Aufgaben und Erläuterungen zum Verständnis der Raumgeometrie


Textbook, 2011
96 Pages

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Inhalt

1. Einleitung

2. Grundbegriffe

3. Betrag der Vektorenprodukte
3.1. Abhängigkeit von Einheitsvektoren
3.2. Parallelität und Orthogonalität
3.3. Winkelberechnung

4. Geradengleichung
4.1. Parameterform.
4.2. Determinantenform
4.3. Normalenform
4.4. Allgemeine Koordinatenform
4.5. Wandlung

5. Ebenengleichung
5.1. Parameterform.
5.2. Normalenform
5.3. Allgemeine Koordinatenform
5.4. HessescheNormalenform
5.5. Wandlung

6. Spurpunkt
6.1. Geradenspurpunkt
6.2. Ebenenspurpunkt.

7. Spurgerade

8. Lagebeziehung
8.1. Punkt und Gerade 3
8.2. Punkt und Ebene
8.3. Gerade und Ebene
8.4. Gerade und Gerade
8.5. Ebene und Ebene

9. Abstand
9.1. Punkt und Punkt.
9.2. Punkt und Gerade
9.3. Punkt und Ebene
9.4. Gerade und Gerade
9.5. Gerade und Ebene
9.6. Ebene und Ebene

10. Projektion
10.1. Normalprojektion
10.2. Zentralprojektion

11. Spiegelung
11.1. AnPunkt
11.2. An Gerade
11.3. An Ebene

12. Wissenswertes

Man kann einen Menschen nichts lehren, man kann ihm nur helfen, es in sich selbst zu entdecken

Galileo Galilei (1564 - 1642)

Vorwort

Was ist Mathematik?

Viele verbinden mit dem Wort Mathematik vor allem das Rechnen. Dies liegt wohl darin begründet, dass in der Schule bis zur 10. Klasse genau das gefordert ist. Doch was heißt Mathematik eigentlich? Im wissenschaftlichen Bereich existiert keine allgemeine Definition des Wortes und bei der Bedeutungsklärung könnte der altgriechische Wortstamm helfen: μαθηματική [mathematike]: „[Kunst des] Lernen[s], zum Lernen gehörig“ pav9ávro[manthánô]: „Ichlerne“

Mathematik ist also die Kunst des Lernens

Sprüche wie „Mathematik ist die Kunst, das Rechnen zu vermeiden“ liegen damit dichter an der Wahrheit, als weithin angenommen

Warum dieses Buch?

Im Rahmen neuer Lehrpläne und zugelassener Hilfsmittel tritt das Rechnen immer mehr in den Hintergrund. Hat man vorherige Schülergenerationen mit Parameteraufgaben erschüttern wollen, kann heute dank CAS-Taschenrechnern nur noch müde darüber gelächelt werden

Die Aufgabensteller sind damit endlich zum Umdenken gezwungen. Bereits jetzt wird deutlich, dass immer mehr das Verständnis mathematischer Zusammenhänge in den Vordergrund rückt als die einseitige Rechenarbeit

Das Ziel dieses Buches ist, ein umfassendes Verständnis über die Raumgeometrie zu bekommen. Dabei werden zwei didaktische Ansätze verfolgt:

Der visuelle Ansatz: Was ich sehe, kann ich mathematisch beschreiben

Das Baukastenprinzip: Habe ich etwas begriffen, kann ich es woanders wieder verwenden

Das charakteristische am Fach Mathe ist, dass etwas umso leichter wird, je mehr darüber nachgedacht wird. Es lohnt sich also, keine Mühen zu scheuen um den Stoff zu durchdringen. Gerade die neuen Prüfungsaufgaben werden sich dann viel selbstsicherer und effizienter meistern lassen

Ist das nicht anstrengend?

