Tab. 9: Binare Eigenschaften des Vergleichs der Objekte A, B

Tab. 10: Vergleich der Objekte A, C

Tab. 11: Binare Eigenschaften des Vergleichs der Objekte A, C

Tab. 12: Vergleich der Objekte B, C

Tab. 13: Binare Eigenschaften des Vergleichs der Objekte B, C

Tab. 14: Ubersicht uber Binare Variablen der Vergleiche A-B, A-C, B-C

Tab. 15: Ubersicht uber Mengenoperationen der Vergleiche A-B, A-C, B-C

Tab. 16: Anwendung ausgewahlter AhnlichkeitsmaRe

Tab. 17: Anwendung der Tree Edit Distance

Tab. 18: Ermittlung der normierten Tree Edit Distance

Tab. 19: Anwendung der Nachste-Nachbar-Suche

Tab. 20: Ergebnisse der Ahnlichkeitsermittlung

Tab. 21: Ahnlichkeitswerte unter Anwendung Dice's Coefficient und Kosinus-MaR

Tab. 22: Dice's Coefficient, Kosinus-MaR und OverlapMin, OverlapMax im Vergleich

Tab. 23: Einteilung der MaRe nach ihrer Einsatzfahigkeit

Formelverzeichnis

Formel 1: Matching (1) - Monotonie (2) - Unabhangigkeit (3) des AhnlichkeitsmaRes

Formel 2: Minimalitat, Symmetrie, Dreiecksungleichung der metrischen Distanzfunktion .

Formel 3: Allgemeine Ahnlichkeitsfunktion

Formel 4: Simple Matching Coefficient (1)

Formel 5: Normiertes AhnlichkeitsmaR

Formel 6: Simple Matching Coefficient (2)

Formel 7: Ahnlichkeit nach Tversky

Formel 8: Feature-Kontrast-Modell

Formel 9: Normierung des Feature-Kontrast-Modells

Formel 10: Skalierung des Feature-Kontrast-Modells

Formel 11: Jaccard's Coefficient1

Formel 12: OverlapMin und OverlapMax

Formel 13: Precision und Recall

Formel 14: Dice's Coefficient1

Formel 15: Kosinus-MaR (1)

Formel 16: Kosinus-MaR (2)

Formel 17: Euklidischer Abstand

Formel 18: Nachste-Nachbar-Suche

Formel 19: k-nachste-Nachbarn-Suche

Abkurzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[1]

Abstract

In der heutigen Baupraxis gewinnt die bauteilorientierte Modellierung immer mehr an Bedeutung. Samtliche Bauteile, aus denen das zu planende Bauwerk besteht, werden wahrend des Bauentwurfs und der Bauplanung als Objekte erstellt und behandelt. Die bauteilorientierte Betrachtung geht uber die Planungsphase des Bauvorhabens hinweg und dient als Grundlage fur die Materialzulieferung sowie die Absprache zwischen den Projektbeteiligten wahrend der Ausfuhrungsphase. Fur den Austausch der Informationen von derart erstellten Objekten zwischen den Projektbeteiligten existieren verschiedene Schnittstellen.

Um den Lebenszyklus der Bauteilinformation zu erweitern, konnten die Objektdaten fur neue Projekte wiederverwendet werden. Hierfur muss eine Ahnlichkeit zwischen den Bauteilen vorhanden sein, die das Wiederverwenden der Bauteilinformation rechtfertigt.

Ziel dieser Arbeit ist es daher, eine Ubersicht uber anwendbare AhnlichkeitsmaRe zum Vergleich von Bauteilen zu erstellen. Hierzu schlieRt sich an eine allgemeine Einfuhrung in die Thematik der AhnlichkeitsmaRe die Suche nach einer Definition des Begriffes sowie grundsatzliche Annahmen zur Anwendung der MaRe an. Danach werden verschiedene Denkansatze zur Berechnung von Ahnlichkeiten vorgestellt. Nachdem die erforderliche Vorverarbeitung der zur Ermittlung der Ahnlichkeit eingehenden Daten erlautert wurde, werden ausgewahlte AhnlichkeitsmaRe unter Einbindung passender Beispiele erlautert und diskutiert.

Im Anschluss daran werden die im Rahmen der vorliegenden Arbeit zu vergleichenden Bauteileigenschaften eingefuhrt. Um eine Auswahl an grundsatzlich anwendbaren AhnlichkeitsmaRen zu treffen, mussen die vorliegenden Merkmale der Bauteileigenschaften zunachst analysiert werden. Anhand der daraus gewonnenen Erkenntnisse konnen anschlieRend geeignete AhnlichkeitsmaRe ausgewahlt werden.

Mit Hilfe des im nachsten Abschnitt gewahlten und vorgestellten Beispiels soll ihre Wirkungsweise exemplarisch uberpruft werden. Dazu mussen in einem ersten Schritt die Eingangsdaten fur die Berechnung aufbereitet werden. AnschlieRend werden die Ahnlichkeiten berechnet, woraufhin darauf aufbauend die Ergebnisse der Anwendung zusammengestellt und verglichen werden konnen. AbschlieRend werden die MaRe nach ihrer Einsatzfahigkeit zur Berechnung der Ahnlichkeit fur die genannten Bauteileigenschaften geordnet dargestellt.

Weiterfuhrend wird die Anwendbarkeit der AhnlichkeitsmaRe zum Vergleich von Bauteileigenschaften bewertet. Hierbei werden die zum Vergleich ausgewahlten Bauteileigenschaften diskutiert und die Problematik der Ahnlichkeitsermittlung bei komplexen Objekten beschrieben.

Im letzten Kapitel der vorliegenden Arbeit werden offene Probleme dargelegt sowie mogliche Losungsansatze formuliert, die auf einen Ausblick fur die Anwendung von AhnlichkeitsmaRen zum Vergleich von Bauteileigenschaften verweisen.

