Der Goldene Schnitt

Inhaltsverzeichnis

1 Geschichtlicher Hintergrund

2 Grundlagen
2.1 Definition des Goldenen Schnittes
2.2 Konstruktion des goldenen Schnittes

3 Das reguläre Fünfeck
3.1 Das Pentagramm
3.2 Die Diagonalen im regulären Fünfeck
3.3 Inkommensurabilität von Streckenlängen am Beispiel des Fünfecks
3.4 Konstruktionen des regulären Fünfecks

4 Fibonacci – Zahlen

5 Beispiele aus Kunst und Umwelt

6 Umsetzung in Schule und Unterricht
6.1 Unterrichtsumsetzung nach Hischer
6.2 Ideen zur Umsetzung des goldenen Schnittes im Unterricht
6.3 Notwendige Vorkenntnisse

7 Literatur

Der Goldene Schnitt

Johannes Kepler sagte einmal: „Die Geometrie birgt zwei große Schätze: der eine ist der Satz von Pythagoras, der andere ist der Goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den zweiten dürfen wir ein kostbares Juwel nennen.“^[1]

1. Geschichtlicher Hintergrund

Eudoxos von Knidos ( um 408 – 355 v. Chr.) hat Platons erste Erkenntnisse über den „Schnitt“ weitergeführt und gilt als eigentlicher Schöpfer der wissenschaftlichen Proportionslehre. Es stand die Frage nach der rationalen Auflösung der Gleichung x²+y²= z². Für die Pythagoräer wurde in diesem Zusammenhang die Teilung einer Strecke a nach der Proportion a:x=x:(a-x) von besonderer Bedeutung. Sie stießen dabei auf das regelmäßige Fünfeck. Der Konstruktion diesen Fünfecks maßen die Pythagoräer große Bedeutsamkeit zu. Als ihr Erkennungszeichen wählten sie das Pentagramm, welches sich aus den Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks ergibt. Dem Pentagramm (auch Pentalpha, Drudenfuß oder Albfuß (Albkreuz) genannt) wurde eine mythische Bedeutung zugeschrieben. Die Pythagoräer hatten entdeckt, dass Strecken mit Lineal und Zirkel konstruierbar, aber nicht messbar sind (messbar = kommensurabel). Demnach sind irrationale Streckenlängen inkommensurabel. Zu vermuten ist, dass die Pythagoräer dieses Erkennungszeichen gewählt haben, da hier eben irrationale Streckenlängen auftauchen.

In der Malerei oder Baukunst wird der Goldene Schnitt immer wieder als ein ästhetisch besonders befriedigendes Maßverhältnis angesehen. Bewusst wurde es aber in der Komposition einiger Musikwerke eingesetzt, wie bspw. bei Bela Bartok (1881 – 1945). In der Botanik gibt es immer wieder Gesetzmäßigkeiten, die Bezüge zum Teilverhältnis des Goldenen Schnittes nahe legen.

2. Grundlagen

2.1 Definition des goldenen Schnittes

Sei AB eine Strecke. Ein Punkt S von AB teilt AB im goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke zur kleineren so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil.

Erklärung: Die größere Strecke AS wird mit Major (M) bezeichnet und die kleinere Strecke SB mit Minor (m).

Liegt der Punkt S näher an B (er kann genauso gut näher an A liegen, je nachdem wo sich die größere Strecke befindet) so teilt der Punkt S die Strecke AB im goldenen Schnitt, wenn gilt: |AS|/|SB| = |AB|/|AS|.

Die Strecke AB habe die Länge a, für die gilt: a = M + m. Somit gilt nach obiger Gleichung auch: a/M = M/m, also am = M². Setzt man für a bekannte Gleichung a = M + m ein, erhält man: (M + m)m = M². Nach Auflösen der Klammer, anschließendem Dividieren der Gleichung durch m² und Umstellen der Gleichung erhält man eine quadratische Gleichung: (M/m)² - M/m – 1 = 0.

Löst man diese Gleichung nach der Unbekannten M/m mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen auf, erhält man die Lösung: M/m = (1±√5)/2. Da M und m positiv sind, muss auch M/m positiv sein, womit die einzige positive Lösung dieser Gleichung nur (1+√5)/2 ≈ 1,618 ist. Diese Konstante wurde mit dem griechischem Anfangsbuchstaben Φ eines bekannten Bildhauers (Phidias) benannt, da in seinen Werken oft der goldene Schnitt vorkam.

Ob also ein Punkt S eine Strecke AB im goldenen Schnitt teilt, lässt sich überprüfen, indem die Länge der größeren Strecke durch die Länge der kleineren rund 1,618 ist.

2.2 Konstruktionen des goldenen Schnittes

1. Heute übliche Konstruktion des goldenen Schnittes:

Es sei AB eine Strecke der Länge a.

