Analysis

Inhalt

1. Einleitung

2. Grundbegriffe

3. Funktionsarten

4. Differenzieren und Integrieren
4.1. Grundidee des Differenzierens
4.2. Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit
4.3. Grundregeln

5. Kurvendiskussion
5.1. Nullpunkte
5.1.1. Achsenschnittwinkel
5.1.2. Ordnung von Nullstellen
5.1.3. Vorzeichenwechsel von Nullstellen
5.2. Prägende Punkte
5.2.1. Extrempunkte
5.2.2. Sattelpunkte
5.2.3. Wendepunkte
5.2.4. Flachpunkte
5.2.5. Prüfungsübersicht
5.3. Definitionsbereich
5.4. Stetigkeit
5.5. V erhalten im Unendlichen
5.6. Wertebereich
5.7. Kurvenverlauf ,
5.8. Symmetrie ,
5.8.1. Achsensymmetrie
5.8.2. Punktsymmetrie
5.8.3. Symmetrienachweis

6. Zwei Funktionen
6.1. Abstand ,
6.2. Gemeinsame Punkte ,
6.3. Schnittwinkel
6.4. Tangente ,
6.4.1. Punkt innerhalb der Funktion
6.4.2. Punkt außerhalb der Funktion
6.5. Normale
6.5.1. Punkt innerhalb der Funktion
6.5.2. Punkt außerhalb der Funktion

7. Integral
7.1. Unbestimmtes Integral ,
7.1.1. Integration durch Substitution
7.1.2. Produktintegration
7.2. Bestimmtes Integral ,
7.2.1. Eigentliches Integral
7.2.2. Uneigentliches Integral
7.2.3. Integralberechnung
7.3. Rotationsvolumen.

8. Polynominterpolation

9. Extremwertaufgaben

10. Ortskurve

11. Wissenswertes

Man kann einen Menschen nichts lehren, man kann ihm nur helfen, es in sich selbst zu entdecken

Galileo Galilei (1564 - 1642)

Vorwort

Was ist Mathematik?

Viele verbinden mit dem Wort Mathematik vor allem das Rechnen. Dies liegt wohl darin begründet, dass in der Schule bis zur 10. Klasse genau das gefordert ist. Doch was heißt Mathematik eigentlich? Im wissenschaftlichen Bereich existiert keine allgemeine Definition des Wortes und bei der Bedeutungsklärung könnte der altgriechische Wortstamm helfen: μαθηματική [mathematike]: „[Kunst des] Lernen[s], zum Lernen gehörig“ pav9ávro[manthánô]: „Ichlerne“

Mathematik ist also die Kunst des Lernens.

Sprüche wie „Mathematik ist die Kunst, das Rechnen zu vermeiden“ liegen damit dichter an der Wahrheit, als weithin angenommen.

Warum dieses Buch?

Im Rahmen neuer Lehrpläne und zugelassener Hilfsmittel tritt das Rechnen immer mehr in den Hintergrund. Hat man vorherige Schülergenerationen mit Parameteraufgaben erschüttern wollen, kann heute dank CAS-Taschenrechnern nur noch müde darüber gelächelt werden.

Die Aufgabensteller sind damit endlich zum Umdenken gezwungen. Bereits jetzt wird deutlich, dass immer mehr das Verständnis mathematischer Zusammenhänge in den Vordergrund rückt als die einseitige Rechenarbeit.

Das Ziel dieses Buches ist, ein umfassendes Verständnis über die Analysis zu bekommen.

Dabei werden zwei didaktische Ansätze verfolgt:

Der visuelle Ansatz: Was ich sehe, kann ich mathematisch beschreiben.

Das Baukastenprinzip: Habe ich etwas begriffen, kann ich es woanders wieder verwenden.

Das charakteristische am Fach Mathe ist, dass etwas umso leichter wird, je mehr darüber nachgedacht wird. Es lohnt sich also, keine Mühen zu scheuen um den Stoff zu durchdringen. Gerade die neuen Prüfungsaufgaben werden sich dann viel selbstsicherer und effizienter meistern lassen.

Ist das nicht anstrengend?

Im Gegenteil, Mathe mit dem Willen, die Dinge zu verstehen, macht tatsächlich jede Menge Spaß. Unser Gehirn verfügt über ein Belohnungssystem, welches im Moment des Verstehens Dopamin ausschüttet. Dieser Botenstoff löst gute Gefühle aus und versetzt uns augenblicklich in einem Glückszustand. Dieses Belohnungssystem ist die Triebfeder des Lernens. Das Lösen mathematischer Aufgaben ist eng ans Verstehen gekoppelt und damit bestens geeignet, das Gehirn mit glückbringenden Botenstoffen zu überfluten. Nur müssen die Aufgaben dabei dem Leistungsniveau angepasst sein. Eine Grundregel ist hier, sich selbst zu fordern, aber nicht zu überlasten.

