Die Berechnung der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung für einfache Potentiale und ihre physikalische Bedeutung

Inhaltsverzeichnis

1. „Die größte Errungenschaft der Wissenschaft des 20. Jahrhunderts“

2. Der Weg zur Schrödingergleichung

3. Die Deutung der Quantenmechanik
3.1 Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation
3.2 Die Kopenhagener Deutung
3.3 Kritik an der Kopenhagener Deutung
3.4 Everetts viele-Welten-Interpretation

4. Aufenthaltswahrscheinlichkeiten und Energiewerte
4.1 Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeiten und Energiewerte
4.2 Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Energiewerte in der Quantenmechanik

5. Der Quantenmechanische Tunneleffekt
5.1 Der a-Zerfall
5.2 Die Kernfusion

6. Das Wasserstoffatom nach Schrödinger
6.1 Entwicklung der Schrödingergleichung
6.1.1 Das Coulomb-Potential
6.1.2 Atomare Einheiten
6.2 Numerisches Lösungsverfahren
6.3 Berechnung mit MODELLUS 4.01
6.3.1 Ermittlung der Eigenenergiewerte
6.3.2 Berechnung des Bohrschen Atomradius

7. Resümee

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1. „Die größte Errungenschaft derWissenschaft des 20. Jahrhunderts“

„Jeder -weiß, daß Einsteins Relativitätstheorie die größte Errungenschaft der Wissen­schaft des 20. Jahrhunderts ist, und jeder irrt sich.“1 Mit diesem Satz leitet John Grib- bin sein Buch über die Quantentheorie ein und schreibt weiter: „(...) die Quantenmecha­nik ist die Grundlage aller modernen Naturwissenschaft. “2 An dieser Stelle sei auch be­merkt, dass Einstein seinen Nobelpreis, nicht wie oft angenommen wird, für die Ent­wicklung der Relativitätstheorie erhalten hat, sondern für die Erklärung des licht-elektri­schen Effekts, der auf Anfängen der Quantentheorie basiert.3 Ohne die Quantenmecha­nik wären Atomkraftwerke, Laser und Computer undenkbar, der Chemie wäre die theo­retische Basis entzogen und die Mikrobiologie würde nicht existieren. Die DNA und ihre entschlüsselung und damit die Gentechnologie wären Sciencefiction.4

Um 1900 warf eine Reihe von Entdeckungen Fragen auf, die dringend einer Erklärung bedurften. Das ging von der Entdeckung des Elektrons über die Röntgenstrahlung bis hin zur Radioaktivität5. Die umfassende Antwort war die Quantenmechanik.Sie be­schreibt das Verhalten von Materie und Licht exakt. Ein mathematischer Formalismus der als „Grundgleichung“ der Quantenmechanik fungieren kann, ist die sogenannte Schrödingergleichung. Sie wurde 1926 vom Österreicher Erwin Schrödinger entwickelt und in seiner Arbeit „Die Quantisierung als Eigenwertproblem“ veröffentlicht, für die er 1933, zusammen mit Paul Dirac, den Nobelpreis für Physik erhielt. 6 Es soll Ziel dieser Facharbeit sein, eine Deutung der Quantenmechanik, insbesondere eine physikalische Interpretation der Schrödingergleichung, darzulegen. Außerdem wird die eindimensio­nale, zeitunabhängige Schrödingergleichung für grundlegende Beispiele diskutiert und berechnet.

2. DerWeg zur Schrödingergleichung

Es ist generell nicht möglich die Schrödingergleichung durch Anwendung klassischer Grundgleichungen herzuleiten, sie hat sich jedoch experimentell bewährt. Es muss also versucht werden den Sachverhalt durch heuristische Gedankengänge zu erfassen und mathematisch darzustellen. Das heißt, man nimmt die Richtigkeit der Gleichung an und sucht dann den Weg zur Gleichung selbst, deren Gültigkeit ebenfalls angenommen ist. Im folgenden ist ein möglicher Weg zur Schrödingergleichung beschrieben.

