Lineare Gleichungssysteme begleiten uns überall im Leben, ob im Alltag oder in der Wirtschafts- bzw. Sozialwissenschaft. Fast jeder Bundesbürger besitzt ein Mobiltelefon, Bankkonto oder einen bestimmten Stromtarif. Aber wie genau kann man z.B. den besten Handytarif berechnen?
Wie werden außermathematische, aber auch innermathematische Problemstellungen, mit Hilfe des linearen Gleichungssystems im Rahmen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe I gelöst? Welche Mittel stehen den Schülerinnen und Schülern zur Lösung dieser Probleme zur Verfügung? Diese Fragen werden in unserer Ausarbeitung zum Seminar „Didaktik des Funktionsbegriffs“ der Universität Bielefeld, Wintersemester 2009/2010, bearbeitet.
Nach der allgemeinen Definition des Begriffs „Lineares Gleichungssystem“, soll das Thema anhand von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen näher erläutert werden. Es folgt ein kurzer Überblick der historischen Betrachtungsweise des Themenbereiches. Anschließend möchten wir die Einordnung in Bezug auf den Lehrplan vornehmen und beleuchten welche Voraussetzungen Schülerinnen und Schüler erfüllen müssen, wenn lineare Gleichungssysteme im Mathematikunterricht eingeführt werden.
Im darauffolgenden Abschnitt stellen wir die Lösungsverfahren linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten vor. Sowohl die geometrische Lösungsmethode, als auch die drei algebraischen Verfahren werden beschrieben und im Bezug auf die jeweilige Eignung überprüft.
Der Einsatz von neuen Medien ist ein fester Bestandteil des Kernlehrplans im Fach Mathematik der Sekundarstufe I an Realschulen. Warum sich das Thema „Lineare Gleichungssysteme“ besonders für den Einsatz des Computers (insbesondere des dynamischen Zeichenprogramms „GeoGebra“) eignet, klären wir ebenfalls im weiteren Verlauf der Ausarbeitung.
Abschließend werden die wesentlichen Erkenntnisse in einem Fazit zusammengefasst.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Lineare Gleichungssysteme
2.1 Allgemeine Definition
2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten historisch betrachtet
2.3 Lehrplanauskunft - was ist Pflicht und was ist schon bekannt (Vernetzungsknoten)
3. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
4. Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
4.1 Geometrische Lösungsverfahren
4.2 Algebraische Lösungsverfahren
5. Lineare Gleichungssysteme mit GeoGebra
6. Fazit
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit untersucht die theoretischen Grundlagen, historischen Hintergründe und praktischen Lösungsansätze linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen im Kontext des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe I, wobei besonderer Wert auf die methodische Vermittlung und den Einsatz moderner Software gelegt wird.
- Grundlagen und Definition linearer Gleichungssysteme
- Historische Entwicklung der Lösungsverfahren
- Lehrplanrelevanz und Vernetzung im Unterricht
- Vergleich geometrischer und algebraischer Lösungsstrategien
- Einsatzmöglichkeiten dynamischer Geometriesoftware wie GeoGebra
Auszug aus dem Buch
4.2 Algebraische Lösungsverfahren
Üblicherweise unterscheidet man drei algebraische bzw. rechnerische Verfahren zur Lösung der LGS: das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Im Wesentlichen bedienen sich alle drei Lösungsmethoden derselben Grundidee. Durch geschickte Umformungen soll eine der beiden Variablen eliminiert werden, um „statt der zwei Gleichungen mit zwei Variablen nur noch eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen, die sich dann nach bekannten Verfahren lösen lässt“. Das gewonnene Ergebnis setzt man anschließend in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um so den fehlenden Wert der zweiten Unbekannten errechnen zu können.
Die Vorgehensweise bei der Reduktion des LGS auf eine Gleichung mit einer Variablen stellt den entscheidenden Unterschied zwischen einzelnen Verfahren der rechnerischen Lösung dar. Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach derselben Unbekannten bzw. demselben Term aufgelöst. So erhält man zwei Ausdrücke, die gleichgesetzt werden können. Rießinger (2007) erklärt diesen Schritt wie folgt: „Ich habe nur beide Gleichungen nach y aufgelöst und dadurch zwei Gleichungen der Form y = dies und y = jenes erhalten. Da die beiden Ausdrücke „dies“ und „jenes“ das gleiche y meinten, konnte ich sie gleichsetzten und damit eine einzige lineare Gleichung mit nur einer Unbekannten erhalten.“
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Die Einleitung erläutert die Alltagsrelevanz linearer Gleichungssysteme und beschreibt die Zielsetzung der Arbeit sowie deren Einordnung in das Seminar "Didaktik des Funktionsbegriffs".
2. Lineare Gleichungssysteme: Dieses Kapitel definiert lineare Gleichungssysteme formal, beleuchtet ihre historische Entwicklung und ordnet die Thematik in den aktuellen Lehrplan der Sekundarstufe I ein.
3. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen: Es wird die mathematische Form ax + by = c erläutert und die Notwendigkeit von zwei Gleichungen zur eindeutigen Lösungsbestimmung dargelegt.
4. Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen: Dieses Kapitel vergleicht das grafische (geometrische) Lösungsverfahren mit den drei algebraischen Methoden (Gleichsetzungs-, Einsetzungs- und Additionsverfahren).
5. Lineare Gleichungssysteme mit GeoGebra: Hier wird der didaktische Mehrwert beim Einsatz der Software GeoGebra zur Visualisierung und zum entdeckenden Lernen diskutiert.
6. Fazit: Das Fazit fasst die Bedeutung des Themas zusammen und betont die Notwendigkeit einer sorgfältigen methodischen Behandlung im Mathematikunterricht.
Schlüsselwörter
Lineare Gleichungssysteme, Mathematikunterricht, LGS, Algebra, Geometrie, GeoGebra, Lösungsverfahren, Sekundarstufe I, Variablen, Didaktik, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Vernetzungsknoten, Modellierung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die didaktischen und fachmathematischen Aspekte linearer Gleichungssysteme (LGS) mit zwei Variablen im Schulunterricht.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Themenfelder umfassen die Definition von LGS, deren historische Einordnung, die didaktische Verankerung im Lehrplan sowie verschiedene Lösungsstrategien.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist es, aufzuzeigen, wie LGS mathematisch korrekt gelöst werden und welche methodischen Möglichkeiten, insbesondere durch Software, für den Unterricht bestehen.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Die Arbeit nutzt eine fachdidaktische Analyse sowie eine Literaturrecherche, um mathematische Verfahren und deren unterrichtliche Vermittlung zu evaluieren.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Definition, historische Aspekte, die Einordnung in den Lehrplan sowie einen detaillierten Vergleich geometrischer und algebraischer Lösungsverfahren.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind LGS, Algebra, Didaktik, Geometrie, Lösungsverfahren und der Einsatz von Medien im Mathematikunterricht.
Warum wird GeoGebra als nützlich hervorgehoben?
GeoGebra ermöglicht eine visuelle Verknüpfung von Algebra und Geometrie, was Schülern das Verständnis abstrakter Zusammenhänge erleichtert.
Worin unterscheiden sich die drei algebraischen Verfahren?
Sie unterscheiden sich in der Art der Reduktion: beim Gleichsetzen werden Terme gleichgesetzt, beim Einsetzen eine Gleichung substituiert und beim Addieren eine Variable durch Multiplikation/Addition eliminiert.
- Citation du texte
- Bachelor of Science Eva Veddeler (Auteur), 2010, Eine Übersicht über lineare Gleichungssysteme, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/179570