Im Gegenteil, Mathe mit dem Willen, die Dinge zu verstehen, macht tatsächlich jede Menge Spaß. Unser Gehirn verfügt über ein Belohnungssystem, welches im Moment des Verstehens Dopamin ausschüttet. Dieser Botenstoff löst gute Gefühle aus und versetzt uns augenblicklich in einem Glückszustand. Dieses Belohnungssystem ist die Triebfeder des Lernens. Das Lösen mathematischer Aufgaben ist eng ans Verstehen gekoppelt und damit bestens geeignet, das Gehirn mit glückbringenden Botenstoffen zu überfluten. Nur müssen die Aufgaben dabei dem Leistungsniveau angepasst sein. Eine Grundregel ist hier, sich selbst zu fordern, aber nicht zu überlasten

Lernen braucht Zeit. Sehr viel wird unbewusst verarbeitet und Ruhepausen sind oft wichtiger als nochmaliges „Rumrechnen“ bereits gelöster Aufgaben

Isaac Newton lag unter einem Obstbaum, als ihm ein Apfel auf den Kopf fiel. Entrüstet stellte er sich die Frage, was die Frucht eigentlich zum Fallen bewegt hatte und fand als Antwort die Schwerkraft. Hätte Newton die Schwerkraft entdeckt, hätte er nicht genüsslich unter einem Obstbaum gefaulenzt?

Was ist der Nullplan?

Die Übersetzung von Sachverhalten in die Sprache der Mathematik erfolgt durch Gleichungen. Dabei ist Präzision besonders wichtig, denn alle Rechenkünste sind vergeblich, wenn die mathematische Fragestellung nicht eindeutig formuliert wurde. In der Analysis werden die Gleichungen oft höheren Grades sein. Diese sind nur lösbar, wenn auf einer Seite eine Null vorzufinden ist. Auf dieser Tatsache fußt die Grundidee des Buches:

Es wird immer etwas gleich Null

Jede Aufgabe kann gelöst werden, indem etwas gefunden wird, dass gleich Null ist. Bei der Suche danach ist es hilfreich, den Blick eine Dimension tiefer als auf die Aufgabendimension zu richten. Bereits Albert Einstein wusste, dass Probleme nicht auf der Ebene ihrer Entstehung gelöst werden. Der Bereich der Raumgeometrie befindet sich in der 3. Dimension und es wird deshalb ein Nullpendant in der 2. Dimension gesucht - genauer eine Nullfläche. Diese ist entweder ein Rechteck oder ein Parallelogramm. Selbstverständlich kann die 0. Dimension ebenfalls genutzt werden, so dass die Nullpunkte auch hier wieder eine Rolle spielen (z.B. haben Spurpunkte eine Nullkoordinate)

Das Lösen einer Aufgabe in der Raumgeometrie geschieht also mit Nullpunkten oder Nullflächen

Zum Arbeiten mit diesem Buch

Dieses Buch will keine Sammlung von Prüfungsaufgaben sein, sondern den Grundstein für ein sicheres Herangehen an diese legen. Nichtsdestotrotz gibt es zu jeder Thematik Erklärungsbeispiele. Dabei ist es unerheblich, auf welchem Lernniveau (Schulart, Bundesland, Grund- / Leistungskurs) sich der Leser bewegt. Es sollte jedoch stets darauf geachtet werden, wie sich die Anforderungen des Lemplans gestalten. Es kann also durchaus richtig sein, sich weniger in ein Thema zu vertiefen, wenn es sowieso nicht gebraucht wird (z.B. werden nicht immer sämtlichen Spiegelungen verlangt). Umgekehrt kann es von Vorteil sein, sich mit Dingen vertraut zu machen, die über die normale Stoffvermittlung hinausgehen (z.B. ist für ein umfassendes Verständnis der Ebenengleichungen die selten aufgezeigte geometrische Bedeutung des Skalarprodukts als orientierte Fläche notwendig). Viele Erklärungsbeispiele sind bewusst ohne Parameter gestaltet. Alle sind schriftlich gelöst, damit die dahinterliegende Lösungsstruktur sichtbar wird. Wurde diese verstanden, darf gerne zum Taschenrechner gegriffen werden - er ist ein nützliches Instrument, dessen Umgang oft geübt werden sollte, um es mit angestrebter Perfektion zu beherrschen

Danksagung

Dieses Buch wäre ohne die Offenheit meiner Schüler für neue Methoden nie entstanden. Vor allem ihre einfachen Fragen haben zu den wesentlichen Erkenntnissen geführt und ich habe dadurch jede Stunde mehr von ihnen gelernt als sie von mir - ihrem Vertrauen gebührt mein Dank!

