Die einheitliche Integration der schriftlichen Division in den Lehrplan der Primarstufe

Argumentation


Seminararbeit, 2011

23 Seiten, Note: 1,0


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Reflektion der schriftlichen Division in der Primarstufe
2.1 Allgemeine Merkmale schriftlicher Rechenverfahren
2.2 Didaktischer Stellenwert
2.2.1 Argumente entsprechend allgemeiner Rechenverfahren
2.2.2 Argumente entsprechend der schriftlichen Division

3 Vorzeitige Behandlung der schriftlichen Division in der Primarstufe
3.1 Vorteile
3.2 Nachteile
3.3 An der Schwelle zur weiterführenden Schule

4 Fazit

Literaturverzeichnis

Anhang

1 Einleitung

Die Charakteristika des Mathematikunterrichts in der Primarstufe veränderten sich in den letzten Jahrzehnten stark. Stand früher noch der traditionelle lehrerzentrierte, formale Rechenunterricht im Vordergrund, so folgte aufgrund des Kognitivismus und des Pisa-Schocks im Jahre 2000 eine deutliche Zielverlagerung zum lernerzentrierten, kompetenzorientierten Mathematikunterricht. Die Denkprozesse, Strategien und die zu erwerbenden Kompetenzen des Schülers stehen nun im Zentrum der Aufmerksamkeit. Eine besondere Veränderung erlebt hierbei der Bereich der schriftlichen Rechen­verfahren:

Mit dem Rückgang der lebenspraktischen Bedeutung der schriftlichen Rechenverfahren ändern sich [mitunter, v. Verf.] die Ziele sowie die Art und Weise ihrer Behandlung im Unterricht. (Schipper 2009: 119)

Nun stehen die Entwicklung und die Festigung des mathematischen Verständnisses von Schülern im Mittelpunkt, anstatt einer vollkommenen Automatisierung von Rechenver­fahren. Die Algorithmen sind derzeit selbst

Gegenstand der unterrichtlichen Betrachtung [...], indem zum Beispiel die schriftlichen mit den nicht schriftlichen Verfahren verglichen, Vor- und Nachteile erörtert oder Variationen der Algorithmen untersucht werden. (ebd.)

Dies geht besonders deutlich aus dem Beschluss der Kultusministerkonferenz (KMK) vom 15. Oktober 2004 hervor. Laut den Standards für inhaltsbezogene und mathe­matische Kompetenzen sollen die Schüller alle vier Grundrechenarten und ihre Zusammenhänge verstehen, [...] mündliche und halbschriftliche Rechenstrategien verstehen und bei geeigneten Aufgaben anwenden, verschiedene Rechenwege vergleichen und bewerten [...] (KMK 2004: 11).

Die schriftlichen Rechenverfahren dienen dem Schüler zur Erleichterung im Umgang mit großen Zahlen, um den Rechenprozess zuverlässig und ökonomisch zu gestalten. Jedoch erfährt das schriftliche Divisionalverfahren eine Einschränkung durch diesen KMK-Beschluss, denn die Schüler müssen lediglich die schriftlichen Verfahren der „Addition, Subtraktion und Multiplikation verstehen, geläufig ausführen und bei geeigneten Aufgaben anwenden“ (ebd.). Daraus resultierend entsteht in der Mathematikdidaktik eine Diskussion über die Notwendigkeit der Behandlung der schriftlichen Division.

In der vorliegenden Seminararbeit werden die verschiedenen Argumente der Mathe­matikdidaktiker zunächst zusammengetragen. Im darauffolgenden Kapitel erfolgt deren Kategorisierung durch die Autorin, wobei sie diese mit Kommentaren bzw. Wertungen ergänzt und sie sich infolgedessen eine eigene Positionierung erarbeitet. Abschließend wird die Fragestellung bearbeitet, was die Schüler am Ende der vierten Klasse leisten müssen und ob die schriftliche Division als Bestandteil des Lehrplans der Primarstufe einheitlich in allen Bundesländern Deutschlands zu intergieren ist.

