Visualisierung des Newton-Verfahrens mittels Computers zur Unterstützung eines tieferen Verständnisses iterativer Verfahren


Examensarbeit, 2002
51 Seiten, Note: 2,0

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

1. Überlegungen und Beweggründe
1.1. Erfahrungen aus der eigenen unterrichtlichen Praxis
1.1.1. Das Newton-Verfahren in einem Kurs der Jahrgangsstufe 11
1.1.2. Unterrichtserfahrungen mit Computern als Medium
1.2. Unterricht mit dem Computer
1.2.1. Einflüsse des Computers
1.2.2. Tabellenkalkulation als ein Werkzeug für den Unterricht

2. Einordnung in den unterrichtlichen Ablauf
2.1. Vorhergehende Unterrichtsschritte
2.2. Einsatz der Datei „Newton.xls“ im Untterricht
2.3. Der anschließende Unterricht

3. Die Excel-Arbeitsmappe „Newton.xls“
3.1. Technische Voraussetzungen
3.2. Grundideen bei der Entwicklung von „Newton.xls“
3.3. Arbeiten mit „Newton.xls“
3.3.1. Der erste Start
3.3.2. Die Einführung
3.3.3. Mathematisierung und Hinführung zum Näherungsverfahren
3.3.4. Geometrische Grundlagen
3.3.5. Mathematisierung der Geometrie
3.3.6. Interaktive Nullstellenuntersuchung von Funktionen
3.4. Das Hauptmodul „Untersuchung.xls“
3.4.1. Eingabemaske für Funktion und Startwert x0
3.4.2. Ausgabetabelle für die Ergebnisse des Newton-Verfahrens
3.4.3. Koordinatensystem und Formatierung der Achsen

Fazit

Abbildungsverzeichnis

Literaturverzeichnis

Anhang

Vorwort

Das Thema „Visualisierung des Newton-Verfahrens mittels Computers zur Unterstützung eines tieferen Verständnisses iterativer Verfahren“ der vorliegenden Arbeit ist aus meiner unterrichtlichen Praxis in einem Mathematik- Kurs der Jahrgangsstufe 11 am Heinrich-Heine-Gymnasium, Bottrop, erwachsen.

In diesem Kurs, der mir im Bereich meines bedarfsdeckenden Unterrichtes zugeteilt war, unterrichtete ich im zweiten Halbjahr des Schuljahres 2001/02 u. a. eine Unterrichtsreihe zum Thema der Kurvendiskussion im Bereich der Analysis, wozu auch das Ermitteln von Nullstellen ganzrationaler (Polynom-) Funktionen gehörte.

Hier wurden die unterschiedlichen Methoden wie z.B. Substitution, Polynomdivision usw. eingeführt und eingeübt.

Die anschließende Einführung und Herleitung des Newton-Verfahrens als Verfahren zur iterativen Bestimmung von Nullstellen bei Funktionen, die sich nicht mit Hilfe der bereits bekannten Methoden auf ihre Nullstellen hin untersuchen lassen, verlief derart, dass zusammen mit den Schülerinnen und Schülern1 die geometrischen Hintergründe an der Tafel bzw. auf Folien erarbeitet wurden.

Hieraus wurde dann die Rekursionsformel des Newton-Verfahrens hergeleitet. Bei der Korrektur der sich an diese Unterrichtsreihe anschließenden Klausur stellte ich jedoch fest, dass die SuS zwar problemlos die Rekursionsformel behalten hatten und diese auch anwenden konnten, jedoch fehlte den meisten jegliches Verständnis für die geometrische Anschauung bzw. die geometrischen Zusammenhänge.

Aus diesem Grunde suchte ich nach einer Methode, den SuS die hinter dem iterativen Newton-Verfahren stehenden geometrischen Zusammenhänge näher zu bringen.

Hier scheint mir die Visualisierung des Verfahrens mittels Computers als eine erfolgversprechende Methode.

