Hauptziel des Portfolio-Managements besteht darin, eine für den Investor optimale Zusammensetzung der Assets zu finden, welche die erwarteten Renditen bei einem bestimmten Risiko maximiert. Das „Wettrennen“ um die Erfindung der besten Risikobewertung ist nach wie vor im Gange. Möglicherweise gibt es keine vollständig zufriedenstellende Antwort auf die Frage, was als die richtige Bewertungsmethode anzusehen ist.
Bei normalverteilten Renditen findet üblicherweise die Mean-Varianz-Optimierung ihre Anwendung und führt zu eindeutigen Entscheidungsalternativen. Ist allerdings eine differenzierte Auswahl nach dem µ- σ- Prinzip, bspw. aufgrund identischer erwarteter Rendite und Varianz, nicht mehr möglich, muss die Verteilung anhand anderer Maßstäbe beurteilt werden. Selbiges trifft zu, wenn keine Normalverteilung vorliegt, da „das Verhältnis der beiden Entscheidungsgrößen nicht mehr eindeutig“ ist. Entscheidungshilfe und weiteren Informationsgehalt bieten dabei höhere Verteilungsmomente.
Die vorliegende Arbeit untersucht, die praktischer Relevanz von der Berücksichtigung höherer Momente innerhalb der Portfoliobildung. Es wird an verschiedenen Ansätzen aufgezeigt, inwieweit Anlagerenditen mittels Schiefe und Kurtosis optimiert werden können.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Die moderne Portfoliotheorie
2.1 Das Grundmodell von Markowitz
2.2 Grenzen der modernen Portfoliotheorie
3 Höhere Verteilungsmomente
3.1 Historischer Abriss
3.2 Schiefe und Wölbung einer Renditeverteilung
3. 3 Nutzentheoretische Fundierung
4 Ansätze zur Portfoliobildung auf Basis höherer Momente
4.1 Maximierung historischer Momente
4.2 Polynomial Goal Programming
4.3 Schiefe Verteilungen
5 Fazit
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Arbeit untersucht die praktische Relevanz der Berücksichtigung höherer Momente (Schiefe und Kurtosis) innerhalb der Portfoliobildung, da das klassische Mean-Varianz-Prinzip bei nicht-normalverteilten Renditen an seine Grenzen stößt und keine vollständige Entscheidungsgrundlage bietet.
- Grundlagen der klassischen Portfoliotheorie nach Markowitz und deren Grenzen.
- Nutzentheoretische Fundierung der Berücksichtigung von Schiefe und Kurtosis.
- Analyse expliziter Optimierungsansätze wie "Maximierung historischer Momente".
- Detaillierte Untersuchung des Polynomial Goal Programming (PGP) zur Portfoliooptimierung.
- Diskussion schiefer Verteilungen als alternative Modellierungsansätze.
Auszug aus dem Buch
3.2 Schiefe und Wölbung einer Renditeverteilung
Die höheren Verteilungsmomente Schiefe und Wölbung gehören zu den Kennzahlen der Renditemessung. Im folgenden Abschnitt sollen ihre Eigenschaften aufgezeigt werden.
„Die Schiefe ist ein statisches Maß für die Asymmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.“ Das heißt, dass sich das dritte zentrale Verteilungsmoment, auch Skewness genannt, durch eine unimodale asymmetrische Häufigkeitsverteilung auszeichnet. Die Art der Schiefe kann durch die „Fechnersche Lageregel“ bestimmt werden. Hierbei wird zwischen einer positiven Rechtsschiefe und einer negativen Linksschiefe unterschieden. Die Schiefe ergibt sich aus der dritten Potenz der Abweichung der realisierten Renditen zum Mittelwert. Bei einem Ergebnis von Null ist die Anlagerendite normalverteilt. Zur Verdeutlichung dient Abbildung 2; die Schiefe wird im Folgenden mit γ bezeichnet.
Folglich ist eine Rechtsschiefe durch hohe Ausprägungen im positiven Bereich gekennzeichnet, sodass höhere Renditen überwiegen. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust geringer als bei der Normalverteilung. Linksschiefe bringt, ausgehend von der zu erwarteten Rendite, negative Ergebnisse hervor. Somit ist intuitiv erklärbar, dass ein riskoaverser Investor die Rechtsschiefe „wegen der geringeren ‚Gefahr‘ ungünstigere Extremwerte und dem somit resultierenden Schutz vor hohen Verlusten“ präferiert. Im Vergleich zur Normalverteilung sind Verluste insgesamt seltener und die Chancen bei gleichem Erwartungswert für ein besseres Ergebnis höher.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung erläutert die Grenzen des klassischen Mean-Varianz-Ansatzes bei nicht-normalverteilten Renditen und stellt die Relevanz der Berücksichtigung höherer Momente für eine optimale Portfoliobildung vor.