Der erste Schritt zur gesuchten Gleichung ist die Materiewelle nach L. V. De Broglie. Die von ihm gefundene Beziehung lautet:

Diese Formeln sind jedoch nicht relativistische Näherungen, der Entdeckung De Bro­glies, der seine Arbeit im Rahmen der Relativitätstheorie entwarf. Schrödinger selbst hat 1925 versucht die Gleichung unter Beachtung der Relativität aufzustellen, er erhieltje- doch unbrauchbare Ergebnisse.7

Ein weiterer Schritt auf dem Weg zur Schrödingergleichung, ist ein Vergleich mit der Optik, in der es es zwei Bereiche gibt, die geometrische Optik und die Wellenoptik. Die geometrische Optik kann zum Beispiel den Lichtweg erklären - es wird hier angenom­men, Licht bestehe aus einzelnen Lichtstrahlen. Will man Phänomene wie die Beugung von Licht erklären, so benötigt man die Wellenoptik. Die geometrische Optik stellt nur eine Näherung für kleine Wellenlängen dar.

Bezieht man diese Überlegung auf die Mechanik, so könnte man annehmen, dass bei der Untersuchung von atomaren Vorgängen eine Wellenmechanik die klassische ersetzt. Denkt man diese Analogie zu Ende, so könnte man vermuten, dass es eine Wellenglei­chung analog der, der Wellenoptik gibt, die auch für Materie gilt.⁸

Ernst Schrödinger machte nun genau diesen Vergleich und setzte die Gleichungen De Broglie 's in die Differentialgleichung der Optik wie folgt ein:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Die Deutung der Quantenmechanik

Schon im Jahr 1926 existierten vier äquivalente mathematische Beschreibungen der Quantenmechanik. Zum einen die Matrizenform von Heisenberg, die sogenannte q- Zahl-Mechanik, auch Quantenalgebra genannt.⁹ Außerdem Borns und Wieners Rech­nung mit Operatoren und zum anderen Schrödingers Wellengleichung. Sie war die ein­zige Form, die die Lösung von quantenmechanischen Aufgaben mit Hilfe der damals konventionellen Mathematik ermöglichte. Und trotzdem blieb ein Bezug zur Realität zunächst aus, die variable у besaß keine anschauliche Interpretation.¹⁰ In der Wellen­gleichung Schrödingers kommen Konstanten wie m, also die Masse, vor, die charakte­ristisch für Teilchen sind. Daran kann man erkennen, dass weder die Teilchenvorstel­lung, von atomaren Objekten, zum Beispiel Elektronen, noch die Wellenvorstellung ein vollständiges Bild liefern. Dieser Dualismus wirft Fragen zum Realitätsbezug der ge­samten Quantenmechanik auf. Im Folgenden wird zuerst die Interpretation der у-Funk- tion gegeben, dann die sogenannte „Kopenhagener Deutung der Quantentheorie“, und zuletzt eine alternative Deutung von Hugh Everett dargestellt.

3.1 Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Max Bom deutete das Quadrat der optischen Wellenamplitude als „Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Photonen. Dies bedeutet im Bezug auf die ^-Funktion, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines Quantenobjekts entspricht. Die y-Funk- tion als solche hat keine anschauliche Bedeutung.¹¹ Diese Interpretation beinhaltet auch den Verlust der klassischen Kausalität, also dem Prinzip von Ursache und Wirkung. Es wird durch eine physikalische Gleichung keine Aussage mehr über den tatsächlichen Zustand eines Objektes gemacht, sondern nur darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit es sich in einem bestimmten Zustand befindet.

3.2 Die KopenhagenerDeutung

Die Kopenhagener Deutung der Quantentheorie besteht im Wesentlichen aus drei Aspekten. Diese drei Bestandteile werden am Beispiel des Doppelspaltversuchs mit Elektronen dargestellt. In diesem Versuch wird ein Elektronenstrahl auf zwei ausrei­chend kleine Spalten mit genügend kleinem Abstand gerichtet. Hinter den Spalten tref­fen die Elektronen auf einen Auffangschirm, auf dem dann ein Interferenzmuster sicht­bar wird, so wie es sich auch beim Doppelspaltversuch mit Licht verhält.¹²