2 Reflektion der schriftlichen Division in der Primarstufe

2.1 Allgemeine Merkmale schriftlicher Rechen verfahren

Das markanteste Merkmal schriftlicher Rechenverfahren ist das Rechnen mit Ziffern statt Zahlen. Für die Verfahren sind die Größe der Zahl und ihre Nachbarschafts­beziehung zu anderen Zahlen nicht von Relevanz. Entscheidend ist die Position der Stelle, an der sie steht. Dieses Rechnen mit Stellen basiert auf einem Algorithmus, ein für seine spezifischen Anwendungsfälle [...] allgemein gültiges, in seiner Abfolge festgelegtes, eindeutig beschriebenes Verfahren, das nach endlich vielen Schritten und unabhängig von der Person, die diesen Algorithmus durchführt, zur Lösung führt. (Krauthausen/Scherer 2003: 46)

Somit arbeitet das schriftliche Rechnen nach festen Normen, weshalb es ohne Verständ­nis durchgeführt werden kann. Ebenfalls werden die Anforderungen an das Kopf­rechnen und das Kurzzeitgedächtnis als auch der Schreibaufwand minimiert, sodass die Aufmerksamkeit der Schüler eher auf den Sachgehalt gelenkt werden kann, statt auf den Rechenprozess. (vgl. Schipper 2009: 120 ff.)

Daraus ergibt sich letztlich eine besondere Problematik, die für alle vier Grundrechenarten gleichermaßen zutrifft: Die Flexibilität zwischen Kopfrechnen und schriftlichem Rechnen geht verloren. Die Schüler wenden ein schriftliches Rechenver­fahren nach dessen Einführung vermehrt an, obwohl sich das halbschriftliche Rechnen in bestimmten Aufgabenstellungen vorteilhafter eignet. Mithilfe von Rechenkonferen­zen können die Schüler jedoch auf bestimmte Aufgaben aufmerksam gemacht werden, in denen ein halbschriftliches Rechenverfahren ökonomischer wäre. Dadurch soll „der Blick der Kinder für flexibles Rechnen geschärft werden“ (ebd.: 121). Zudem bleibt das

Verständnis für das Zahlenrechnen nach Einführung des schriftlichen Rechenverfahrens erhalten. (vgl. ebd.: 120 f.)

2.2 Didaktischer Stellenwert

2.2.1 Argumente entsprechend allgemeiner Rechenverfahren

Eines von vielen Argumenten in der Diskussion über die Lehre schriftlicher Rechenver­fahren beinhaltet die rasante technische Entwicklung unserer Zeit. „Im Berufs- und Alltagsleben wird das Rechnen inzwischen im Wesentlichen von elektronischen Rechnern ausgeführt“ (ebd.: 123), weshalb die Frage berechtigt ist, ob das schriftliche Rechnen angesichts des umfangreichen Lehrplans eingeschränkt werden sollte. Besonders die schriftliche Division erscheint „im Mathematikunterricht der Grundschule überflüssig“ (ebd.).

Die moderne Grundvorstellung des Mathematikunterrichts basiert auf dem Lernen als „ganzheitliche[n], sozial vermittelte[n] Prozess der eigenen Konstruktion von Wissen“ (ebd.: 123 f.). Während der Bearbeitung von Aufgabenstellungen stehen der Schüler und seine Lernprozesse im Fokus. Individuelle Lösungswege sind erwünscht und „werden daher wegen ihrer Chancen für die Entwicklung rechnerischer Flexibilität als didaktisch hochwertiger angesehen als starre Algorithmen“ (ebd.: 124).

Trotz dieser Argumente, die gegen schriftliche Rechenverfahren sprechen, gilt das schriftliche Rechnen als Kulturgut. Die Verfahren geben den Grundschulkindern die Möglichkeit „für eigene Aktivitäten, Einsichten und (Wieder)entdeckungen“ (ebd.) und unterstützen deren Versuche bei der Optimierung eigener Rechenwege. Die Rechen­verfahren können ohne Probleme auf mehrstellige Zahlen übertragen werden. Daneben lernen die Kinder ihre Techniken im Umgang mit den Rechenverfahren zu variieren und für sich eine eigene ökonomische Schreibweise zu finden. (vgl. ebd.) Hierfür ist jedoch ein Verständnis der Algorithmen fundamental. Es gilt: Verständnis, statt Beherrschung der Prozeduren. Eine Voraussetzung hierfür ist die Aufhebung künstlich geschaffener Grenzen:

Statt für scheinbar existierende Aufgabenklassen [Kopfrechnen, (halb-)schriftliches Rechnen, v. Verf.] spezielle Rechenverfahren unterrichten zu wollen, sollte die Vielfalt möglicher Rechenwege und ihre flexible Nutzung durch die Schülerinnen und Schüler im Mittelpunkt des Unterrichts stehen. (ebd.: 125)

Aus diesen Ausführungen geht nun eine deutliche Verlagerung zu einer revidierten mathematisch-didaktischen Sichtweise hervor. Das Kopfrechnen ist stärker betont und das halbschriftliche Rechnen besitzt den Charakter „als ökonomische Rechenart für eine Vielzahl von Rechenanforderungen. [...] Aus der Erfahrung mit halb schriftlichen Strategien können [...] die schriftlichen Normalverfahren hervorgehen“ (Krauthausen 2009: 101 f.). Laut Padberg können so Synergieeffekte ausgenutzt werden, die zwischen dem halbschriftlichen und dem schriftlichen Rechenverfahren bestehen (vgl. Padberg 2009: 205).