Aus eigenen unterrichtlichen Erfahrungen im angeleiteten Unterricht in einem Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 in der Stochastik erwuchs diese Idee: In diesem Kurs unterrichtete ich Teilgebiete der Stochastik unter Zuhilfenahme des Computers, wobei großer Wert auf das selbstständige Arbeiten der SuS in Kleingruppen an einem PC lag.

Hierbei stellte ich einen großen Motivationsschub bei den SuS fest, was mich letztlich dazu bewegte, eine interaktive Arbeitsoberfläche zum Thema „NewtonVerfahren“ mit Hilfe des Microsoft-Programms EXCEL zu erstellen.

Die Behandlung gerade des Newton-Verfahrens ist meiner Ansicht nach hier besonders gewinnbringend, da es sich zum einen um ein iteratives bzw. rekursives Verfahren handelt, welches Vergleichsmöglichkeiten ähnlicher Verfahren im weitern Verlauf des Mathematikunterrichtes ermöglicht. Weiterhin handelt es sich bei der Nullstellenproblematik, welche mit Hilfe des Newton-Verfahrens bearbeitet wird, um einen zentralen Knotenpunkt innerhalb der Mathematik, an den unterschiedliche Teilaspekte angrenzen.

Diese Arbeit stellt im Folgenden die Überlegungen und Beweggründe vor, die letztlich zur Entwicklung der Excel-Arbeitsmappe2 „Newton.xls“ geführt haben. Dabei werde ich meine Entscheidung zur Umsetzung des Newton-Verfahrens auf dem Computer und die dadurch erhofften Erkenntnis- und Verständniszuwächse bei den SuS sowohl durch zahlreiche Ansichten und Forderungen von Pädagogen und Wissenschaftlern sowie durch Untersuchungsergebnisse stützen und untermauern.

Es folgt eine Einordnung der Arbeit mit der vorliegenden Excel-Datei in den Unterrichtsablauf.

Im weiteren Verlauf werden dann die Möglichkeiten zur Arbeit mit dieser Arbeitsmappe erläutert.

Im Vordergrund dieser Arbeit stehen hierbei besonders die Lehrfunktionen Innovieren, Organisieren und Unterrichten.

Auf dem beiliegenden Datenträger sind die Dateien „Newton.xls“ und „Untersuchung.xls“ vorhanden.

[Anm. d. Autors: Die Dateien können kostenlos unter newton@dirk-patzelt.de angefordert werden]

1. Überlegungen und Beweggründe

1.1. Erfahrungen aus der eigenen unterrichtlichen Praxis

1.1.1. Das Newton-Verfahren in einem Kurs der Jahrgangsstufe 11

Im zweiten Halbjahr des Schuljahres 2001/2002 unterrichtete ich im Rahmen meines bedarfsdeckenden Unterrichtes einen Mathematik-Kurs der Jahrgangsstufe 11 am Heinrich-Heine-Gymnasium in Bottrop. Wie auch schon in anderen Teilbereichen der Analysis stellte ich bei den SuS auch bei der Behandlung des Newton-Verfahrens folgende Schwäche fest: Zwar konnten sie die am Ende der Unterrichtsreihe erarbeitete Rekursionsformel des Verfahrens wiedergeben und anwenden, aber es fehlte die geometrische Anschauung und das Verständnis, obwohl auch dies bei der Hinführung zur Rekursionsformel von mir einen besonderen Stellenwert innerhalb des Unterrichts erhielt:

So wurden zusammen mit den SuS sowohl an der Tafel wie aber auch mit Hilfe von Folien und Arbeitsblättern die Schritte der Konstruktion durchgeführt und eingeübt:

- Wähle einen Startwert x0
- Verbinde (x0|0) mit dem zugehörigen Punkt (x0|f(x0))
- Zeichne die Tangente durch (x0|f(x0))
- Schneide die Tangente mit der x-Achse
- Bezeichne diesen Schnittpunkt mit x1

Durch wiederholtes Vorgehen erkannten die SuS, dass sie sich mit jedem weiteren Schritt immer weiter an die eingezeichnete Nullstelle x* annäherten. Aus dieser zeichnerischen Lösung erwuchs in den Schülern der Wunsch, diese Nullstelle auch rechnerisch ermitteln zu können.

