Praktikumsauswertung zum Zeeman-Effekt

Theorie

In diesem Versuch wollten wir das Verhalten von Atomen in Magnetfeldern in Bezug auf die Energieniveaus ihrer Elektronenschalen untersuchen. Die zwei wichtigen Effekte sind der Zeeman- Effekt und der Paschen-Back-Effekt. Bei beiden Effekten werden die Spektralllinien, die ein bestimmtes Atom bzw. Element emittiert, in mehrere Komponenten aufgespalten. Dieses Aufspalten wurde erstmals von Pieter Zeeman in 1896 beobachtet und von Lorentz kurz darauf klassisch erklärt.

In der gesamten Auswertung gelte für das Magnetfeld:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

1. Klassische Herleitung des Zeeman-Effekts

Aufgrund der Tatsache, dass diese Herleitung klassisch ist, wird der Spin nicht berücksichtigt und wird gleich 0 gesetzt. Dies ist nicht grundsätzlich falsch, da Atome durchaus einen Gesamtelektronenspin von 0 haben (z.B. wenn alle Energieschalen vollständig besetzt sind).

Lorentz erklärte das entstehen der Spektrallinien durch einen schwingenden Dipol, der sich auf einer Kreisbahn mit der Frequenz w um das Atom bewegt. Diese Kreisbahn hat er dann als drei separate Bewegungen aufgefasst: zwei gegenläufige zirkular polarisierte Schwingungen in der x-y- Ebene und eine lineare Schwingung in z-Richtung. Befindet sich dieser Dipol in einem Magnetfeld [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] so wirkt auf ihn die Lorentzkraft

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Die z-Komponente bleibt unverändert, da sie parallel zum magnetischen Feld liegt. Die beiden zirkular polarisierten Komponenten werdenjedoch von der Lorentzkraft beeinflusst. Wie man leicht sieht, wirkt die Kraft je nach Drehrichtung entweder nach innen oder nach außen, was zu einer Verkleinerung bzw. einer Vergrößerung der Bahnradien führt. Dies bedeutet wiederum, dass die Kreisfrequenz sich vergrößert bzw. verkleinert. Durch gleichsetzen der Lorentzkraft mit der Änderung der Zentripetalkraft kann man zeigen, dass für eine kleine Frequenzänderung Aw gilt:

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Wie aber bereits erwähnt berücksichtigt diese Herleitung nicht den Spin der Elektronen, weshalb nur die Übergänge zwischen zwei Zuständen mit einem Gesamtspin von 0 dadurch erklärt werden können. Eine genauere Beschreibung liefert die quantenmechanische Beschreibung. Diesen Spezialfall des Zeeman-Effekts bezeichnet man auch als „normalen Zeeman-Effekt“.

2. Quantenmechanische Beschreibung des Zeeman-Effekts

Ein geladenes Teilchen mit Drehimpuls besitzt ein magnetisches Moment. Im Fall eines Elektrons gibt es sogar zwei magnetische Momente (für den Spin und den Drehimpuls), die sich zu einem gesamten magnetischen Moment koppeln. Für den Drehimpuls gilt

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Wir verwenden der Einfachheit wegen die vektorielle Schreibweise statt der Operatorschreibweise. L ist der Drehimpuls, h das reduzierte plancksche Wirkungsquantum, me die Elektronenmasse, und e die Elementarladung.

Für den Spin gilt analog dazu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund von relativistischen Effekten, tritt hier ein Gewichtungsfaktor gs auf. Dieser soll zeigen, dass identische Spin- und Drehimpulsvektoren unterschiedliche magnetische Momente hervorrufen. Aus der Dirac-Theorie geht hervor, dass gs ~2 gilt.

Spins und Drehimpulse eines Mehrelektronensystems koppeln nun zu einem Gesamtdrehimpuls. Die Art der Kopplung ist hier sehr wichtig. Es gibt zwei grundsätzliche Arten der Spin-Bahn­Kopplung. Bei der LS-Kopplung entstehen ein Gesamtspin S und ein Gesamtbahndrehimpuls L aus den Summen der einzelnen Spins und Drehimpulse, die sich zu einem Gesamtdrehimpuls J koppeln. Bei derjj-Kopplung werden die Spins und die Bahndrehimpulse eines einzelnen Elektrons erst zu einem Gesamtdrehimpuls j gekoppelt und dann erst koppeln sich die einzelnen Gesamtdrehimpulse zu J. Die Quantenzahlen S und L sind nun nicht mehr bestimmbar. Die LS- Kopplung tritt bei sehr leichten Kernen auf, während die jj-Kopplung bei sehr schweren Kernen auftritt. Zwischen diesen beiden Grenzfällen liegen Mischformen vor.

