Eine Option verbrieft das Recht, ein bestimmtes Underlying zu einem im Voraus festgelegen Preis zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Der Zeitpunkt, indem eine Option ausgeübt werden kann, richtet sich nach dem jeweiligen Optionstyp. Während amerikanische Optionen innerhalb ihrer Laufzeit zu jeder Zeit ausgeübt werden können, kann man europäische Optionen lediglich am Stichtag ausführen. Des Weiteren existieren noch zahlreiche weitere Optionsarten, wie beispielsweise asiatische Optionen, deren Auszahlung von dem durchschnittlichen Wert ihres Underlyings, innerhalb eines festgelegten Zeitabschnitts, abhängt.
Die Auswahl der möglichen Underlyings, beschränkt sich nicht ausschließlich auf Aktien. Vielmehr kann eine Vielzahl von Basiswerten wie Indizes, Währungen, oder weitere Derivate, wie zum Beispiel Futures, Optionen zugrundeliegen.1 Aufgrund der Vielfalt der Optionsarten und den möglichen Basiswerten eigenen sich Optionen für vielfältige Verwendungszwecke. Neben der reinen Kursspekulation, bei der sich Optionen aufgrund ihres Hebels besonders eigenen, bieten Optionen noch zahlreiche weitere Anwendungsmöglichkeiten. So können sie beispielsweise im Rahmen des Risikomanagements eines international agierenden Unternehmens zur Absicherung des Wechselkursexposures verwendet werden.
Seit dem ersten Optionshandel im 17. Jahrhundert, stellt sich die Frage nach der korrekten Bewertung einer Option. Das erste analytische Bewertungsmodell, wurde jedoch erst im Jahr 1900 von Bachlier entwickelt.2 Dieser versuchte Optionen, mit Hilfe der Modellierung eines stochastischen Prozesses zur Abbildung der Wertentwicklung des Underlyings, zu bewerten. Weiterentwicklungen folgten 1964 von Boness und Sprenkle sowie 1965 von Samuelson. Auf dieser konzeptionellen Grundlage entstand schließlich 1973 das bahnbrechende Black-Scholes Modell. Während in den Jahren danach einige Erweiterungen des Black-Scholes Modells entwickelt wurden, entstanden parallel mit dem Binomialmodell, der Methode der finiten Differenzen sowie dem Monte Carlo Ansatz numerische Bewertungsverfahren.3
Die vorliegende Arbeit untersucht das numerische Binomialmodell sowie das analytische [...]
1 Vgl. Wilmott (1998), S. 215-216.
2 Vgl. im Folgenden Hagl (2007), S. 70-71; Bachlier (1900); Boness (1964); Sprenkle (1964); Samuelson
(1965); Black/Scholes (1973); Merton (1973)
3 Vgl. Smithson (1992), S. 24; Rendleman/Bartter (1979); Cox/Ross/Rubinstein (1979); Boyle (1977); Schwartz (1977).
Inhaltsverzeichnis
- 1. Einleitung
- 2. Binomialmodell
- 2.1 Grundlagen
- 2.2 Einperiodische Binomialbäume
- 2.3 Mehrperiodische Binomialbäume
- 2.4 Amerikanische Optionen
- 2.4.1 Grundlagen
- 2.4.2 Call-Optionen
- 2.4.3 Put-Optionen
- 2.5 Dividenden
- 3. Black-Scholes Modell
- 3.1 Übersicht
- 3.2 Statistische Grundlagen
- 3.2.1 Markov-Prozess
- 3.2.2 Brownsche Bewegung und Wiener-Prozesse
- 3.2.3 Aktienkurse und geometrische Brownsche Bewegung
- 3.2.4 Itô-Prozesse und Itôs Lemma
- 3.3 Die Black-Scholes Formel
- 3.3.1 Herleitung der Black-Scholes Differentialgleichung
- 3.3.2 Lösung der Black-Scholes Differentialgleichung
- 3.4 Grenzen und Erweiterungen des Modells
- 3.4.1 Vorzeitige Ausübung
- 3.4.2 Dividendenzahlungen
- 3.4.2.1 Europäische Optionen
- 3.4.2.2 Amerikanische Optionen
- 3.4.3 Besteuerung von Dividenden
- 3.4.4 Jump-Diffusion
- 3.4.5 Weitere ausgewählte Modifikationen
- 4. Zusammenfassung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit untersucht zwei zentrale Modelle der Optionsbewertung: das Binomialmodell und das Black-Scholes-Modell. Ziel ist es, die Herleitung, den Aufbau, die Grenzen und mögliche Modifikationen beider Modelle detailliert darzustellen und zu vergleichen. Die Arbeit fokussiert auf ein tiefgreifendes Verständnis der Modellmechanismen und ihrer Anwendbarkeit.
- Das Binomialmodell als numerisches Bewertungsverfahren
- Das Black-Scholes-Modell als analytisches Bewertungsverfahren
- Grenzen und Erweiterungen der Modelle (z.B. Berücksichtigung von Dividenden)
- Vergleich der Modellansätze
- Annahmen und Voraussetzungen der Modelle
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Die Einleitung führt in die Thematik der Optionsbewertung ein und beschreibt verschiedene Optionstypen und mögliche Basiswerte. Sie erläutert die historische Entwicklung von Bewertungsmodellen, beginnend mit dem Modell von Bachelier bis hin zum Black-Scholes-Modell und numerischen Verfahren. Die Arbeit selbst wird als Untersuchung des Binomialmodells und des Black-Scholes-Modells positioniert, wobei ein Fokus auf Herleitung, Aufbau, Grenzen und Modifikationen liegt.