Hierzu wurde ebenfalls in Zusammenarbeit und unter Mitwirkung der SuS folgender Algorithmus, analog zu dem der zeichnerischen Lösung, aufgestellt:

- Wähle einen Startwert x0
- Berechne den Funktionswert f(x0)
- Berechne die Steigung der Tangente in f(x0)
- Ermittle den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse
- Die x-Koordinate ist der neue Näherungswert x1

Aus diesem Algorithmus wurde dann in Zusammenarbeit die Rekursionsformel des Newton-Verfahrens hergeleitet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der sich an diese Unterrichtsreihe anschließenden Klausur stellte ich dann u. a. folgende Aufgabe:

Beschreibe kurz (aber ausreichend ausführlich) die Vorgehensweise und die geometrische Anschauung beim Newton-Verfahren (Skizze!).

Erwartet wurde hier eine Skizze, welche die vollständige Konstruktion des Näherungswertes x1 ausgehend vom Startwert x0 aufweist sowie eine kurze Beschreibung des ersten oder zweiten Algorithmus in eigenen Worten und ggf. die Rekursionsformel.

Allerdings stellte ich bei der Korrektur der Klausur fest, dass das Verständnis für die geometrische Konstruktion, welche zum Newton-Verfahren führt, bei einem Großteil der SuS nicht vorhanden war.

Es traten Antworten auf wie z. B.:

Ich erhalte den nächsten Wert, indem ich f(x) durch f ´ (x) teile und das Ergebnis von x abziehe.“

Es wurde also nur die Vorgehensweise beim Anwenden der Rekursionsformel beschrieben, nicht jedoch der geometrische Hintergrund. Zeichnungen und Skizzen fehlten bei fast allen SuS.

Dies ließ mich vermuten, dass die SuS nur die Rezeptologie, also die reine Formel, auswendig gelernt hatten, wo hingegen ihnen aber das Verständnis für die Vorgehensweise bei diesem iterativen Verfahren fehlte.

Ein Phänomen, das auch BAPTIST herausstellt:

„Im gegenwärtigen Mathematikunterricht befasst man sich zu sehr mit Formeln und Rechnungen, die von den Schülerinnen und Schülern oft ohne jede

Einsicht angewandt bzw. durchgeführt werden. Ein zentrales Problem ist die Tatsache, dass viele gar nicht verstehen, was sie tun!“ [BAPTIST, S. 10] Dieses stellte ich auch bei anderen Themen innerhalb des Mathematikunterrichts in diesem Kurs fest:

Obwohl ich häufig versuchte, den SuS neue Inhalte anschaulich und offen sowie praxisnah zu vermitteln, warteten sie eigentlich nur auf eine Formel die sie benutzen könnten.

Folglich suchte ich nach einer Möglichkeit, den Unterricht dahingehend zu verbessern, den Schülern ein tieferes und besseres Verständnis der grundliegenden geometrischen Anschauung des Newton-Verfahrens zu vermitteln.

1.1.2. Unterrichtserfahrungen mit Computern als Medium

Erste Erfahrungen beim Unterrichten mit Computern in der Mathematik machte ich in einem Grundkurs der Jahrgangsstufe 12 im angeleiteten Unterricht. Hier benutzte ich die Tabellenkalkulation EXCEL, um ein Berechnungsblatt für den Satz von Bernoulli zu entwickeln; den SuS sollten lästige Berechnungen „per Hand“ (Taschenrechner) abgenommen werden. Sie sollten sich vielmehr auf die richtige Aufstellung des Zufallsexperiments konzentrieren können und nicht z.B. durch das Durchsuchen von Tabellen für den Binomialkoeffizienten abgelenkt werden. Die SuS arbeiteten dabei in Kleingruppen mit bis zu 4 Personen an einem PC. Hierbei stellte ich fest, dass die SuS ein größeres Interesse und Engagement an den Tag legten als im bisherigen Unterricht. Selbst eine Gruppe von Schülerinnen, die sonst Mathematik offen als ihr „Hassfach“ bezeichnen, waren mit Eifer und Interesse dabei, als sie die Stochastikaufgaben mit Hilfe des Computers lösen sollten.