Lernen braucht Zeit. Sehr viel wird unbewusst verarbeitet und Ruhepausen sind oft wichtiger als nochmaliges „Rumrechnen“ bereits gelöster Aufgaben.

Isaac Newton lag unter einem Obstbaum, als ihm ein Apfel auf den Kopf fiel. Entrüstet stellte er sich die Frage, was die Frucht eigentlich zum Fallen bewegt hatte und fand als Antwort die Schwerkraft. Hätte Newton die Schwerkraft entdeckt, hätte er nicht genüsslich unter einem Obstbaum gefaulenzt?

Was ist der Nullplan?

Die Übersetzung von Sachverhalten in die Sprache der Mathematik erfolgt durch Gleichungen. Dabei ist Präzision besonders wichtig, denn alle Rechenkünste sind vergeblich, wenn die mathematische Fragestellung nicht eindeutig formuliert wurde. In der Analysis werden die Gleichungen oft höheren Grades sein. Diese sind nur lösbar, wenn auf einer Seite eine Null vorzufinden ist. Auf dieser Tatsache fußt die Grundidee des Buches:

Es wird immer etwas gleich Null.

Jede Aufgabe kann gelöst werden, indem etwas gefunden wird, dass gleich Null ist. Bei der Suche danach ist es hilfreich, den Blick eine Dimension tiefer als auf die Aufgabendimension zu richten. Bereits Albert Einstein wusste, dass Probleme nicht auf der Ebene ihrer Entstehung gelöst werden. Der Bereich der Analysis befindet sich in der 2. Dimension und um die Problemlösung so einfach wie möglich zu gestalten, wird sich in der 0. Dimension nach etwas umgeschaut, dass Null wird. Dort finden sich Nullpunkte, oder genauer ihre x-Werte. Das Lösen einer Aufgabe in der Analysis geschieht also mit Hilfe von Nullstellen.

Zum Arbeiten mit diesem Buch

Dieses Buch will keine Sammlung von Prüfungsaufgaben sein, sondern den Grundstein für ein sicheres Herangehen an diese legen. Nichtsdestotrotz gibt es zu jeder Thematik Erklärungsbeispiele. Dabei ist es unerheblich, auf welchem Lernniveau (Schulart, Bundesland, Grund- / Leistungskurs) sich der Leser bewegt. Es sollte jedoch stets darauf geachtet werden, wie sich die Anforderungen des Lemplans gestalten. Es kann also durchaus richtig sein, sich weniger in ein Thema zu vertiefen, wenn es sowieso nicht gebraucht wird (z.B. wird sich nicht immer mit dem Nachweis der Polstellenordnung beschäftigt werden müssen). Umgekehrt kann es von Vorteil sein, sich mit Dingen vertraut zu machen, die über die normale Stoffvermittlung hinausgehen (z.B. ist es dem umfassenden Verständnis der prägenden Punkte dienlich, zu wissen, dass neben Extrem-, Sattel- und Wendepunkten auch Flachpunkte in Erscheinung treten können).

Viele Erklärungsbeispiele sind bewusst ohne Parameter gestaltet. Alle sind schriftlich gelöst, damit die dahinterliegende Lösungsstruktur sichtbar wird. Wurde diese verstanden, darf gerne zum Taschenrechner gegriffen werden - er ist ein nützliches Instrument, dessen Umgang oft geübt werden sollte, um es mit angestrebter Perfektion zu beherrschen.

Danksagung

Dieses Buch wäre ohne die Offenheit meiner Schüler für neue Methoden nie entstanden. Vor allem ihre einfachen Fragen haben zu den wesentlichen Erkenntnissen geführt und ich habe dadurch jede Stunde mehr von ihnen gelernt als sie von mir - ihrem Vertrauen gebührt mein Dank!

Ich danke Petra für das gewissenhafte Korrekturlesen und die in ihrer Therapieeinrichtung geschaffene Möglichkeit langjähriger Mitarbeit. Ohne die dort Vorgefundene individuelle und freie Unterrichtsgestaltung wäre auch ein ausgiebiges Testen der Idee nicht möglich gewesen.

Ich danke meiner Familie für ihre tolerante Haltung gegenüber dem Buchprojekt sowie für ihre finanzielle Unterstützung. Lucie, die mich unermüdlich bei der Lösung aller zum Buch gehörenden Fragen unterstützt hat und immer wieder eine inspirierende Quelle neuer Motivation war.