Errichtet man die Senkrechte BC in B mit |BC| = ½ a und zieht mit dem Zirkel einen Kreis um C mit dem Radius |CB|, so kreuzt dieser die Strecke AC im Punkt D.

Zieht man nun einen Kreis um A mit dem Radius |AD|, so schneidet dieser die Strecke AB im Punkt S. S teilt somit Die Strecke AB im goldenen Schnitt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Behauptung: S teilt die Strecke AB im goldenen Schnitt.

Beweis: Nach dem Satz des Pythagoras gilt in einem rechtwinkligen Dreieck: a² + b² = c² (a, b = Katheten und c Hypothenuse).

So gilt für dieses Dreieck: a² + ½ a² = |AC|². Daraus folgt schließlich: |AC|² = 5/4 a² → |AC| = √5/2 a.

Weiterhin gilt: |CD| = |CB| = a/2.

So folgt für |AS|: |AS| = |AD| = |AC| - |CD| = √5/2 a – ½ a = (√5-1)/2 a = a/Φ. Also ist |AB|/|AS| = a/(a/Φ) = Φ.

Somit teilt S die Strecke AB im goldenen Schnitt. q.e.d.

(Im Vortrag wäre eine eindeutige Festlegung der Strecken durch Variablen günstiger gewesen, da alle Teilnehmer dann die gleichen Bezeichnungen für den Beweis besser nachvollziehen hätten können.)

2. Konstruktion des goldenen Schnittes nach Euklid:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es sei AB eine Strecke der Länge a. Errichtet man das Lot BC in B mit |BC| = ½ a und zieht mit dem Zirkel einen Kreis um C mit dem Radius |CA|, so schneidet dieser die Verlängerung von BC im Punkt D.

Der Kreis mit dem Radius |BD| um B schneidet die Strecke AB im Punkt S.

Behauptung: S teilt die Strecke AB im goldenen Schnitt.

Beweis: Auch hier gilt wieder nach dem Satz des Pythagoras: |DC| = |AC| = √5/2 a. Für |BS| gilt: |BS| = |BD| = |DC| - |BC| = √5/2 a – ½ a = a/Φ und daraus folgt wiederum: |AB|/|AS| = Φ.

S teilt also die Strecke AB im goldenen Schnitt.

q.e.d.

Es gibt einige weitere Konstruktionen des goldenen Schnittes, die an dieser Stelle nicht weiter erläutert werden. Hierzu verweise ich auf das Buch von A. Beutelspacher und B. Petri: Der goldene Schnitt. Mannheim/ Wien/ Zürich: BI- Wissen-schaftsverlag 1988, 20ff.

3. Das reguläre Fünfeck

3.1 Das Pentagramm

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1 zeigt den gegründeten Geheimbund der Pythagoräer, das Pentagramm. Es handelt sich um eine Figur, die in einem Zuge gezeichnet werden kann und als Erkennungszeichen der Pythagoräer fungierte. Für die Pythagoräer war das Pentagramm das Symbol für Gesundheit. Es wurde auch Pentalpha genannt, da das große A (alpha) fünfmal erkennbar ist.

Im deutschen Sprachraum ist das Pentagramm auch als Drudenfuß bekannt, der als Schutzzeichen bzw. Symbol gegen Hexen und Druden (nächtliche Druckgeister) gilt. Seltener wurden die Namen Albfuß oder Albkreuz dem Pentagramm zugeschrieben. Sie gelten als Schutzzeichen gegen den Alb (unterirdischer Naturgeist).

Verbindet man allerdings die Sternspitzen des Pentagramms entsteht ein regelmäßiges Fünfeck (Pentagon).

Die Diagonalen dieses Pentagons bilden wiederum die Ausgangsfigur der Pythagoräer. Als Schnitt- Figur entsteht im Inneren ein kleineres Fünfeck.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2 Die Diagonalen im regulären Fünfeck

Definition (reguläres n- Eck): Ein konvexes n- Eck heißt regulär, falls alle seine Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel gleich groß sind. Jeder Innenwinkel im regelmäßigen n- Eck beträgt ((n-2)/n)•180°.^[2]

Behauptung:

(1) Je zwei Diagonalen, die sich nicht in einer Ecke eines regelmäßigen Fünfecks schneiden, teilen sich im goldenen Schnitt.
(2) Das Verhältnis der Länge einer Diagonalen zur Länge einer Seite ist Φ.

Vorüberlegungen:

Sei F=P1P2P3P4P5 ein reguläres Fünfeck, so gilt nach Definition:

a) Die Größe jedes Innenwinkels beträgt 108°.
b) Alle Seiten sind gleich lang.

[...]

^[1] Barth/ Krumbacher/ Matschiner/ Ossiander: Anschauliche Geometrie 3. München: Ehrenwirth Verlag GmbH 1988, S. 114.

^[2] Hans, Simon/ Stahl, Kurt: Mathematik. Nachschlagebücher für Grundlagenfächer. Leipzig: VEB Fachbuchverlag 1973, S. 367.