Spieltheorie: 'Kopf oder Zahl: die Qual der Wahl!' Das Spiel 'Matching Pennies' im Kontext des Randomisierungsverhaltens realer Entscheider

InHaltsverzeichnis

1. Motivation

2. Merkmale der Spieltheorie
2.1 Die Spieler
2.2 Die Strategie
2.3 Rationales Verhalten
2.3 Lösungskonzepte der Spieltheorie
2.3.1 Dominante Strategie
2.3.2 Nash-Gleichgewicht
2.3.3 Reines und gemischtes Nash-Gleichgewicht in Koordinationsspielen
2.3.4 Diskoordinationsspiele

3. Experiment „Matching Pennies“
3.1 Vorüberlegungen
3.2 Experimentelles Design
3.2 Auswertung des Experimentes
3.2.1 Vorbemerkung
3.2.1 Analyse

4. Fazit

5. Anhang
5.1 Cover-Story zu „Battle of Sexes“
5.2 Formale Herleitung des optimalen Mischungsverhältnisses
5.3 Abbildungen

6. Literaturverzeichnis

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Motivation

Innovative Entscheidungsprozesse sind komplexe, schlecht definierte, historische Handlungsabläufe. Ihr zentrales Merkmal ist, dass sie sich durch objektive Unsicherheit auszeichnen. Verläufe und Ausprägungen von diesen Prozessen sind nicht ex-ante bekannt ( vgl. Albach 1990, S.2-3 ). Das Ergebnis sind Innovationen, welche mit Risiken behaftet sind. In Innovationsspielen geht es um die Generierung und Durchsetzung neuer Ideen, die im Erfolgsfalle zu neuen Organisationsstrukturen, - kulturen oder zu Anreizen neuem Wissen führen. Es werden die Regeln der Routinespiele verändert. Über neue Strukturen und Anreize wird anderes Verhalten belohnt. Damit kann sich auch das Interesse auf andere Ressourcen überlagern und damit Akteuren Macht verschaffen, die Kontrolle über diese besitzen.

Da Innovationsspiele aus diesem Grunde den Macht-Status-Quo verändern, sind sie sehr konflikthaltig ( vgl. Wilkesmann S.4 ). Deutschland ist, wie die Konflikte zwischen Arbeitgebern und Arbeitnehmern, zwischen der Regierung und einer starken Opposition, zwischen Befürwortern des technischen Fortschritts und Technikgegnern und Grünen beweisen, eine Konfliktgesellschaft ( vgl. Albach 1990, S. 106 ).

Um eine Blockade der Innovationen zu verhindern, muss miteinander kooperiert bzw. koordiniert werden. In den neueren Wissenschaften versucht man den Entscheidungsprozeß in Experimenten zu erklären.

Grundlage für dieses bildet die Spieltheorie. Sie stellt ein formales Konstrukt zur Analyse von Konflikten und Kooperation bereit und ermöglicht die Analyse und Beschreibung strategischer Spiele. Darüber hinaus gewährt sie Einsichten in die freien Entscheidungsprozesse und deren Zusammenhänge in interaktiven Spielsituationen, die nicht mit dem wahrscheinlichkeitstheoretischen Instrumentarium angegangen werden. Vordergründig beschäftigt sie sich damit, für ein gegebenes Spiel bzw. Situation eine Lösung zu ermitteln ( vgl. Rieck 1993, S.18 ).

Es soll für alle sozialen Konfliktsituationen eindeutig das individuell rationale Entscheidungsverhalten definieret werden. Die Spieltheorie liefert uns den Rahmen des zielgerichteten, wechselseitig beeinflussenden und interaktiven Verhaltens zweier oder mehrerer Personen innerhalb unserer Wirklichkeit.

Sie versucht die Aushandlung der Interessengegensätze in Verteilungsspielen zu regeln. Bei Verteilungsfragen ist der entscheidende Faktor, welche Macht die einzelnen Akteure besitzen, dass heißt über welche Ressourcen sie verfügen, an denen die anderen ein Interesse haben. Je mächtiger ein Akteur ist, desto stärker kann er seine Interessen bei der Durchsetzung neuer Lösungen einbringen. Zwei Formen von Verteilungsspielen lassen sich unterscheiden.

Wenn alle Akteure in einer Gruppe gleich mächtig sind, dann ist eine kooperative Lösung von Verteilungsproblemen möglich - Koordinationsspiele.

Herrscht jedoch ein Machtungleichgewicht zwischen den Akteuren bzw. muss ein Akteur einen Nutzenverlust hinnehmen, dann ist keine kooperative Lösung von Verteilungsproblemen möglich - Diskoordinationsspiele ( vgl. Wilkesmann S.7 ).

