Komplexe Zahlen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlagen
2.1 Körporaxiomo
2.2 Anordnungsaxiome
2.3 Additionsthooromo des Sirius und Cosinus

3 Vorüberlegungen zu komplexen Zahlen
3.1 Notwendigkeit der Erweiterung des Zahlbereichs
3.2 Die imaginäre Einheit
3.3 Kritik an bisheriger Vorgehensweise

4 Algebraische Einführung der komplexen Zahlen
4.1 Komplexe Zahlen als geordnete Paare reeller Zahlen
4.2 Konstruktion der Menge C
4.3 Beweis der geforderten Eigenschaften
4.4 Bemerkung

5 Zur Anordbarkeit von C

6 Geometrische Darstellung komplexer Zahlen
6.1 Die Gaußsche Zahlenebene
6.2 Vektorinterpretation
6.3 Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen
6.4 Geometrische Darstellung der Addition und Multiplikation
6.4.1 Darstellung der Addition
6.4.2 Darstellung der Multiplikation

7 Anwendung komplexer Zahlen in der Physik
7.1 Was ist eine Schwingung?
7.2 Die ungedämpfte harmonische Schwingung
7.2.1 Allgemeines
7.2.2 Die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators
7.2.3 Betrachtung der Schwingung einer Feder
7.3 Die gedämpfte harmonische Schwingung

8 Nachwort

9 Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Dio vorliegende Facharbeit soll eine Einführung in don Bereich der komplexen Zahlen darstellen. Die Exis­tenz dieser Zahlen haben Mathematiker bereits im 16. Jahrhundert angenommen. Einen Beweis, dass sie wirklich widerspruchsfrei zu den reellen Zahlen waren, gab es aber zu dieser Zeit nicht. Deshalb umgab die komplexen Zahlen zunächst etwas Geheimnisvolles, da man sich unter ihnen nichts Konkretes vorstellen konnte. Erst vor etwa 300 Jahren trugen die Mathematiker William Hamilton und Carl Friedrich Gauß maßgeblich dazu bei. die komplexen Zahlen korrekt einzuführen.

Am Anfang dieser Arbeit werden Begriffe eingeführt, die in der Schule nicht gebräuchlich, für das Ver­ständnis der Facharbeit jedoch unerlässlich sind. Danach wird anhand des Lösens quadratischer Glei­chungen anschaulich aufgezeigt., warum die reellen Zahlen nicht ausreichen und zu den komplexen Zahlen überhaupt erweitert werden müssen. Ini Anschluss wird die Menge der komplexen Zahlen algebraisch eingeführt. Dabei wird sich zeigen, dass sie in vielerlei Hinsicht der Menge der reellen Zahlen ähnelt, so zum Beispiel, dass die Gesetze der Grundrechenarten erhalten bleiben.

Nach diesem algebraischen Teil wird auf die geometrische Darstellung komplexer Zahlen in der soge­nannten Gaußschen Zahlenebene eingegangen. Dabei soll gezeigt werden, dass die komplexen Zahlen, die zunächst äußerst abstrakt wirken, mit einer konkreten Vorstellung verbunden werden können.

Um die Facharbeit abzurunden, wird im letzten Teil eine Anwendung komplexer Zahlen in der Physik vorgestellt, nämlich die Lösung der Schwingungsgleichung durch komplexen Ansatz.

Da der Umfang dieser Arbeit begrenzt ist, mussten wichtige Themen wie der Fundamentalsatz der Algebra oder Abbildungen in komplexen Zahlen weggelassen werden. Dadurch wird jedoch die Verständlichkeit in keinem Maße eingeschränkt. Es geht weniger darum, mit komplexen Zahlen zu rechnen, da hier zum größten Teil wie mit reellen Zahlen verfahren werden kann. Vielmehr sollen das Wesen und die Struktur der komplexen Zahlen aufgezeigt, und bewiesen werden. Denn nur darin wird ihre Schönheit, und Eleganz erkennbar.

2 Grundlagen

In diesem Abschnitt sollen Grundlagen aufgelistet werden, die nicht notwendigerweise aus dem Schulun­terricht bekannt sind, auf die aber in der Facharbeit zurückgegriffen wird.

