Dem Beweisen kommt in der Mathematik bei der Begründung, Entwicklung und Systematisierung von Wissen eine zentrale Bedeutung zu. Erinnere ich mich jedoch an meine eigene Schulzeit, weiß ich, dass dieses Thema von vielen Lehrerinnen und Lehrern stiefmütterlich behandelt wurde. Dazu soll in dieser Arbeit auf erster Ebene eine theoretische Einführung in das Thema "Beweise im Schulunterricht" erfolgen. Auf einer zweiten Ebene widmet sich diese Arbeit der Frage, wie gymnasiale Schulbücher der Sekundarstufe 1 mit dem Thema „Beweisen“ umgehen. Im Detail sollen die folgenden Fragen beantwortet werden: Verwenden Schulbücher eine äußerlich exakte und wissenschaftsorientierte, axiomatische Darstellung oder werden weniger strenge mathematische Beweise verwendet? Wie ausführlich sind die dargestellten Beweise? Sind sie alltagsbezogen und somit anschaulich oder nicht? Wie lassen sich die dargestellten Beweise klassifizieren? Kommen verschiedene Niveaustufen zum Einsatz? Gibt es Unterstützung bspw. durch Abbildungen oder Handlungsanweisungen?
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung und Fragestellungen
2. Vom streng mathematischen Beweis zum Beweis im Unterricht der Sekundarstufe 1
2.1 Definition des streng mathematischen Beweises
2.2 Die Eignung des streng mathematischen Beweises zum unterrichtlichen Einsatz
2.3 Definition des schulischen Beweises
2.4 Aufgaben des Beweisens im Unterricht
2.5 Funktionen des Beweisens im Unterricht
2.6 Kompetenzen und Rahmenlehrplan
2.7 Reduktion der fachlichen Strenge durch „lokales Ordnen“
2.8 Einsatz des Schulbuches im beweisenden Mathematikunterricht
3. Satzgruppe des Pythagoras
3.1 Der Satz des Pythagoras
3.2 Der Kathetensatz
3.3 Der Höhensatz
4. Kriterien zur Beweisanalyse
4.1 Niveaustufen eines Beweises
4.2 Funktionen
4.3 Ausführlichkeit eines Beweises
4.4 Beweis- und Aufgabentypen bei der Satzgruppe des Pythagoras
4.5 Beweiskontexte
4.6 Beweismethoden
4.7 Zusammenfassung: Kriterien zur Beweisanalyse
5. Vorstellung und Analyse ausgewählter Beweise zum Thema der Satzgruppe des Pythagoras aus drei gymnasialen Lehrbüchern
5.1 Vorstellung der Lehrbücher und betroffenen Kapitel
5.1.1 Elemente der Mathematik 9
5.1.2 Lambacher-Schweizer 9
5.1.3 Mathematik Plus 9
5.2 Vorstellung von ausgewählten Aufgaben und Beweisen
5.2.1 Elemente der Mathematik 9
5.2.1.1 BEP
5.2.1.2 BEK
5.2.1.3 BEH
5.2.2 Lambacher-Schweizer 9
5.2.2.1 BLP
5.2.2.2 BLK
5.2.2.3 BLH
5.2.3 Mathematik Plus 9
5.2.3.1 BMP
5.2.3.2 BMK
5.2.3.3 BMH
5.3 Analyse der ausgewählten Beweise hinsichtlich ausgewählter Kriterien
5.4 Zwischenfazit
5.5 Kurzanalyse der Beweise aus dem Anhang
6. Ergebnisse und Diskussion
7. Zusammenfassung und Ausblick
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit untersucht die Behandlung der Satzgruppe des Pythagoras in aktuellen gymnasialen Lehrbüchern der Jahrgangsstufe 9, wobei der Fokus auf der Analyse von Beweisprozessen und der didaktischen Umsetzung des Beweisens im Mathematikunterricht liegt.