Ich danke Petra für das gewissenhafte Korrekturlesen und die in ihrer Therapieeinrichtung geschaffene Möglichkeit langjähriger Mitarbeit. Ohne die dort Vorgefundene individuelle und freie Unterrichtsgestaltung wäre auch ein ausgiebiges Testen der Idee nicht möglich gewesen

Ich danke meiner Familie für ihre tolerante Haltung gegenüber dem Buchprojekt sowie für ihre finanzielle Unterstützung. Lucie, die mich unermüdlich bei der Lösung aller zum Buch gehörenden Fragen unterstützt hat und immer wieder eine inspirierende Quelle neuer Motivation war

Danken möchte ich allen Menschen, bei denen ich während des Projekts untergekommen bin und die mich obendrein mit ausgesprochen leckerem Essen beköstigt haben. Ebenso danke ich allen, die es mir während dieser Zeit ermöglichten, Aikido zu trainieren oder Tischtennis zu spielen und mich damit in die glückliche Lage versetzten, bei regem Geist körperliche Ausgeglichenheit zu erlangen

Da ich vollkommen ahnungslos ins Buchgeschehen eingetaucht bin, freue ich mich, auf Menschen getroffen zu sein, die bereit waren, ihre langjährige Erfahrung und ihr Fachwissen zu teilen und mir sehr großzügig hilfreiche Erklärungen und Ratschläge gegeben haben. Namentlich danke ich:

- Ilka für die zahlreichen Gestaltungtipps,
- Hendrik für sein offenes Ohr bei rechtlichen Fragen,
- Maxi für die erfrischende Einführung ins Verlagsgeschäft,
- meiner Redakteurin Frau Bärmann für ihre Geduld und Loyalität

Auch diesmal hat Schorsch mich in zahlreichen Gesprächen auf mathematische Zusammenhänge aufmerksam gemacht. Besonders danken möchte ich ihm für den entscheidenden Hinweis während einer tiefverschneiten Schleppliftfahrt, der dazu führte, die Darstellung des Skalarprodukts als orientierte Fläche zu gestalten

Weiterhin danke ich Sebastian, der mir eine große Hilfe bei der abschließenden Buchkorrektur war und michjederzeit mit Musik, Filmen und Literatur versorgte

Schließlich danke ich allen Menschen, die mich darin bestärkten, dieses Buch zu schreiben und ungeachtet aller Bedenken in meinem Sinne umzusetzen. In diesem Zusammenhang seien besonders Martin, Ralf und Torsten sowie die beiden „Macher“ Denis und Wilson erwähnt

Du wolltest doch Algebra, da hast du den Salat

Jules Verne (1828 - 1905)

1. Einleitung

Der Bereich der Raumgeometrie (oft auch „analytische Geometrie“ oder „lineare Algebra“ genannt) beschäftigt sich mit der Beschreibung von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum. Dies geschieht mit Hilfe von Vektoren und findet in verschiedensten Gebieten Anwendung. Die Vektorrechnung ist für Vektorgrafiken in Computern oder für das Funktionieren von Videokompression unerlässlich. Auch die punktgenaue Navigation im Flugverkehr wäre ohne Vektoren undenkbar.

