Ein Matrix-Modell zur Prognose der Entwicklung ungleichaltriger Mischbestände im Stadtwald München

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Stand des Wissens

3 Material und Methoden
3.1 Das Matrix-Modell zur Prognose der Bestandesentwicklung
3.1.1 Aufbau des Matrix-Modells
3.1.1.1 Übergangswahrscheinlichkeiten
3.1.1.2 Ausscheidender Bestand
3.1.1.3 Einwuchs
3.1.2 Herleitung der Funktionsparameter für Durchmesserzuwachs, ausscheidender Bestand und Einwuchs
3.1.2.1 Multiple lineare Regressionsanalyse zur Herleitung von Durchmesserzuwachs und Einwuchs
3.1.2.2 Logistische Regressionsanalyse zur Herleitung der Mortalität
3.1.3 Prognose der Waldentwicklung und Variationen der Eingriffsstärke
3.2 Der Stadtwald München
3.2.1 Betriebsbeschreibung
3.2.2 Bewirtschaftungsziele
3.2.3 Die Bedeutung strukturierter Bestände für den Forstbetrieb
3.3 Datengewinnung
3.3.1 Inventurverfahren
3.3.2 Zur Auswertung verwendete Inventurdaten
3.4 Datenaufbereitung
3.4.1 Einteilung der Bestandestypen
3.4.2 Auswahl der untersuchten Stichprobenpunkte
3.4.3 Aufgenommene Baumarten
3.4.4 Gebildete Baumartengruppen
3.4.5 Bildung der Durchmesserklassen
3.4.6 Stammzahlverteilung auf Durchmesserklassen
3.4.7 Grundfläche und Standraum
3.4.8 Mittlerer jährlicher Durchmesserzuwachs
3.4.9 Bestandeshöhenkurven
3.4.10 Volumen und Vorräte

4 Ergebnisse
4.1 Ertragskundliche Bestandesmerkmale im Jahr 2008
4.1.1 Stammzahlverteilungen
4.1.2 Standflächenanteile der Baumartengruppen
4.1.3 Wuchsleistung, Durchmesserzuwachs und Vorratsentwicklung
4.2 Die Komponenten des Matrix-Modells
4.2.1 Übergangswahrscheinlichkeiten
4.2.2 Ausscheidender Bestand
4.2.3 Einwuchs
4.3 Prognostizierte ertragskundliche Bestandesmerkmale
4.3.1 Stammzahlverteilungen
4.3.2. Standflächenanteile der Baumartengruppen
4.3.3 Vorratsentwicklung und ausscheidender Bestand
4.4 Variationen der Eingriffsstärke
4.4.1 Übersicht der zentralen Ergebnisse der Prognosevarianten
4.4.2 Verdoppelte Eingriffstärke ab der dritten Durchmesserklasse
4.4.2.1 Stammzahlverteilungen
4.4.2.2 Baumartenanteile
4.4.2.3 Vorratsentwicklung, ausscheidender Bestand und Wuchsleistung
4.4.3 Verdreifachte Eingriffsstärke in den Durchmesserklassen 3 bis 11
4.4.3.1 Stammzahlverteilungen
4.4.3.2 Vorratsentwicklung, ausscheidender Bestand und Wuchsleistung

5 Diskussion
5.1 Beantwortung der Hypothesen
5.1.1 Hypothese 1
5.1.2 Hypothese 2
5.2 Einordnung der Arbeit in einen wissenschaftlichen Kontext
5.2.1 Methodische Einordnung
5.2.2 Waldbauliche Einordnung
5.3 Kritische Würdigung des Untersuchungsansatzes
5.3.1 Datenqualität
5.3.2 Zuwächse, Einwuchs und Mortalität
5.4 Realitätsnähe und Umsetzbarkeit der erprobten Varianten
5.5 Schlussfolgerungen

6 Zusammenfassung

7 Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Die bislang gängige und weit reichend erforschte Modellierung des Wachstums von Wäldern stützt sich auf bestimmte Randbedingungen. So werden meist gleichaltrige, relativ einschichtige Bestände aus maximal zwei verschiedenen Baumarten betrachtet (vgl. Pretzsch, 2002). Diese Annahme kann für den überwiegenden Teil der Wirtschaftswälder in Deutschland als zutreffend angesehen werden. Der weitgehende Umbau der Wälder von der Nieder- und Mittelwaldwirtschaft hin zum schlagweisen Hochwald erfolgte Ende des 18. Jahrhunderts mit der 1791 von Hartig entwickelten Methodik der Massenfachwerke und dem, ab 1788 eingeführten, kameralistischen System. Huffel entwickelte dieses 1926 mit der idee des Normalvorrats der verschiedenen Altersklassen und einer Entnahme in Abhängigkeit vom Zuwachs weiter. Dank dieser rasch fortschreitenden Systemumstellung sind heute in Mitteleuropa nur noch wenige strukturreiche Waldflächen erhalten geblieben. Diese Bestände mit zum Teil ausgeprägter Plenterstruktur auch auf kleinem Raum, haben jedoch vielfältige Vorteile (Burschel und Huss, 2003).

Die Bewirtschaftung von gleichaltrigen Reinbeständen lässt nur geringen Spielraum für Behandlungsalternativen zu. Für Planungs- und Steuerungsmaßnahmen in ungleichaltrigen Mischbeständen muss dagegen die Entwicklung der Waldbestände bei verschiedenen Behandlungen möglichst genau prognostiziert werden können. in früherer Zeit wurden standardmäßig Ertragstafeln zur Abschätzung verwendet. Heute haben sich zunehmend Wachstumsmodelle durchgesetzt, die im deutschsprachigen Raum meist einzelbaumbasiert sind.

Vor allem im nordamerikanischen Raum wurden bisher Matrix-Modelle zur Prognose der Bestandesentwicklung insbesondere für ungleichaltrige Mischbestände herangezogen. Diese resultieren aus der in Nordamerika bereits lange verbreiteten „Continuous Forest Inventory“, die sich mittlerweile auch in Deutschland immer mehr durchsetzt. Der Einsatz von Matrix­Modellen für die Abschätzung der Bestandesentwicklung hat einige entscheidende Vorteile. Mit am wichtigsten ist die leichte Nachvollziehbarkeit der resultierenden Ergebnisse. Des Weiteren sind die Modellkomponenten mittels Regressionsanalysen einfach zu parametrisieren. Matrix-Modellierungen sind gerade auch bei der Erstellung lokaler Wuchsmodelle für relativ kleine Waldflächen ein idealer Ansatz.

Bislang fanden solche Modelle jedoch im mitteleuropäischen Raum kaum Anwendung.

In dieser Arbeit wird mit Hilfe von Inventurdaten aus einer permanenten Stichprobeninventur im Einzugsgebiet der Münchner Trinkwassergewinnung am Taubenberg erstmals eine Prognose der Bestandesentwicklung auf der Basis eines Matrix-Modells im Waldbesitz der Landeshauptstadt München durchgeführt. Mit den Daten zweier Inventuren in den Jahren 1991 und 2008 sollen die folgenden zwei Hypothesen einer Prüfung unterzogen werden:

Hypothese 1:

Ein auf einfachen Inventurdaten basierendes Matrix-Modell erlaubt es, eine Prognose der Bestandesentwicklung durchzuführen.

Hypothese 2:

Die Weiterführung der bisherigen Behandlung führt zu Beständen mit plenterartigen Strukturen.