1 Einleitung

1.1 Aufgabenstellung

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, eine Ubersicht uber anwendbare AhnlichkeitsmaRe fur den Vergleich von Bauteilen zu erstellen.

Einstieg in das Thema der AhnlichkeitsmaRe gibt eine Recherche in der Fachliteratur. Als Ergebnis sollen mogliche AhnlichkeitsmaRe gefunden werden, anhand derer Bauteile aufgrund ihrer Eigenschaften Bauteiltyp, Material und Geometrie verglichen werden konnen. Dazu werden die recherchierten MaRe anhand eines selbst gewahlten Beispiels angewandt. Die Ergebnisse der Ahnlichkeitsermittlung werden verglichen und bilden die Grundlage fur die anschlieRende Bewertung ihrer Anwendbarkeit fur verschiedene Bauteileigenschaften. Anhand der im Laufe der Arbeit gewonnenen Erkenntnisse soll zum Schluss eine Klassifizierung der AhnlichkeitsmaRe erfolgen.

1.2 Gliederung der Arbeit

Kapitel 2 beginnt mit einer allgemeinen Einfuhrung in die Thematik der AhnlichkeitsmaRe, der sich die Suche nach einer Definition des Begriffes sowie grundsatzliche Annahmen zu deren Anwendung anschlieRen. Danach werden verschiedene Denkansatze zur Berechnung von Ahnlichkeiten vorgestellt. AnschlieRend kommt die erforderliche Vorverarbeitung der in die Berechnung eingehenden Daten zur Sprache, bevor in Abschnitt 2.5 ausgewahlte AhnlichkeitsmaRe vorgestellt und erlautert werden.

In Kapitel 3 werden die im Rahmen der vorliegenden Arbeit zu vergleichenden Bauteileigenschaften eingefuhrt. Um eine Auswahl an grundsatzlich anwendbaren AhnlichkeitsmaRen zu treffen, mussen die vorliegenden Merkmale der Bauteileigenschaften zunachst analysiert werden. Anhand der daraus gewonnenen Erkenntnisse konnen in Abschnitt 3.2.5 Uberlegungen uber geeignete AhnlichkeitsmaRe angestellt werden.

Mit Hilfe des eingangs in Kapitel 4 gewahlten Beispiels soll im Anschluss daran ihre Wirkungsweise uberpruft werden. Dazu mussen in einem ersten Schritt die Eingangsdaten fur die Berechnung entsprechend der Erkenntnisse des vorherigen Kapitels aufbereitet werden. AnschlieRend werden die Ahnlichkeiten in 4.3 berechnet, woraufhin darauf aufbauend die Ergebnisse der Anwendung zusammengestellt und verglichen werden konnen. AbschlieRend werden die MaRe nach ihrer Einsatzfahigkeit zur Berechnung der Ahnlichkeit fur die genannten Bauteileigenschaften geordnet dargestellt.

Kapitel 5 bewertet die Anwendbarkeit der AhnlichkeitsmaRe zum Vergleich von Bauteileigenschaften. Hierbei werden die zum Vergleich ausgewahlten Bauteileigenschaften diskutiert und die Problematik der Ahnlichkeitsermittlung bei komplexen Objekten beschrieben.

Im letzten Kapitel der vorliegenden Arbeit werden offene Probleme dargelegt sowie mogliche Losungsansatze formuliert, die auf einen Ausblick fur die Anwendung von AhnlichkeitsmaRen zum Vergleich von Bauteileigenschaften verweisen.

2 AhnlichkeitsmaRe

AhnlichkeitsmaRe dienen der Bewertung von Ahnlichkeiten zwischen Objekten. Nach einer allgemeinen Einfuhrung in die Thematik schlieRt sich die Suche nach einer Definition des Begriffs an, ferner werden grundsatzliche Annahmen zu Anwendung der MaRe zusammengestellt. AnschlieRend werden verschiedene Ansatze zur Berechnung von Ahnlichkeiten vorgestellt. Nach der Aufbereitung der Eingangsdaten zur Ahnlichkeitsermittlung werden ausgewahlte AhnlichkeitsmaRe vorgestellt und erlautert.

2.1 Einfuhrung

Ahnlichkeiten mussen definiert werden, um etwas eng miteinander Verwandtes zu beschreiben.^[2] Beispielhaft sind die vier Objekte in Abb. 1 gegeben. Welche Objekte sind hier zueinander ahnlich, welche verschieden?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Ahnlichkeit von Objekten^[3]

Objekt A ist offensichtlich am ahnlichsten zu Objekt C, die beiden scheinen identisch. Die Objekte A, B, C haben dieselbe GroRe gemeinsam, wahrend die Objekte A, C, D dieselbe Farbe haben. Die GroRe und Farbe sind hier Beispiele fur Merkmale, die verglichen werden konnen, um die ahnlichsten Objekte aus einem Datenbestand zu finden. Der Grad der Ahnlichkeit zwischen zwei Objekten wird zweckmaRig durch eine Zahl ausgedruckt. Ausschlaggebend hierfur sind gemeinsame und unterschiedliche Merkmale der betrachteten Objekte. Der Ahnlichkeitswert steigt mit zunehmenden Gemeinsamkeiten und sinkt entsprechend mit zunehmenden Unterschieden.

Das Messen von Ahnlichkeiten ermoglicht u.a.^[4]

- die Unterscheidung zweier Objekte,
- die Gruppierung von Objekten aufbauend auf deren (Un-)Ahnlichkeit,
- das Verstandnis der charakteristischen Kennzeichen jeder dieser Gruppen,
- die Erlauterung der Verhaltensweise von Clustern,
- das Erlangen einer leistungsfahigeren Organisation sowie die effizientere Gewinnung von Informationen,
- die Klassifizierung neuer Objekte in bestehende Gruppen,
- die Vorhersage von Verhaltensweisen neuer Objekte,
- die Vereinfachung vorhandener Daten in sinnvolle Anordnungsbeziehungen (z.B. Datenbankauswertung),
- das Erkennen von Strukturen innerhalb des Datenbestandes,
- das Eingreifen, Konzipieren sowie Entscheiden, basierend auf den Strukturen und Prognosen der Daten.