Als Bezugssystem dient dabei ein dreiachsiges kartesisches Koordinatensystem, in welches Punkte, Geraden und Ebenen eingetragen werden können. Zunächst soll es darum gehen, wie diese Elemente mit Vektoren beschrieben werden. Sobald darin Sicherheit besteht, werden die für den Schulstoff wichtigsten Anwendungsmöglichkeiten vorgestellt. So lassen sich Lagebeziehungen untersuchen, Abstände bestimmen sowie Projektionen und Spiegelungen vornehmen. Dabei ist die Reihenfolge nicht ohne Grund gewählt, denn eine Projektion ist zum Beispiel ohne die Kenntnis der Lagebeziehungen nicht möglich. Deshalb ist die Anordnung einzelner Kapitel aufeinander aufbauend dargestellt und es wird inhaltlicher Rückgriff auf Vorhergehendes genommen.

Am Ende eines jeden Kapitels finden sich Erklärungsbeispiele, welche teilweise auch durch mehrere Gebiete gezogen sind. Deshalb wird unter Umständen auf Ergebnisse vorheriger Kapitel verwiesen. So tauchen bei den Aufgaben für Spiegelungen die Ergebnisse von den Projektionen und dort wiederum diejenigen der Lagebeziehungen auf. Fehlt also einmal eine ausführliche Berechnung, kann davon ausgegangen werden, dass diese bereits vorher erfolgt ist.

Für die Rechenansätze eilt wieder die Null zur Hilfe - genauer Nullpunkte und Nullflächen.

Da ein Vektor aus drei Zahlen besteht, ist es möglich, sich aus der horizontalen Anordnung von Vektoren ein lineares Gleichungssystem aus drei Zeilen zu erstellen. Dies wird weitestgehend vermieden, da das Lösen eines Gleichungssystems oft umständlicher und weniger aussagekräftiger ist als die hier vorgeschlagene Alternative des konsequenten Rechnens mit Vektoren. Lediglich für zwei Fälle ist ein lineares Gleichungssystem als Lösungsansatz von Vorteil. Diese sind die Bestimmung von Schnittpunkten und Schnittgeraden.

Wieder einmal ist ein tiefergehendes Verständnis der Materie nicht zu erlangen, ohne sich über die Bedeutung einiger Begriffe im Klaren zu sein. Es kann dabei nicht oft genug wiederholt werden, dass die Kenntnis der geometrischen Bedeutung der Vektorenprodukte (Skalar- und Vektorprodukt) und ihrer Beträge von immenser Wichtigkeit ist. Nützlich ist auch, sich immer zu überlegen, ob es sich bei einem gegebenen Vektor um einen Orts- oder Richtungsvektor handelt.

2. Grundbegriffe

Auch in der Raumgeometrie ist die Kenntnis einiger Begriffe sowie deren Bedeutung notwendig. Beim kartesischen Koordinatensystem mit drei aufeinander senkrecht stehenden Koordinatenachsen wurde sich auf ein rechtshändiges System geeinigt. So unbekümmert das Sein in der dritten Dimension auch sein mag, umso erstaunlich schwerer ist das Zurechtfinden desselben in einem Koordinatensystem. Es kann also nicht schaden, sich einige Punkte in ein selbstgemaltes Koordinatensystem einzutragen, um ein Gefühl für die Darstellung des Raums zu bekommen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie zu sehen, tragen alle Pfeile den Begriff des Vektors. Allgemein gesprochen ist ein Vektor ein freischwebenden Pfeil, welcher nicht im Koordinatenursprung verankert sein muss. Die Tatsache, dass der Pfeil im Raum freibeweglich ist, führt meist zu Darstellungsproblemen, denn im Grunde kann der Vektor nicht nur an einem bestimmten Ort des Koordinatensystems sein, sondern sich über eine Parallelverschiebung überall hin bewegen. Da diese Bewegung gleichzeitig erfolgt, ist ein Vektor eigentlich überall im Raum und es ist deshalb auch von Pfeilklassen die Rede.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erklärungsbeispiele

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Werden direkt die Koordinaten eines Punkts genommen, so handelt es sich immer um einen Ortsvektor, dessen Nocke im Ursprung verankert ist und dessen Spitze zum Punkt weist.