Der erste Bestandteil ist die sogenannte Unverzichtbarkeit klassischer Begriffe. Das heißt, bei allen Versuchen mit Quantenobjekten, seien es reale Versuche oder Gedanken­experimente, werden zur Beschreibung stets klassische Begriffe verwendet. Über Jöns- son's Versuch kann somit nur gesagt werden, dass die Elektronen auf dem Schirm ein Interferenzmuster bilden, darüber wie die einzelnen Elektronen durch die Spalten ge­langt sind, das heißt durch welchen der beiden sie fliegen, kann keine Aussage gemacht werden.¹³

Der zweite Punkt ist die Komplementarität (lat. complementum = Ergänzung¹⁴ ). Das Prinzip der Komplementarität in der Quantentheorie bedeutet die Existenz von sich ge­genseitig zwar ausschließenden, aber dennoch unverzichtbaren sich ergänzenden Eigen­schaften nebeneinander. Auf den Doppelspaltversuch mit Elektronen bezogen, heißt das, dass ihre durch Interferenz gezeigte Wellennatur, die Teilchennatur nicht ausschließt, sondern lediglich ergänzt.

Der dritte Aspekt ist die Ganzheitlichkeit der Quantenphänomene. Ein Quantenobjekt, wie das Elektron, hat alleine keine Bedeutung, sondern nur dann, wenn es beobachtet wird. Möchte man ein Quantenphänomen beobachten, so muss man vorher angeben welche Größen gemessen werden, da durch die Wechselwirkung des Messgerätes mit dem Objekt das Phänomen selbst verändert wird. Im Beispiel des Jönsson'schen Dop­pelspaltexperimentes bedeutet das, dass man neben dem Interferenzmuster am Auffang­schirm auch versucht den Spalt zu messen durch welchen die einzelnen Elektronen flie­gen. Tut man dies entsteht jedoch kein Interferenzmuster. Der Versuch fuhrt dann zum selben Ergebnis wie ein analoger mit makroskopischen Teilchen.¹⁵

3.3 Kritik an derKopenhagenerDeutung

In 3.2.3 ist dargestellt was geschieht, wenn beim Doppelspaltexperiment gemessen wird, durch welchen der Spalten die Elektronen fliegen. Das Interferenzmuster ver­schwindet. Die Elektronen müssten um zu Interferierenjedoch durch beide Spalten flie­gen, denn auch ein einzelnes Elektron verhält sich wie eine Welle, das heißt es muss mit sich selbst Interferieren. Es gäbe also zwei mögliche Flugbahnen, die in einer Superpo­sition nebeneinander stehen. Wird der Ort beim durchfliegen der Spalten aber gemessen, so muss sich diese Superposition auflösen. Man bezeichnet dies auch als den Kollaps der Wellenfunktion, der an sich also der Schrödingergleichung wiederspricht und sie auf Zeit außer Kraft setzt Eine Kritik an der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik bezieht sich meist auf diesen Prozess. „Schrödingers Katze“ ist ein Gedankenexperi­ment, das Ernst Schrödinger ersann, um die Unvollständigkeit der Quantentheorie auf­zuzeigen. Man stelle sich dazu vor, eine Katze werde in einem Behältnis eingesperrt. In dem Behältnis sind außerdem ein Gefäß mit Giftgas, und ein Zufallsgenerator, der in ei­ner festgelegten Zeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% das Gefäß zerbricht und so­mit die Katze tötet. Dass Innere des Behältnisses entzieht sich unserer Beobachtung. Will man nach Ablauf der Zeit eine Aussage über den Zustand machen, so sähe sie so aus: Die Katze ist zu 50% am Leben, zu 50% Tod. Da keine Messung stattgefunden hat, gibt es auch keinen wie oben beschriebenen Kollaps der Wellenfunktion. Nach der Ko­penhagener Deutung der Quantentheorie hieße das, dass Schrödingers Katze gleichzei­tig tot und am leben ist. Mit Hilfe dieses Paradoxons lässt sich die Schwäche der Ko­penhagener Deutung gut darstellen. Die zentrale Frage dieses Experiments ist jedoch nicht ob die Katze stirbt, sondern wann. Einer der Zustände, Leben und Tod, wird real, sobald eine Messung vorgenommen wird, also sobald wir die Kiste öffnen. Würde sich jedoch in der Kiste zusätzlich ein Geigerzähler befinden, der selbst aber wiederum nicht beobachtet würde, hätte die Katze dann einen definierten Zustand oder gelten noch im­mer die beiden komplementären Zustände? Der Schwachpunkt, den die Kopenhagener Deutung nicht erklären kann, ist die Frage nach dem Zeitpunkt des Kollapses der Wel­lenfunktion.¹⁶