Die zur Überprüfung der Hypothesen nötige Fortschreibung der Bestandesentwicklung erfolgt über das in Kapitel 3 vorgestellte Matrix-Modell. In dieses Modell fließen spezifische Funktionen des Zuwachses, und des ausscheidenden Bestandes der einzelnen Baumarten bzw. Baumartengruppen sowie eine Einwuchsfunktion ein, die entweder durch Messung oder aus den Analysen des Datensatzes gewonnen wurden.

Die Arbeit ist folgendermaßen strukturiert:

Im Kapitel 2 erfolgt eine Übersicht über den Stand des Wissens zu strukturreichen Beständen und der bisherigen Anwendung von Matrix-Modellierungen.

Das Kapitel 3 stellt zunächst das in dieser Arbeit verwendete Matrix-Modell mit seinen Komponenten und die Herleitung der Funktionsparameter mittels multipler linearer bzw. logistischer Regressionsanalyse vor. Anschließend erfolgt ein Überblick über den Stadtwald München, seine Lage, die Flächenverteilung und die Bewirtschaftungsziele. Des Weiteren wird auf die Erhebung der Daten und deren Aufbereitung zur weiteren Analyse eingegangen.

In Kapitel 4 folgen die Ergebnisse der Matrix-Modellierung. Dabei wird zunächst der Zustand der Bestände zum heutigen Zeitpunkt (2008) beschrieben und anschließend die Komponenten des Matrix-Modells vorgestellt. Die Fortschreibung der Bestandesentwicklung erfolgt zunächst unter Beibehaltung der bisherigen Nutzungsstrategie. Anschließend werden zwei Nutzungsvarianten und deren Auswirkungen auf die Bestandesentwicklung untersucht. Im Diskussionsteil (Kapitel 5) wird die Arbeit methodisch und waldbaulich in einen wissenschaftlichen Kontext eingeordnet. Der Untersuchungsansatz, die Methoden und Ergebnisse, die Umsetzbarkeit der Nutzungsvarianten sowie die eingangs aufgestellten Arbeitshypothesen werden abschließend diskutiert.

Das Kapitel 6 beinhaltet die Zusammenfassung der Arbeit und ihrer wichtigsten Ergebnisse.

2 Stand des Wissens

In diesem Kapitel wird zunächst eine kurze Übersicht der historischen Entwicklung der reinen Altersklassenwirtschaft und den Ideen eines gemischten Bestandesaufbaus gegeben. Anschließend werden die Ergebnisse bisher erfolgter Betrachtungen zu den ökologischen Eigenarten und ökonomischen Aspekten gemischter Bestände aus Laub- und Nadelhölzern vorgestellt. Den Abschluss bildet eine kurze Darstellung der Entwicklung geeigneter Matrix­Modelle für die forstliche Planung und bisheriger Anwendungen dieser Modelle zur Untersuchung verschiedener Fragestellungen bei der Bewirtschaftung strukturreicher Mischbestände.

Die Idee eines gemischten Waldaufbaus steht historisch gesehen am Ende einer langen Phase der Waldbewirtschaftung durch den Menschen. Nach der erfolgreichen Einführung einer, in Bezug auf die Verfügbarkeit von Holz als Rohstoff, nachhaltigen Waldwirtschaft im Europa des 16. und 17. Jahrhunderts war bis zum Jahr 1914 das vorrangige Ziel deutschen Waldbaus der Aufbau gleichaltriger Reinbestände (Burschel und Huss, 2003). Die Überführung der weit verbreiteten Nieder- und Mittelwälder durch Kahlhieb und anschließender Pflanzung, teilweise unter Verhinderung der natürlichen Verjüngung führte zum dichten Hochwald. Heute sind nur noch 0,7 % (entspricht rund 73.500 ha) des bestockten Holzbodens in Deutschland als Nieder- oder Mittelwald erhalten geblieben (BWI II, 2004). Die großflächigen Aufforstungen erfolgten ausschließlich mit Fichten und Kiefern, da entsprechendes Saatgut in großem Mengen verfügbar war und diese Baumarten am besten mit den Bedingungen auf Kahlflächen zurecht kamen und hohe Wuchsleistungen aufwiesen. Am Ende des 19. Jahrhunderts war das Resultat in den deutschen Wäldern ein exakt umgekehrtes Verhältnis der Baumartenverteilung. Von ehemals 70 % Laubwald war man nun bei 70 % Nadelwald angelangt. Unter den ersten Befürwortern eines extensiveren Waldbaus ist Gayer zu nennen, der 1880 bereits die damals praktizierte Methode der Monokultur kritisierte. Zur Etablierung strukturierter Mischbestände schlug er die gruppen- oder truppweise Auflockerung der Nadelholzreinbestände mit Laubholz vor. Im Verlauf der Verjüngung sollte eine Mischung durch unterschiedliche ökologische Ansprüche der Baumarten und das somit ungleichmäßige Waldwachstum erzielt werden. Ein gedanklich ähnliches Konzept stellte der von Möller (1920) formulierte Dauerwald dar. Die Ziele sind unter anderem eine Stetigkeit des Waldwesens durch richtige Bewirtschaftung, Erhaltung der Bodenkraft, Erhalt oder Schaffung von Mischbeständen, Ungleichaltrigkeit und einzelstammweiser statt schlagweiser Nutzung (vgl. Burschel und Huss, 2003). Dieser Begriff ist jedoch seit seiner Prägung durch eine ziemlich unklare inhaltliche Festlegung gekennzeichnet.

Im Jahr 1930 schlug Wiedemann die Einführung des Begriffs des „naturgemäßen Wirtschaftswaldes“ vor. Die zugehörige Waldbaurichtung sollte als „naturgemäße Waldwirtschaft“ bezeichnet werden. Die Definition des Begriffs „naturgemäßer Wirtschaftswald“ geben Krutzsch und Weck (1935): „Der naturgemäß bewirtschaftete Wald ist ein gemischter, strukturierter Wald mit an den Standort angepassten Baumarten“. „Naturgemäß“ hieß, dass bei der Wahl der Baumarten nicht der maximale wirtschaftliche Nutzen, sondern primär die standörtlichen Verhältnisse ausschlaggebend sein sollten. Der „Wirtschaftswald“ kennzeichnete die ökonomische Bedeutung für die Volkswirtschaft, die bei der Bewirtschaftung zu beachten war. Weiteren Aufschwung erhielt die Idee der natur­gemäßen Waldwirtschaft während der Zeit des Nationalsozialismus. Die Zielformulierung des Dauerwaldes wurde, per Erlass durch das Reichsforstministerium, zur einzig gültigen Form der Waldwirtschaft im Deutschen Reich erklärt. Grundlage dafür waren allerdings weniger die Grundideen standörtlicher Angepasstheit und Naturnähe, als vielmehr eine völkisch­nationale Interpretation der Beziehung zwischen der Natur und den Menschen. Zudem spielte die Ablehnung alles „undeutschen“ wie z. B. fremdländische Baumarten und ein romantisiertes Bild des „germanischen“ Waldes eine Rolle (Burschel und Huss, 2003).

Diese politische Vereinnahmung erschwerte die Weiterführung dieser Wirtschaftsweise nach dem Weltkrieg. sowohl in der BRD als auch in der DDR wurden bald Konzepte verfolgt, die zwar nachhaltig im sinne der Holzerzeugung waren, aber wiederum eine maximale Ausnutzung des wirtschaftlichen Standortpotenzials zum Ziel hatten (Burschel und Huss, 2003). In Westdeutschland fanden die von Gayer und Möller formulierten Ideen weitere Verbreitung durch die 1950 erfolgte Gründung der Arbeitsgemeinschaft Naturgemäße Waldwirtschaft (Anw). Ihr Gründungsmitglied Wobst formulierte 1954 insgesamt zehn Grundsätze der Waldbewirtschaftung, u. a. Dauerbestockung, Kahlhiebsverbot und Ausnutzung biologischer Automation.

