Die Monte Carlo Simulation

Was ist darunter zu verstehen, welche Instrumente für die Anwendung werden benötigt und der Stellenwert verdeutlicht anhand eines Beispiels


Seminararbeit, 2009
27 Seiten, Note: 1,3

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Die Monte Carlo Simulation
2.1 Geschichte der Monte Carlo Simulation
2.2 Wesen der Monte Carlo Simulation

3 Zufallszahlen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
3.1 Diskrete Verteilungen
3.2 Stetige Verteilungen
3.2.1 Die Gleichverteilung
3.2.2 Die Exponentialverteilung
3.2.3 Die Normalverteilung

4 Erzeugung von Zufallszahlen
4.1 Gleichverteilte Zufallszahlen
4.1.1 Mid-Square-Methode
4.1.2 Kongruenzmethode nach Lehmer
4.2 Statistische Tests

5 Beispiel: Produktentwicklung

6 Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

3.1 Dichte- und Verteilungsfunktion der Gleichverteilung
3.2 Dichte- und Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
3.3 Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

5.1 Verteilung der Entwicklungs- und Testkosten
5.2 Szenario 1 (1. Durchlauf der Simulation)
5.3 Szenario 2 (2. Durchlauf der Simulation)
5.4 Szenario 3 (3. Durchlauf der Simulation)
5.5 Histogramm - Häufigkeitsverteilung
5.6 Statistische Kennzahlen
5.7 Quantile

Tabellenverzeichnis

4.1 Beispiel zur Mid-Square-Methode
4.2 Beispiel zur Kongruenzmethode nach Lehmer

5.1 Base Case - Beispiel: Produktentwicklung

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Viele Probleme in der Praxis sind so komplex, dass sie nicht mathematisch exakt gelöst werden können. In solchen Fällen werden heuristische Verfahren wie die Simulation benötigt. Bei der Simulation werden komplexe technische oder wirtschaftliche Abläufe mit Hilfe eines Modells nachgebildet, analysiert und ausgewertet.1 Simulationen sind be- sonders dann nützlich, wenn keine analytischen Methoden zur Problemlösung vorhan- den sind oder der Einsatz von solchen Methoden einen zu hohen Aufwand erfordert oder reale Experimente aufgrund der Kosten, der Zeit oder des Risikos unmöglich sind.2 Früher oft nur für die Technik bedeutend, gehört die Simulation heute zu den wichtigs- ten Teilgebieten des Operations Research. Sie dient hier vor allem der Analyse stochas- tischer Problemstellungen.3 Im Operations Research bedeutet Simulation, die Nachbil- dung der Realität mit mathematischen, numerischen bzw. statistischen Modellen.4 Es existiert eine Vielzahl an Anwendungsmöglichkeiten und Systematisierungsvorschlägen. Dabei wird u.a. zwischen deterministischer und stochastischer Simulation unterschieden. Wie der Name schon sagt, werden bei der deterministischen Simulation Probleme ana- lysiert und gelöst, bei denen alle Inputdaten bekannt sind. Beispiele hierfür sind deter- ministische Lagerhaltungsabläufe oder Tourenplanungsprobleme. Bei der stochastischen Simulation (in der Literatur als Monte Carlo Simulation bezeichnet) werden dage- gen Probleme analysiert, die von zufälligen Einflüssen abhängen. Als Beispiel können Wartungs- und Instandhaltungs-, Warteschlangen-, Lagerhaltungs- und Reihenfolgepro- bleme genannt werden.5 Diese Arbeit beschäftigt sich im Folgenden genauer mit der Monte Carlo Simulation. Es wird erklärt, was darunter zu verstehen ist und welche In- strumente für die Anwendung benötigt werden. Außerdem soll anhand eines Beispiels der Stellenwert verdeutlicht werden. Am Ende der Arbeit wird eine kurze Zusammenfas- sung gegeben.

2 Die Monte Carlo Simulation

Die Monte Carlo Simulation oder auch Monte Carlo Methode genannt, hat ihren Namen von der Stadt Monte Carlo, die bekannt für ihr Spielkasino ist. Eines der bekanntesten Glücksspiele in einem Spielkasino ist das Roulette.1

”DiesesSpielistnichtsanderesalsein einfacher mechanischer Zufallszahlen-Generator.“2 Hier liegt auch der Zusammenhang zu der Monte Carlo Simulation.

”DieMonte-Carlo-MethodeisteinenumerischeMethode zur Lösung mathematischer Probleme mit Hilfe der Modellierung von Zufallsgrößen.“3

2.1 Geschichte der Monte Carlo Simulation

”NachderLegendewurdedieMonteCarlo-MethodevoneinemMathematikererfunden, der die Fortbewegung eines Betrunkenen beobachtete.“4 Er wollte ermitteln, wie weit sich der Betrunkene nach einer bestimmten Anzahl an Schritten von einer Laterne entfernt. Dazu versuchte der Mathematiker den Weg des Mannes zu simulieren, anstatt eine große Anzahl von Personen zu beobachten.5