2. Verbindungsvektor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Lsg.: 1. Ortsvektor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Lsg.: 1. Addition

2. Subtraktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Vervielfachung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4. Multiplikation

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es gibt keine vektorielle Division, dafür aber zwei Arten der Multiplikation.

5. Quadrierung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

6. Betrag

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Betrag der Vektorenprodukte

Die Beträge der Vektorenprodukte sind immer Flächen, die ihrem Inhalt nach Längen oder gar Winkelbeziehungen entsprechen können. Sie besitzen eine Schlüsselfunktion bei der Strukturierung der Raumgeometrie und sind als Visualisierung äußerst nützlich, um den Stoff wirklich zu verstehen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Seitenlängen

Da es sich bei den Figuren um ein Parallelogramm und ein Rechteck handelt, lassen sich die dazugehörigen Flächeninhaltsformeln verwenden, um die Seitenlängen zu berechnen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Winkelbeziehungen

Da mit dem Einzeichnen der Höhe in das Parallelogramm ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, sind auch trigonometrische Beziehungen anwendbar.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.1. Abhängigkeit von Einheitsvektoren

Die Bedeutung des Betrags der Vektorenprodukte ist abhängig von der Anzahl der Einheitsvektoren. Die Größe der Fläche im Parallelogramm oder im Rechteck kann zusätzlich einer Seitenlänge und einer Winkelbeziehungen entsprechen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit einem Einheitsvektor entspricht der Betrag des Vektorprodukts der Fläche und der Höhe im Parallelogramm. Der Betrag des Skalarprodukts entspricht der Rechteckfläche und der Projektion.

Mit zwei Einheitsvektoren entspricht der Betrag des Vektorprodukts der Parallelogrammfläche, der Höhe und dem Sinus des Winkels zwischen den Vektoren. Der Betrag des Skalarprodukts entspricht dann der Rechteckfläche, der Projektion und dem Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren.

3.2. Parallelität und Orthogonalität

Mit dem Betrag der Vektorenprodukte lassen sich jeweils die Bedingungen für die Parallelität und die Orthogonalität zweier Vektoren sehr eingängig herleiten.

Dazu werden die zu betrachtenden Vektoren an ihren Nocken zusammengeführt und angeschaut.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Betrag des Vektorprodukts wird 0, wenn das Vektorprodukt der Nullvektor ist.

Orthogonalität

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Betrag des Skalarprodukts wird 0, wenn das Skalarprodukt 0 ist.

3.3. Winkelberechnung

Winkelbeziehungen sind sowohl mit dem Betrag des Vektor- als auch des Skalarprodukts darstellbar. Es fragt sich deshalb, ob die Winkelberechnung nicht auch ganz ohne den Betrag erfolgen kann und ob dabei allein auf das Skalarprodukt der Einheitsvektoren zurückgegriffen werden darf (denn ein Punktprodukt ohne Betrag ist einfacher zu berechnen als ein Kreuzprodukt ohne Betrag).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ähnlich wie der Betrag des Skalarprodukts ist auch das Skalarprodukt eine Fläche. Jedoch enthält das Vorzeichen des Skalarprodukts auch eine Aussage über die Orientierung der Rechteckfläche.

Skalarprodukt: eine vom Winkel abhängig orientierte Fläche.

Ist das Vorzeichen negativ, ist die Fläche linksorientiert (das Umklappen erfolgt linksdrehend).

Ist das Vorzeichen positiv, ist die Fläche rechtsorientiert (das Umklappen erfolgt rechtsdrehend).

Die Orientierung wird auch in der Lage der Fläche sichtbar, wenn a nach oben geklappt wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit dem Betrag wird nur der kleinere Winkel berechnet, da die verwendete Fläche nicht orientiert ist und bei α > 90o würde mit dem Betrag nur der äußere Winkel erhalten werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erklärungsbeispiele

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4. Geradengleichung

Bei Geraden ist zu unterscheiden, ob diese im Raum oder in einer der Grundebenen verlaufen.

Im Raum lassen sie sich mit der Parameterform und Determinantenform darstellen.

