Kausalität und Kointegration von CPI und verfügarem Einkommen

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung

2 Vorstellung der Testverfahren
2.1 Stationäre stochastische Prozesse
2.2 Augmented Dickey-Fuller-Einheitswurzeltest
2.3 Kausalität und Kointegration

3 Separate Betrachtung der Zeitreihen
3.1 Der Konsumentenpreisindex (CPI)
3.2 Das verfügbare Pro-Kopf-Einkommen

4 Gemeinsame Betrachtung von CPI und verfügbarem Einkommen
4.1 Aufstellung des VAR und Prüfung möglicher Kausalitätsbeziehungen
4.2 Prüfung möglicher Kointegration

5 Zusammenfassung

1 Einführung

In dieser Arbeit werden mögliche Kausalitäts- und Kointegrationsbeziehungen zwischen dem verfügbaren Pro-Kopf-Einkommen sowie dem Konsumentenpreisindex der Verei-nigten Staaten von Amerika untersucht. Dazu liegen Jahresdaten für die Jahre 1929 bis 2001 vor, die vom Bureau of Economic Analysis (BEA, s.¹ ) zur Verfügung gestellt werden.

Zunächst werden in Abschnitt 2 die wichtigsten Aussagen zu stochastischen Prozes-sen getroffen sowie die benötigten Testverfahren eingeführt. In dieser Arbeit finden der Augmented-Dickey-Fuller-Einheitswurzeltest (ADF-Test), der Granger-Kausalitätstest sowie zwei Kointegrationstests (nach Engle-Granger und Johansen) Verwendung.

Im darauf folgenden Abschnitt 3 findet eine separate Betrachtung der ökonomischen Variablen ”Preisentwicklung“und ”EntwicklungdesverfügbarenPro-Kopf-Einkommens“ statt. Dabei wird im wesentlichen auf mögliche Instationaritäten der Zeitreihen einzuge- hen sein sowie eine Untersuchung möglicher Kausalitäts- und Kointegrationsbeziehungen zwischen den Größen.

2 Vorstellung der Testverfahren

2.1 Stationäre stochastische Prozesse

Zeitreihen können als sog. stochastische Prozesse aufgefasst werden, d.h. eine Zeitrei-he[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist eine Folge von Zufallsvariablen. Solche Prozesse werden durch ihre

gemeinsame Verteilung charakterisiert, in einem einfachen Fall ist dies ein ”WeißesRau-schen“ (white noise):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei sind die yt also normal und unabhängig voneinander verteilt. Je nach Linearkombination der ϵ t ergeben sich Prozesse, die ökonomische Zeitreihen besser beschreiben. Es können dabei unterschieden werden:

ˆ- Autoregressive Prozesse der Ordnung p: AR(p)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ˆ- Moving-Average-Prozesse der Ordnung q: MA(q)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ˆ- Autoregressive Moving-Average-Prozesse der Ordnung p, q: ARMA(p, q)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Von besonderem Interesse sind solche Prozesse, wenn sie stationär sind, denn zum einen müssen weniger Parameter geschätzt werden, zum anderen unterscheiden sich die Eigenschaften der Koeffizientenschätzer und statistischen Tests von I(1)-Variablen erheb-lich von denen bei I(0)-Größen. Ein stochastischer Prozess heißt schwach stationär, wenn Erwartungwert, Varianz, Autokovarianz und Autokorrelation nicht vom Beobachtungs-zeitpunkt t abhängen. Vereinfacht formuliert bedeutet dies, dass ein Prozess stationär ist, wenn

ˆ- der Prozess nach dem Auftreten eines Zufallsfehlers ϵ t wieder zu seinem (unbedingten) Erwartungswert zurückkehrt,
ˆ- die Varianz konstant ist,
ˆ- die Autokorrelation nur vom zeitlichen Abstand der Beobachtungen abhängt.

Für einen AR(p)-Prozess beispielsweise bedeutet Stationarität,¹ dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gelten muss.

Beobachtete ökonomische Zeitreihen weisen häufig einen deterministischen oder sto-chastischen Trend auf, d.h. die Reihen sind dann nicht stationär. In diesem Falle wird Stationarität durch Differenzenbildung erreicht, also [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gesetzt. Wenn ein Prozess genau einmal auf diese Art gefiltert werden muss, um stationär zu werden, so heißt ein solcher Prozess intergriert der Ordnung 1 und wird mit[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abgekürzt.

2.2 Augmented Dickey-Fuller-Einheitswurzeltest

Mit Hilfe eines Einheitswurzeltests kann nun eine vorliegende Zeitreihe auf Stationarität hin geprüft werden. In dieser Arbeit wird der Augmented Dickey-Fuller Test (ADF) ge-nutzt.²

Die Grundannahme für die Anwendung eines Dickey-Fuller Tests³ ist die, dass sich ein Prozess aus einem deterministischen Teil und einem AR(1)-Prozess zusammensetzt, so dass gilt. Diffenzenbildung liefert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Oft wird hier [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] definiert. Das Hypothesenpaar des ADF-Tests lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Teststatistik wird durch[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]gebildet, die Nullhypothese muss verworfen werden, wenn diese Teststatistik kleiner ist als der kritische Wert.