Heute bestehen 62 % der Wälder in Deutschland aus Nadelwald und 38 % aus Laubwald (BWI II, BMVEL, 2004). Mehr als zwei Schichten oder plenterartige Strukturen weisen 9,2 % aller Bestände auf. Der Anteil natumaher Bestockung liegt bei Beständen bis zu einem Alter von 60 Jahren bei einem guten Viertel. Wie anfällig die vorherrschenden monostrukturierten Bestände sind, hat die „schlimmste (...) Katastrophe in der 200jährigen Geschichte moderner, wissenschaftlich begründeter Forstwirtschaft“ (Sperber, 1997) gezeigt. In Folge der Orkane Vivian und Wiebke wurden 1990 rund 10 % der deutschen Waldfläche, insbesondere labile Nadelholzbestände, komplett zerstört. König et al. (1995) sowie Fabian und Menzel (1998) zeigten, dass in Bestandesformen mit führender Fichte bzw. Kiefer sowie gemischten Fichten­Kiefernbeständen zwischen 40 und 60 % der Holzbodenfläche zerstört waren. Plenterartig aufgebaute Bestände, langfristig behandelte und reine Laubholzflächen waren dagegen mit Zerstörungen von deutlich unter 5 % nur geringfügig betroffen. Die Bayerische Staatsforstverwaltung hatte in den folgenden 15 Jahren nach den Orkanen im Mittel rund 40 % nicht regulären Einschlag v.a. in Folge von weiteren Sturmwürfen und Insektenfraß (Bay. Staatsforstverwaltung, 2004).

Neben den ökologischen Nachteilen ergeben sich also auch gravierende Produktionsrisiken in den Nadelholzreinbeständen. Zusammenfassend lassen sich die Punkte hervorheben, wie sie etwa Köstler (1953), Mayer (1992), und Bode (1995) beschreiben. Zu nennen sind der Verlust von Artenreichtum durch Monokultur und in Folge der Ausdunkelung zurückgehende Bodenvegetation. Zudem sind vor allem großflächige Fichtenbestände nur als Kollektiv stabil. Nach einer einmaligen Störung der Stabilität wird weiterer Windwurf und vor allem die Ausbreitung von Schädlingen wie etwa des Borkenkäfers begünstigt. Die geringe bodenbiologische Aktivität und die schwer zersetzbare Nadelstreu bedingen einen gehemmten Nährstoffumsatz. Der gestörte Nährstoffkreislauf hat wiederum direkten Einfluss auf wasser­wirtschaftliche Gesichtspunkte.

Jenssen (2006) zeigte, dass die Etablierung geschlossener Nährstoffkreisläufe nach erfolgtem Waldumbau in strukturreiche Bestände einen langwierigen Prozess darstellt. Bei Versuchen zum umbau von Kiefernreinbeständen ist die Bildung einer ausreichend mächtigen Humus­auflage und die verminderte Auswaschung von Nährstoffen ins Grundwasser erst in entwickelten Beständen ab einem Alter von 30 bis 50 Jahren zu beobachten.

Im Gebiet der oberbayerischen Moränenlandschaft hat sich nach Ansicht von Köstler (1953) die natürliche Mischung von Buche, Tanne und Fichte am weitesten erhalten. Hier spielen vor allem die traditionellen Bauernwälder eine tragende Rolle, die um eine immerwährende Versorgung sowohl mit Bau- als auch Brennholz sicherzustellen, als teilweise ideale Plenterwälder gepflegt wurden.

Die Vorteile des kleinräumlichen Wechsels innerhalb der Bestandesstruktur mit unterschiedlichem Lichtregime, Bodenbedeckung, Kronenrauhigkeit und Durchwurzelung des Bodens für die Stabilität der Bestände beschreiben Assmann (1961), Ebert (1994) und Reininger (2000). Auch halten sie ebenso wie Mitscherlich (1952) und Duda (2006) vor allem die schattentoleranten Arten Buche und Tanne sowie die Halbschattholzart Fichte für ideal zum Aufbau und Erhalt strukturierter Mischbestände, da vor allem junge Bäume lange im Unterstand überdauern müssen, ehe sich durch Ausscheiden von Altbäumen die Wuchsbedingungen verbessern.

Neben den ökologischen Vorteilen eines gemischten und strukturiert aufgebauten Bestandes lassen sich auch ökonomische Argumente finden. So nennen Mayer (1992), Ebert (1994) und Reininger (2000) eben dieses Aufwachsen im Schatten der alten Bäume als wesentliches Merkmal zur Erzielung hoher Holzqualität. Durch das geringe Lichtangebot wird verstärkt in Höhenwachstum und nicht in Dickenwachstum investiert, die Astdimensionen bleiben gering und es setzt frühzeitige Astreinigung beim Laubholz ein. Das Produktionsziel eines möglichst gleichmäßigen, engringig aufgebauten Holzes mit dickem astfreiem Mantel ist also begünstigt. Zudem befinden sich im oberen Schaftteil der Bäume weniger Trockenäste, die ein höheres Entwertungsrisiko des Holzes darstellen (Leibundgut, 1972).

Dem gegenüber erwähnt wiederum Leibundgut (1945) eine gewisse Problematik durch die größeren Kronenlängen für die Wertholzproduktion. Dennoch empfiehlt Reininger (2000) den ungleichaltrigen Wald zur Wertholzerzeugung mit einem Potenzial wie es der Alters­klassenwald nie bieten kann.

Die zentrale Eigenart eines Dauerwaldes in strukturiert-gemischter Form sind viele Altersklassen auf kleiner Fläche und die einzelstammweise Nutzung. Das Stück-Masse­Kostenverhältnis trägt entscheidend zum wirtschaftlichen Erfolg des Forstbetriebes bei (Reininger, 2000). Im strukturierten Bestand erfolgt die Nutzung in der Regel vom oberen Ende des Bestandes her, d.h. der Schwachholzanfall wird vermindert. In von Knoke (1997) untersuchten Beständen des Kreuzberger Gemeindewaldes ergaben sich durch die Erzeugung des wertvolleren Stammholzes in Verbindung mit geringeren Holzerntekosten um 34 % höhere Erlöse. Zu ähnlichen Ergebnissen kommen Untersuchungen von Roches (1970).

Der Aspekt des laufenden Wertzuwachses spielt ebenfalls eine Rolle beim Vergleich von Alterklassenwäldern mit ungleichaltrigen Beständen. Zwar finden sich bei Assmann (1961) Hinweise auf einen insgesamt verringerten Volumenzuwachs bei ungleichaltrigen Beständen bedingt durch die Überlappung der einzelnen Schichten und der Ausbildung von Schattenorganen. Während die Entwicklung des Wertzuwachsprozentes im Alterklassenwald für alle Bäume relativ ähnlich verläuft, ergibt sich in strukturierten Beständen ein individuelleres Bild. Bei einzelstammweiser Nutzung werden fast ausschließlich Bäume entnommen, die ein Minimum an Wertzuwachs unterschritten haben. Der durchschnittliche Wertzuwachs des Gesamtbestandes wird somit auf hohem Niveau gehalten. Gleichzeitig werden relativ hohe Nettoerlöse erzielt (Reininger, 2000).