3.4 Everetts viele-Welten-lnterpretation

Hugh Everett lebte und studierte in den Fünfziger Jahren in Princeton, USA. Er veröf­fentlichte 1954 seine Dissertation mit der berühmten „Viele-Welten-lnterpretation“, die vor allem für die Sciencefiction Szene bis heute Stoff liefert. Die Viele-Welten-lnterpre­tation umgeht den Kollaps der Wellenfunktion auf elegante Weise, indem sie den Beob­achter Teil des Systems werden lässt. Everett argumentiert, dass die Schrödingerglei­chung grundsätzlich immer und auf alles anwendbar sein müsse und es somit eine „uni­verselle Wellenfunktion“ gebe, die gleichzeitig den Beobachter und das beobachtete System beschreibe. Wird der Zustand eines Teilchens gemessen, so geht der komple­mentäre Zustand nicht verloren, denn die universelle Wellenfunktion erlaubt, dass sich der Beobachter in der Superposition befindet, beide Zustände gemessen zu haben. Die universelle Wellenfunktion bekommt also einen neuen Zweig. Auch nach der Messung ist der gemessene Zustand nicht mehr real als ein anderer Zustand, es gibt vielmehr mehrere Realitäten, die sich jedoch gegenseitig nicht beeinflussen. Everetts Theorie wurde nach ihrer Verfassung im Jahre 1954jedoch zunächst eher ignoriert, als diskutiert und wurde aus wissenschaftlicher Sicht erst in den 1970er Jahren ernst genommen und erfreut sich seitdem unter Physikern zunehmender Beliebtheit.¹⁷ Ob die Theorie korrekt ist, wird man, so Everett selbst, nie sagen können. Seine Doktorarbeit endete mit dem Satz: „Haben wir erst einmal zugegeben, dass jede physikalische Theorie, im Grunde nur ein Modell für die Welt der Erfahrung ist, müssen wir alle Hoffnung preisgeben so etwas wie die korrekte Theorie zu finden ... schlicht darum, weil uns die Totalität der Erfahrung niemals zugänglich ist.“¹⁸

[...]

¹ Gribbin, John: Aufder Suche nach Schrödingers Katze, München/ Zürich, 1991, S.13ff.

² ebd.

³ ebd. S.62.

⁴ ebd. S. 15.

⁵ ebd. S.37ff.

⁶ vgl. Wünschmann, A: Der Weg zur Quantenmechanik, o.O., o.J., S.27.

⁷ vgl. Hund, Friedrich: Geschichte der Quantentheorie,überarbeitete Auflage Mannheim/Wien/Zürich,

⁸ vgl. Wünschmann, Der Weg zur Quantenmechanik, S. 16,23ff.

⁹ vgl. Gribbin, Auf der Suche nach Schrödingers Katze S.124.

¹⁰ vgl. Hund, Geschichte der Quantentheorie S. 175.

¹¹ vgl. Wünschmann, Der Weg zur Quantenmechanik, S. 26

¹² vgl. Hammer, Knauth, Kühnel, 2. korrigierte undverbesserte Auflage, Physik 13 München, 2000, S.11.

¹³ ebd. S.24.

¹⁴ Langenscheidts TaschenwörterbuchLatein, S.113.

¹⁵ vgl. Hammer, Knauth, Kühnel, Physik 13, S.25.

¹⁶ vgl. Gribbin, Auf der Suche nach Schrödingers Katze S. 188-191

¹⁷ vgl. Byrne,Peter, Die Parallelwelten des Hugh Everett, in Spektrum der Wissenschaft, Heidelberg, 4/2008, S. 24ff

¹⁸ ebd. S31