In vielen wissenschaftlichen Theorien stellen Ahnlichkeiten einen wesentlichen Faktor dar. Hier dienen Sie als Ordnungsprinzip, anhand dessen Objekte eingeordnet, Konzepte erschaffen und verallgemeinert werden konnen. Das grundlegende Konzept der Ahnlichkeiten tritt in vielen verschiedenen Formen, Auslegungen und Anwendungsmoglichkeiten auf. Ahnlichkeiten oder eben auch Unahnlichkeiten konnen grundsatzlich bei der Paarordnung oder Objektsortierung, dem Analysieren des Gemeinsamkeitsgrades zwischen Verbanden oder dem Erkennen des Zusammenhanges zwischen Ereignissen auftreten. Die Auswertung dieser Daten versucht die beobachteten Ahnlichkeitsbeziehungen zu erklaren und die zu Grunde liegende Struktur des untersuchten Objektes zu erfassen.^[5]

Es gibt verschiedene psychologische Ahnlichkeitsmodelle, in der Erkenntnis- und Sozialpsychologie etwa spielen Ahnlichkeiten im Zusammenhang mit der Erinnerung seit etwa 1920 eine Rolle. Hierbei ist es wichtig zu beachten, dass Ahnlichkeiten durchaus subjektiver Natur sind. Sie hangen davon ab, wie nahe die Einstellungen, Werte, Interessen und Personlichkeiten zwischen Personen ubereinstimmen. Das MaR der Ahnlichkeit kann aber auch situations- (ist z.B. die Farbe oder Form relevant?) und/oder personenabhangig (z.B. rot-/grun-Blindheit) sein.^[6]

Die Ahnlichkeitsforschung stellt aber auch in der Mathematik ein bewahrtes Gebiet dar, beispielsweise in der Topologie oder Approximationstheorie. In der Statistik stehen insgesamt eine groRe Anzahl unterschiedlicher Ahnlichkeits- und DistanzmaRe zur Verfugung, etliche sind gegeneinander austauschbar. In konkreten Anwendungsfallen kommen meist mehrere MaRe in Frage, haufig hangt es nur von den Vorlieben des Anwenders ab, welches MaR letztendlich zur Anwendung gelangt.^[7]

In der Informatik werden Naherungen dagegen mehr auf unsystematische und von Fall zu Fall verschiedene Art und Weise angewandt.^[8] Hier spielen die Mustererkennung und Bildverarbeitung eine wichtige Rolle.

In den ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen, insbesondere im Maschinenbau, ist die Ahnlichkeitsargumentation als Methodik angesehen und wird hauptsachlich in Verbindung mit der Analogie verwendet.^[9]

Ahnlichkeiten werden in der heutigen Zeit haufig fur Problemlosungsprozesse genutzt. Bekannte Beispiele hierfur sind Information-Retrieval-Modelle, fallbasiertes SchlieRen (englisch: case-based reasoning, CBR) und Mustererkennung (englisch: pattern recognition, PR). Diese Methoden sind eng miteinander verwandt und mit der Zeit wurden immer mehr Variationen und neue Methoden entwickelt.^[10]

Information-Retrieval-Systeme (IR-Systeme) ermoglichen eine inhaltsbasierte Suche, beispielsweise in Textdokumenten. In unserer heutigen Zeit hat sich das Auffinden geeigneter Informationen in standig wachsenden Datenmengen zu einer Herausforderung entwickelt. Hierbei beschreibt das AhnlichkeitsmaR formal die Interpretation von der Ahnlichkeit zwischen dem Informationsbedarf eines Benutzers und der logischen Reprasentation eines Dokuments.^[11]Die wesentlichen Aspekte eines IR-Prozesses von der Nutzeranfrage bis zum Anfrageergebnis sind in Abb. 2 dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Vereinfachter IR-Prozess^[12]

Der Einsatz in Internet-Suchmaschinen und Digitalen Bibliotheken verdeutlicht das Prinzip von IR-Systemen anschaulich^[13]: Der Nutzer formuliert eine aus Suchbegriffen zusammengesetzte Suchanfrage, zum Beispiel „Sehenswurdigkeiten Sydney". AnschlieRend wird vom System die Anfrage mit der internen Dokumentdarstellung verglichen und die relevanten Dokumente werden ermittelt und ausgegeben, sortiert nach dem Grad der Relevanz fur die konkrete Anfrage.^[14]

Das Fallbasierte SchlieRen ist ein sehr allgemeiner Weg, um Probleme anhand bereits vorher gesammelter Erfahrungen zu losen. Die bereits gelosten Probleme werden als Fall (Problembeschreibung und zugehorige Problemlosung) im zentralen System eines CBR- Systems gespeichert, der sogenannten Fallbasis.^[15] Das CBR-Paradigma „ If two problems are similar then they have similar solutions."^[16] beschreibt die zu Grunde liegende Idee des fallbasierten SchlieRens treffend (s. Abb. 3).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3: CBR-Prinzip^[17]

Unter der Bedingung, dass Erfahrungen verfugbar sind, kann CBR fur beinahe alle Arten von Anwendungsmoglichkeiten zum Einsatz gelangen. Als haufigste Anwendungsgebiete sind jedoch der Kundendienst und verstarkt die (Produkt-) Beratungssysteme zu nennen.^[18]