Problematisch kann die Anwendung der Beziehung (1) dann werden, wenn die Störterme[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]autokorreliert sind.⁴ In diesem Falle müssen so viele verzögerte erste Differenzen von yt zum AR-Prozess hinzugefügt werden, bis die Autokorrelation beseitigt ist. Die modifizierte Gleichung (1) lautet dann also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird die Annahme der homoskedastischen Residuen verletzt, sollte der Phillips-Perron-Einheitswurzeltest (PP-Test) genutzt werden, da dieser eine etwaige Heteroskedastie berücksichtigt. Im folgenden soll dieser Test jedoch nur eine unterstützende Rolle für die ADF-Ergebnisse spielen, sofern diese keine deutliche Sprache sprechen. Der PP-Test testet zum gleichen Hypothesenpaar wie der ADF-Test, die Ablehnregel ist ebenfalls identisch.

2.3 Kausalität und Kointegration

Zur Überprüfung etwaiger Kausalitäts- bzw. Kointegrationsbeziehungen zwischen ökonomischen Größen müssen ein vektorautoregressives Modell (VAR) sowie ein Vektorfehlerkorrekturmodell (VECM) geschätzt werden. Die VAR-Darstellung soll hier zur Anwendung eines Granger-Kausalitätstests verwendet werden.⁵

Für die zwei vorliegenden Zeitreihen ist also zunächst die VAR(p)-Darstellung not-wendig:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die beiden Gleichungen eines solchen VAR(p)-Modells können jeweils mit der gewöhnlichen Kleinst-Quadrate-Methode geschätzt werden. Vorher muss allerdings die LagLänge p mit Hilfe eines Informationskriteriums (IC) bestimmt werden. Gewählt wird dann diejenige Lag-Länge, die das gewählte IC minimiert.

Eine Variable xt ist Granger-kausal für eine andere Variable zt, wenn die Prognose von zt durch Berücksichtigung der Vergangenheitswerte von xt verbessert werden kann. Der Granger-Kausalitätstest testet dann

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zwei I(1)-Variablen heißen kointegriert, wenn sie den gleichen stochastischen Trend aufweisen, was gleich bedeutend ist mit stationären Fehlertermen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Kointegrationsüberprüfung muss ein VAR(p) durch Differenzenbildung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in die VECM-Schreibweise überführt werden. Ein VECM in allgemeiner Schreib-

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei sind nun drei Fallunterscheidungen bzgl. des Ranges der Matrix Π zu treffen:

1. rg (Π) = 0: Die Variablen sind instationär und es gibt keine Kointegrationsbe- ziehung zwischen den Größen. Es kann ein VAR in ersten Differenzen spezifiziert werden.

2.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]: Die Variablen sind stationär.

3.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]: Die Variablen sind instationär. Es gibt r Kointegrationsbeziehun- gen zwischen den Variablen, sodass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Hierbei bezeichnet β den Kointegra- tionsraum und α die sog. Anpassungsmatrix.

Getestet werden können Kointegrationsbeziehungen über

ˆ- einen residuen-basierten Test nach Engle und Granger (H 0: keine Kointegration): ADF-Einheitswurzeltest, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]integriert ist, d.h. also ein Testen auf eine Kointegrationsbeziehung;

ˆ- dem Johansen-Test, der aufbauend auf obiger Fallunterscheidung bis zu r Kointegrationsbeziehungen testet. In Abschnitt 4.2 wird der Johansen-Test im Rahmen seiner Anwendung eingehender erläutert.

3 Separate Betrachtung der Zeitreihen

In diesem Abschnitt werden zunächst die beiden Reihen und ”Konsumentenpreisindex(CPI)“ ”verfügbaresEinkommen(INC)“ineinzelnenSchrittenuntersucht.ImVordergrund soll dabei das Testen auf Stationarität stehen, da dies eine wesentliche Voraussetzung für die weitere Untersuchung auf Kointegration darstellt.

[...]

¹ Im folgenden wird Stationarität stets als schwache Stationarität aufgefasst.

² Es wird stets zum Signifikanzniveau 5% getestet.

³ Die Testprozedur des einfachen Dickey-Fuller-Tests ist mit der des ADF-Tests identisch.

⁴ Autokorrelation kann z.B. mit dem Durbin-Watson-Test für Autokorrelation 1. Ordnung bzw. dem Breusch-Godfrey-Test für höhere Ordnungen überprüft werden. Die Nullhypothese dieser Tests lau- tet: ”KeineAutokorrelationbiszumLagk“,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

⁵ Weitere Anwendungsmöglichkeiten eines VAR sind u.a. Impuls-Antwortanalysen und Prognosen.