Danken möchte ich allen Menschen, bei denen ich während des Projekts untergekommen bin und die mich obendrein mit ausgesprochen leckerem Essen beköstigt haben. Ebenso danke ich allen, die es mir während dieser Zeit ermöglichten, Aikido zu trainieren oder Tischtennis zu spielen und mich damit in die glückliche Lage versetzten, bei regem Geist körperliche Ausgeglichenheit zu erlangen.

Da ich vollkommen ahnungslos ins Buchgeschehen eingetaucht bin, freue ich mich, auf Menschen getroffen zu sein, die bereit waren, ihre langjährige Erfahrung und ihr Fachwissen zu teilen und mir sehr großzügig hilfreiche Erklärungen und Ratschläge gegeben haben. Namentlich danke ich:

- Ilka für die zahlreichen Gestaltungtipps,
- Hendrik für sein offenes Ohr bei rechtlichen Fragen,
- Maxi für die erfrischende Einführung ins Verlagsgeschäft,
- meiner Redakteurin Frau Bärmann für ihre Geduld und Loyalität.

Für die Hilfe beim Nachprüfen einiger sehr hartnäckiger Ableitungen danke ich Schorsch, der auf zahlreichen Roadtrips auch stets zum mathematisch-philosophischen Gespräch aufgelegt gewesen ist. Erst so konnte sich die faszinierende Idee herauskristallisieren, Funktionswerte einer Stammfunktion als orientierte Flächen aufzufassen.

Weiterhin danke ich Sebastian, der mir eine große Hilfe bei der abschließenden Buchkorrektur war und michjederzeit mit Musik, Filmen und Literatur versorgte.

Schließlich danke ich allen Menschen, die mich darin bestärkten, dieses Buch zu schreiben und ungeachtet aller Bedenken in meinem Sinne umzusetzen. In diesem Zusammenhang seien besonders Martin, Ralf und Torsten sowie die beiden „Macher“ Denis und Wilson erwähnt.

- Band 1 - Analysis

Dass die niedrigste aller Tätigkeiten die arithmetische ist, wird dadurch belegt, dass sie die einzige ist, die auch durch eine Maschine ausgeführt werden kann. Nun läuft aber alle Analysis finitorum et infinitorum im Grunde doch auf Rechnerei zurück.

Artur Schopenhauer (1788 - 1860)

1. Einleitung

Das Stoffgebiet der Analysis (altgriech. „Auflösung“) beschäftigt sich mit Funktionen in der Ebene. Die Anwendungen der Analysis sind äußerst vielfältig und ihre Möglichkeiten nach Meinung einiger Mathematiker noch lange nicht ausgeschöpft. Vor allem lassen sich komplizierte Prozesse und Abläufe in ihrer Entwicklung beschreiben. Die berühmte Seerosenaufgabe als Beispiel für exponentielles Wachstum erhält eine dringlichere Relevanz für unser Leben, wenn die Blätter mit gefährlichen Krankheitserregern ausgetauscht werden. Schriftarten und Vektorgrafiken im Computer werden mit Hilfe von Bezierkurven und Polynomzügen erstellt und dargestellt.

Den Anwendungen liegt ein Theorieteil zu Grunde, dessen Umfang zu Recht fragwürdigt erscheint, soll er in seiner Gänze abgeschritten werden. Dieses Buch beschäftigt sich deshalb mit ausgewählten Themen und versucht den Stoff stets in seiner kompletten Gestalt darzulegen. Wie immer gibt es eine willkürlich festgelegte Grenze des Tiefgangs, die interessierte Leser aber gleichzeitig einladen soll, diese selbständig zu überschreiten.

Die strukturierte Anordnung von Inhalten eines Themengebiets und die daraus folgende Kombination von relevanten Elementen führt meist zu einer Auffächerung des aufbereiteten Wissens. Dennoch sind sämtliche Erklärungsbeispiele so gewählt, dass sich alle Möglichkeiten auch in einem Rechenbeispiel niederschlagen. Im Bereich der Kurvendiskussion wird beispielsweise auf alle Funktionsarten eingegangen.

Das wichtigste Kapitel (5.1.) handelt von den Nullstellen und bildet die Grundlage für alle folgenden Kapitel. Obwohl die Ordnung und der Vorzeichenwechsel von Nullstellen im Schulstoff oft nur angerissen werden, ist klar, dass ohne sie ein Verständnis der prägenden Punkte unmöglich ist.