2 Die moderne Portfoliotheorie: Dieses Kapitel stellt das Grundmodell von Markowitz vor und analysiert dessen Kritikpunkte, insbesondere die Annahme normalverteilter Renditen und quadratischer Nutzenfunktionen.
3 Höhere Verteilungsmomente: Hier werden Schiefe und Kurtosis als Kennzahlen definiert, historisch eingeordnet und nutzentheoretisch fundiert, um die Notwendigkeit ihrer Integration in die Portfolioselektion zu begründen.
4 Ansätze zur Portfoliobildung auf Basis höherer Momente: Das Kapitel analysiert verschiedene explizite Optimierungsmodelle, wobei der Fokus auf der Maximierung historischer Momente, dem Polynomial Goal Programming und dem Einsatz schiefer Verteilungen liegt.
5 Fazit: Das Fazit fasst zusammen, dass höhere Momente eine statistische Verbesserung gegenüber der Normalverteilungsannahme darstellen, jedoch die Komplexität und den Rechenaufwand der Portfoliooptimierung erhöhen.
Schlüsselwörter
Portfoliomanagement, Markowitz, Mean-Varianz-Optimierung, Schiefe, Kurtosis, Skewness, Renditeverteilung, Nutzenfunktion, Portfoliooptimierung, Polynomial Goal Programming, PGP, Risikoaversion, Normalverteilung, Finanzinstrumente, Assetklassen
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Erweiterung der klassischen modernen Portfoliotheorie durch die Einbeziehung höherer Verteilungsmomente, da reale Anlagerenditen oft nicht normalverteilt sind.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind das Markowitz-Modell, die mathematische Definition und nutzentheoretische Fundierung von Schiefe und Wölbung sowie verschiedene Ansätze zur praktischen Portfoliooptimierung unter diesen Bedingungen.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, aufzuzeigen, wie und warum Anlagerenditen mittels Schiefe und Kurtosis optimiert werden können, um eine für den Investor optimale Asset-Zusammensetzung zu finden.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit nutzt eine theoretische Analyse sowie die Darstellung formaler mathematischer Optimierungsprobleme (wie Lagrange-Funktionen und Polynomial Goal Programming), um die theoretischen Konzepte auf die Praxis zu übertragen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Im Hauptteil werden zunächst die Grenzen von Markowitz dargelegt, gefolgt von einer detaillierten mathematischen Einführung in Schiefe und Wölbung. Anschließend werden spezifische Verfahren zur Portfoliooptimierung analysiert.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die wichtigsten Begriffe sind Portfoliooptimierung, Schiefe, Kurtosis, Mean-Varianz-Ansatz, Polynomial Goal Programming und Nutzenfunktion.
Warum reicht das Markowitz-Modell laut Autorin oft nicht aus?
Das Markowitz-Modell basiert auf der Annahme normalverteilter Renditen. Da reale Finanzmärkte jedoch oft Asymmetrien oder "Fat Tails" aufweisen, führt eine reine Mean-Varianz-Betrachtung unter Umständen zu ineffizienten Portfolios.
Was ist das Polynomial Goal Programming (PGP)?
PGP ist ein alternatives Lösungsverfahren, das es ermöglicht, verschiedene Momente (wie Erwartungsrendite, Schiefe und Wölbung) gleichzeitig zu optimieren, indem das Gesamtproblem in Teilprobleme unterteilt und durch Gewichtung von Zielabweichungen gelöst wird.
Welche Rolle spielt die Nutzenfunktion?
Die Nutzenfunktion ist zentral, da sie die Präferenzen des Investors (z.B. Aversion gegen gerade Momente wie Varianz und Kurtosis, Präferenz für ungerade Momente wie Schiefe) mathematisch ausdrückt und somit die Grundlage für die Portfolioentscheidung bildet.
Gibt es einen klaren Gewinner unter den Optimierungsansätzen?
Nein, es wird deutlich, dass zwar höhere Momente eine Verbesserung gegenüber der Normalverteilungsannahme darstellen, dies jedoch mit höherer Komplexität und mathematischem Aufwand verbunden ist, weshalb die Wahl des Verfahrens stets kritisch geprüft werden muss.
- Citation du texte
- Juliane Tippmar (Auteur), 2010, Theorien zur Portfoliobildung auf Basis höherer Verteilungsmomente, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/162756