Gehen wir nun von einer LS-Kopplung aus. Während sich S und L zu J = S + L koppeln sehen wir, dass sich die magnetischen Momente zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] koppeln. Das magnetische Moment und der Gesamtdrehimpuls sind nicht mehr parallel. Wenn wir die Annahme machen, dass die Präzession des magnetischen Moments um den Gesamtdrehimpuls viel schneller ist als die Präzession des Drehimpulses um die z-Achse ist, so können wir das magnetische Moment zeitlich mitteln und auf den Gesamtdrehimpuls projizieren. Die Präzession des Drehimpulses um die z-Achse ist deswegen wichtig, da diese Komponente parallel zum B-Feld ist und, gemäß der Quantenmechanik, als einzige ausgezeichnete Achse die einzig messbare Komponente des Drehimpulses ist. Es gilt nun für die zusätzliche, durch das Magnetfeld verursachte, potentielle Energie eines bestimmten Zustandes:

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Dabei ist pJ die Projektion des magnetischen Moments auf den Drehimpuls J und a der Winkel zwischen B-Feld (z-Achse) und Drehimpuls. Wertet man diesen Ausdruck aus, so kann man ihn unter Beachtung der Tatsache, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folgendermaßen schreiben

Mj ist die magnetische Quantenzahl zum Gesamtdrehimpuls. Für sie gilt selbstverständlich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Daraus folgt, dass sich eine Spektrallinie in (2J+1) Spektrallinien Aufspalten wird.

Für die Aufspaltung der Spektrallinien im Magnetfeld ergibt sich also

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mj bzw. gjr bezeichnen hierbei den Anfangszustand und MJ' bzw. gJ den Endzustand. Wir sehen, dass sich für S = 0 der normale Zeeman-Effekt als Grenzfall dieses sogenannten anomalen Zeeman- Effekts ergibt.

3. Paschen-Back-Effekt

Es gibt auch noch einen zweiten Effekt, der in einem externen Magnetfeld auftreten kann. Ist die Energie des Magnetfeldes sehr groß gegen die Spin-Bahn-Wechselwirkung, so kann man diese vernachlässigen. Der Bahndrehimpuls L und der Spin S präzedieren nun getrennt um die z-Achse, ohne sich zu einem Gesamtdrehimpuls zu koppeln. Zur Aufspaltung der Spektrallinien tragen beide magnetischen Momente getrennt bei, so dass sich für die potentielle Energie ergibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier sind ML und MS diejeweiligen magnetischen Quantenzahlen zum Bahndrehimpuls und Spin.

Aufgrund der Tatsache, dass hier der Spin und der Bahndrehimpuls explizit im der Gleichung für die potentielle Energie eingehen findet der Paschen-Back-Effekt nur bei Kernen mit LS-Kopplung statt. Der Zeeman-Effekt ist dagegen bei beiden Kopplungstypen beobachtbar.

4. Auswahlregeln

Der Übergang zwischen zwei Zuständen ist nicht immer erlaubt. Wenn wir davon ausgehen, dass es sich beim Übergang zwischen zwei Systemen um elektrische Dipolstrahlung handelt, so ergeben sich folgende Regeln:

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Dabei entspricht AMJ = ±1 den links- bzw. rechtszirkular polarisierten Wellen (auch g“ bzw. g+- Komponenten genannt) und AMJ = 0 der linear polarisierten Welle (auch л-Kompnente genannt). Ein Übergang von J=0 auf J- 0 istjedoch nicht möglich. Falls AJ = 0 ist, kann kein MJ=0^MJ'=0 Übergang stattfinden.

Daraus sehen wir sofort eine Konsequenz für den Paschen-Back-Effekt. Aus der Energiedifferenz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

folgt, dass der normale Zeeman-Effekt und der Paschen-Back-Effekt spektroskopisch identisch sind.

5. Fabry-Perot-Interferometer

Zur Beobachtung der Spektren haben wir ein Fabry-Perot-Interferometer verwendet. Dieses besteht im Wesentlichen aus zwei parallelen Glasplatten, die einen geringen Transmissionskoeffizienten haben. Dadurch entstehen aus einem schräg einfallenden Lichtstrahl sehr viele parallele Lichtstrahlen.

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