Die Mustererkennung ist ebenfalls ein sehr allgemeines und methodisches Feld und erforscht den Einsatz und Aufbau von Systemen, die Muster in einer Menge von Daten wiedererkennen. Da solche Muster nicht immer identisch sind, spielen hier definierbare Ahnlichkeiten eine auRerst wichtige Rolle. Typische Anwendungsgebiete der Mustererkennung sind die Sprach-, Text- und Gesichtserkennung - hier ist die Erkennung von RegelmaRigkeiten, Wiederholungen, Ahnlichkeiten oder GesetzmaRigkeiten von groRer Bedeutung.^[19]

Bei der Klassifikation und in der Clusteranalyse werden Ahnlichkeiten zur Klassifizierung von Objekten eingesetzt: ahnliche Objekte werden in dieselbe Klasse eingeordnet, wahrend unahnliche Objekte unterschiedlichen Klassen zugeordnet werden.^[20] Zum Einsatz kommt die Clusteranalyse beispielsweise beim Auffinden von Ahnlichkeiten oder Unterschieden in groRen Datenmengen oder um einen Uberblick uber unbekannte Daten zu gewinnen.^[21]

2.2 Der Begriff der Ahnlichkeit sowie grundsatzliche Annahmen

Fur den Begriff „Ahnlichkeit" gibt es keine allgemein akzeptierte und exakte Definition. Verschiedene Gebiete der Wissenschaft (v.a. die Psychologie, Mathematik, Informatik) forschen zu diesem Thema und haben bereits etliche unterschiedliche Ahnlichkeitsmodelle entwickelt^[22], zu erwahnen sind hier zum einen die Allgemeinen Ahnlichkeitsmodelle und zum anderen die Distanzbasierte Ahnlichkeit. Bei den Allgemeinen Ahnlichkeitsmodellen ist die Ahnlichkeit als Anteil ubereinstimmender Eigenschaften von zwei Objekten definiert, bei Distanzbasierten Ahnlichkeitsmodellen beschreibt der Wert einer Distanzfunktion hingegen die Unahnlichkeit von Objekten.^[23]

Die Forscher aus o.g. Wissenschafts-Gebieten haben den Begriff der Ahnlichkeit in zahlreicher Gestalt gepragt. Trotz unterschiedlichen Ausgangslagen haben sie jedoch dies gemeinsam: Ahnlichkeiten werden aus den unterschiedlichsten Grunden genutzt, um zwei (oder mehr) Objekte, Situationen oder Probleme zu vergleichen.^[24]

Ahnlichkeiten sind teilweise durchaus kompliziert zu messen. Teknomo^[25] definiert Ahnlichkeit als eine GroRe, die die Starke der Verwandtschaft zwischen zwei Objekten oder zwei Merkmalen wiedergibt. Nach Teknomo liegt der Wertebereich dieser GroRe normalerweise entweder zwischen -1 und +1 oder normiert zwischen 0 und 1.

Lin^[26]erklart die Ahnlichkeit zwischen zwei Objekten A und B anhand folgender drei Uberlegungen:

1. Die Ahnlichkeit zwischen A und B ist abhangig von ihren Gemeinsamkeiten. Je mehr Gemeinsamkeiten sie teilen, desto ahnlicher sind sie.
2. Die Ahnlichkeit zwischen A und B ist abhangig von ihren Unterschieden. Je mehr Unterschiede sie vorweisen, desto unahnlicher sind sie.
3. Die hochstmogliche Ahnlichkeit zwischen A und B ist erreicht, wenn A und B identisch sind unabhangig davon, wie viele Gemeinsamkeiten sie teilen.

Zur Bewertung von Ahnlichkeiten zwischen Objekten kommen AhnlichkeitsmaRe zum Einsatz. Nach Schmitt^[27] wird das AhnlichkeitsmaR folgendermaRen definiert:

„Ein AhnlichkeitsmaR ist eine Funktion, die einem Paar von Objekten eine Zahl aus dem reeiien Interval [0, 1] zuordnet. Dabei korrespondiert der Wert 1 zur maximaien Ahnlichkeit und der Wert 0 zur maximaien Unahnlichkeit.“

Da hier jedoch nur die Signatur des AhnlichkeitsmaRes festgelegt wird und keinerlei Aussagen uber die konkrete Abbildung getroffen wird, ist diese Definition nach Schmitt28 nur unzureichend.

Tversky^[29] wiederum differenziert feiner, indem er in seiner Arbeit drei zu erfullende Eigenschaften fur ein AhnlichkeitsmaR s (a,b) zwischen den beiden Objekten a und b aufstellt:

Formel 1: Matching (1) - Monotonie (2) - Unabhangigkeit (3) des Ahnlichkeitsmafies^[30]

(1) Matching: Das AhnlichkeitsmaR ist eine reellwertige Funktion uber drei verschiedene Argumente:

s(a,b) = F(Ar\B,A — B,B — A) .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4: Darstellung der Beziehungen zwischen 2 Mengen^[31]

(2) Monotonie: Die Ahnlichkeit kann nur steigen, wenn die Schnittmenge nicht kleiner und die beiden Differenzen nicht grower werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(3) Unabhangigkeit: Angenommen die Paare a,b und c,d sowie die Paare a',b' und c',d' stimmen in denselben zwei Komponenten uberein, wahrend die Paare a,b und a',b' sowie die Paare c,d und c',d' in der ubrigbleibenden Komponente ubereinstimmen. Fur die Unabhangigkeit muss dann gelten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 5: Darstellung der Unabhangigkeit^[32]

Fur die Berechnung von Ahnlichkeitswerten konnen ebenfalls Distanzfunktionen anstelle von AhnlichkeitsmaRen eingesetzt werden. Diese DistanzmaRe werden vielfach auch als UnahnlichkeitsmaRe bezeichnet, da sie vielmehr versuchen, die Unahnlichkeit anstatt der Ahnlichkeit zweier Objekte zu quantifizieren. Somit liegt ihnen im Vergleich zu den AhnlichkeitsmaRen die entgegengesetzte Perspektive zugrunde.^[33]

Distanzwerte sind nichtnegative reelle Werte, wobei eine Distanz von 0 als maximale Ahnlichkeit aufgefasst wird.^[34] Sowohl die Ahnlichkeits- als auch die DistanzmaRe untersuchen, wie nahe die Werte zweier Objekte (Falle oder Variablen) beieinanderliegen. In groRen Werten eines AhnlichkeitsmaRes und in kleinen Werten des DistanzmaRes kommt eine starke Ahnlichkeit zweier Falle oder Variablen zum Ausdruck.