Manche Erklärungsbeispiele sind speziell auf bestimmte Funktionen zugeschnitten, da auch der Lehrplan nicht darüber hinausgeht. Die dargestellten Erkenntnisse lassen sich aber grundsätzlich auf alle Funktionsarten anwenden. So ist die Ordnung von Nullstellen sowie ihr Vorzeichenwechsel exemplarisch an Polynomen erklärt, deren Anwendung bei prägenden Punkten beinhaltet aber alle Funktionstypen. Die Erklärungsbeispiele ziehen sich oft durch mehrere Gebiete (z.B. beim Bildbereich) oder tauchen an anderer Stelle nochmals auf (z.B. wird bei der Beschreibung des Kurvenverlaufs Bezug auf die prägenden Punkte genommen).

Um in der Mathematik kommunizieren zu können, muss Einigkeit über die Bedeutung der verwendeten Begriffe herrschen. So ist es notwendig, sich einigen Begriffsdefinitionen zuzuwenden. Es ist sinnvoll, sich diese zunächst mit eigenen Worten zu erklären. Diese Fähigkeit ist die Grundlage für selbständiges Denken und wirkliches Verstehen jeder hier vorgestellten Thematik.

2. Grundbegriffe

Es gibt einige Vokabeln, die zu beherrschen sind, um sich einem mathematischen Sachverhalt in Ruhe nähern zu können. Viele Begriffe klingen ungewöhnlich, besitzen sie doch oftmals lateinische oder griechische Wortwurzeln. Da sie selten im alltäglichen Sprachgebrauch Vorkommen, werden sie auch als Fachbegriffe bezeichnet. Sie ermöglichen überhaupt erst die Kommunikation innerhalb des Fachs Mathematik, wo wir immer genau wissen sollten, worüber wir uns gerade unterhalten.

Die strukturierte Anordnung der Begriffe und ihre Beziehung untereinander spielt für das Verstehen eine große Rolle. Hierbei hilft eine Einteilung der Fachbegriffe in Oberbegriffe und Unterbegriffe, welche zu einer Baumstruktur führt, die einen Themenbereich in der Mathematik behandelt. Das Zusammenführen von mehreren Unterbegriffen zu einem Oberbegriff stellt dabei oftmals die eigentliche Herausforderung beim Verstehen von Sachverhalten dar. In Aufgabenstellungen wird meist auf die hierarchische Gliederung verzichtet und es wird so leicht der fälschliche Eindruck erweckt, dass die nebeneinander geschriebenen Begriffe auf gleicher Stufe stehen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fachbegriffe müssen, damit sie universell nutzbar sind, einer einheitlichen Definition unterliegen. Die Definitionen sollten aber nicht auswendig gelernt, sondern durch Überlegung hergleitet werden. Dabei bringt die Antwort auf die Frage "Was meint dieser Begriff?" erklärt mit eigenen Worten mehr, als die zahlreichen Merkversuche einiger sehr ungelenk niedergeschriebener Fachbuch­worthülsen, welche dem Autor mehr den Anschein des Tragens eines besonders edel gewobenen Sprachgewands als das Leserverständnis sichern sollen.

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3. Funktionsarten

Grundsätzlich kann alles, was gemalt werden kann, auch mathematisch beschrieben werden. Um den Stoffbereich ordnen zu können, werden nur bestimmte Funktionen betrachtet.

Funktionen lassen sich in sogenannte Funktionsklassen einteilen. Eine übersichtliche Darstellung entsteht durch die Unterteilung in rationale und nichtrationale (irrationale) Funktionen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Rationale Funktionen lassen sich mit den 4 Grundrechenarten darstellen. Nichtrationale Funktionen sind alle Funktionen, die in ihrer Darstellung über die 4 Grundrechenarten hinausgehen. Sie können deshalb auch Polynome und Bruchfunktionen enthalten.

Ganzrationale Funktionen bestehen aus einem Monom (Potenzfunktion) oder Polynom (Potenzkette). Ein Polynom gliedert sich in mehrere Monome und hat einen sogenannten Funktionsgrad, welcher dem größten Exponenten einer auftretenden Potenz entspricht. Polynome lassen sich nach ihrem Funktionsgrad weiter unterteilen.

Der Begriff "ganzrational" kann verwirrend sein, da auch Brüche vor den Potenzen auftreten können. Deshalb wird folgend schlicht von Polynomen gesprochen.

Gebrochenrationale Funktionen können nicht nur einen Bruch enthalten, sondern sind selbst einer. Zum besseren Verständnis wird deshalb von nun an von Bruchfunktionen die Rede sein.

Zur Beschreibung jeder Funktionsart existieren jeweils allgemeingültige Funktionsgleichungen.