- Vergleichende Analyse dreier gymnasialer Lehrwerke (Elemente der Mathematik, Lambacher-Schweizer, Mathematik Plus)
- Theoretische Fundierung des Beweisens in der Sekundarstufe 1 und Abgrenzung zum streng mathematischen Beweis
- Kriterienentwicklung zur systematischen Klassifizierung und Bewertung von Schulbuchbeweisen
- Untersuchung der Beweismethoden, -kontexte und -niveaustufen innerhalb des Geometrieunterrichts
- Diskussion der didaktischen Qualität und der Schülernähe der dargestellten Beweise
Auszug aus dem Buch
2.1 Definition des streng mathematischen Beweises
Die Mathematik gehört zu den beweisenden Wissenschaften. Ein mathematischer Beweis unterscheidet sich aber deutlich von z.B. dem juristischen Beweis oder dem naturwissenschaftlichen Modell. In einem juristischen Zusammenhang beruhen Beweise bspw. darauf, Tatsachen anzuführen, die nicht im Widerspruch zu einer vorgebrachten Behauptung stehen, sondern mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit oder gar Notwendigkeit mit dieser Behauptung verknüpft sind. Auch die Naturwissenschaften trachten danach, ihre Vermutungen zu beweisen. Diese Beweise können aber nur durch eine endliche Zahl von Experimenten gefunden aber auch widerlegt werden und sind letztendlich nur Empirie. Dagegen gilt ein mathematischer Beweis und das für immer je nach axiomatischer Grundlage. Das Beweisen gilt als das wichtigste Unterscheidungsmerkmal der Mathematik von den empirischen Wissenschaften.
Streng mathematisch versteht man „unter einem Beweis eines mathematischen Satzes S dessen logische Reduktion auf andere mathematische Sätze S1,...,Sn oder Axiome. Ist S mit Hilfe von S1,...,Sn bewiesen, so folgt die Gültigkeit des Satzes S aus der Gültigkeit der Sätze S1,..,Sn“ (Holland 1996, S. 33, leicht verändert). Ein Axiom ist dabei ein einleuchtender Grundsatz, aus dem die Sätze bewiesen werden. Axiome sind nicht zu beweisen.
Die axiomatische Methode verwandte Euklid vor 2000 Jahren zum ersten Mal in der Geschichte der Mathematik – genauer der Geometrie – und legte in seinen „Elementen“ ein axiomatisches Fundament, das zum Vorbild für viele andere Wissenschaften, insbesondere auch für die anderen Teilgebiete der Mathematik wurde. Ohne Frage würde Euklids Axiomensystem den Ansprüchen der heutigen Mathematik nicht mehr genügen, doch machte er den ersten bedeutenden Versuch der Axiomatisierung. Die Entwicklung der mathematischen Korrektheit und Strenge ist als ein historischer Prozess zu betrachten. Die Mathematik ist kein fertiger Formalismus, sondern die Gedankenarbeit von Menschen über Jahrtausende. So wurde das euklidische Axiomensystem erst im Jahre 1899 teilweise ersetzt und erweitert. In diesem Jahr veröffentliche David Hilbert sein Werk „Grundlagen der Geometrie“ und legte damit ein Axiomensystem vor, das noch heute gültig ist (vgl. Metzsch 2004).
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung und Fragestellungen: Die Einleitung beleuchtet die Bedeutung des Beweisens in der Mathematik und stellt die Forschungsfragen zur Analyse des Umgangs mit Beweisen in Schulbüchern.
2. Vom streng mathematischen Beweis zum Beweis im Unterricht der Sekundarstufe 1: Dieses Kapitel liefert eine theoretische Einführung in die Didaktik des Beweisens und diskutiert die notwendige Reduktion fachlicher Strenge für den Schulunterricht.
3. Satzgruppe des Pythagoras: Hier werden der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz als mathematische Grundlage der Untersuchung eingeführt.