Insgesamt wurde in den einzelnen Gruppen diskutiert und sich gegenseitig geholfen; Vermutungen wurden geäußert und auch nach Diskussionen einsichtig revidiert.

Allein durch die Verwendung des Mediums Computer schien die Arbeitsbereitschaft und Diskussionsfreudigkeit zu steigen.

In einer späteren Unterhaltung äußerten einige SuS, dass ihnen die Arbeit mit dem PC sehr viel Spaß gemacht habe. So etwas hätten sie im Mathematikunterricht bisher noch nicht gemacht. Man solle doch öfter den Computer im Unterricht verwenden.

Diese Erfahrungen und Äußerungen brachten mich auf die Idee, auch das Newton-Verfahren auf dem Computer zu visualisieren und umzusetzen, um das Verständnis der Schüler zu vertiefen und zu fördern.

1.2. Unterricht mit dem Computer

Ist der Computer überhaupt ein gewinnbringendes Medium, so dass der Einsatz im Mathematikunterricht gerechtfertigt wäre?

In diesem Punkt sind sich Pädagogen und Wissenschaftler weitgehend einig.

So sieht beispielsweise HEUGL folgendes Motiv für die Auseinandersetzung mit dem Computer als Unterrichtsmedium:

„Der computerunterstützte Unterricht bewirkt wesentliche Veränderungen auch bei den unverzichtbaren Grundkompetenzen. Zwei wichtige Beobachtungen bestärken uns in unserer Ansicht: Eine Verschiebung der Aktivitäten vom Ausführen zum Planen und ein deutlich stärker schülerzentrierter, experimenteller Unterricht.“ [HEUGL, S. 5]

In seinem Bericht über Konsequenzen aus der CAS3 -Nutzung in Österreich stellt er die positiven Einflüsse des Systems auf die verschiedenen mathematischen Kompetenzen wie z. B. Modellfindungs- und Äquivalenzerkennungskompetenz dar.

Aber gerade in der Förderung der Visualisierungskompetenz sieht er eine besondere Aufgabe der Mathematik in der heutigen Zeit:

„Im Zeitalter der Kommunikationstechnologie muss sich die Mathematik einer weiteren Aufgabe vermehrt stellen: Wir sind ständig konfrontiert mit einer Fülle graphischer Darstellungen [...]. Sie kompetent und verantwortungsbewusst zu interpretieren und zu nutzen ist ein wichtiges Lernziel der Mathematik.“

[HEUGL, S. 13]

Selbst die GDM4 sieht u. a. aufgrund der Ergebnisse aus PISA die Neuen Technologien als eines von vier Hauptproblemfeldern an, in denen dringender Handlungsbedarf besteht.

„Das Arbeiten mit neuen Technologien ist fast zwangsläufig ein individualisierter Unterricht, in dem Partnerarbeit und Teamarbeit eine wichtige Rolle spielen. Der Umgang mit neuen Technologien entlastet von schematischen kalkülhaften Rechnungen und gibt Zeit und Raum für kreative Überlegungen und alternative Lösungsmöglichkeiten. [...] Der Computereinsatz kann zu einem Katalysator für eine neue Unterrichtskultur werden.“ [GDM]

Auch BARZEL sieht den Computereinsatz in folgenden Punkten als „von au ß erordentlicher Bedeutung für den Mathematikunterricht“ [BARZEL, S. 174]

- Visualisierung
- entdeckendes Lernen
- Bearbeitung komplexer oder anwendungsbezogener Probleme

Weiterhin ist es aus ihrer Sicht alleine schon aus den heutigen Gegebenheiten sinnvoll, den Computer als Unterrichtsmedium zu nutzen, da einerseits die Vorkenntnisse der SuS in Sachen Computer und der Umgang mit diesem immer weiter zunehmen, andererseits aber auch Eltern und Schüler selbst den Wunsch äußern mit dem Computer zu lernen und zu arbeiten.