Als entscheidenden Nachteil des Alterklassenwaldes in seiner klassischen Ausprägung nennt Reininger (1992) die hohen Kosten der neuerlichen Bestandesbegründung nach der Ernte. Die Wirtschaftlichkeit dieses Betriebsmodells ist durch die künstliche Verjüngung und darauf folgenden intensiven Pflegemaßnahmen in Frage gestellt (Burschel und Huss, 2003). Diese Kosten entfallen in strukturierten Beständen dank Ausnutzung der biologischen Automation.

Den Aspekt der Risikominderung betrachten Knoke et. al (2005). Die Erwartung, einen Fichtenreinbestand unter den gegebenen Bedingungen bis ans Ende seiner Umtriebszeit vollständig zu erhalten, erfüllt sich meist nicht. Ausfälle durch Windwurf, Borkenkäfer oder Trockenheit stellen den Waldbesitzer vor Probleme. Die Studie kommt zu dem Schluss, dass bereits bei einer Beimischung von 30 % Buche in Fichtenbeständen noch 97 % des Maximalerlöses erzielt werden kann, während das Produktionsrisiko deutlich gesenkt ist. Gerade risikoscheuen Entscheidern gibt eine Mischung von Baumarten, deren Erträge sich unabhängig oder gegensätzlich entwickeln damit die Möglichkeit, Ausfällen gegenzusteuern.

Die Schaffung eines zusätzlichen Standbeines durch die Erzeugung mehrer Produkte hilft zudem in Phasen schwankender Preise. Wie Knoke (2005) feststellt, bieten gemischte Bestände eine erhöhte Flexibilität im Bezug auf den Einschlagszeitpunkt. Bei niedrigen Preisen für eine Holzart kann auf die Mischbaumart ausgewichen werden. Besonders deutlich kommt dieser Effekt zum tragen, wenn es sich um Holzarten handelt, die unterschiedliche Verwendungszwecke haben, beispielsweise Fichte und Buche. Zudem kann dank der unter­schiedlichen Umtriebszeiten leichter eine Verschiebung des Erntezeitpunkts realisiert werden. Die Entscheidung für einen Nutzungsverzicht in der Gegenwart zu Gunsten eines späteren, erhöhten Nutzens hängt zwar von den Erwartungen und Maßgaben des Waldbesitzer ab, lässt sich aber in strukturierten Beständen leichter umsetzen als im Alterklassenwald mit seinem begrenzten Einschlagskorridor (Knoke, 1999).

Die Planung der Bewirtschaftung ungleichaltriger Mischbestände stellt auch eine besondere Herausforderung an den Förster dar. Um eine nachhaltige Nutzung zu ermöglichen, ist eine genaue Abschätzung der Bestandesentwicklung nötig. Klassische Ertragstafeln erweisen sich als weitgehend ungeeignet, um den Anforderungen der gemischt-strukturierten Bestände gerecht zu werden (Vanclay, 2003). Als bewährtes Mittel zur Entwicklungsprognose für ungleichaltrige Bestände mit mehreren Arten hat sich dagegen die Matrix-Modellierung bewährt. Ursprünglich entwickelt und erstmals angewendet wurden diese mathematischen Modelle, um Wachstumsverläufe in Tierpopulationen zu untersuchen (Lotka 1931, Lewis 1942, Leslie 1945 und 1948). Erste Modelle zur Betrachtung der Erntezyklen in bewirt­schafteten Wäldern stellten Usher (1966), Bosch (1971) sowie Enright und Ogden (1979) vor. Die ursprünglichen Modelle zur Optimierung von Populationsgrößen hatten den Vorteil einer leichten Anwendung und interpretation mittels linearer Algebra. Der entscheidende Nachteil lag darin, dass alle Modelle auf ein exponentielles Wachstum der betrachteten Größen hinausliefen. Diese Entwicklung trifft jedoch nicht auf Waldbestände zu, da hier durch Umwelteinflüsse und die interspezifische Konkurrenz um Wachstumsressourcen über die lange Umtriebszeit das Wachstum limitiert ist. Um dieses Problem zu lösen, modifizierten Buongiorno und Michie (1980) das von Usher (1966) verwendete Modell. In der Folge wurden weitere Modelle entwickelt, um die Auswirkungen der Bestandesdichte auf den Zuwachs und die natürliche Mortalität zu berücksichtigen (Solomon et al. 1986, Buongiorno et al. 1995, Hao et al. 2005 sowie Liang et al. 2007).

Ein wesentlicher Kritikpunkt bei der Verwendung von Matrix-Modellen ist die Abhängigkeit der Prognosezeiträume von den zugrunde liegenden intervallen zwischen den inventuren. Während Usher (1966) ein 6-Jahres-Intervall verwendet, betrachten z.B. Buongiorno und Michie (1980) auf einen 5-Jahres-Zeitraum. Dadurch wird sowohl die Vergleichbarkeit der Modelle untereinander, als auch die zeitliche Flexibilität der inventuraktualisierung beschränkt. Gesicherte Aussagen lassen sich im Prinzip nur zu Zeitpunkten von ganzzahligen Vielfachen des Inventurintervalls treffen (Harrison und Michie, 1985). Um die Prognosen unabhängiger vom inventurintervall zu gestalten, wurden verschiedene Möglichkeiten angewendet: Zum einen verwendeten beispielsweise Buongiorno und Michie (1980) Daten aus Wiederholungsinventuren mit unterschiedlichen Zeitintervallen und extrapolierten die Werte aus inventuren mit kürzeren Zeitintervallen auf ein einheitliches intervall von 5 Jahren. Harrison und Michie (1985) konnten außerdem auch eine Methode erarbeiten, um Prognosen unabhängig von der Länge inventurintervall zu ermöglichen.

Ihre größte Verbreitung haben Matrix-Modelle im nordamerikanischen Raum. Eine Vielzahl von bisherigen Untersuchungen in den „northern hardwood stands“, die sich u.a. aus zahlreichen Unterarten von Ahorn, Esche, Ulme, und Birke zusammensetzen, waren auf die Bestandesdiversität fokussiert . Das Hauptaugenmerk lag dabei meist auf der Änderung der Baumartenzusammensetzung und der Entwicklung von Stammzahlverteilungen in Folge von Eingriffen. Außerdem wurden mit Hilfe dieses Ansatzes Zuwachs- und Wachstumsprognosen im Hinblick auf eine nachhaltige Bewirtschaftung erstellt und finanzielle Effekte unterschiedlicher Bewirtschaftungskonzepte untersucht (u.a. Buongiorno und Michie 1980, Harrison und Michie 1985, Bare und Opalach 1988, Gove und Fairweather 1992, Gove et al. 1994 sowie Leak 2003).

Zahlreiche Studien befassten sich außerdem mit Managementstrategien und der prognose der Bestandesentwicklung, die ein nachhaltiges Wirtschaften in artenreichen (sub-) tropischen Wäldern mit hohen Stammzahlen auf geringer Fläche ermöglichen soll (u.a. Mendoza und Setyarso 1986, Picard 2002, Vanclay 2003, Hao et al, 2005). Die Dynamik der Wald­entwicklung wird dabei entweder über reine Matrix-Modelle oder anhand kombinierter Modelle aus Einzelbaumkomponenten und Matrizen abgebildet.