2. Binomialmodell: Dieses Kapitel befasst sich mit dem Binomialmodell, einem zeitdiskreten, numerischen Verfahren zur Optionsbewertung. Es erklärt die Grundprinzipien des Modells, die Replikation des Optionszahlungsstroms mittels eines Duplikationsportfolios und die Annahmen, die dem Modell zugrunde liegen (z.B. keine Transaktionskosten, keine Dividenden). Es werden einperiodische und mehrperiodische Binomialbäume erläutert und die Bewertung amerikanischer Optionen diskutiert.
3. Black-Scholes Modell: Dieses Kapitel widmet sich dem Black-Scholes-Modell, einem analytischen Modell zur Optionsbewertung. Es liefert eine Übersicht über das Modell, erklärt die relevanten statistischen Grundlagen wie Markov-Prozesse, Brownsche Bewegung und Itô-Prozesse. Die Herleitung und Lösung der Black-Scholes-Differentialgleichung werden detailliert beschrieben. Schließlich werden Grenzen und Erweiterungen des Modells behandelt, darunter die Berücksichtigung von vorzeitiger Ausübung, Dividendenzahlungen und Jump-Diffusion.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur Bachelorarbeit: Binomialmodell und Black-Scholes-Modell
Was ist der Inhalt dieser Bachelorarbeit?
Die Bachelorarbeit vergleicht und analysiert zwei zentrale Modelle der Optionsbewertung: das Binomialmodell und das Black-Scholes-Modell. Sie untersucht deren Herleitung, Aufbau, Grenzen und mögliche Modifikationen detailliert. Der Fokus liegt auf dem Verständnis der Modellmechanismen und ihrer Anwendbarkeit.
Welche Modelle werden in der Arbeit behandelt?
Die Arbeit behandelt das Binomialmodell als numerisches Bewertungsverfahren und das Black-Scholes-Modell als analytisches Bewertungsverfahren. Beide Modelle werden hinsichtlich ihrer Annahmen, ihrer Herleitung und ihrer Anwendung im Detail erklärt.
Was sind die Zielsetzungen der Arbeit?
Die Arbeit zielt darauf ab, ein tiefgreifendes Verständnis für die Funktionsweise des Binomialmodells und des Black-Scholes-Modells zu vermitteln. Sie soll die Stärken und Schwächen beider Modelle aufzeigen und deren Anwendbarkeit in der Praxis beleuchten.
Wie ist die Arbeit strukturiert?
Die Arbeit ist in vier Kapitel gegliedert: Einleitung, Binomialmodell, Black-Scholes-Modell und Zusammenfassung. Das Kapitel zum Binomialmodell behandelt Grundlagen, ein- und mehrperiodische Binomialbäume sowie die Bewertung amerikanischer Optionen. Das Kapitel zum Black-Scholes-Modell umfasst statistische Grundlagen, die Herleitung der Formel, und eine Diskussion der Modellgrenzen und -erweiterungen (z.B. Dividenden, vorzeitige Ausübung).
Welche Themenschwerpunkte werden behandelt?
Die Arbeit konzentriert sich auf die folgenden Themenschwerpunkte: Das Binomialmodell als numerisches Bewertungsverfahren, das Black-Scholes-Modell als analytisches Bewertungsverfahren, die Grenzen und Erweiterungen beider Modelle (inklusive Dividendenberücksichtigung), der Vergleich der Modellansätze und die Annahmen und Voraussetzungen der Modelle.
Welche Aspekte des Binomialmodells werden behandelt?
Das Kapitel zum Binomialmodell behandelt die Grundprinzipien, die Replikation des Optionszahlungsstroms durch ein Duplikationsportfolio, ein- und mehrperiodische Binomialbäume, und die Bewertung amerikanischer Optionen. Die Annahmen des Modells (z.B. keine Transaktionskosten, keine Dividenden) werden ebenfalls erläutert.
Welche Aspekte des Black-Scholes-Modells werden behandelt?
Das Kapitel zum Black-Scholes-Modell beinhaltet eine Übersicht des Modells, die Erklärung relevanter statistischer Grundlagen (Markov-Prozesse, Brownsche Bewegung, Itô-Prozesse), die detaillierte Herleitung und Lösung der Black-Scholes-Differentialgleichung sowie eine Diskussion der Modellgrenzen und -erweiterungen (z.B. vorzeitige Ausübung, Dividendenzahlungen, Jump-Diffusion).
Wie werden die beiden Modelle verglichen?
Die Arbeit vergleicht die beiden Modelle hinsichtlich ihrer Annahmen, ihrer Herleitung, ihrer Komplexität und ihrer Anwendbarkeit. Die Stärken und Schwächen beider Modelle werden gegenübergestellt.
Welche Erweiterungen der Modelle werden betrachtet?
Die Arbeit untersucht Erweiterungen der Modelle, um realistischere Szenarien abzubilden. Dies beinhaltet die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen, vorzeitiger Ausübung und Jump-Diffusion im Black-Scholes-Modell.
- Citar trabajo
- Chris Schaible (Autor), 2010, Optionsbewertungsmodelle, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/162774