Polynom

Polynome werden mit der Monomkette f(x) = ^ai ·x1 = an ·xn + an_г · xn+... + a0 ·x0 beschrieben, wobei vor jeder Potenz Koeffizienten vorzufinden sind, für die ai e R gilt.

Der Grad eines Polynoms entspricht dem Exponent n e N in der größten Potenz.

Vor dieser Potenz steht der Leitkoeffizient an. Das Absolutglied a0 ist der Nullwert y0.

Gerade Polynome besitzen nur gerade Exponenten und sind axialsymmetrisch zur y-Achse. Ungerade Polynome haben nur ungerade Exponenten und sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bruchfunktion

Bruchfunktionen werden mit der Funktionsgleichung f(x) = beschrieben, v(x) wobei u(x) als Zählerpolynom m. Grades und v(x) als Nennerpolynom n. Grades bezeichnet werden. Bruchfunktionen werden nach dem Grad in echte (m < n ) und unechte (m ≥ n ) weiter untergliedert. Jedoch ist eine Einteilung in solche mit m < n und solche mit m > n viel relevanter (vgl. Seite 98).

Wurzelfunktion

Wurzelfunktionen werden mit der Funktionsgleichung f(x) = ^z(x) beschrieben, wobei im Radikanten ein Polynom z(x) vorzufinden ist. Wurzelfunktionen lassen sich nach ihrem Wurzelexponenten n e N* in ungerade und gerade einteilen.

Betragsfunktionen sind geraden Wurzelfunktionen mit f(x) = ^Jz(x)2'n = |z(x)n|.

Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen werden mit der Funktionsgleichung f(x) = b · az(x) beschrieben, wobei z(x) ein Polynom und b e R ist. Sie lassen sich nach ihrer Basis a e R л a > 0 in solche mit a > 1 und solche mit 0 < a < 1 einteilen. Funktionen mit a = 1 werden oft als zu trivial empfunden und deshalb meist wegfallen gelassen. Die natürliche Exponentialfunktion besitzt die Basis e.

Logarithmusfunktion

Logarithmusfunktionen werden mit der Funktionsgleichung f(x) = b · loga z(x) beschrieben, wobei z(x) ein Polynom und b e R ist. Sie lassen sich nach ihrer Basis a e R л a > 0 л a ^ 1 in solche mit a > 1 und solche mit 0 < a < 1 einteilen. Die natürliche Logarithmusfunktion besitzt die Basis e.

Winkelfunktion

Winkelfunktionen werden mit f(x) = a · sin z(x), f(x) = a · cos z(x) und f(x) = a · tan z(x) beschrieben, wobei z(x) ein Polynom und a e R ist. Die Kosinusfunktion ist eine um 90° phasenverschobene Sinusfunktion. Die Tangensfunktion ist der Quotient aus einer Sinus- und einer Kosinusfunktion.

4. Differenzieren und Integrieren

Das Differenzieren und Integrieren zählte früher zu den Hauptfertigkeiten um sich in der Analysis zurechtzufinden. Dank CAS-Rechner und Computerunterstützung lassen sich heute selbst die kompliziertesten Funktionsgebilde differenzieren und häufig auch integrieren. Umso interessanter erscheint deshalb der Blick hinter die Rechnungen.

„Differenzieren ist Können, Integrieren ist Kunst.“ (mathematischer Volksmund)

Das Differenzieren einer Funktion ergibt die Ableitung. Das Integrieren die Stammfunktion.

Für ein besseres Verständnis der Thematik darf die Stammfunktion hierbei auch als „Aufleitung“ bezeichnet werden, denn das Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens.

Der eigentliche Bedeutungsgehalt der Stammfunktion ist nur sehr verschwommen wahrnehmbar: Hinter ihr verbirgt sich der aufgeleitete Abstand der Funktion zur x-Achse, so dass eine orientierte Fläche entsteht (vgl. Seite 182). Trotzdem wird die Stammfunktion oft nur indirekt als diejenige Funktion definiert, deren Ableitung die Ausgangsfunktion ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Integrieren wurde eigentlich aus der Notwendigkeit heraus entwickelt, Differentialgleichungen lösen zu können. Es lässt sich jedoch auch dafür verwenden, den Inhalt einer krummlinigen Fläche zu berechnen. Um Begriffsverwirrungen vorzubeugen, wird bereits an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass die Stammfunktion nicht dasselbe ist wie das unbestimmte Integral (vgl. Seite 175).

Grundsätzlich lässt sich sagen, dass beim Ableiten etwas wegfällt, hingegen beim Aufleiten etwas hinzukommt. Das Differenzieren ist deshalb nicht für alle Funktionen beliebig oft wiederholbar.