Ahnlichkeits- und DistanzmaRe werden beispielsweise in verschiedenen statistischen Prozessen eingesetzt, um eine groRere Anzahl von Objekten derart in Gruppen zu untergliedern, dass innerhalb einer Gruppe Objekte mit besonders groRer Ahnlichkeit zusammengefasst werden, wahrend sich die verschiedenen Gruppen jedoch trotzdem moglichst deutlich voneinander unterscheiden sollen.^[35]

Dennoch ist es oft problematisch, fur das Messen von Ahnlichkeiten DistanzmaRe zu verwenden. Nach Schmitt^[36] haben Untersuchungen in der Psychologie ergeben, dass Distanzeigenschaften fur das menschliche Ahnlichkeitsempfinden zu festgelegt und einseitig sind. So werden beispielsweise die Unterschiede zwischen zwei Objekten meist zu hoch bewertet, falls fur den Vergleich kein drittes Referenzobjekt vorliegt. Ferner macht es einen Unterschied, wenn die beiden Vergleichsobjekte (z.B. Bilder) ihre Rollen tauschen. Dies bedeutet jedoch nicht automatisch, dass Distanzfunktionen fur AhnlichkeitsmaRe generell ungeeignet sind, vielmehr sind sie nicht grundsatzlich fur alle Anwendungen geeignet.

Tversky^[37] unterscheidet zwischen den drei Grundsatzen, die bei der Anwendung einer metrischen Distanzfunktion erfullt sein mussen. Hierbei stellt die Funktion 8 eine GroRe dar, die jedem Punktepaar eine nichtnegative Zahl zuordnet - die sogenannte Distanz.

Forme! 2: Minimalitat, Symmetrie, Dreiecksungleichung der metrischen Distanzfunktion^[38]

1. Grundsatz: Minimalitat: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
2. Grundsatz: Symmetrie: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
3. Grundsatz: Dreiecksungleichung: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Wie zu erkennen ist, beinhaltet der Grundsatz der Minimalitat die Annahme der Selbstidentitat: die metrische Distanz zwischen einem Objekt und sich selbst ist gleich Null und die Ahnlichkeit ist somit maximal.

Basiert ein AhnlichkeitsmaR auf einer Distanzfunktion, kann wie bereits erwahnt die Forderung nach Symmetrie Probleme bereiten. Nach Tversky^[39] sollten Ahnlichkeiten nicht als symmetrisches Verhaltnis behandelt werden. Dies verdeutlicht Abb. 6: In Bild B treten die Eigenschaften (Haus mit Baum) mehr hervor als in Bild A (nur Haus). Die Ahnlichkeit zwischen beiden Bildern wird groRer, wenn Bild A als Suchbild mit der Anfrage „Finde Bilder mit mindestens einem Haus" benutzt wird. Bei der Anfrage „Finde Bilder mit mindestens einem Haus und Baum" wird die Ahnlichkeit hingegen kleiner.^[40]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 6: Symmetrieproblem^[41]

Die Dreiecksungleichung unterscheidet sich von den beiden Grundsatzen der Minimalitat und Symmetrie. Sie behauptet, dass ein Abstand geringer sein muss als die Summe von zwei anderen. 1st beispielsweise a ahnlich zu b und b zu c, dann konnen b und c nicht sehr verschieden sein.^[42] Der Mensch neigt jedoch dazu, die Unahnlichkeit zweier Objekte A und B starker einzuschatzen als die Summe der Unahnlichkeiten zu Objekt C. In Abb. 7 stellt man zwischen den Grafiken A und B kaum Gemeinsamkeiten fest, hingegen jedoch im Vergleich zu Objekt C.^[43]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 7: Probleme mit der Dreiecksungleichung^[44]

Nach Tversky^[45] ist der Einsatz von geometrischen Betrachtungsweisen bei der Analyse von Ahnlichkeiten folglich mit einigen Schwierigkeiten behaftet. Wie oben aufgezeigt, werden zum einen der Anwendbarkeit der dimensionalen Annahme Grenzen gesetzt und zum anderen sind die metrischen Grundsatze fragwurdig. Der Ansatz der Minimalitat ist problematisch, der der Symmetrie falsch und der der Dreiecksungleichung schwerlich zwingend. Um den metrischen Kriterien zu genugen, muss die Funktion diese Eigenschaften jedoch erfullen.^[46]

2.3 Verschiedene Ansatze zur Berechnung von Ahniichkeiten

Grundsatzlich sind bei der Berechnung von Ahniichkeiten zwei Grundmodelle zu unterscheiden, namlich zum einen die mengenbasierten AhnlichkeitsmaRe, die Objekte durch eine Menge von Schlagwortern darstellen, und zum anderen die AhnlichkeitsmaRe der Flache und des Raumes, in denen Objekte durch Punkte oder Vektoren im metrischen Raum reprasentiert werden. Obwohl bedingt durch die EingangsgroRen in die Ahnlichkeitsberechnung der Bauteileigenschaften^[47] in dieser Arbeit hauptsachlich mengenbasierte AhnlichkeitsmaRe zur Anwendung gelangen, werden um diese Entscheidung zu verdeutlichen, die anderen Modelle im Folgenden vorgestellt.