1.2.1. Einflüsse des Computers

Wie wirkt sich das Arbeiten mit dem Computer auf mathematisches Denken und Handeln aus? VOM HOFE nennt hierzu in einer seiner Abhandlungen folgende Einflüsse des Systems auf den Lernprozess:

- Probieren und Testen

Der Computer wird benutzt, um einen Überblick über Zusammenhänge zu gewinnen

- Beurteilen und Bewerten

Die Ausgaben des Computers werden beurteilt und bewertet. Falls Ausgaben nicht mit Erwartungen übereinstimmen, entwickelt sich bei den SuS aufgrund eines Konfliktes ein Problembewusstsein

- Lösungsversuche auf verschiedenen Ebenen

Die SuS versuchen, das Problem zu lösen. Folgende Ebenen lassen sich unterscheiden:

1. Überprüfen der technischen Einstellungen
2. Überprüfen der mathematischen Einstellungen
3. mathematische Überlegungen

- Ergebnisdiskussion und Ergebnissicherung

Die SuS tauschen Ergebnisse aus, diskutieren und besprechen Formulierungen und Unstimmigkeiten, fixieren Ergebnisse

- Bestätigen und Überprüfen

Gefundene Ergebnisse werden stichprobenartig überprüft

VOM HOFE stellte diese Einflüsse des Computers auf die Interaktion und Kommunikation der SuS in unterschiedlichen Unterrichtssituationen fest. Zur Auswertung benutzte er Videoaufzeichnungen bei computergestützten Arbeitsphasen der SuS.

„Die Kommunikation der Schüler ist dabei durch gegenseitiges Verständnis, Rücksichtnahme und Interesse an der gemeinsamen Arbeit gekennzeichnet. Nahezu in allen Szenen lassen sich Passagen finden, in denen die Schüler argumentieren, den eigenen Standpunkt vertreten, zuhören, auf den anderen eingehen, nachfragen, um Erklärungen bitten.“ [VOM HOFE, S.58] Also wiederum Kompetenzen, die vom schematischen, kalkülhaften Umgang mit der Mathematik abweichen und somit ebenfalls ein Schritt auf dem Weg zur oft geforderten „neuen Unterrichtskultur“ sind.

Große Unterschiede beispielsweise in der Leistungs- und Motivationssteigerung zwischen SuS, die mit dem Medium Computer unterrichtet werden und SuS ohne Computereinsatz im Unterricht, stellt die BERTELSMANN STIFTUNG in einer ihrer Untersuchungen fest. So schnitten beispielsweise in Mathematik „[...] Schüler, die Unterrichtssoftware nutzten, signifikant besser als solche ab, die keinen Zugang zu computergestützten Hilfsmitteln hatten.“ [BERTELSMANN STIFTUNG, S. 7]

Weiterhin wurde ein positiver Vorsprung der mit Computern unterrichteten SuS in Bereichen des vernetzten Denkens, der Urteilsfähigkeit und der Sozialkompetenz beobachtet.

