Die Welt der Mathematik und ihre dazugehörigen zahlreichen Anwendungen
weisen häufig komplizierte und abstrakte Funktionen auf, deren Auswertung lange und aufwendige Rechenwege mit sich zieht. Darum ist es sinnvoll, solche Funktionen durch umgänglichere Funktionen möglichst gut zu approximieren, d.h. an zu nähern (lat. appropinquare: sich nähern). Dazu bieten sich der Einfachheit halber Funktionen an, welche sich durch Polynome oder durch eine unendliche Polynomfunktionen, also Potenzreihen, darstellen lassen.
Inhaltsverzeichnis (Table of Contents)
- Einleitung
- Herleitung der Taylor-Reihe mit der Entwicklungsstelle xo und der Maclaurin-Reihe mit x0 = 0 für die Potenzreihenentwicklung einer Funktion f(x)
- Herleitung der Restgliedformel nach Lagrange mithilfe des erweiterten Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
- Herleitung spezieller Funktionen und Beispiele der Potenzreihenentwicklung mit Konvergenzbetrachtungen
- Konvergenzradius r einer Potenzreihe
- Die natürliche Exponentialfunktion exp(x)
- Der Logarithmus naturalis
- Die Kosinusfunktion cos(x)
- Anwendungen der Potenzreihenentwicklung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte (Objectives and Key Themes)
Dieses Werk befasst sich mit der Potenzreihenentwicklung von Funktionen und deren Anwendung in der Mathematik. Es zielt darauf ab, das Konzept der Taylor-Reihe und der Maclaurin-Reihe zu erläutern, ihre Herleitung zu demonstrieren und ihre Bedeutung für die Approximation von Funktionen aufzuzeigen.
- Die Taylor-Reihe und ihre Anwendung auf die Approximation von Funktionen
- Die Herleitung der Restgliedformel nach Lagrange
- Die Bestimmung des Konvergenzradius einer Potenzreihe
- Die Potenzreihenentwicklung spezifischer Funktionen wie der Exponentialfunktion, dem Logarithmus naturalis und der Kosinusfunktion
- Anwendungen der Potenzreihenentwicklung in verschiedenen Bereichen der Mathematik
Zusammenfassung der Kapitel (Chapter Summaries)
Die Einleitung führt in das Thema der Potenzreihenentwicklung ein und erläutert die Notwendigkeit, komplizierte Funktionen durch einfachere Funktionen zu approximieren. Dabei wird auf die historische Entwicklung des Konzepts der Taylor-Reihe und der Maclaurin-Reihe eingegangen.
Das zweite Kapitel behandelt die Herleitung der Taylor-Reihe und der Maclaurin-Reihe. Es wird erklärt, wie man die Potenzreihenentwicklung einer Funktion f(x) mit Hilfe der Entwicklungsstelle xo und der Maclaurin-Reihe mit x0 = 0 erhält.
Im dritten Kapitel wird die Restgliedformel nach Lagrange hergeleitet, welche den Fehler, der bei der Approximation einer Funktion durch ein Polynom entsteht, quantifiziert.
Das vierte Kapitel widmet sich der Herleitung der Potenzreihenentwicklung spezifischer Funktionen, wie der Exponentialfunktion, dem Logarithmus naturalis und der Kosinusfunktion. Dabei wird auch der Konvergenzradius der jeweiligen Potenzreihe betrachtet.
Schlüsselwörter (Keywords)
Die Schlüsselwörter dieses Werks sind: Potenzreihenentwicklung, Taylor-Reihe, Maclaurin-Reihe, Approximation, Restgliedformel, Konvergenzradius, Exponentialfunktion, Logarithmus naturalis, Kosinusfunktion.
- Citation du texte
- Hannes Rosenow (Auteur), 2011, Potenzreihenentwicklung mit der Entwicklungsstelle x0 = 0 nach Maclaurin, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/175384