So schlägt die normative Spieltheorie bei Diskoordinationsspielen, welche keine optimale Lösung im Hinblick auf ein reines Nash-Gleichgewicht haben, das Lösungskonzept des gemischten Nash-Gleichgewicht vor. Fraglich ist, ob dies auch in der Realität eintritt. Spielt jeder wirklich rational ? Wird wirklich in gemischten Strategien gespielt ? Zudem könnten irrelevante Informationen einen Einfluss auf das Verhalten der Spieler haben. Irrelevante Informationen, wie Gewinn- und Verlusterfahrungen spielen bereits in einfachen Situationen der Innovationsforschung eine große Rolle. Es wurden bereits Wirkungen in einem einfachen dynamischen Vorliebekalkül untersucht ( vgl. Schade/ Steul/ Schröder 2002, S.1 ).

Zudem wurden in zahlreichen Studien empirisch das Verhalten in Gewinn- und Verlustsituationen in Koordinationsspielen untersucht. Angeregt durch die jüngsten Forschungsergebnisse von Schade/ Schröder/ Krause in der Studie „Battle of Sexes after Prior Gains and Losses“, in welcher gemischte Strategien mit mutiplen Gleichgewichten in reinen Strategien erfragt wurden, ist zu überprüfen, ob in Diskoordinationsspielen ein gemischtes Nash-Gleichgewicht laut normativer Theorie entsteht und irrelevante Informationen in Form von Gewinn- und Verlusterfahrungen einen Einfluss auf das Spielerverhalten haben. Ziel ist es anhand eines Experiments - “Matching Pennies“ - zu zeigen, ob die in der Realität gespielten Strategien mit der theoretischen Prognose übereinstimmen.

Die Seminararbeit ist folgendermaßen organisiert. Zunächst werden die Merkmalen der Spieltheorie definiert. Diese bilden die Grundlage für das Experiment. Der nachfolgende Abschnitt beschreibt das experimentelle Design. Anschließend erfolgt eine Analyse der Erkenntnisse, um im Abschluss im Fazit die These beweisen bzw. widerlegen zu können.

2. Merkmale der Spieltheorie

Die Spieltheorie beschreibt die Theorie der mathematischen Modelle mit optimaler Entscheidungsfindung unter den Bedingungen von Konfliktsituationen (vgl. Manteuffel/ Stumpe 1979, S.5 ).

2.1 Die Spieler

Im Sinne der Spieltheorie sind alle Akteure Spieler. Ein Spieler ist eine autonome Entscheidungseinheit ( vgl. Wagner 1998, S. 8 ). Man versteht unter Spieler diejenigen Personen, die am Beginn des Spiels eine Strategie wählen müssen.

In unserem Experiment reduzieren wir die Anzahl der Spieler auf zwei. Es spielen immer zwei Akteure gegeneinander. Bezeichnet i die Menge der Spieler, dann verlangen wir i = 1, 2. Die Anzahl der Akteure ist nicht entscheidend. Um aber nicht ständig auf Besonderheiten der jeweiligen Spielform hinweisen zu müssen, ist eine Begrenzung auf genau zwei Akteure sehr sinnvoll.

2.2 Die Strategie

Strategisches Denken ist die Kunst, einen Gegner zu überlisten, der das gleiche versucht ( vgl. Dixit/ Nalebuff 1995, S.1 ). Der Mensch ist ein Stratege. Strategisch ist die Kunst des Kriegführens oder auch geplantes Vorhaben. Immer wieder muss im Innovationsmanagement strategisch gedacht werden, es muss heute geplant werden, wenn ein bestimmtes Ziel erreicht werden soll. Fraglich ist aber wann der Unternehmer oder Produktentwickler ein guter oder schlechter Stratege ist. Oft stehen die Ziele der Beschäftigten im Unternehmen im Konflikt, aber es gibt auch Chancen für Bedürfnisse. Es müssen gleichzeitig die Konflikte berücksichtigt und die Kooperationsmöglichkeiten genutzt werden. Man nennt interaktive Entscheidungen dieser Art strategisch ( vgl. Dixit/ Nalebuff 1995, S.4).

Strategie bedeutet in der Spieltheorie ein komplettes Programm, welches von einem Spieler vor Spielbeginn mitgeteilt wird oder durch diesen selbst festgelegt wird. Der Spieler gibt an, wie er in jeder denkbaren Situation handeln wird, die im Laufe des Spiels auftreten kann. Sie ist also ein vollständiger Verhaltensplan. Die Begründung und Überprüfung von Strategien ist das Anliegen der Spieltheorie ( vgl. Wagner 1998, S.8).