Neuere Arbeiten befassen sich mit den Möglichkeiten der Fernerkundung und der integration von GIS-Daten in die Erstellung von Matrix-Modellen (z.B. Peng 2000, Lamar und McGraw 2005). Zudem finden sich aufbauend auf Matrixmodellierungen auch finanzielle Betrachtungen zum optimalen Erntezeitpunkt, dem Zusammenhang zwischen Ernte, Marktsituation und Risiko sowie alternativen Handlungsstrategien (z.B. Bare und Opalach 1988, Raunikar et al. 2000, Rollin et al. 2005).

3 Material und Methoden

im nun folgenden Kapitel werden zunächst der Aufbau des Matrix-Modells und die Herleitung der Funktionsparameter für die Einzelkomponenten der Matrizen erläutert. Anschließend wird eine Übersicht über den Wald der Stadt München und seine Bedeutung für die Trinkwassergewinnung gegeben. Danach werden das Untersuchungsgebiet, die Datengewinnung und die Datenaufbereitung beschrieben.

3.1 Das Matrix-Modell zur Prognose der Bestandesentwicklung

Das in dieser Arbeit parametrisierte Matrix-Wachstumsmodell basiert in wesentlichen Teilen auf dem von Buongiorno und Michie (1980) entworfenen Modell für ungleichaltrige Mischbestände. in den folgenden Abschnitten werden die einzelnen Komponenten vorgestellt und die Herleitung der zur Prognose notwendigen Funktionsparameter beschrieben.

3.1.1 Aufbau des Matrix-Modells

Das angewandte Modell baut sich aus drei Einzelkomponenten auf. Diese sind:

- Zuwachs der einzelnen Baumartengruppen
- Einwuchs in die erste Durchmesserklasse
- ausscheidender Bestand

Um die Bestandesentwicklung zu prognostizieren, werden Wahrscheinlichkeiten (a) berechnet, mit welchen ein Baum der Baumartengruppe i zum Zeitpunkt t in der Durchmesserklasse j verbleibt (zur Bildung der BA-Gruppen und DKL vgl. Abschnitt 3.3.4 und 3.3.5). Diese hängen von seiner Wahrscheinlichkeit (b), die derzeitige Durchmesserklasse in die nächst höhere Durchmesserklasse zu verlassen und seiner Wahrscheinlichkeit (d), im Zeitverlauf abzusterben bzw. entnommen zu werden, ab.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sowie

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit Hilfe dieser Wahrscheinlichkeiten lassen sich für jede Baumartengruppe n x n Matrizen erstellen, welche deren Entwicklung innerhalb des Bestandes zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreiben (Gleichung 3). Dazu wird eine Matrix Aijt mit dem Säulenvektor der Stammzahlen nijt (Gleichung 4) multipliziert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Gleichung (3) bezeichnet ai1t die Wahrscheinlichkeit der Bäume einer Baumartengruppe i in der ersten Durchmesserklasse zu verbleiben. Die exakte Anzahl der verbleibenden Bäume erhält man durch Multiplikation mit der Anzahl ni1t (Gleichung (4)), der die Stammzahl der jeweiligen Baumartengruppe in der ersten DKL zum Zeitpunkt t bezeichnet. In der zweiten DKL setzt sich die Anzahl der Bäume aus der Stammzahl ni2t multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit ai2t und der Anzahl der Bäume ni1t multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit bi1t (überwechselnde Bäume aus der ersten DKL) zusammen.

Zusätzlich zur Entwicklung der vorhandenen Bäume bleibt zu berücksichtigen, dass weitere Bäume im Zeitverlauf in die erste Durchmesserklasse einwachsen. Dies geschieht durch die Addition eines n x 1 Säulenvektors [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], der den Einwuchs jeder einzelnen Baumartengruppe in die jeweils erste Durchmesserklasse in Abhängigkeit von der Bestandesstruktur repräsentiert (Gleichung 5).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Modell zur Fortschreibung der Bestandesentwicklung (Gleichung 6) lautet also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Berechnung der Anzahl der Bäume und deren Verteilung auf die einzelnen Durchmesserklassen zum Zeitpunkt t+1 wird der Säulenvektor nt der Stammzahlen zum Zeitpunkt t mit der Matrix At Verbleib- und Übergangswahrscheinlichkeiten multipliziert. Anschließend wird der Säulenvektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des Einwuchses addiert.

Die Anzahl der Bäume aller Durchmesserklassen zum Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird durch den Säulenvektor nt beschrieben, welcher sich aus den Säulenvektoren nit der einzelnen Baumartengruppen zusammensetzt. Ebenso besteht [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aus den Matrizen Ait der beteiligten Baumartengruppen und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wiederum besteht aus den Einwuchs-Matrizen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der einzelnen Baumartengruppen.

Im folgenden Abschnitt wird die Herleitung der benötigten Wahrscheinlichkeiten b und d sowie der Einwuchsrate e näher erläutert.

3.1.1.1 Übergangswahrscheinlichkeiten

Um die Übergangswahrscheinlichkeiten der einzelnen Baumartengruppen herzuleiten, ist es notwendig, den Durchmesserzuwachs zu berechnen, da nur diejenigen Bäume überhaupt wechseln können, die aufgrund ihres laufenden Dickenwachstums an Durchmesser zulegen. Der Durchmesserzuwachs hängt vom erreichten Baumdurchmesser und der Bestandesdichte ab. Die allgemeine Gleichung (7) der Durchmesserzuwachsregression lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Übergangswahrscheinlichkeit der einzelnen DKL ergibt sich dann aus der Division des jährlichen Durchmesserzuwachses durch die festgelegte Durchmesserklassenbreite (5 cm) und kann durch folgende Gleichung (8) ausgedrückt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Annahme lautet hierbei, dass der Durchmesserzuwachs umso geringer ausfällt, je höher die Grundfläche des Bestandes ist. Für den BHD wurde ein konkaver Verlauf der Kurve angenommen. Zunächst steigt der jährliche Durchmesserzuwachs bis zum Kulminationspunkt an, um danach wieder abzusinken Die Chance in eine höhere Klasse überzuwechseln, nimmt also zunächst zu und verringert sich mit zunehmendem BHD nach dem Kulminationspunkt der Kurve wieder. Die Erwartungen für die Vorzeichen der Funktionsparameter lauten dabei für bio und bi1 positiv, für bi2 negativ zur Gewährleistung eines konkaven Kurvenverlaufs und für bi3 ebenfalls negativ.

3.1.1.2 Ausscheidender Bestand

Unter dem ausscheidenden Bestand werden sowohl Bäume verstanden, die natürlicherweise im Zeitverlauf absterben, als auch solche, die durch Ernte entnommen werden. Eine Aufnahme in das Modell der Bestandesentwicklung kann dabei nur erfolgen, sofern der Baum bei der Datenaufbereitung (vgl. Abschnitt 3.4) eindeutig einer der festgelegten Baumarten­gruppen zugeordnet werden kann. Bei der Entnahme durch Ernte war dies mit den vorliegenden Inventurdaten durchgehend möglich. Für das natürliche Absterben dagegen konnte bei der Totholzaufnahme nicht immer eine eindeutige Feststellung der Baumart getroffen werden.

Die Berechnung erfolgt mittels logistischer Regressionsanalyse, da es sich beim Ausscheiden um kategoriale Werte („ausgeschieden“ bzw. „nicht ausgeschieden“) handelt, die eine Codierung mit „o“ bzw. „1“ bedingen. Zur näheren Vorgehensweise im Rahmen der logistischen Regressionsanalyse sei auf 3.1.2.2 verwiesen, wo das Verfahren erläutert wird. Die in dieser Arbeit zur Ermittlung des ausscheidenden Bestandes aufgestellte Gleichung (9) lautet folgendermaßen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der so ermittelte Logit-Wert des Ausscheidens aus dem Bestand fließt in die Funktion der logistischen Regression ein.