Die theoretische Untersuchung der Ahnlichkeitsbeziehungen wird generell von geometrischen Modellen dominiert. Diese Modelle reprasentieren Objekte als Punkte in einem Koordinatensystem, womit die gemessene Ahnlichkeit zwischen zwei Objekten der metrischen Distanz zwischen den jeweiligen Punkten entspricht.^[48] Geometrische Objekte werden hiermit als Funktionen aufgefasst, in diesem Fall als definierte Kurven in der Ebene beziehungsweise Flachen im Raum. In diesem Zusammenhang ist auch die Hausdorff- Distanz einzuordnen, die ein Abstandsbegriff fur Mengen von Punkten in einem metrischen Raum ist.^[49] Zum Einsatz gelangen die AhnlichkeitsmaRe in geometrischen Modellen sowohl fur die Ahnlichkeitsmodelle der Polygone (2D) als auch die vektorgrafikbasierten Ahnlichkeitsmodelle der 3D-Objekte.^[50]

Vektorbasierte AhnlichkeitsmaRe fassen Objekte (z.B. Dokumente) als Vektoren eines Vektorraums auf. Eingesetzt werden kann dieses Vektorraummodell uberall dort, wo Objekte durch eine feste Anzahl numerischer Merkmalswerte dargestellt werden konnen. Im Information-Retrieval ist dieses Modell sehr weit verbreitet. Die Herausforderung besteht darin, die Dokumente und Anfragen durch reelle Vektoren aus demselben Vektorraum darzustellen, um bei Bedarf uber deren Koordinaten die Ahnlichkeit relevanter Objekte zu ermitteln.^[51]

In den mengenbasierten AhnlichkeitsmaRen werden Objekte durch eine Menge von Schlagwortern dargestellt, die durch ein kontrolliertes Vokabular definiert sind. Grundlage fur die Berechnung von Ahnlichkeiten sind somit die Anzahl der ubereinstimmenden und unterschiedlichen Schlagworter.^[52]

Das Feature-Matching-Modell von Tversky^[53] ist eine alternative theoretische Herangehensweise zum Arbeiten mit Ahnlichkeiten, die im Gegensatz zu den zuvor dargestellten Modellen weder dimensionalen noch metrischen Ursprungs ist. Jedes Objekt wird durch eine Sammlung konkreter (z.B. GroRe, Farbe) und/oder abstrakter (z.B. Qualitat, Komplexitat) Eigenschaften oder Merkmalen reprasentiert und die Ahnlichkeit zwischen zwei Objekten errechnet sich jeweils auf der Grundlage ihrer korrespondierenden Eigenschaften. Diese Betrachtungsweise wird zum Erkennen, Auswerten und Deuten von empirischen Erscheinungen genutzt, zum Beispiel fur die Rolle von Gemeinsamkeiten und Unterscheidungsmerkmalen, die Beziehung zwischen Ahnlichkeitsentscheidungen, die Existenz von asymmetrischen Ahnlichkeiten sowie die Auswirkungen von Zusammenhangen auf Ahnlichkeiten.^[54]

2.4 Aufbereitung der Eingangsdaten zur Ahnlichkeitsermittlung

Damit die Anwendung der AhnlichkeitsmaRe brauchbare Ergebnisse liefert, ist eine entsprechende Vorverarbeitung der eingehenden Daten wichtig. Abhangig von dem zur Berechnung gewahlten MaR gelten verschiedene formale und inhaltliche Kriterien, die im Folgenden vorgestellt und erlautert werden.

Das wichtigste formale Kriterium ist die Normierung der eingehenden Daten, z.B. insbesondere bei der Verschlagwortung. Die Ahnlichkeit soll in einem definierten Wertebereich liegen (ublich ist [0,1] mit 1 als maximaler Ahnlichkeit), um eine Vergleichbarkeit der Werte zu garantieren.^[55] Oft liegen den Ahnlichkeitswerten aber unterschiedliche Berechnungen zugrunde und somit unterliegen die Werte verschiedenen Verteilungen.^[56] Ferner folgt aus der Verwendung der Anzahl identischer Schlagworter als MaRzahl fur die Ahnlichkeit, dass mit zunehmender Anzahl vergebener Schlagworter der maximale Ahnlichkeitswert zweier Objekte steigt. Normiert wird durch die Wahl einer geeigneten BezugsgroRe.^[57]

Werden Objekte durch eine Vielzahl von Schlagwortern dargestellt, muss inhaltlich darauf geachtet werden, dass alle relevanten Daten berucksichtigt und die Attribute angemessen gewichtet werden. Fur Schlagworter gilt es ein kontrolliertes Vokabular zu verwenden (Grundformbestimmung der Worter).^[58] Die Qualitat der Schlagwortliste als Reprasentation der Objekte hat einen entscheidenden Einfluss auf die Ergebnisse. Kennzeichnend fur eine gute Qualitat ist zum einen die Vollstandigkeit und zum anderen der passende Abstraktionsgrad der Schlagworter.^[59]

Als Datentypen der Eingangswerte fur die Berechnung von Ahnlichkeiten sind Intervall- und Wertattribute, Binarattribute sowie Nominal- und Ordinalattribute zu unterscheiden, die jeweils anders behandelt werden mussen.^[60]

Beim Einsatz von Intervall- und Wertattributen kann eine unterschiedliche Skalierung der Attribute zu unterschiedlichen Ergebnissen fuhren. Deshalb ist es meist sinnvoll, sie auf das Intervall [-1,1] zu standardisieren.^[61]

Binarattribute weisen nur zwei unterschiedliche Werte auf, die angeben, ob ein Merkmal erfullt ist oder nicht (z.B. Ja oder Nein, Wahr oder Falsch). Kommt das Merkmal im Objekt vor, so betragt das Gewicht „1", ansonsten „0'\^[62] Man muss zwischen symmetrischen und asymmetrischen Binarattributen unterscheiden. Bei ersteren sagt das Vorhandensein einer Eigenschaft genauso viel aus wie dessen Abwesenheit. Bei asymmetrischen Binarattributen liefert hingegen der eine Zustand mehr Informationen als der andere, etwa weil er viel seltener ist.^[63]