Die Menge der strategischen Möglichkeiten eines Spielers i wird durch seine Strategiemenge åi bezeichnet ( vgl. Güth 2002, S.11 ). Wichtig ist eine Unterscheidung in reine und gemischte Strategien^[1]. Ein Element der Strategiemenge åi heißt reine Strategie und wird mit Si bezeichnet. Das Resultat der Strategiewahlen aller Spieler wird Strategiekonfiguration S = ( Si,.Sl ) Î å genannt oder auch Strategienvektor ( vgl. Güth 2002, S.12 ). Ein Strategienvektor S ist ein Element aus dem Strategienraum S = S1 x S2 x. Sl. Diese Strategiekonfiguration S bzw. der Strategienvektor induziert ein Spielergebnis: Jeder Spieler ordnet jedem Spielausgang einen bestimmten Nutzenwert Ui(S) zu, das heißt für jeden Spieler existiert eine Abbildung Ui : å ® IR ( vgl. Rieck 1993, S.148 ).

2.3 Rationales Verhalten

Die Spieltheorie will ein geeignetes Lösungskonzept entwickeln, das von allen möglichen Ergebnissen diejenigen auswählt, die bei rationalem Verhalten der Spieler als Lösung zu erwarten sind ( vgl. Holler/ Illing 2000, S.2).

Der Homo Ökonomikus ist der Prototyp des rational handelnden Individuums. Er soll in jeder Entscheidungssituation eine optimale Entscheidung treffen. Doch fragt man sich, was rationales Verhalten eigentlich ist. Rational wird definiert als „logisch ableitbar“, „auf Vernunft beruhend“ oder „vernunftsmäßig“. ( vgl. Hermann 1996, S.775 ) Verhalten ist das aus dem Denken gewachsene Tun eines jeden Einzelnen in einer bestimmten Situation. Rationales Verhalten umschließt demnach die durchgeführten Handlungen im Bezug auf ein Problem und deren Lösung.

In der normativen Spieltheorie gilt die Annahme rationalen Verhaltens. Doch fragt man sich, ob der Mensch auch in der Realität rational handelt. Dieses wird unter anderem in unserem Experiment empirisch untersucht.

2.3 Lösungskonzepte der Spieltheorie

Die Aufgabe der Spieltheorie ist es zu prognostizieren, welche Strategie die Spieler in einem Spiel wählen. Diese Prognose nennt man Lösung des Spiels.

2.3.1 Dominante Strategie

Strenge Dominanz bedeutet, dass eine Alternative A die Alternative B dominiert, wenn in jedem Umweltzustand bzw. bei jedem Verhalten der Gegenspieler A besser ist als B ( vgl. Rieck 1993, S. 20 ) .^[2]

Eine Strategie Si*Îåi des Spielers i dominiert seine Strategie SiÎåi falls gilt: Ui(Si*,S-1)³ Ui(si,s-1) für alle möglichen Verhaltensweisen seiner Gegenspieler S-1 und Ui(Si*,S-1)> Ui(Si,S-1) für mindestens ein S-1.

Doch schließt das Konzept – verglichen mit anderen Lösungskonzepten – nur wenige Verhaltensweisen aus, die irgendwie als vernünftig angesehen werden könnten. Man nennt es deshalb ein schwaches Lösungskonzept.

2.3.2 Nash-Gleichgewicht

In der Regel sind strategische Entscheidungssituationen jedoch gerade dadurch ausgezeichnet, dass die optimale Entscheidung vom Verhalten anderer abhängt. Dies macht erst die strategische Situation interessant und schwer lösbar ( vgl. Amann 1999, S.10 ). In der Mehrzahl der Spiele gibt es keine dominanten Strategien. Folglich gibt es ein weiteres Lösungskonzept. Ein Spiel ohne dominante Strategien ist die Matrix in Abbildung 0. Hier hängt die beste Strategie für einen Spieler davon ab, wie sich der Gegenspieler verhält. Würde Spieler B S12 wählen, wäre S11 für Spieler A die beste Antwort, bei S22 wäre es S12 und bei S23 schließlich S13. Umgekehrt würde Spieler B die Strategie S23 vorziehen, wenn A S11 wählen würde, bei S12 würde er mit S22 reagieren und auf S13 wäre S21 die beste Antwort ( vgl. Holler/ Illing 2000, S.10 ).