Zur Berechnung der jährlichen Wahrscheinlichkeit, mit der ein Baum aus dem Bestand ausscheidet, kann die Gleichung (10) angewandt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.1.1.3 Einwuchs

Der Parameter Einwuchs quantifiziert die Anzahl derjenigen Bäume, die innerhalb des Betrachtungszeitraumes die Stammzahl der untersten Durchmesserklasse auffüllen. Die einfachste Möglichkeit wäre, diesen Einwuchs als Konstante anzunehmen. Diese Annahme trifft jedoch allerhöchstens in gleichaltrigen Wirtschaftswäldern annähernd zu. Für die Modellierung ungleichaltriger Bestände muss der Einwuchs daher in Abhängigkeit zu anderen Bezugsgrößen gesetzt werden. Ek und Monserud (1974) beobachtete, dass der Einwuchs umgekehrt proportional zur Grundfläche des Bestandes ist und zudem für eine gegebene Grundfläche direkt von der Anzahl der Bäume im Bestand abhängt. Die Annahme lautet also, dass bei gleich bleibender Grundfläche umso mehr Einwuchs stattfindet, je mehr Bäume sich auf der Fläche befinden. Für die Regressionsrechnung wurden die Funktionsparameter der folgenden Gleichung (11) zur Ermittlung des Einwuchses in die erste Durchmesserklasse ermittelt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit der Gleichung (11) wird zunächst der Einwuchs, der in den 17 Jahren zwischen der Erst­und Wiederholungsinventur stattfindet parametrisiert. Um den durchschnittlichen Einwuchs für ein Jahr zu erhalten, wird die Gleichung durch 17 dividiert. Die Gewichtung der Baumartengruppen findet mittels der Multiplikation mit dem jeweiligen Standflächenanteil (vgl. Gleichung (15)) statt. Die Anzahl an einwachsenden Bäumen ergibt sich somit aus dem Standflächenanteil den die jeweilige Baumart im Bestand einnimmt. Dabei kann der Einwuchs niemals kleiner als Null werden. Von den Parametern b0, b1, b2 sind für b0 ein positives Vorzeichen, für b1 ein negatives Vorzeichen und für b2 wiederum ein positives Vorzeichen zu erwarten.

Der Vorteil dieses Modells besteht erstens darin, dass der ausscheidende Bestand durch einen variablen Vektor d beschrieben ist. Somit lassen sich unterschiedliche Nutzungsvarianten durchführen. Diese sind mit geringen Ungenauigkeiten verbunden, da die natürliche Mortalität und die Ernteentnahmen zusammengefasst sind. In dem in dieser Arbeit verwendeten Datensatz dominiert die Ernteentnahme, da sie bei der Inventur eindeutig bezeichnet wurde. Eine weitergehende Aufschlüsselung des tatsächlichen Grundes für das Ausscheiden aus dem Bestand war nachträglich mit vertretbarem Aufwand nicht mehr möglich, so dass Kalamitäten nicht gesondert mit einflossen. Zum zweiten ist der Einwuchs nicht eine Konstante, sondern abhängig von Stammzahl und Grundfläche des Bestandes (vgl. Buongiorno und Michie, 1980). Veränderungen dieser Größen führen damit zu unterschiedlichen Einwuchsstärken.

Zur Ermittlung der Einwuchsfunktion musste vor Durchführung der Regressionsrechnung zunächst bestimmt werden, wie viele Bäume während der Zeit zwischen Erstinventur und Wiederholungsaufnahme zur ersten DKL hinzugekommen sind. Gewertet wurden dabei nur Bäume, die bei der Wiederholungsaufnahme einen BHD von über 7 cm hatten. Mittels Rückrechnung mit den vorher ermittelten Zuwachswerten konnte festgelegt werden, welche individuen bei der Erstinventur einen BHD kleiner als 7 cm aufwiesen. insgesamt wurden 79 Bäume als Einwuchs gezählt (Tab. 1).

Tab. 1: Anzahl Einwuchs an 40 Inventurpunkten

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Diese gefundenen Individuen befanden sich an insgesamt 40 verschiedenen Inventurpunkten. Teilt man die Anzahl der gefundenen Bäume (79) durch die Anzahl aller ausgewerteten Inventurpunkte (201), so erhält man einen Einwuchs von 0,39 Bäumen je Inventurpunkt in 17 Jahren. Legt man nun den Hochrechnungsfaktor für den kleinsten Kreis, in dem diese Bäume aufgenommen wurden zugrunde, so erhält man einen Einwuchs von rund 489 Bäumen in 17 Jahren für die Aufnahmefläche. Auf den Hektar für ein Jahr übertragen sind rund 29 Bäume hinzugekommen oder anders formuliert ein Baum je 349 m2 und Jahr.

Da die einzelnen Anzahlen an neu hinzugekommenen Bäumen je Baumartengruppe jedoch zu gering sind, um für jede Gruppe gesondert eine Einwuchsfunktion aufzustellen, wurde mit allen Bäumen zusammen lediglich eine gemeinsame Funktion ermittelt. Da die dominierenden Baumarten Fichte, Tanne, Buche und Edellaubholz (v. a. Bergahorn und Esche) alle in etwa gleicher Anzahl auftreten, kann eine derartige Verallgemeinerung der Einwuchsfunktion durchaus akzeptiert werden. Darüber hinaus ist die abhängige Variable der Funktion von der Stammzahl und der Grundfläche als unabhängigen Variablen bestimmt. Daher kann diese einheitliche Einwuchsfunktion für die wesentlichen Baumarten als praktikabel angesehen werden.

3.1.2 Herleitung der Funktionsparameter für Durchmesserzuwachs, ausscheidender Bestand und Einwuchs

Mit der Festlegung der benötigten Parameter für die Modellierung konnte nun mit der konkreten Herleitung der einzelnen Werte begonnen werden. Da es sich bei den Werten für den Durchmesserzuwachs und den Einwuchs um metrische Zahlenwerte handelt, wurde das Verfahren der multiplen linearen Regressionsanalyse angewandt. Auch die Bestandeshöhenkurven wurden mit dieser Methode erstellt. Für den ausscheidenden Bestand dagegen wurde die Wahrscheinlichkeit bestimmt, mit der ein Baum in der jeweiligen DKL abstirbt oder entnommen wird. Daher kam hierfür das Verfahren der logistischen Regressionsanalyse zum Einsatz.

Die Berechnungen erfolgten mit dem Statistikprogramm SAS. Dieses bereits vor über 30 Jahren vom SAS-Institute Inc. (Cary, N.C., USA) entwickelte „Statistical Analysis System “ hat sich in der Auswertung statistischer Fragestellungen in der Vergangenheit bewährt. Für die Auswertungen in dieser Arbeit wurde die Version 9.1.3 für Microsoft Windows verwendet.

Im Folgenden nun eine kurze Erläuterung der beiden statistischen Verfahren (lineare und logistische Regression) zur Bestimmung der Funktionsparameter.