Die ersten intensiven Forschungen zum Thema Monte Carlo Simulation entstanden während des Zweiten Weltkrieges im Zusammenhang mit der Herstellung der Atombom- be. Die Idee wurde allerdings schon früher seit Mitte des 19. Jahrhunderts von Statis- tikern bei der Untersuchung von Problemen genutzt, z.B. zur näherungsweisen Berech- nung der Zahl π.6 Als Geburtsjahr gilt das Jahr 1949, in dem die Arbeit

”TheMonte

Carlo method“ von Metropolis, N. und Ulam, S. erschien.7 Als Begründer gelten J. von Neumann und S. Ulam. Eine breitere Anwendung der Methode erfolgte erst nach der Erweiterung und Entwicklung der computergestützten Rechentechnik, da diese zur Durchführung komplexerer Simulationen nötig war.8

2.2 Wesen der Monte Carlo Simulation

Wie schon oben beschrieben, werden bei der Monte Carlo Simulation mit Hilfe von Zu- fallszahlen künstliche, zufällige Stichproben erzeugt und bestimmte Zusammenhänge si- muliert.9 D.h. es wird als erstes ein Modell für das zu lösende Problem aufgestellt, dann erfolgt eine Simulation der Zufallsgrößen und anschließend eine statistische Auswertung. 10 Der Vorteil dieser Methode liegt in der Einfachheit und Schnelligkeit im Vergleich zu anderen klassischen Methoden. Das bedeutet aber nicht, dass sie immer angewendet wer- den sollte. Ein Problem liegt in der Modellierung des zufälligen Modells, und zwar dann, wenn es auf empirischen Beobachtungen beruht.11 Ein weiteres Problem ist die Rechen-genauigkeit. Sie wächst ”nur“mitderWurzelderAnzahlderSimulationen,d.h.wenndie Genauigkeit verzehnfacht werden soll, muss die Anzahl der Durchläufe verhundertfacht werden. Der Fehler der bei der Simulation auftritt ist zufällig, es kann nur angegeben werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Fehler kleiner ist als eine bestimmte Größe. Deshalb sollte die Monte Carlo Simulation nur dann eingesetzt werden, wenn keine ande- ren Möglichkeiten vorhanden sind bzw. die Genauigkeit für den Anwender einen nicht so hohen Stellenwert besitzt.12 Allerdings muss erwähnt werden, dass die Einsatzmöglich- keiten sehr groß sind und durch die heutige Technik eine sehr große Anzahl an Simulatio- nen durchgeführt werden kann und damit auch ziemlich genaue Ergebnisse erreicht wer- den. So lassen sich mit der Monte Carlo Simulation u.a. Probleme deterministischer Na- tur (Berechnung von bestimmten Integralen, Lösung von Differential- und Integralglei- chungen, usw.) und stochastischer Natur (Lagerhaltungs- und Warteschlangenprobleme, Netzplantechnik, usw.) lösen.13 Sie ist universell einsetzbar, da zu fast jedem Problem ein entsprechendes Modell aufgestellt werden kann.14 In den nächsten zwei Abschnitten soll etwas näher auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Erzeugung von Zufallszah- len eingegangen werden, da diese von großer Bedeutung für die Monte Carlo Simulati- on sind. Allerdings werden keinerlei Beweise geführt. Für eine detailliertere Darstellung wird auf die entsprechende Literatur zum Thema Statistik und Stochastik verwiesen.

3 Zufallszahlen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Um überhaupt Simulationen durchführen zu können, werden Zufallszahlen benötigt, die meist bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilungen entsprechen sollen. An dieser Stelle soll erst einmal beschrieben werden, was unter einer Zufallszahl zu verstehen ist und welche wichtigen Verteilungen es gibt.

Eine Zufallszahl ist das Ergebnis eines Zufallsexperiments und wird auch als Zufallsvariable meist X bezeichnet.1 Die Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann, heißen Realisationen bzw. Ausprägungen. Es wird unterschieden zwischen:

- diskreten Zufallszahlen: endlich oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen und
- stetigen Zufallszahlen: unendlich viele Ausprägungen innerhalb eines bestimmten Bereichs der reellen Zahlen.2

”DieunterschiedlichenRealisationeneinerZufallsvariablenwerdenmitHilfederWahr- scheinlichkeitsfunktion (Wahrscheinlichkeitsverteilung) der Zufallsvariablen X erfasst.“3

Je nachdem welche Art von Zufallszahlen vorliegen, wird zwischen diskreten und stetigen Verteilungen unterschieden.

3.1 Diskrete Verteilungen

Die Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete Zufallsvariable X die Ausprägung xi annimmt, ist P(X = xi) > 0. Die Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. Es gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] .Des Weiteren sei

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariable. Sie ist immer eine monoton wachsende Treppenfunktion. Eine Verteilung wird durch die Parameter Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung näher charakterisiert. Dabei sei:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten4

Beispiele für diskrete Verteilungen sind:

- die Poissonverteilung,
- die Binomialverteilung und
- die Geometrische Verteilung.5

Allerdings soll hier nicht genauer darauf eingegangen werden.