Eine Strategie Si ist dann die beste Antwort auf eine Strategie S-i, falls keine andere Strategie von Spieler i für ihn eine höhere Auszahlung liefert, vorausgesetzt alle anderen Spieler halten an der vorgegebenen Strategie fest. Der Begriff beste Antwort ermöglicht damit einen stabilen Zustand in einer strategischen Entscheidungssituation zu charakterisieren ( vgl. Amann 1999, S.11).

Eine Strategie Si*Îåi des Spielers i heißt beste Antwort auf das Verhalten S-1 seiner Gegenspieler, wenn gilt: Ui(Si*,S-1)³ Ui(Si,S-1) für alle Strategien SiÎåi des Spielers i ( vgl. Rieck 1993, S.149 ).

Es wurde eine Kombination gefunden, in der die Aktion jedes Spielers die beste Antwort auf die Aktion des anderen ist. Wenn das Verhalten des jeweiligen anderen als gegeben angenommen wird, dann hat keiner von beiden Grund, seinen Zug zu verändern. In der Spieltheorie nennt man ein solches Ergebnis ein Gleichgewicht.

In dem Beispiel gibt es tatsächlich eine Kombination, eine sog. Strategienkombination, die man strategisches Gleichgewicht oder auch nach seinem Erfinder Nash-Gleichgewicht^[3] nennt. Welche Strategiekombination ist im Beispiel der Matrix in Abbildung 0 ein Nash-Gleichgewicht? Gilt Kombination ( S11,S21 ) ist die Strategie S11 zwar die beste Antwort auf S21, würde jedoch Spieler A S11 spielen, dann würde Spieler B sich durch die Wahl von S23 besser stellen. Unter der Voraussetzung, dass S11 gespielt wird, wäre S21 keine nutzenmaximierende Entscheidung. Die Kombination erfüllt also nicht die Bedingung für ein Nashgleichgewicht. Ähnlich kann man bei fast allen anderen Kombinationen argumentieren. Einzig bei der Kombination ( S12,S22 ) besteht für keinen der Spieler ein Grund von seiner Strategie abzuweichen, vorausgesetzt der andere Spieler hält sich an den Vorschlag. Ein Nash-Gleichgewicht ist die Kombination S12,S22 ( vgl. Holler/ Illing 1996, S.10 ).

Ein Strategienvektor S*=(Si*,Sl*) heißt Nash-Gleichgewicht, wenn gilt: Ui(S*)³ Ui(Si,S*-1) für alle Spieler i und für alle Strategien SiÎåi. Die betrachteten Strategien stellen wechselseitig beste Antworten dar und die Strategienkombination befindet sich somit im Gleichgewicht ( vgl. Rieck 1993 S.150 ).

2.3.3 Reines und g emischtes Nash-Gleichgewicht in Koordinationsspielen

Bei dieser Art von Spielen, sollten sich die Spieler mit ihren Gegenspielern auf eine von mehreren möglichen Verhaltensweisen koordinieren. Das bedeutet nicht, dass die Spieler gleich handeln sollten, sie sollten sich aber auf eine bestimmte Strategienkombination koordinieren, die für alle Spieler die beste Antwort darstellt (vgl. Rieck 1993, S.43-44).

Es bedarf einer Koordination im Unternehmen bei Interessenkonflikten zur Entstehung von Innovationen. Eine entscheidende Rolle spielt der Zustand im Unternehmen. Manager lassen sich in ihrer Entscheidungsfindung oft von Gewinn oder Verlusterleben beeinflussen. Es gibt bereits theoretische Ansätze, derartige Effekte in Spielsituationen abzubilden ( vgl. Schade/ Schröder 2002 ). Demnach wurde das Verhalten in solchen Situationen anhand eines Versuches „Battle of Sexes after Prior Gain and Losses“ von Prof. C. Schade, A. Schröder und K. Krause empirisch untersucht. Es ist angelehnt an das Koordinationsspiel Kampf des Geschlechter – „The Battle of the Sexes“.^[4]

Das Spiel hat zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien und ein Gleichgewicht in gemischten Strategie. Die Spieler haben nicht die Möglichkeit zu kommunizieren, es ist also keine ausdrückliche Koordination möglich.

Bevor das Spiel beginnt, wird dem Spieler per Zufall zugewiesen, ob sie ein Verlierer, Gewinner oder Neutraler sind. Dadurch wird der Spieler auf einen auf früheren Ergebniserfahrungen basierten Zustand gebracht.