Polynom

So nimmt der Funktionsgrad eines Polynoms beim Ableiten ab und das Differenzieren ist nur solange wiederholbar, bis nichts mehr zum Ableiten vorhanden ist.

Bruchfunktion und nichtrationale Funktion

Bruchfunktionen sind im Gegensatz zu Polynomen unendlich oft ableitbar.

Wurzel-, Exponential-, Logarithmus- und Winkelfunktionen werden immer als verkettete Funktionen betrachtet. Diese können unendlich oft abgeleitet werden. Die natürliche Exponentialfunktion kann sich sogar wiederholt selbst als Ableitung ergeben.

4.1. Grundidee des Differenzierens

Doch welcher Gedanke verbirgt sich hinter dem Differenzieren und wie funktioniert es genau?

Die Grundidee des Differenzierens ist, eine Sekante zu einer Tangente werden zu lassen.

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Mit der Parallelverschiebung wird das Ziel verfolgt, den Anstieg in einem beliebigen Punkt der Funktion berechnen zu können. Dies ist möglich, wenn P1 und P2 zu einem Punkt P verschmelzen.

Anstieg m (mittlere Änderungsrate) = Differenzenquotient

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Jetzt wird x2 mit x1 ausgedrückt und x2 = x1 + Ax eingesetzt:

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Es ist nun überflüssig x mit einem Index zu versehen:

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Da es sich bei dem Gebilde um einen Quotienten handelt, bei dem sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Differenz gebildet wird, wird es schlicht als Differenzenquotient bezeichnet.

Ableitung f '(x) = Differentialquotient

Die Idee ist nun, Ax unendlich klein werden zu lassen. Strebt Ax im Differenzenquotienten gegen 0,

so entspricht der erhaltene Grenzwert der 1. Ableitung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da es sich bei dem Gebilde wieder um einen Quotienten mit Differenzen handelt, zusätzlich aber der Grenzwert gebildet wird, wird der Ausdruck Differentialquotient genannt.

4.2. Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit

Da das Bilden des Differentialquotienten sehr umständlich ist, wurde im Lauf der Zeit eine Abkürzung gesucht und gefunden. Dies sind die Grundregeln des Differenzierens und Integrierens. Sämtliche Funktionstypen müssen differenziert und einige davon integrieren werden können. Zum Bilden der Ab- und Aufleitung gibt es jeweils nur eine Grundregel. Zusätzlich helfen die Kettenregeln, welche oft etwas verquer in Formelsammlungen dargestellt werden und deshalb im Folgenden mit der Idee der Substitution in eine anwenderfreundliche Form gebracht worden sind. Da Integrieren Kunst ist, existieren keine allgemeingültigen Regeln, welche für alle verketteten Funktionen anwendbar sind. Dort erwarten einen nur Verkettungen mit Funktionen 1. Grades.

Doch selbst wenn nach den nachfolgenden Grundregeln eine Ableitung oder Stammfunktion gebildet werden kann, ist es möglich, dass eine Funktion nicht überall differenzierbar und integrierbar ist.

Eine unstetige Funktion ist nie komplett differenzierbar.

Eine unstetige Funktion ist dort nicht integrierbar, wo sie nicht definiert ist.

Eine stetige Funktion ist dort nicht differenzierbar, wo ihre Ableitung unstetig ist.

Polynom

Polynome sind überall differenzierbar und integrierbar.

Bruchfunktion

Bruchfunktionen sind nur innerhalb ihres Definitionsbereichs differenzierbar und integrierbar.

Wurzelfunktion

Wurzelfunktionen sind grundsätzlich nur innerhalb ihres Definitionsbereichs differenzierbar und integrierbar. Zusätzlich sind sie auch an ihren Nullstellen nicht differenzierbar. Die Unstetigkeit der Ableitung liegt dann entweder darin begründet, dass die Nullstellen gar nicht erst in ihrem definierten Bereich liegen oder sie an den Nullstellen springt (bei Betragsfunktion).

Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen sind überall differenzierbar und integrierbar.

Logarithmusfunktion

Logarithmusfunktionen sind nur innerhalb ihres Definitionsbereichs differenzierbar und integrierbar.

Winkelfunktion

Sinus- und Kosinusfunktionen sind überall differenzierbar und integrierbar.

Tangensfunktionen sind nur innerhalb ihres Definitionsbereichs differenzierbar und integrierbar.

4.3. Grundregeln des Differenzierens und Integrierens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Substitut z steht für ein Polynom. Bei u und v ist dies meistens auch so, bei Produkten können

aber auch andere Funktionsarten Vorkommen. Die Ableitungsregeln sind unbeschränkt anwendbar.