3.2 Stetige Verteilungen

Stetige Zufallsvariablen können in einem bestimmten Intervall unendlich viele Ausprägungen annehmen. Im Gegensatz zu diskreten Verteilungen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable eine konkrete Realisation annimmt gleich ”0 “,d.h.esgilt: P(X = x) = 0. Bei stetigen Verteilungen spricht man anstelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion von der Dichtefunktion oder kurz: Dichte.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable eine Ausprägung im Intervall [a,b] annimmt, kann wie folgt berechnet werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies entspricht der Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion im entsprechenden Intervall. Die Verteilungsfunktion lautet dementsprechend:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auch für stetige Verteilungen können die charakteristischen Parameter angegeben wer- den:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten 6

Im Folgenden werden einige für die Simulation bedeutende stetige Verteilungen vorge- stellt.

3.2.1 Die Gleichverteilung

Bei der Gleichverteilung haben alle Werte die innerhalb des Intervalls [a,b] auftreten die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Dichtefunktion lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Verteilungsfunktion gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]


1 Vgl. Zimmermann (1999): Operations Research, S. 336.

2 Vgl. Corsten/Corsten/Sartor (2005): Operations Research, S. 224f.

3 Vgl. Domschke/Drexl (2005): Einfuhrung in Operations Research, S. 223.

4 Vgl. Grundmann (2002): Operations Research: Formeln und Methoden, S. 141.

5 Vgl. Zimmermann (1999): Operations Research, S. 337 und Neumann/Morlock (2004): Operations Research, S. 698.

1 Vgl. Domschke/Drexl (2005): Einfuhrung in Operations Research, S. 224.

2 Frey/Nießen (2005): Monte Carlo Simulation, S. 15.

3 Sobol (1983): Die Monte-Carlo-Methode, S. 9.

4 Kohlas (1972): Monte Carlo Simulation im OR, S. 2.

5 Vgl. Zimmermann (1999): Operations Research, S. 339 und Kohlas (1972): Monte Carlo Simulation im OR, S. 2ff.

6 Vgl. Sobol (1983): Die Monte-Carlo-Methode, S. 9; Frey/Nießen (2005): Monte Carlo Simulation, S. 16 und Kalos/Whitlock (2008): Monte Carlo Methods, S. 1 und S. 4f.

7 Vgl. Hengartner/Theodorescu (1978): Einführung in die Monte-Carlo-Methode, S. 17.

8 Vgl. Hammersley/Handscomb (1964): Monte Carlo Methods, S. 6-9.

9 Vgl. Zimmermann (1999): Operations Research, S. 339.

10 Vgl. Sobol (1983): Die Monte-Carlo-Methode, S. 11 und Kohlas (1972): Monte Carlo Simulation im OR, S. 1.

11 Vgl. Hengartner/Theodorescu (1978): Einführung in die Monte-Carlo-Methode, S. 12.

12 Vgl. Sobol (1983): Die Monte-Carlo-Methode, S. 11; Hengartner/Theodorescu (1978): Einführung in die Monte-Carlo-Methode, S. 12 und Zimmermann (1999): Operations Research, S. 339.

13 Vgl. Hengartner/Theodorescu (1978): Einführung in die Monte-Carlo-Methode, S. 11.

14 Vgl. Sobol (1983): Die Monte-Carlo-Methode, S. 11f und Kalos/Whitlock (2008): Monte Carlo Methods, S. 3.

1 Vgl. Heinrich (2006): Grdlg. der Mathematik, der Statistik und des OR, S. 224f und Zimmermann (1999): Operations Research, S. 248.

2 Vgl. Corsten/Corsten/Sartor (2005): Operations Research, S. 229.

3 Corsten/Corsten/Sartor (2005): Operations Research, S. 229.

4 Vgl. Heinrich (2006): Grdlg. der Mathematik, der Statistik und des OR, S. 226-230 und Werners (2006): Grundlagen des OR, S. 275ff.

5 Vgl. Grundmann (2002): Operations Research: Formeln und Methoden, S. 35.

6 Vgl. Corsten/Corsten/Sartor (2005): Operations Research, S. 285 und Heinrich (2006): Grdlg. der Mathematik, der Statistik und des OR, S. 233-236.

Ende der Leseprobe aus 27 Seiten

Details

Titel
Die Monte Carlo Simulation
Untertitel
Was ist darunter zu verstehen, welche Instrumente für die Anwendung werden benötigt und der Stellenwert verdeutlicht anhand eines Beispiels
Hochschule
Technische Universität Dresden
Note
1,3
Autor
Jahr
2009
Seiten
27
Katalognummer
V175541
ISBN (eBook)
9783640965496
ISBN (Buch)
9783640965649
Dateigröße
813 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Monte Carlo Simulation, Monte Carlo Methode, Simulation, Operations Research, heuristische Verfahren, stochastische Simualtion, Zufallszahlen, Statistik, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Diskrete Verteilung, Stetige Verteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung, Normalverteilung, Dichtefunktion, Gleichverteilte Zufallszahlen, Mid-Square-Methode, Kongruenzmethode, Statistische Tests, Crystal Ball
Arbeit zitieren
Gino Schneider (Autor), 2009, Die Monte Carlo Simulation, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/175541

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