2.1 Körper axiome

Gegeben sei eine nichtleere Menge M. In dieser seien eine Addition und eine Multiplikation so definiert, dass je zwei Elementen a und b aus M eindeutig eine Summe a + b und ein Produkt a [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] b in M zugeordnet sind. Diese Menge M heißt Körper, wenn für alle a,b,c G M gilt:

(1) Kommutativgesetze: a + b = b + a und a [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] b = b [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] a

(2) Assoziativgesetze: a + (b + c) = (a + b) + c und a [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (b [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] c) = (a [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] b) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] c

(3) Distributivgesetz: a [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (b + c) = a [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] b + a [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] c

(4) Existenz neutraler Elemente: Es gibt ein Element 0 und ein hiervon verschiedenes Element 1, so dass für jedes a gilt: a + 0 = a und a [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] 1 = a.

(5) Existenz inverser Elemente: Zu jedem a gibt es ein Eie ment —a mit a + (-a) = 0; ferner gibt es zu jedem von 0 verschiedenen a eine reelle Zahl a-1 mit a [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] a-1 = 1.

2.2 Anordnungsaxiome

К sei ein Körper und a, b, c seien Elemente dieses Körpers. Außerdem sei eine Relation a < b ("a kleiner b") in К definiert. Dann heißt К angeordneter Körper, wenn diese Relation folgenden Axiomen genügt:

Trichotomiegesetz: Für je zwei Elemente a, b gilt genau eine der drei Beziehungen

a <b, a = b, a > b

Transitivitätsgesetz: Ist a < b und b < c, so folgt a < c.

Monotoniegesetze: Ist a < b, so gilt a + c <b + c für alle c und ac < bc für alle c > 0.

2.3 Additionstheoreme des Sinus und Cosinus

Es gelten folgende Additionstheoreme:

(1) sin a cos ß + cos a sin ß = sin(a + ß)

(2) cos a cos ß — sin a sin ß = cos(a + ß)

3 Vorüberlegungen zu komplexen Zahlen

3.1 Notwendigkeit der Erweiterung des Zahlbereichs

Bereits im 16. Jahrhundert erkannten Mathematiker, dass die reellen Zahlen in gewisser Hinsicht unzu­länglich waren. Beispielsweise lassen sich einige quadratische Gleichungen nicht mit reellen Zahlen lösen. Betrachten wir die Gleichung x2 = — 9. Da bekanntlich für alle reellen Zahlen x2 > 0 gilt, besitzt diese Gleichung keine reelle Lösung. Daher reicht der reelle Zahlbereich insbesondere beim Beschreiben aller Lösungen bestimmter Polynomgleichungen nicht mehr aus.

3.2 Die imaginäre Einheit

Um die Unzulänglichkeit der reellen Zahlen, dass sich einige Gleichungstypen mit diesen allein nicht lösen lassen, zu beheben, definierten die Mathematiker folgendermaßen eine Zahl i:

Definition 1: Es sei i eine Zahl, für die gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da Quadrate reeller Zahlen immer positiv definiert sind, konnten sich die Mathematiker unter einer Zahl, deren Quadrat negativ sein soll, zunächst nichts vorstellen. Leonard Euler (1707-1783) sprach gar von "ohnmöglichen" und "eingebildeten" Zahlen. Deshalb wurde i der Name Imaginäre Einheit gegeben. Sie erwies sich als durchaus nützlich, da sich damit beispielsweise alle Lösungen quadratischer Gleichungen finden ließen.

Kehren wir deshalb zu unserer Gleichung x2 = —9 zurück. Mit Definition 1 können wir sie nun lösen: x2 +9 = 0 (x + 3i)(x — 3i) = 0 ^ x = —3i V x = 3i.

Zahlen der Form zi = bi mit b G R heißen rein imaginäre Zahlen. Die Summe aus einer rein imaginären und einer reellen Zahl, also eine Zahl der Form z = a + bi mit a,b G R, heißt komplexe Zahl. Dabei wird a als der Realteil und b als der Imaginärteil von z bezeichnet.

3.3 Kritik an bisheriger Vorgehens weise

Die komplexen Zahlen erwiesen sich für die Mathematiker als praktisch. Indem sie mit ihnen einfach nach den Regeln rechneten, die sie von den reellen Zahlen gewohnt waren, ließen sich alle Lösungen von Poly­nomgleichungen finden, was bereits der Mathematiker Gerolamo Cardano (1501-1576) in seinen Arbeiten tat.