Vorteilhaft sei auch die Entlastung des kognitiven Arbeitsspeichers, da „sich die Schüler bei der Lösung von Sachaufgaben auf die Sachsituation konzentrieren“ (ebd., Hevorheb. i.O.) können, da während der Entwicklung der Rechenwege überflüssige Teilschritte eliminiert wurden. Dies entlastet das Gedächtnis und fördert die mecha­nische Durchführung der Einzelschritte. Letztlich können Algorithmen „exemplarisch verdeutlichen, wie komplexe Rechnungen [...] stark vereinfacht werden. Diese Ziel­setzung ist im Computerzeitalter von besonderer Bedeutung“ (ebd.: 206, Hervorheb. i.O.). Ein weiterer Vorteil ist das Schaffen von Anlässen zum Argumentieren, Analy­sieren und Vergleichen. Mit der Erarbeitung und Entwicklung von Rechenwegen durch die Grundschüler ist dies gegeben. (vgl. ebd.: 205)

Dessen ungeachtet ist nicht allein die Erarbeitung von Rechenwegen ein zufrieden­stellendes Argument für die Behandlung von Algorithmen im Mathematikunterricht der Primarstufe. Mittels des Rechnens mit natürlichen Zahlen entsteht die Grundlage für „das spätere Rechnen in den umfassenderen Zahlbereichen der rationalen bzw. reellen Zahlen“ (ebd.: 206). Padberg spricht hier von einer sogenannten Curriculumspirale. Bei der Unterweisung des Curriculums durch den Lehrer bauen die Schüler auf ihr Vorwissen auf. Zielgebend ist die Erarbeitung des gesamten, formalen Apparats.

Zusammenfassend geht die Erarbeitung von Algorithmen von einem umfassenden Verständnis seitens der Schüler aus. Folglich führt ein Unverständnis des Algorithmus zu Fehlern, die für das jeweilige Rechenverfahren typisch sind (vgl. ebd.: 207). Daraus ergibt sich ein weiterer Nachteil: die Akzeptanz falscher Lösungen. Werden diese blind akzeptiert, da letztlich die „schriftlichen Rechenverfahren bei korrekter Anwendung stets richtige Ergebnisse liefern“ (ebd.: 206), treten Fehler auf, die für den Schüler nicht auf Anhieb ersichtlich sind.

2.2.2 Argumente entsprechend der schriftlichen Division

Das für schriftliche Rechenverfahren die lebenspraktische Bedeutung in den Hinter­grund gerückt ist, wurde schon im vorherigen Kapitel erwähnt und brauch an dieser Stelle nicht weiter ausgeführt werden. Besonders die Division ist ein sehr aufwendiges und mühsames Verfahren, weshalb eine abnehmende Bedeutung für den (Berufs-)Alltag verständlich ist.

In den vorherigen Ausführungen wurde deutlich, dass das Verständnis der Rechenpro­zesse im Vordergrund steht, jedoch nicht deren Automatisierung. Somit ergibt sich eine stärkere „Gewichtung der unterrichtlichen Herausarbeitung des mathematischen Kerns dieser Inhalte“ (Schipper/Dröge/Ebeling 2002: 112). Daneben sind die Rechenwege der Addition, Subtraktion und Multiplikation ohne Probleme auf große Zahlen übertragbar, was jedoch nicht auf die mehrstellige Division zutrifft. Diese gehört deshalb „in den meisten Bundesländern nicht zum Kanon der Grundschulmathematik.“ (ebd.: 113).

Laut Schipper, Dröge und Ebeling ergeben sich keine echten Vorteile durch die schriftliche Division, denn der Schreibaufwand ist deutlich höher als bei der halbschrift­lichen Division. Daneben geht auch die Flexibilität in der Anwendung der Rechenver­fahren verloren. Wird eine nicht-optimale Teil-Aufgabe gewählt, führt dies im Divisio- nalverfahren meist zum Abbruch oder gar zu Fehlern.

Das schriftliche Dividieren stellt damit gegenüber dem halbschriftlichen Rechnen weder hinsichtlich des Schreibaufwandes noch bezogen auf die Anforderungen bei den Teil-Berechnungen eine deutliche Erleichterung dar; individuelle Lösungswege sind gar nicht mehr möglich. (ebd.)