Die Kettenregeln für die Stammfunktionen sind nur anwendbar, wenn z ein Polynom 1. Grades bzw. u = v' ist. Mehr zur Substitutions- und Produktintegration findet sich auf Seite 176f.

Erklärungsbeispiele

Polynom

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Lsg.: 1. Ableitung

5. Kurvendiskussion

Ein Hauptelement in der Analysis nimmt die Kurvendiskussion ein. Wenngleich ihre Tage dank neuer Taschenrechnersysteme gezählt sein mögen, lassen sich viele Aufgaben trotzdem erst lösen, wenn sich eingehend mit ihr beschäftigt worden ist. Das Wort Diskussion hat seine Sprachwurzeln im lateinischen "discotio", was unter anderem "untersuchen" bedeutet.

Eine gewissenhafte Untersuchung folgt dabei einer leicht verständlichen Struktur, welche sich durch einfache Fragen wie von selbst erschließt. Da viele Untersuchungspunkte einander bedingen, ist nur einer gut durchdachten Prüfungsreihenfolge Vertrauen zu schenken.

Hier ein für alle Funktionen funktionierender Vorschlag für eine komplette Kurvendiskussion:

Markante Punkte: Welche Punkte fallen ins Auge?

5.1. Nullpunkte (Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen)

- Nullstellen
- Nullwert

5.2. Prägende Punkte

- Extrempunkte
- Sattelpunkte
- Wendepunkte
- Flachpunkte

Bildbereich: Welchen Bereich umfasst die Funktion?

5.3. Definitionsbereich

5.4. Stetigkeit

5.5. Verhalten im Unendlichen

5.6. Wertebereich

Aussehen: Womit kann das Aussehen der Funktion beschrieben werden?

5.7. Kurvenverlauf

- Anstieg ^ Monotonie
- Drehsinn ^ Krümmung

5.8. Symmetrie

- Achsensymmetrie
- Punktsymmetrie

Funktionen und ihre Kurvendiskussion

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Die Tabelle gibt einen Überblick über die Untersuchungsaspekte einer Kurvendiskussion für verschiedene Funktionsarten. Es ist dabei wichtig, zu wissen, was einzelne Markierungen meinen.

Ein Kreuz bedeutet hier, dass die Funktion einen Aspekt aufweisen kann, aber nicht muss (so kann eine Wurzelfunktion symmetrisch sein und eine andere nicht).

Ein Minus bedeutet, dass das Ergebnis der Untersuchung eines Aspekts immer gleich ist (so haben beispielweise Polynome und Exponentialfunktionen nie Einschränkungen im Definitionsbereich und verlaufen immer stetig).

Da die Beschreibung des Kurvenlaufs einer Funktion immer möglich ist und an markante Punkte anknüpft, kommt dieser Prüfungspunkt in der Tabelle nicht noch einmal vor.

Die obige Darstellung ist zunächst nur eine Grobübersicht, welche zur Orientierung dient und den Einstieg in die Kurvendiskussion erleichtern soll. Die tabellarischen Feinübersichten finden sich dann am Ende jeder Thematik.

Dank grafikfähiger Taschenrechner lassen sich bestimmte Untersuchungsaspekte geradezu ablesen. Dies soll jedoch nicht dazu verleiten, mathematische Aussagen einfach anzunehmen. Diese werden immer aufgrund der Prüfung bestimmter Bedingungen, welche sich in Gleichungen äußern, getroffen. So hat f(x) = x - 1 beispielsweise eine Nullstelle bei x0 = 1, weil f(1) = 0 ist.

5.1. Nullpunkte

Nullpunkte sind die gemeinsamen Punkte der Funktion mit den Koordinatenachsen.

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Nullpunkte besitzen mindestens eine Nullkoordinate. Die Koordinaten, welche dabei nicht Null sind, werden Nullstelle (x-Wert, wo y = 0 ist) bzw. Nullwert (y-Wert, wo x = 0 ist) genannt. Der Koordinatenursprung wird oft als der Nullpunkt bezeichnet, da dort beide Koordinaten Null sind. Für eine Funktion, welche durch ihn verläuft, sind in ihm Nullstelle und Nullwert vereint.

Nullstelle: gemeinsame Stelle xo von f (x) mit der x-Achse ^ f (x0) = 0

Nullwert: gemeinsamer Funktionswert y0 von f (x) mit der y-Achse ^ f (0) = y0

Kann die Anzahl der Nullstellen einer Funktion von gar keiner bis unendlich viele schwanken, so kann sie höchstens einen Nullwert haben.