In einer Grundebene, welche häufig die x-y-Ebene sein wird, können sie zusätzlich mit der Normalenform und Koordinatenform mathematisch beschrieben werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Parameterform wird auch als Punktrichtungsform bezeichnet.

Die Determinantenform findet selten Erwähnung und sie soll auch hier nur der Vollständigkeit halber aufgelistet werden. Aufgrund des dort auftretenden Vektorprodukts ist die Vektorvariable stärker in der Gleichung verzahnt als dies bei der Parameterform der Fall ist. Da es keine Gegenoperation zum Vektorprodukt gibt, ist das Umstellen der Gleichung unmöglich. Deshalb wird empfohlen für das Lösen von Aufgaben stets die Parameterform zu wählen.

Die Normalenform funktioniert nicht im Raum, da es dort unendlich viele Vektoren gibt, welche senkrecht zum Richtungsvektor stehen. Mangels der eindeutigen Bestimmbarkeit des Normalenvektors ist auch die Koordinatenformen im Raum nicht zu verwenden. Sie enthält neben der allgemeinen Koordinatenform interessante Unterfälle wie die Achsenabschnittsform und die spezielle Koordinatenform y = m · x + n .

Die Determinantenform, die Normalenform und die allgemeine Koordinatenform werden unter dem Begriff der parameterfreien Formen zusammengefasst, um sie von der Parameterform abzugrenzen. Vereinfacht lässt sich sagen, dass 2 Bedingungen benötigt werden, um eine Gerade zu beschreiben. Da die Parameterform sowohl im Raum und in der Ebene genutzt werden kann, ist sie allen anderen Formen vorzuziehen. Parameterfreie Formen können zur Parameterform gewandelt werden.

4.1. Parameterform

Bei der Parameterform wird die Geradengleichung in Abhängigkeit eines Parameters aufgestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jeder x-beliebige Geradenpunkt kann vom Ausgangspunkt durch Anheften des Vielfachen vom Richtungsvektor erreicht werden. ^ g:x = A +1· a

Der Gleichungsvektor ist die Summe aus dem Stützvektor und dem Richtungsvektorvielfachen.

Dabei kann jeder Ortsvektor eines Punkts auf der Geraden der Stützvektor sein.

Wird der Richtungsvektor als ein Schritt aufgefasst, entspricht der Parameter t der Schrittanzahl.

Wird das Richtungsvektorvielfache als ein Schritt aufgefasst, ist der Parameter t die Schrittweite.

4.2. Determinantenform

Bei der Determinantenform wird die Geradengleichung mit Hilfe eines Parallelvektors gebildet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jeder Verbindungsvektor vom Ausgangspunkt zu einem x-beliebigen Geradenpunkt ist zum Richtungsvektor der Geraden parallel.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

4.3. Normalenform

Bei der Normalenform wird die Geradengleichung mit Hilfe eines Normalenvektors aufgestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jeder Verbindungsvektor vom Ausgangspunkt zu einem x-beliebigen Geradenpunkt ist zum Normalenvektor senkrecht. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Auch der Richtungsvektor der Geraden ist senkrecht zum Normalenvektor, jedoch würde aus dieser Beziehung keine Geradengleichung entstehen (da n ° a = 0 keinen Gleichungsvektor enthält).

4.4. Allgemeine Koordinatenform

Bei der allgemeinen Koordinatenform wird die Geradengleichung mit Hilfe der Projektion erhalten. Dabei wird ein x-beliebiger Ortsvektor der Geraden an die Nocke des Normalenvektors geheftet und anschließend senkrecht auf diesen projiziert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Projektion jedes Ortsvektors auf den Normalenvektor ist gleich groß (und damit auch die orientierte Fläche)[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

4.5. Wandlung

Es kann Vorkommen, dass eine Gerade in einer Form gegeben ist und die Gleichung in eine andere Form gebracht werden soll. Dieser als Wandlung bezeichnete Vorgang ist nur für die Geraden relevant, die in der x-y-Ebene liegen.