Folglich besteht in der Primarstufe oft nur die Möglichkeit die einstellige Division zu unterrichten, was aber der vollständigen Behandlung der Thematik Schriftliche Division gegenüber den anderen Rechenarten nicht gerecht werden könnte. Wenn eine Thematik begonnen wird, muss diese auch bis zum Abschluss behandelt werden, was aber auf­grund des Stoffumfangs und der zu erwerbenden Kompetenzen in der Grundschulzeit nicht möglich ist. Wird jedoch auf die Behandlung der schriftlichen Division in der Grundschule ganz verzichtet, dann wär diese die einzige Grundrechenart, wo Schüler kein schriftliches Verfahren angeboten wird, so Schipper, Dröge und Ebeling. Dabei ist der „Zusammenhang zwischen dem halbschriftlichen und schriftlichen Verfahren [der Division, v. Verf.] recht eng und kann damit gut unterrichtlich thematisiert werden“ (ebd.).

Das schriftliche Divisionalverfahren weist eine hohe Fehleranfälligkeit auf, die auf zahlreiche Sonderfälle zurückzuführen ist. Die Kenntnis dieser Sonderfälle ist nicht zu unterschätzen, da laut Gerster das schriftliche Rechnen „ein Manipulieren mit Ziffern einzelner Stellenwerte und nicht ein Rechnen mit den Zahlen als Ganzes“ (Gerster 2009: 272) darstellt. Spezifische Probleme gibt es beispielsweise beim Abschätzen von Ergebnisziffern (vgl. ebd.: 282 ff.). Aber auch Überschlagsrechnungen stellen für viele Schüler eine große Herausforderung dar. Besonders verwirrend ist, wenn die erste Wertziffer des Quotienten der schriftlichen Rechnung sich von der des Überschlags unterscheidet. Dieser Fall tritt immer dann auf, wenn der Dividend beim Überschlag aufgerundet wurde. (Schipper/Dröge/Ebeling 2002.: 121) Schipper, Dröge und Ebeling empfehlen hierfür die Behandlung von Extremfällen, um die Unterschiede sichtbar zu machen, oder die Methodik der Eingrenzung. Weitere Schwierigkeiten treten bei besonderen Zahlenkonstellationen auf. Beispielsweise wenn der Teildividend größer als der Divisor ist und die Wert-Ziffer des Quotienten zu klein gewählt wurde. Zudem kann auch innerhalb des Algorithmus bei fehlerhafter Abschät­zung des Dividenden eine Differenz entstehen, die kleiner als der Divisor ist, wodurch der Schüler womöglich mehrmals im gleichen Stellenwert dividiert. Eine besondere Problematik stellt die Arbeit mit Nullen dar. Hier ist zu beachten, dass diese in den täg­lichen Kopfrechenübungen regelmäßig thematisiert und auf die Sprechweise der Schüler geachtet wird, wobei hier das Enthaltensein zu empfehlen sei. (vgl. ebd.: 122 ff.)

Durch einen sicheren Umgang mit den Rechenarten während der schriftlichen Division können zumindest algebraische Fehler vermieden werden. Hierfür muss zumindest das kleine Einmaleins und Einsdurcheins „spätestens am Ende des dritten Schuljahres von allen Kindern sicher beherrscht werden“ (ebd.: 121). Bei der Erarbeitung und Anwen­dung der schriftlichen Division können solch fehlende Grundverständnisse von dem Schüler nur schwer ausgeglichen werden, sodass vor allem rechenschwache Kinder einer zusätzlichen Unterstützung in Form von Rechentabellen bedürfen, wobei dennoch eine Festigung der Kopfrechenarten anzustreben ist.

[...]

Ende der Leseprobe aus 23 Seiten

Details

Titel
Die einheitliche Integration der schriftlichen Division in den Lehrplan der Primarstufe
Untertitel
Argumentation
Hochschule
Universität Leipzig  (Erziehungswissenschaft)
Veranstaltung
Didaktik der Arithmetik
Note
1,0
Autor
Jahr
2011
Seiten
23
Katalognummer
V181434
ISBN (eBook)
9783656084242
ISBN (Buch)
9783656084594
Dateigröße
731 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Schlagworte
integration, division, lehrplan, primarstufe, argumentation, schriftliche division, Grundschule
Arbeit zitieren
BA Jennifer Lorz (Autor), 2011, Die einheitliche Integration der schriftlichen Division in den Lehrplan der Primarstufe, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/181434

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