Im Rahmen dieser Arbeit werden hauptsachlich binare Daten zum Einsatz kommen, dessen Kombinationsmoglichkeiten aus dem Paarvergleich Tab. 1 entnommen werden konnen. Eigenschaften/Merkmale werden entweder in beiden Objekten gefunden (a) oder nur in Objekt 2 (b) beziehungsweise nur in Objekt 1 (c) oder fehlen in Objekt 1 und 2 ganz (d):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 1: Kombinationsmoglichkeiten binarer Variablen^[64]

Nominalattribute konnen in Binarattribute umgewandelt werden, indem man sie in binare Hilfsvariablen zerlegt. Dabei wird jeder Merkmalsauspragung der Wert 1 (Eigenschaft vorhanden) oder 0 (Eigenschaft nicht vorhanden) zugewiesen.^[65] Ordinalattribute konnen hingegen in Intervallattribute umgewandelt werden. Da diese fur die Thematik dieser Arbeit irrelevant sind, wird ihre Behandlung im Folgenden ausgeklammert.

Die meisten theoretischen und empirischen Analysen von Ahnlichkeiten setzen voraus, dass die Objekte hinreichend als Punkte im Koordinatenraum dargestellt werden konnen.^[66] Dieses Verfahren soll im Folgenden anhand des Vergleichs zweier Objekte A (Apfel) und B (Banane) erlautert werden. Dazu wurden vier Merkmale bestimmt, anhand derer die beiden Fruchte beschrieben und voneinander abgegrenzt werden.

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Tab. 2: Vergleich von Merkmalen der Objekte A, B^[67]

Durch die Wahl der Binarattribute wird Objekt A uber die Koordinaten und Objekt B uber die Koordinaten (0,1,0,0) reprasentiert.^[68] Anhand dieser Objektdarstellung lasst sich nun nach Wahl eines geeigneten MaRes die Ahnlichkeit beider Objekte berechnen. Man muss sich hierbei jedoch vor Augen halten, dass die Auswahl in diesem Beispiel auf vier Merkmale beschrankt ist - bei der Wahl anderer oder mehrerer zu vergleichender Eigenschaften werden die Objekte uber andere Vektoren im Koordinatenraum reprasentiert und es errechnet sich eine andere Ahnlichkeit.

Fur das gewahlte Beispiel mag dieses Verfahren recht einfach erscheinen, problematisch wird es jedoch schnell bei komplexeren Objekten mit vielen verschiedenen Merkmalen, die sich nicht so einfach voneinander abgrenzen lassen, z.B. bei Multimedia-Objekten oder der inhaltsbezogenen Suche in Bilddatenbanken. Da diese anspruchsvolle Domane fur die Anwendung im Rahmen dieser Arbeit nicht geeignet ist, soll an dieser Stelle nicht vertiefend auf sie eingegangen werden.

2.5 Ausgewahlte AhnlichkeitsmaRe

Erste und wichtigste Frage fur die erfolgreiche Ermittlung ahnlicher Objekte ist die Wahl eines fur die Anwendung geeigneten AhnlichkeitsmaRes. Die Wissenschaft schlagt etliche verschiedene Funktionen und MaRe vor, welche in ihrer Kombination eine Fulle von moglichen Ahnlichkeitswertberechnungen erzeugen. Mangels allgemein anerkannter Kombinationen dieser Funktionen und MaRe stehen je nach Medium zur Berechnung von Ahnlichkeitswerten viele Alternativen zur Auswahl.^[69] Diese unterscheiden sich haufig nur in der Gewichtung der ubereinstimmenden und der nicht ubereinstimmenden Elemente.

Fur die Ermittlung von Ahnlichkeiten zwischen Objekten mit binarer Variablenstruktur ist eine Vielzahl von MaRen entwickelt worden, die sich groRtenteils auf die allgemeine Ahnlichkeitsfunktion zuruckfuhren lassen^[70] (a,b,c,d entsprechen dabei den Kennungen gemaR Tab. 1, S.21):

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Forme! 3: Allgemeine Ahnlichkeitsfunktion^[71]

mit: s im: Ahnlichkeit zwischen den Objekten i und j

8, A: mogliche (konstante) Gewichtungsfaktoren.

Da die Gesamtzahl der moglichen AhnlichkeitsmaRe kaum uberschaubar ist, werden in dieser Arbeit die mengenbasierten AhnlichkeitsmaRe in den Vordergrund gestellt und nur die am haufigsten Verwendeten beschrieben.

Dabei werden kurz die hauptsachlichen Eigenschaften der MaRe genannt, bevor sie uber eine Formel definiert und zur Erleichterung des Verstandnisses anhand eines kleinen Beispiels angewandt werden. Dabei wird sich wenn moglich auf obiges Beispiel (s.o. Tab. 2, S. 21) bezogen, namlich die Darstellung des Objektes A uber die Koordinaten (1,1,1,1) und des Objektes B uber (0,1,0,0).

Im Sinne der Mengenlehre ergeben sich dann folgende Eingangswerte fur die Berechnung:

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Die binaren Variablen lassen sich wie folgt darstellen:

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Tab. 3: Binare Variablen fur Beispiel^[72]

2.5.1 Simple Matching Coefficient

Der Simple Matching Coefficient ist ein sehr einfaches AhnlichkeitsmaR, welches sich aus der Anzahl gemeinsamer Eigenschaften zweier Objekte A und B ergibt - es berucksichtigt also nur die ubereinstimmenden Eigenschaften.