Parameterform zur speziellen Koordinatenform

Um eine Parameterform in die Koordinatenform mit der Gleichung y = m · x + n zu wandeln, muss aus ihr der Anstieg m und der Nullwert n ermittelt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Normalenform:

Als Stützvektor kann jeder Ortsvektor eines Geradenpunkts agieren. Da eine Gerade die y-Achse immer schneidet, wird der Ortsvektor des Schnittpunkts mit der y-Achse als Stützvektor genommen. Der Richtungsvektor wird über das Steigungsdreieck erhalten, dessen Werte sich hinter dem als Bruch geschriebenen m verstecken.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erklärungsbeispiele

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Stützvektor = Ortsvektor

2. Richtungsvektor = Verbindungsvektor

Länge ist unwichtig: Kürzen erlaubt!

3. Geradengleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Richtungsvektor = Verbindungsvektor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Geradengleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch die direkte Berechnung des Winkels werden Rundungsfehler beim Kosinus vermieden. Im Umgang mit dem Taschenrechner kann hier gut die Eingabe der Befehle für das Bilden des Skalarprodukts mit Einheitsvektoren und cos-1 trainiert werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5. Ebenengleichung

Die Beschreibung einer Ebene im Raum gestaltet sich wesentlich vielfältiger als dies bei einer Geraden der Fall ist. Deshalb gibt es auch mehrere Möglichkeiten für die Gleichung einer Ebene.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Grundsätzlich lassen sich Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenform einteilen, gleichwohl sind alle Formen in Vektorschreibweise gehalten. Dies ist bewusst gewählt, da dies für ein tiefergehendes Verständnis der Koordinatenformen unumgänglich ist. Erst dann ist zu erkennen, dass außer bei der Parameterform immer das Skalarprodukt in der Gleichung auftaucht.

Die Parameterform kann auch als die Punktrichtungsgleichung einer Ebene bezeichnet werden. Die Normalform, die allgemeine Koordinatenform und die Hessesche Normalform werden unter dem Begriff der parameterfreien Form zusammengeführt, um sie von der Parameterform abzugrenzen. Vereinfacht lässt sich sagen, dass 3 Bedingungen benötigt werden, um eine Ebene zu beschreiben. Fasst man sich kürzer, gibt es eine versteckte Bedingung (Normalenvektor ist senkrecht zur Ebene).

Eine spezielle Unterform der Koordinatenformen stellt die Achsenabschnittsform dar, auf die später noch kurz eingegangen werden soll (vgl. Seite 29). Da diese aber auf Spurpunkten aufbaut, welche wiederum abhängig von der allgemeinen Koordinatenform sind, ist bei der Darstellung auf sie verzichtet worden, damit sich die Katze hier nicht in den Schwanz beißt.

Auch wenn es zunächst sinnvoll erscheint, alle Formen zu kennen und zu beherrschen, ist es nützlich, diesen Gedanken zu hinterfragen. Es kann deshalb nicht schaden, die Formen nach ihrer Bedeutung für das Lösen von Aufgaben zu bewerten. Im Ergebnis ist die allgemeine Koordinatenform immer allen anderen Formen vorzuziehen. Sind Ebenengleichungen einmal in einer anderen Form, dann ist dies kein Problem, denn alle Formen lassen sich zu dieser wandeln (vgl. Seite 24).

[...]

Excerpt out of 96 pages

Details

Title
Aufgaben und Erläuterungen zum Verständnis der Raumgeometrie
Author
Year
2011
Pages
96
Catalog Number
V162627
ISBN (eBook)
9783640763207
ISBN (Book)
9783640763504
File size
38839 KB
Language
German
Tags
Mathe, Nullplan, Teil, Raumgeometrie, Abitur, Fachabitur, Lehrerbildung, Weiterbildung
Quote paper
Thomas Pientka (Author), 2011, Aufgaben und Erläuterungen zum Verständnis der Raumgeometrie, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/162627

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