3.1.2.1 Multiple lineare Regressionsanalyse zur Herleitung von Durchmesserzuwachs und Einwuchs

Die lineare Regressionsanalyse ist nach Backhaus et al. (2006) eines der flexibelsten und am häufigsten eingesetzten statistischen Analyseverfahren. Mit der einfachen Regressionsanalyse lassen sich die Beziehungen zwischen einer abhängigen und einer unabhängigen Variablen untersuchen. Die lineare Regressionsanalyse kommt vor allem dann zum Einsatz, wenn quantitative Zusammenhänge beschrieben und erklärt werden sollen. Zudem lassen sich die Werte der abhängigen Variablen schätzen und prognostizieren. Sobald Änderungen der abhängigen Variablen von mehreren unabhängigen Variablen beeinflusst werden, kann das Problem mittels multipler Regressionsrechnung angegangen werden.

Mit der gefundenen Regressionsgleichung lässt sich die abhängige Variable z. B. der Durchmesserzuwachs an einfach und sicher messbaren Größen, wie etwa dem BHD als unabhängige Variable berechnen. Schließlich lässt sich auch bestimmen, wie die Veränderung der unabhängigen Variablen sich auf die abhängige Variable auswirkt. Die notwendigen Teilschritte für die Regressionsanalyse sind:

1. Die Formulierung des Modells und Festlegung der unabhängigen und der abhängigen Variablen. In dieser Arbeit wurden dabei die Baumhöhe als abhängige und der natürliche Logarithmus des BHD als unabhängige Variable für die Höhenkurven festgelegt. Weiterhin wurden für den Durchmesserzuwachs (abhängig) der BHD und die Bestandesgrundfläche (unabhängig) und für den Einwuchs (abhängig) die Bestandesgrundfläche und die Stammzahl (unabhängig) festgelegt.
2. Die Schätzung der Funktionsparameter der Regressionsfunktion. Hierbei werden die Einflüsse der verschiedenen unabhängigen Variablen auf die jeweilige abhängige Variable bestimmt.
3. Bei der Prüfung der Regressionsfunktion sollte das erstellte Modell an einem unabhängigen Datensatz überprüft werden, der nicht zur Parameterschätzung verwendet wird. Voraussetzung ist jedoch, dass dafür genügend zusätzliche Daten vorhanden sind. Die vorhergesagten Werte werden dann mit den tatsächlich gemessenen Werten verglichen und auf ihre Richtigkeit geprüft. Als Gütemaße zur Prüfung der Regressionsfunktion insgesamt können das Bestimmtheitsmaß, der Standardfehler und die F-Statistik herangezogen werden. Eine weitere Möglichkeit stellt die Analyse der Residuendiagramme dar, anhand derer sich die Aussagekraft der Regressionsfunktion beurteilen lässt (vgl. Abb 1).

Da jedoch nicht nur die unabhängigen Variablen und deren Parameter die Variation der abhängigen Variablen erklären, bleibt eine Reststreuung der tatsächlichen Werte um die im Modell geschätzten Werte der abhängigen Variablen. Diese Restreuung resultiert aus nicht erfassten Einflüssen, Messfehlern bei der Datenaufnahme oder zufälligen Ereignissen. Das Ziel der Regressionsanalyse ist die Minimierung dieser Reststreuung, auch Residuen oder Abweichungen genannt. Damit das Vorzeichen der Abweichungen keinen Einfluss hat, werden diese quadriert. Die am häufigsten angewandte Methode ist das Ordinary Least Squares Verfahren zur Minimierung der Reststreuung (Kleinste-Quadrate-Methode). Die so bestimmten Schätzwerte haben die Eigenschaft, die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen den tatsächlichen und den geschätzten Werten zu minimieren (vgl. Krämer et al., 2005).

Der allgemeine Regressionsansatz zur Schätzung multipler Regressionskoeffizienten hat die folgende Form (Gleichung 12):

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Um die Regressionsrechnung auswerten und interpretieren zu können, müssen die nachfolgend beschriebenen Bedingungen erfüllt sein.

1. Metrische Skalierung aller Variablen. Bei der Einführung nicht metrischer Variablen in die Regressionsrechnung müssen diese mittels Indikatorvariablen kodiert werden.
2. Die abhängige und die unabängige(n) Variablen müssen in einem linearen Zusammenhang stehen. Das bedeutet, dass eine Veränderung der einen Variablen auch eine im Verhältnis konstante Änderung bei der anderen Variablen hervorruft. Bei nicht­linearen Zusammenhängen muss z. B. mittels Logarithmierung eine mathematische Umwandlung zur „Linearisierung“ erfolgen.
3. Für jeden unabhängigen Messwert der Variable (Xi) muss auch ein abhängiger Messwert der Variable (yi) existieren.
4. Es darf keine zu enge Autokorrelation der unabhängigen Variablen vorliegen. Die grundlegende Annahme der linearen Regressionsanalyse ist die Unkorreliertheit der Residuen. Ein y-Wert ist zwar von einem oder mehreren X-Werten beeinflusst, die y- Werte untereinander müssen jedoch unabhängig sein. Eine Autokorrelation, wie sie vor allem bei Zeitreihen auftritt, führt zu einer Verzerrung des Standardfehlers der Regressionskoeffizienten. Die Abweichungen von der Trendgeraden sind bei Autokorrelation nicht mehr zufällig, sondern in ihrer Richtung z. B. vom vorangegangenen Beobachtungswert beeinflusst.
5. Eine möglichst fehlerfreie Ermittlung des Ausgangsdatensatzes. Dieser Datensatz bildet die Grundlage der Berechnung. Da die Eingangswerte im Rahmen der Wiederholungs­inventur im Wald aufgenommen wurden, kann eine restlose Fehlerfreiheit nicht garantiert werden. Durch Plausibilitätsprüfungen der Daten vor der Eingabe in die Regressionsrechnung ist zumindest eine weitgehende Fehlerreduzierung sichergestellt.
6. Die Residuen müssen normal verteilt sein und eine über den Schätzwert homogene Varianz aufweisen. Um beurteilen zu können, wie groß die Aussagekraft des erstellten Regressionsmodells ist, werden die gemessenen Werte den prognostizierten Werten gegenübergestellt. Die gemessenen Werte werden in der Regel immer vom geschätzten Wert abweichen. Dies ist durch die bereits erwähnte Reststreuung bedingt. Ein beispielhaftes Residuendiagramm ist in der Abbildung 1 dargestellt.

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Abb. 1: Streudiagramm der Residuen

Dabei sollten 95 % der Messwerte in einem Streuungsbereich von ± 2 liegen (Abb. 1). Dies bedeutet, dass nicht mehr als 5 % der Werte außerhalb des Intervalls um den arithmetischen Mittelwerte (Null-Linie) von ± der zweifachen Standardabweichung liegen. Messwerte die bei der ersten Aufstellung der Regression außerhalb dieser Grenze liegen, werden als Ausreißer entfernt. Anschließend wird die Regressionsanalyse erneut durchgeführt. Punkte, die immer noch knapp außerhalb der Toleranzgrenze liegen, verbleiben nun im Modell. Bei einer Verteilung der Residuen wie in der obigen Abbildung wurde eine ausreichende Normalverteilung angenommen.

7. Die letzte Bedingung der Regressionsanalyse ist auf Homoskedastizität der Residuen gerichtet. Eine Prämisse des linearen Regressionsmodells ist eine homogene Varianz der Fehlervariablen, d.h. die Störgröße darf nicht von der unabhängigen Variable sowie der Reihenfolge der Beobachtungen abhängig sein. Dies bedeutet, dass die Punktwolke der Residuen möglichst homogen sowohl über die horizontale als auch die vertikale Achse um die Null-Linie verteilt sein muss. In Abbildung 1 ist dies annähernd der Fall und die Bedingung der Homoskedastizität kann als erfüllt gelten. Lediglich die scharfe Begrenzung der Punktwolke im linken unteren Abbildungsbereich deutet auf eine leichte Störung der Modellannahmen (Tendenz zur Nichtlinearität) hin, die jedoch toleriert wurde.