Als Auszahlungsmatrix gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anschließend soll der Spieler sich für eine Strategie entscheiden, die Individuen werden direkt nach Mischungswahrscheinlichkeiten gefragt. Es wurden zahlreiche Runden gespielt. Dabei wurden Abweichungen von den normativen Voraussagen gefunden. ( vgl. Schade/ Schröder/ Krause 2002, S.1) Die Matrix verdeutlicht mehrere Nash-Gleichgewichte, sowohl ( S11,S21 ) als auch ( S12,S22 ) sind wechselseitig beste Antworten. Die Strategiewahl ist in diesen Kombinationen der Spieler eindeutig determiniert, die Spieler wählen reine Strategien. Fraglich ist, welches dieser Gleichgewichte realisiert werden soll.

Man kann sicher davon ausgehen, dass beide Spieler die gleichen Erwartungen bilden, sofern sie gemeinsame Erfahrungen haben. Wenn einer der Spieler also weiß, dass der andere die erste Strategiekombination anstrebt, dann kann er sich nicht verbessern indem er abweicht. Fehlt dagegen ein solches Vorwissen, würde man vermuten, dass beide, unsicher über das Verhalten des Partners, eine Zufallsauswahl bezüglich ihrer Strategien träfen, dass heißt gemischte Strategien wählten ( vgl. Holler/ Illing 1996, S.11). Wenn beide Spieler zwischen Ihren reinen Strategien mischen bzw. hin und her wählen, dass heißt sie wählen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit mal die eine, mal die andere, findet man ein Gleichgewicht. Die Spieler müssen nur noch das optimale Mischungsverhältnis, mit der die reinen Strategien gewählt werden, angeben. Man wählt nicht mehr direkt seine Strategien, sondern es wird lediglich ein Zufallsmechanismus vorgegeben, der anschließend die tatsächlich gespielte Strategie bestimmt. Es wird eine gemischte Strategie gespielt.^[5] Diese Vorgehensweise nennt man auch randomisieren^[6] ( vgl. Rieck 1993, S.54 ).

Bei einer gemischten Strategie wählen die Spieler nicht direkt ihre eigenen Strategien Si Î åi , sondern wählen statt dessen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über ihrer Strategiemenge. Jeder Spieler i ordnet also jeder einzelnen ihm zur Verfügung stehenden reinen Strategie Si’ Î åi eine Wahrscheinlichkeit qi ( Si’ ) zu. Eine gemischte Strategie kann man daher schreiben als qi = (qi (Si1), qi (Si2), .qi (SiJ)). Wenn gilt: qi’: = (qi (Si’), kann man verkürzt schreiben: qi = (qi1, qi2,..., qiJ) ( vgl. Rieck 1993, S.150).

Die normative Theorie ermittelt im Experiment von Schade/Schröder/Krause ein Erwartungswert von w= (9-0)/(3-0)+(9-0); w = 0,75^[7]. Das bedeutet, das beide Spieler ihre jeweilige Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit von w = 0,75 wählen. Fraglich ist, ob dieses in der Realität möglich ist, wenn die Spieler mit irrelevanten Informationen behaftet sind. In diesem Experiment wurden wiederholt zahlreiche Runden gespielt. Dabei wurde Koordination möglich. Es wurden Abweichungen von den normativen Voraussagen gefunden. ( vgl. Schade/ Schröder/ Krause 2002, S.1 )

[...]

^[1] Der Begriff der gemischten Strategie wird erst späteren Teil der Arbeit genauer definiert.

^[2] Das Wort dominante Strategie wird nicht ganz einheitlich verwendet. Manchmal ist es ein Synonym zu dominierende Strategie, manchmal wird es gebraucht um auszudrücken, dass eine Strategie alle anderen Strategien dominiert. Hier wird der Dominanzbegriff ausschließlich für den Vergleich von genau zwei Strategien verwendet) .

^[3] Dieses Konstrukt wurde von dem Mathematiker John Nash aus Princeton entwickelt, der dafür 1994 einen der Nobelpreise der Wissenschaften bekam. ( vgl. Dixt/Nalebuff 1995, S.76 )

^[4] Im Anhang befindet sich hierzu die Cover-Story.

^[5] Eine gemischte Strategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Strategien. Der Spieler wählt also nicht die zu spielende Strategie selbst, sondern nur die Wahrscheinlichkeiten für die reinen Strategien und überlässt das tatsächliche Ergebnis einem Zufallsmechanismus.

^[6] Dieser Begriff bedeutet „zufällig auswählen“.

^[7] Die Herleitung dieser Formel befindet sich im Anhang.( vgl. Rieck S.56-57 )