Die x-Achse wird bei den Nullstellen der Funktion geschnitten oder berührt, die y-Achse hingegen wird immer im Nullwert der Funktion geschnitten.

Die oft verwendete Aussage, dass Nullstellen Schnittstellen der Funktion mit der x-Achse seien, ist für allgemeine Funktionen deshalb unzureichend und dürfte auf die Tatsache zurückzuführen sein, dass diese Definition als Spezialfall für lineare Funktionen geläufig ist.

Nullstellen sind mächtige Werkzeuge und nehmen eine Schlüsselposition für das Begreifen des Stoffs der Analysis ein. Zeit sollte deshalb keine Rolle spielen, wenn sich mit ihnen beschäftigt wird. Sie sollten in ihrer Definition verstanden worden sein und für alle Funktionsarten berechnet werden können. Von großer Bedeutung ist auch die Ordnung von Nullstellen (vgl. Seite 34), welche es erlauben wird, diese in ungerade und gerade einzuteilen.

Der Nullwert spielt hingegen eine Nebenrolle, die nur knapp den Auftritt eines Statisten überragt.

Funktionen und ihre Nullstellen

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Abel hat nachgewiesen, dass es für Polynome ab dem 5. Grad keine weiteren Lösungsformeln gibt. Mit der kubischen Lösungsformel von Cardarno und der biquadratischen Lösungsformel von Ferrari werden auch Polynome 3. und 4. Grades erfasst. Beide Formeln sind aber kein Schulstoff! Bei Winkelfunktionen wiederholen sich die Nullstellen periodisch:

Die periodischen Nullstellen von f(x) = a· sin(b· x + c) + d sind x0 = x0 + k -b mit k e Z .

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5.1.1. Achsenschnittwinkel

Die Koordinatenachsen können von einer Funktion in ihren Nullpunkten geschnitten werden.

Achsenschnittwinkel: Winkel, unter denen die Funktion die Koordinatenachsen schneidet.

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Schnittwinkel mit x-Achse

Um den Schnittwinkel mit der x-Achse zu berechnen, werden die Bedeutung der 1. Ableitung und die Winkelbeziehungen im Steigungsdreieck (vgl. Seite 7) genutzt: tan α = m = f ' (x0 )

α - tan f (x0 )| (der Betrag wird gebildet, da nur die Winkelgröße gesucht ist)

Wie bei x03 zu sehen, ist es möglich, dass der Schnittwinkel mit der x-Achse 0° beträgt.

Schnittwinkel mit y-Achse

Um den Schnittwinkel mit der y-Achse zu berechnen, wird bei x = 0 der fiktive Schnittwinkel mit der x-Achse genommen und anschließend die Winkeldifferenz gebildet:

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ß - 90 tan f (°)| (der Betrag wird gebildet, da nur die Winkelgröße gesucht ist)

Wie bei y0 zu sehen, ist es möglich, dass die Differenz in eine Summe umschlägt, wenn a<0° ist.

Funktionen und ihre Achsenschnittwinkel

Mitunter kann es anfangs schwer sein, zu erkennen, wo genau die Achsenschnittwinkel liegen.

Der Schnittwinkel mit der x-Achse liegt grundsätzlich rechts von der Nullstelle.

Ist der Anstieg der Funktion bei der Nullstelle positiv, liegt der Winkel oberhalb der x-Achse.

Ist der Anstieg der Funktion bei der Nullstelle negativ, liegt der Winkel unterhalb der x-Achse. Der Schnittwinkel mit der y-Achse liegt immer rechts von der y-Achse und oberhalb der Funktion.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nicht alle Funktionen haben beide Achsenschnittwinkel.

Gerade Wurzel- und Exponentialfunktionen können nie die x-Achse schneiden.

Wurzelfunktionen nehmen eine Sonderstellung bei der Berechnung der Achsenschnittwinkel ein.

So beträgt bei ungeraden Wurzelfunktionen der Schnittwinkel mit der x-Achse immer 90°. Da Wurzelfunktionen an ihren Nullstellen nicht differenzierbar sind, greift die gefundene Formel zur Berechnung des Schnittwinkels mit der x-Achse nicht und der Winkel wird deshalb nur angegeben. Bei geraden Wurzelfunktionen kann der Schnittwinkel der y-Achse stark variieren und unter Umständen auch gar nicht angegeben werden, weil er nicht eindeutig ist (bei Betragsfunktionen). Außerdem können gerade Wurzelfunktionen nie die x-Achse schneiden, da ihre Funktionswerte nicht negativ werden können (vgl. auch Tabelle Seite 95).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]