Aber auch bei den SuS selbst ist die Akzeptanz und Aufgeschlossenheit für das neue Medium vorhanden. So machte den Schülern das Arbeiten mit Computern mehr Spaß und sie meinten , „[...] dass die neuen Technologien das Lernen erleichterten.“ [BERTELSMANN STIFTUNG, S. 8]

Weiterhin wünschten SuS in Zukunft das Medium als wichtigen Bestandteil für ihr Lernen. Auch Lehrer waren mit den positiven Auswirkungen auf den Lernprozess zufrieden, und Eltern setzten sich „[...] nachdrücklich für die Nutzung von Technologien für das häusliche und schulische Lernen ihrer Kinder ein.“ [BERTELSMANN STIFTUNG, S. 8]

1.2.2. Tabellenkalkulation als ein Werkzeug für den Unterricht

Obwohl in den Medien und in Diskussionen um Computereinsätze im Mathematikunterricht fast ausschließlich über den Einsatz von CAS berichtet wird und auch die bereits angeführten Äußerungen z. B. von HEUGL sich auf

Untersuchungen zu unterrichtlichen Einsätzen und Auswirkungen von CAS bezogen, so habe ich mich bei der Umsetzung des Newton-Verfahrens bewusst für das TKP5 EXCEL entschieden, da ich hier wesentliche Vorteile in der Umsetzung gegenüber CAS sehe:

- Möglichkeit zur Erstellung interaktiver Lehr- und Lernsysteme
- Einfache Benutzeroberfläche der entstandenen Datei (Benutzer muss sich nicht mit der Bedienung des Programms auseinandersetzen, und wird somit nicht abgeschreckt)
- dynamische Visualisierungsmöglichkeiten
- experimentelles und modulares Arbeiten
- optisch ansprechende Präsentation
- einfache tabellarische Ausgabe von Berechnungen möglich, ohne Auseinandersetzung mit Programmfunktionen

Neben diesen Vorteilen weist ein TKP wie EXCEL natürlich auch Nachteile gegenüber einem CAS (z. B. DERIVE) auf.

So ist es beispielsweise in EXCEL nicht ohne weiteres möglich, bereits vorhandene Graphen durch einen einfachen Befehl zu „zoomen“6, so dass interessante Stellen, wie die Nullstelle(n) beim Newton-Verfahren, genauer in Augenschein genommen werden können.

Aber gerade die sonstige Einfachheit des „Programmierens“ und die vielfältigen Möglichkeiten der Anpassung der Tabellenblätter an eigene Bedürfnisse überzeugten mich davon, dieses Programm zur Umsetzung zu verwenden. Auch die SuS haben mit TKP die Möglichkeit, eigene Umsetzungen und Lösungen von Problemen zu bearbeiten, was auch bei Datenanalysen in statistischen Bereichen einen großen Vorteil darstellt.

Aber auch die Behandlung und Berechnung von rekursiven und iterativen Prozessen und Verfahren ist mit hilfe von TKP ein Leichtes:

Der Computer übernimmt die sich immer wiederholenden Rechenoperationen, so dass sich die SuS in diesem Fall auf das Verständnis des Verfahrens konzentrieren können.

[...]


1 im Folgenden wird die Abkürzung SuS verwendet.

2 Datei einer Tabellenkalkulation mit mehreren Arbeitsblättern

3 Computer-Algebra-Systeme

4 Gesellschaft für Didaktik der Mathematik

5 Tabellenkalkulationsprogramm

6 Ausschnittsvergrößerung

Ende der Leseprobe aus 51 Seiten

Details

Titel
Visualisierung des Newton-Verfahrens mittels Computers zur Unterstützung eines tieferen Verständnisses iterativer Verfahren
Hochschule
Zentrum für schulpraktische Lehrerausbildung, Gelsenkirchen; ehem. Studienseminar für Lehrämter an Schulen Gelsenkirchen
Note
2,0
Autor
Jahr
2002
Seiten
51
Katalognummer
V176659
ISBN (eBook)
9783640980291
ISBN (Buch)
9783640980574
Dateigröße
2334 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Mathematik, Schule, Oberstufe, Newton-Verfahren, Visualisierung, Excel, Unterricht, Gymnasium
Arbeit zitieren
Dirk Patzelt (Autor), 2002, Visualisierung des Newton-Verfahrens mittels Computers zur Unterstützung eines tieferen Verständnisses iterativer Verfahren, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/176659

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