Voraussetzung fur seine Anwendung ist, dass die eingehenden Daten als symmetrische Binarattribute vorliegen. Dazu bietet es sich an, die zu vergleichenden Objekte durch eine Menge von Eigenschaften/Merkmalen zu definieren. Der Anzahl der Gemeinsamkeiten entsprechend entsteht so eine Gruppierung der Objekte.^[73]

Die Ahnlichkeit berechnet sich dabei nach dem Simple Matching Coefficient wie folgt:

sim-sMc(A5) = \A n5| .

Formel 4: Simple Matching Coefficient (1)^[74]

Anwendung:

simSMC(A,B) = \A nB\ = 1 .

Mit zunehmender Anzahl vergebener Eigenschaften steigt der maximale Ahnlichkeitswert zweier Objekte, da als MaRzahl fur die Ahnlichkeit die Anzahl identischer Merkmale verwendet wird.^[75]

Um diesen Effekt zu umgehen und eine Vergleichbarkeit der Ergebnisse zu garantieren, bietet sich die Einfuhrung einer geeignete BezugsgroRe an, welche den Wertebereich des AhnlichkeitsmaRes auf den Bereich 0 und 1 skaliert, also normiert. Somit druckt der Ahnlichkeitswert das Verhaltnis der Anzahl identischer Schlagworte zu der gewahlten BezugsgroRe (z.B. die Gesamtanzahl aller auftretenden Eigenschaften) aus:

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Apfel und Banane sind sich demnach nicht sehr ahnlich, da sie in einer Menge von vier Elementen nur eine Ubereinstimmung vorweisen.

[...]

---

^[1] in Anlehnung an: Frank, et al. 1998, S. 7f.

^[2] Vgl. Richter 2008, S. 26

^[3] Eigene Darstellung

^[4] Vgl. Teknomo 2006, Stichwort „Why do we need to measure similarity?"

^[5] Vgl. Tversky 1977, S. 327

^[6] Vgl. Bohm, Pfeifle und Renz 2004, S. 3

^[7] Vgl. Brosius 2002, S. 609

^[8] Vgl. Richter 2008, S. 25

^[9] Vgl. a.a.O., S. 27

^[10] Vgl. a.a.O., S. 26

^[11] Vgl. Fischer 2003, S. 46

^[12] Schmitt 2006, S. 21

^[13] Vgl. a.a.O., S. 18

^[14] Vgl. Fischer 2003, S. 21f.

^[15] Vgl. Aamodt 1994, S. 1f.

^[16] Richter 2008, S. 26

^[17] Richter 2008, S. 51

^[18] Vgl. a.a.O., S. 26f.

^[19] ebd

^[20] ebd

^[21]Vgl. Grunau und Riemer 2005, S. 1

^[22] Vgl. Schmitt 2006, S. 215

^[23] Vgl. Bohm, Pfeifle und Renz 2004, S. 29

^[24] Vgl. Richter 2008, S. 25

^[25] Vgl. Teknomo 2006, Stichwort „What is Similarity and Dissimilarity?,

^[26] Vgl. Lin 1998, S. 1f.

^[27] Schmitt 2006, S. 215f.

^[28] ebd

^[29] Vgl. Tversky 1977, S. 329ff. und S. 351f.

^[30] a.a.O., S. 351

^[31] a.a.O., S. 330

^[32] Schmitt 2006, S. 224

^[33] Vgl. a.a.O., S.165

^[34]Vgl. Schmitt 2006, S. 165

^[35]Vgl. Brosius 2002, S. 609

^[36]Vgl. Schmitt 2006, S. 216

^[37]Vgl. Tversky 1977, S. 328f.

^[38]a.a.O., S. 328

^[39]ebd.

^[40]Vgl. Schmitt 2006, S. 217

^[41] Schmitt 2006, S. 217

^[42] Vgl. Tversky 1977, S. 329

^[43] Vgl. Schmitt 2006, S. 217f.

^[44] a.a.O., S. 218

^[45] Vgl. Tversky 1977, S. 329

^[46] Vgl. Fischer 2003, S. 52

^[47] mehr dazu in Abschnitt 3.2.1 Betrachtung der vorliegenden Daten, S. 37 und 3.2.5 Ubersicht uber anwendbare AhnlichkeitsmaRe, S. 41

^[48] Vgl. Tversky 1977, S. 327

^[49] Vgl. Zezula, et al. 2006, S. 14

^[50] Vgl. Bohm, Pfeifle und Renz 2004, S. 91

^[51] Vgl. Fischer 2003, S. 61 und Ferber 2003, S. 62

^[52] Vgl. Fischer 2003, S. 53

^[53] Vgl. Tversky 1977, S. 329f.

^[54] Vgl. Tversky 1977, S. 329f.

^[55] Vgl. Pfeffer 2007, S. 7

^[56] Vgl. Schmitt 2006, S. 251

^[57] Vgl. Fischer 2003, S. 65f.

^[58] Vgl. Pfeffer 2007, S. 7

^[59] Vgl. Fischer 2003, S. 73, 76

^[60] Vgl. Grunau und Riemer 2005, S. 1

^[61] Vgl. Pfeffer 2007, S. 7

^[62] Vgl. Brosius 2002, S. 617 und Schmitt 2006, S. 24

^[63] Vgl. Grunau und Riemer 2005, S. 2

^[64] Backhaus, et al. 2006, S. 495

^[65] Vgl. a.a.O., S. 494

^[66] Vgl. Tversky 1977, S. 327

^[67] Eigene Darstellung, Beispiel entnommen aus: Teknomo 2006, Stichwort ..Distance for Binary Variables"

^[68] Vgl. Teknomo 2006, Stichwort ..Distance fur Binary Variables"

^[69] Vgl. Schmitt 2006, S. 222

^[70] Vgl. Backhaus, et al. 2006, S. 495

^[71] ebd.

^[72] Eigene Darstellung in Anlehnung an: Tab. 1, S. 21

^[73] Vgl. Fischer 2003, S. 53

^[74] ebd.

^[75] a.a.O., S. 55f.