Jedoch fehlte eine formale Einführung der komplexen Zahlen. Es wurde zwar erfolgreich mit ihnen gerech­net, ohne jedoch zu wissen, ob eine Zahl i überhaupt existierte und ob eine Einführung dieser überhaupt widerspruchsfrei war. Daher wurden die komplexen Zahlen lange Zeit zwar geduldet, über ihre Berechti­gung und Begründung aber wusste man wenig.

Den entscheidenden Durchbruch, also eine exakte Begründung der komplexen Zahlen, lieferten erst Wil­liam Rowan Hamilton (1805-1865) auf algebraischem und Carl Friedrich Gauß (1777-1855) auf geometri­schem Wege.

4 Algebraische Einführung der komplexen Zahlen

In diesem Abschnitt wollen wir die komplexen Zahlen algebraisch exakt einführen. Dabei soll es von unserer Problemstellung in 3.1 ausgehend darum gehen, einen minimalen Erweiterungskörper von R, den wir im Folgenden C nennen werden, zu konstruieren, in dem die Gleichung x^[2] + 1 = 0 lösbar ist. Insgesamt soll C also folgenden Anforderungen genügen:

1. C ist ein Körper.

2. C enthält R.

3. C enthält i.

4.1 Komplexe Zahlen als geordnete Paare reeller Zahlen

William Hamilton führte eine neue Definition von komplexen Zahlen ein. Er fasste eine komplexe Zahl z = a + bi als geordnetes Paar z = (a, b) zweier reellen Zahlen a und b auf.

Diese Darstellung ist eindeutig und hat, wie wir später sehen werden, einige Vorteile.

4.2 Konstruktion der Menge C

In Anlehnung an 4.1 werden wir nun die komplexen Zahlen C als Menge aller Eie mente (a, b) mit a,b G R definieren. Außerdem definieren wir Gleichheit sowie eine Addition und eine Multiplikation in C:

Definition 2: Für die Menge der komplexen Zahlen C := {(a, b)|a, b G R} gilt:

(i) (a, b) = (c, d) :[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]& a = c Л b = d

(ii) (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

(iii) (a, b) • (c, d) := (a • c — b • d, a • d + b • c)

Die Definition der Gleichheit, Addition und Multiplikation lehnt sich an die Überlegung an, dass für die komplexen Zahlen möglichst dieselben Rechenregeln gelten sollen wie für die reellen Zahlen. Deshalb ist es naheliegend, die Addition komplexer Zahlen als komponentenweise Addition der Real- und Irna- ginärteile zu definieren. Weiterhin wurde die Multiplikation so definiert, dass sie das Distributivgesetz erfüllt.

4.3 Beweis der geforderten Eigenschaften

Nun haben wir die Menge C konstruiert. Wir müssen aber noch zeigen, dass diese Menge mit den in Definition 2 festgelegten Verknüpfungen (+, •) den Anforderungen genügt, die wir zu Anfang des dritten Abschnittes an sie gestellt haben.

1. C ist ein Körper.

Um dies zu beweisen, muss die Gültigkeit der Körperaxiome gezeigt werden. Diese zu zeigen ist trivial und folgt größtenteils direkt aus Definition 2 und aus den Körpereigenschaften der reellen Zahlen. Da der Beweis jedoch relativ langwierig ist, wird er hier aus Platzgründen nicht angegeben.

2. C enthält R.

Wir betrachten komplexe Zahlen der Form (a, 0). Da der Imaginärteil Null ist, fällt dieser gewis­sermaßen weg und es bleibt nur der Realteil übrig. Rechnen wir nun statt mit (a, 0) nur mit dem Realteil a, so erhalten wir genau dieselben Ergebnisse. Das Rechnen mit komplexen Zahlen, deren Imaginärteil Null ist, lässt sich also in das bloße Rechnen mit deren Realteil überführen. Wir können also gerdezu (a, 0) = a setzen. Damit ist gezeigt, dass R Teilmenge von C ist^[1].

[...]

^[1] Ganz stimmt diese Aussage nicht. Genauer wäre: Eine Teilmenge von C ist den reellen Zahlen R isomorph. Der Begriff der Isomorphie würde für diese Facharbeit jedoch zu weit führen.