4. Kriterien zur Beweisanalyse: Es werden spezifische Kriterien wie Niveaustufen, Beweistypen und Beweiskontexte entwickelt, um die Schulbuchbeweise objektiv analysieren zu können.
5. Vorstellung und Analyse ausgewählter Beweise zum Thema der Satzgruppe des Pythagoras aus drei gymnasialen Lehrbüchern: Dies ist der empirische Hauptteil, in dem Beweise aus drei Lehrbüchern detailliert auf Basis der erarbeiteten Kriterien analysiert werden.
6. Ergebnisse und Diskussion: Die erhobenen Daten werden kritisch ausgewertet, verglichen und im Hinblick auf ihre didaktische Eignung im Mathematikunterricht diskutiert.
7. Zusammenfassung und Ausblick: Das Kapitel schließt mit einer Bewertung der untersuchten Lehrbücher und gibt Empfehlungen für die Unterrichtspraxis sowie Anregungen für zukünftige Forschungsarbeiten.
Schlüsselwörter
Beweisen, Mathematikdidaktik, Satz des Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz, Schulbuchanalyse, Beweisanalyse, Sekundarstufe 1, Lokales Ordnen, Mathematisches Argumentieren, Geometrieunterricht, Beweisniveaustufen, Beweiskontext, Didaktische Strenge, Lehrbuchvergleich
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Masterarbeit grundlegend?
Die Arbeit befasst sich mit der Rolle mathematischer Beweise im Schulunterricht, insbesondere mit der Frage, wie gymnasiale Lehrbücher der Jahrgangsstufe 9 die Beweise zur Satzgruppe des Pythagoras (Pythagoras, Katheten- und Höhensatz) darstellen und vermitteln.
Was sind die zentralen Themenfelder der Untersuchung?
Zentral sind die didaktische Reduktion von Beweisen, die verschiedenen Niveaustufen mathematischen Argumentierens, die Funktion des Schulbuchs als Lehr- und Lernmittel sowie die konkrete Analyse von Beweisfiguren und -aufgaben.
Welches primäre Ziel verfolgt die Arbeit?
Ziel ist es, ein Analyseinstrument zu erstellen, mit dem die Qualität und Art der Beweisdarstellungen in aktuellen Schulbüchern kritisch bewertet und verglichen werden kann, um daraus Rückschlüsse für die Unterrichtspraxis zu ziehen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es erfolgt eine inhaltlich-didaktische Analyse von Beweisen in drei ausgewählten Lehrwerken, die anhand eines vorher erarbeiteten Kriterienkatalogs (u.a. Niveaustufen, Beweistypen, Kontexte) systematisch ausgewertet werden.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in eine theoretische Einführung zur Didaktik des Beweisens, eine methodische Herleitung von Analysekriterien und die praktische Durchführung der Beweisanalyse für die drei gewählten Lehrbücher.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit lässt sich durch Begriffe wie Beweiskultur, lokales Ordnen, didaktische Strenge, Satzgruppe des Pythagoras und schulische Beweistypen charakterisieren.
Warum wurde ausgerechnet die Satzgruppe des Pythagoras gewählt?
Die Satzgruppe des Pythagoras eignet sich besonders gut, da sie ein klassisches Thema der Geometrie in der 9. Klasse ist, für das sowohl einfache als auch komplexere Beweiswege existieren, die ein breites Spektrum an didaktischen Herangehensweisen ermöglichen.
Welches Lehrbuch wird als Favorit hervorgehoben?
Der Autor entscheidet sich am Ende der Analyse für das Lehrbuch „Mathematik Plus 9“, da es die lückenlosesten Beweise sowie eine besonders ausgewogene Verteilung von Beweistypen und Niveaustufen aufweist.
- Citation du texte
- M.Ed. B.Sc. Daniel Metzsch (Auteur), 2009, Beweise zur Satzgruppe des Pythagoras, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/182406