Zur Prüfung der Regressionsfunktion wurden zudem das Bestimmtheitsmaß R2, das Signifikanzniveau sowie der Standardfehler der Parameter betrachtet. Das Bestimmtheitsmaß ergibt sich aus dem Verhältnis von erklärter Streuung zur Gesamtstreuung. Der Wertebereich dieser normierten Größe liegt zwischen 0 und 1, wobei eine theoretische Erklärung der gesamten Streuung R2 = 1 entspricht. Je höher R2, umso mehr der Varianz der abhängigen Variable wird durch die unabhängigen Variablen erklärt. Mit dem Signifikanzniveau wird die Wahrscheinlichkeit überprüft, mit der eine anfangs formulierte Hypothese zutrifft. Zunächst wird (automatisch) die H0-Hypothese getestet, die besagt dass der Parameter der Variablen sich nicht von Null unterscheidet. Das anschließend berechnete Signifikanzniveau der Regressionskoeffizienten sagt aus, mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit die H0-Hypothese abgelehnt werden kann, also mit welcher Wahrscheinlichkeit sich der Parameter von Null unterscheidet. Dabei gilt, dass je kleiner der Wert des Signifikanzniveaus ist, umso abgesicherter ist ein Einfluss der getesteten Variablen. Der Wert für den Standardfehler gibt an, mit welcher Unsicherheit die jeweilige Parameterschätzung verbunden ist.

3.1.2.2 Logistische Regressionsanalyse zur Herleitung der Mortalität

Den wichtigsten Spezialfall bei Modellen mit binär abhängigen Variablen stellt das logistische Regressionsmodell dar (Hosmer und Lemeshow, 2000 sowie Krämer et al., 2005). Zudem stellt die logistische Regression nach Backhaus et al. (2006) ein sehr solides Verfahren in der Klasse der Strukturen prüfenden Verfahren dar, da sie an weniger strengen Vorgaben gebunden ist als beispielsweise die Diskriminanzanalyse. Mittels einer linearen Funktion erfolgt die Berechnung so genannter „Logit-Werte “ für ein bestimmtes Merkmal.

Eine allgemeine Gleichung (13), wie sie z. B. auch bei Knoke (2003) zu finden ist, hat damit die Form:

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Der „Logit-Wert“ muss in die logistische Verteilungsfunktion eingesetzt werden, um einen als Wahrscheinlichkeit zu interpretierenden Wert zu erhalten. Der hieraus resultierende Schätzwert in einem Intervall zwischen 0 und 1 stellt damit die Wahrscheinlichkeit dar, mit der ein Baum über den Verlauf der Zeitachse nicht aus dem Bestandeskollektiv ausscheidet. Die Wahrscheinlichkeit (d) muss also noch von 1 subtrahiert werden, um die Wahrscheinlichkeit für ein Ausscheiden zu erhalten.

Die zugrunde liegende Gleichung (14) für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit lautet:

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3.1.3 Prognose der Waldentwicklung und Variationen der Eingriffsstärke

Mit dem dargestellten Modellansatz sollte die Entwicklung der Bestände im Stadtwald München prognostiziert werden. Um vergleichende Analysen anstellen zu können, wurde einmal eine Prognose für alle Bestandestypen der beiden Reviere erstellt und zum anderen die als strukturiert definierten Bestände einer separaten Prognose unterzogen. Besonders die Vorratsentwicklung, die Stammzahlverteilung und die Baumartenanteile waren hierbei von Interesse. Die Prognose wurde für einen Betrachtungszeitraum von 10 Jahren ausgehend vom Zustand des Jahres 2008 aufgestellt. Dieser Zeitraum wurde gewählt, da die Aussagekraft der Prognose für zehn Jahre als gut eingeschätzt wurde. Um eine Aussage treffen zu können, wie sich eine Änderung in der bisherigen Nutzungsstrategie auswirkt, wurden darüber hinaus auch Variationen der Eingriffsstärke simuliert. Die bisher als Hiebssatz festgelegte Nutzung von rund 5,5 Fm/ ha/ Jahr und ein tatsächlicher Einschlag von ca. 7,5 Fm/ ha/ Jahr (vgl. Abschnitt 3.2.1) dürfen als eher geringe Eingriffsstärke angesehen werden. Deshalb wurden, allerdings unter Nichtberücksichtigung anderer Einschränkungen wie etwa Bodenschutz, zwei Variationen der Eingriffsstärke durchgeführt. Zunächst wurde für alle Baumartengruppen eine doppelt so hohe Nutzung wie bisher ab der dritten DKL aufwärts simuliert. In der zweiten Variation wurde die Eingriffsstärke in allen BA-Gruppen in den DKL 3 bis 11 verdreifacht.

Dies bedeutet in der konkreten Umsetzung, dass im Matrix-Modell die Gleichung des ausscheidenden Bestandes (vgl. Gleichung (10) unter Punkt 3.1.1.2) in den entsprechenden Durchmesserklassen mit dem Faktor zwei (bzw. Faktor drei bei der zweiten Variation) multipliziert wurde.

3.2 Der Stadtwald München

Wasser ist das mit Abstand wichtigste Lebensmittel für den Menschen, dessen Gewinnung häufig in bewaldeten Gebieten in denen die Fassungen für Brunnen und Quellen liegen erfolgt. Die Sicherung ausreichender Mengen in hoher Qualität stellt heute bereits hohe Anforderungen an die Forstwirtschaft in den betroffenen Gebieten. Als größte Wohlfahrtswirkung des Waldes kann die Filter- und Pufferwirkung genannt werden, die Schadstoffe aus dem Niederschlagswasser zurückhält oder umwandelt (Rust, 2004). Die Stadtwerke München nutzen seit 1879/80 das Mangfalltal zur Gewinnung „eines der besten Trinkwasser Europas aus dem Voralpenland“ (Swm, 2008). Die Waldflächen im Einzugsgebiet befinden sich seit 100 Jahren im Besitz der SWM und werden seit fast 60 Jahren ökologisch im Sinne des naturnahen Waldbaus sowie seit 2001 nach den Richtlinien von Naturland (Naturland e.V., 2007) bewirtschaftet.

3.2.1 Betriebsbeschreibung

Die Betreuung des städtischen Waldbesitzes liegt in den Händen des Kommunalreferates, das für sämtliche Flächen mit Ausnahme der innerstädtischen Park- und Grünanlagen zuständig ist. Der Sitz der Forstverwaltung befindet sich in Gotzing im oberbayerischen Landkreis Miesbach. Alle nachfolgenden Angaben in diesem Abschnitt stammen aus Quellen der Forstverwaltung der Landeshauptstadt München sofern keine anderen Angaben gemacht werden.

Die teilweise sehr zerstreut liegenden Flächen lassen sich in die folgenden sechs Kategorien einteilen:

- Wald der Stadtwerke-Wasserversorgung 1.561 ha
- Wald der Stadtwerke-Elektrizitätswerke 211 ha
- Heiliggeist-Spital-Stiftungswald 832 ha
- Gemeindewald 1.778 ha
- Wald in Verbindung mit Erholungsanlagen 257 ha
- Gutswald 343 ha
Der gesamte Waldbesitz der Landeshauptstadt München ist auf dem folgenden Kartenausschnitt der Abbildung 2 als rote Fläche gekennzeichnet.

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